Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах

Раздел Математика
Класс 10 класс
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Занятие

Тема: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.

Количество часов: 2 часа

Цель: рассмотреть разложение вектора по трем векторам в пространстве и обозначение координат вектора, ввести новые понятия: координатный вектор (базис) и радиус-вектор, рассмотреть три свойства векторов по координатам, разобрать две задачи на свойства векторов.

План:

1. Разложение вектора по трем векторам в пространстве.

2. Координаты вектора в пространстве.

3. Сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число.

4. Решение задач на свойства векторов.


Вопрос 1. Разложение вектора по трем векторам в пространстве.


Начертим прямоугольную систему координат в пространстве Oxyz. Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор, т. е. вектор, длина которого равна единице. Обозначим единичный вектор оси абсциссЗанятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах., единичный вектор оси ординат Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах., и единичный вектор оси аппликат Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах. (см. рис. 1). Эти векторы сонаправлены с направлениями осей, имеют единичную длину и ортогональны - попарно перпендикулярны. Такие вектора называют координатными векторами или базисом.

Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.

Рис. 1. Разложение вектора по трем координатным векторам

Вопрос 2. Координаты вектора в пространстве.

Возьмем вектор Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах., поместим его в начало координат, и разложим этот вектор по трем некомпланарным - лежащим в разных плоскостях - векторам. Для этого опустим проекцию точки M на плоскость Oxy, и найдем координаты векторов Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах., Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах. и Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.. Получаем: Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.. Рассмотрим по отдельности каждый из этих векторов. Вектор Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах. лежит на оси Ox, значит, согласно свойству умножения вектора на число, его можно представить как какое-то число x умноженное на координатный вектор Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.. Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах., а длина вектора Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.ровно в x раз больше длины Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.. Так же поступим и с векторами Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах. и Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах., и получаем разложение вектора Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.по трем координатным векторам:

Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.

Коэффициенты этого разложения x, y и z называются координатами вектора в пространстве.

Вопрос 3. Сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число.

Рассмотрим правила, которые позволяют по координатам данных векторов найти координаты их суммы и разности, а также координаты произведения данного вектора на данное число.

Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.; Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.

1) Сложение: Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.

2) Вычитание: Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.

3) Умножение на число: Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах., Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.

Вектор, начало которого совпадает с началом координат, называется радиус-вектором. (Рис. 2). Вектор Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.- радиус-вектор, где x, y и z - это коэффициенты разложения этого вектора по координатным векторам Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах., Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах., Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.. В данном случае x - это первая координата точки A на оси Ox, y - координата точки B на оси Oy, z - координата точки C на оси Oz. По рисунку видно, что координаты радиус-вектора одновременно являются координатами точки М.

Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.

Рис. 2.

Возьмем точку A(x1;y1;z1) и точку B(x2;y2;z2) (см. рис. 3). Представим вектор Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.как разность векторов Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах. и Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.по свойству векторов. Причем, Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах. и Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.- радиус-векторы, и их координаты совпадают с координатами концов этих векторов. Тогда мы можем представить координаты вектора Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах. как разность соответствующих координат векторов Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах. и Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.: Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.. Таким образом, координаты вектора мы можем выразить через координаты конца и начала вектора.

Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.

Рис. 3.

Вопрос 4. Решение задач на свойства векторов.

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие свойства векторов и их выражение через координаты. Возьмем векторы Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах., Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах., Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.. Нас спрашивают вектор Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.. В данном случае найти Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах. это значит найти координаты вектора , которые полностью его определяют. Подставляем в выражение вместо векторов соответственно их координаты. Получаем:

Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.

Теперь умножаем число 3 на каждую координату в скобках, и то же самое делаем с 2:Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.

У нас получилась сумма трех векторов, складываем их по изученному выше свойству:

Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.

Ответ: Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.

Пример №2.

Дано: Треугольная пирамида AOBC (см. рис. 4). Плоскости AOB, AOC и OCB - попарно перпендикулярны. OA=3, OB=7, OC=4; M - сер.AC; N - сер.OC; P - сер. CB.

Найти: Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.,Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.,Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.,Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.,Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.,Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.,Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.,Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах..

Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.

Рис. 4.

Решение: Введем прямоугольную систему координат Oxyz с началом отсчета в точке O. По условию обозначаем точки A, B и C на осях и середины ребер пирамиды - M, P и N. По рисунку находим координаты вершин пирамиды: A(3;0;0), B(0;7;0), C(0;0;4).

Так как координаты вектора Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах. - это разность координат его конца и начала, получаем:Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.. Таким же образом находим координаты векторовЗанятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах. и Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.. Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.; Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах..

Чтобы найти координаты вектора Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах., нужно сначала найти координаты точек M и N. По рисунку видно, что точка N имеет координатыЗанятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах., так как она лежит на оси аппликат. Рассмотрим Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.. MN - средняя линия, Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.. Значит координата точки M по оси Oz 2. Теперь проведем из точки M перпендикуляр к оси Ox, координата 1,5. Точка M лежит в плоскости Oxz, значит по оси Oy координата 0. Получаем M(1,5;0;2). Теперь зная координаты точек M и N, считаем их разность: Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах..

Теперь найдем координаты точки P. Опустим перпендикуляр на плоскость Oxy, получаем значение 3,5 по оси ординат. И проведя перпендикуляр к оси Oz, получаем значение 2 по оси аппликат. Точка P имеет координаты (0;3,5;2). Зная координаты нужных точек, найдем координаты оставшихся векторов.

Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.;

Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах..

Вектора Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах. и Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах. - радиус-векторы, значит, их координаты равны координатам концов этих векторов: Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах., Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах..

Вопросы для самопроверки:

1. Что называют базисом?

2. Что называют координатами вектора в пространстве?

3. Что такое радиус - вектор?

Список литературы и ссылки на Интернет-ресурсы, содержащие информацию по теме:

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни - М.: Просвещение, 2014. - 455 с.: ил.

2. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия. 11 класс: учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень - М.: Просвещение, 2014. - 271 с.: ил.

3. Yaklass.ru (Источник).

4. Mathematics.ru (Источник).





6


© 2010-2022