Мини-учебник по геометрии (11 класс)

Раздел Математика
Класс 11 класс
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат rar
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Харцызская общеобразовательная школа

с углубленным изучением отдельных предметов №24










Положение высоты в некоторых видах пирамид



11 класс

Мини - учебник по геометрии


______________________


______________________





Мини-учебник по геометрии (11 класс)Мини-учебник по геометрии (11 класс)



Составитель:

учитель математики

Заставная Н.Н.










г. Харцызск

2014г.



Период:

Информационно- познавательный

Девиз:

«Привет, проблема!»

Механизм:

Анализ восприятия

Доминанта:

Анализ, синтез, запоминание





Внимательно изучи таблицу «Положение высоты в некоторых видах пирамид». Определи, как ты воспринимаешь и владеешь полученной информацией.

Полностью Мини-учебник по геометрии (11 класс)

Наполовину Мини-учебник по геометрии (11 класс)

Непонятно Мини-учебник по геометрии (11 класс)


ПОЛОЖЕНИЕ ВЫСОТЫ В НЕКОТОРЫХ ВИДАХ ПИРАМИД




  1. Если все боковые ребра пирамиды равны или наклонены под одним углом к плоскости основания, или образуют равные углы с высотой пирамиды, то основание высоты является центром окружности, описанной около основания (и обратно)

Если в пирамиде Мини-учебник по геометрии (11 класс) : Мини-учебник по геометрии (11 класс), или Мини-учебник по геометрии (11 класс), или Мини-учебник по геометрии (11 класс) и Мини-учебник по геометрии (11 класс) плоскости Мини-учебник по геометрии (11 класс), то Мини-учебник по геометрии (11 класс) - центр описанной около основания окружности (Мини-учебник по геометрии (11 класс)).

Верно и обратное:

Мини-учебник по геометрии (11 класс)

Если в пирамиде Мини-учебник по геометрии (11 класс): Мини-учебник по геометрии (11 класс) плоскости Мини-учебник по геометрии (11 класс), и Мини-учебник по геометрии (11 класс) - центр окружности, описанной около основания, то Мини-учебник по геометрии (11 класс) и Мини-учебник по геометрии (11 класс), и Мини-учебник по геометрии (11 класс)

Для решения используют прямоугольный Мини-учебник по геометрии (11 класс), в котором Мини-учебник по геометрии (11 класс), Мини-учебник по геометрии (11 класс) - радиус описанной около основания окружности, Мини-учебник по геометрии (11 класс) - угол наклона бокового ребра Мини-учебник по геометрии (11 класс) к плоскости основания.


  1. Если все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под одним и тем же углом, то основанием высоты пирамиды является центр окружности, вписанной в основание (и обратно)

Если в пирамиде Мини-учебник по геометрии (11 класс):

грани Мини-учебник по геометрии (11 класс), Мини-учебник по геометрии (11 класс), Мини-учебник по геометрии (11 класс), Мини-учебник по геометрии (11 класс) одинаково наклонены к основанию Мини-учебник по геометрии (11 класс)(то есть соответствующие линейные углы равны Мини-учебник по геометрии (11 класс)) и Мини-учебник по геометрии (11 класс) плоскости Мини-учебник по геометрии (11 класс), то Мини-учебник по геометрии (11 класс) - центр окружности, вписанной в основание (Мини-учебник по геометрии (11 класс) - радиус вписанной окружности).

Верно и обратное:

Мини-учебник по геометрии (11 класс)

Если в пирамиде Мини-учебник по геометрии (11 класс):

Мини-учебник по геометрии (11 класс)плоскости Мини-учебник по геометрии (11 класс), и Мини-учебник по геометрии (11 класс) - центр окружности, вписанной в основание, то Мини-учебник по геометрии (11 класс), т.е. все боковые грани пирамиды наклонены к основанию пирамиды под одинаковым углом.


Для решения используют прямоугольный Мини-учебник по геометрии (11 класс), в котором Мини-учебник по геометрии (11 класс), Мини-учебник по геометрии (11 класс) - радиус вписанной окружности (Мини-учебник по геометрии (11 класс)),Мини-учебник по геометрии (11 класс) - угол наклона боковой грани Мини-учебник по геометрии (11 класс) к основанию (Мини-учебник по геометрии (11 класс) - линейный угол двугранного угла при ребре Мини-учебник по геометрии (11 класс)).

Для такого вида пирамид справедлива формула:

Мини-учебник по геометрии (11 класс),

где Мини-учебник по геометрии (11 класс) - угол наклона всех боковых граней к основанию.


  1. Если только две боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию или общее боковое ребро этих граней образует равные углы со смежными с ними сторонами основания, то это общее боковое ребро проектируется на прямую, содержащую биссектрису угла между смежными с этим ребром сторонами основания (и обратно).


Если в пирамидеМини-учебник по геометрии (11 класс) грани Мини-учебник по геометрии (11 класс) и Мини-учебник по геометрии (11 класс) одинаково наклонены к основанию Мини-учебник по геометрии (11 класс) (то есть Мини-учебник по геометрии (11 класс)) или Мини-учебник по геометрии (11 класс) и Мини-учебник по геометрии (11 класс) плоскости Мини-учебник по геометрии (11 класс), то Мини-учебник по геометрии (11 класс) - биссектриса Мини-учебник по геометрии (11 класс) (или прямая Мини-учебник по геометрии (11 класс) содержит биссектрису Мини-учебник по геометрии (11 класс)).

Мини-учебник по геометрии (11 класс)



Если в пирамидеМини-учебник по геометрии (11 класс)Мини-учебник по геометрии (11 класс) плоскости и Мини-учебник по геометрии (11 класс) - биссектриса Мини-учебник по геометрии (11 класс)(или прямая Мини-учебник по геометрии (11 класс) содержит биссектрису Мини-учебник по геометрии (11 класс)), то Мини-учебник по геометрии (11 класс) (грани Мини-учебник по геометрии (11 класс) и Мини-учебник по геометрии (11 класс) одинаково наклонены к основанию Мини-учебник по геометрии (11 класс)) и Мини-учебник по геометрии (11 класс).

Мини-учебник по геометрии (11 класс)


  1. Если только одна боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости основания, то высотой пирамиды будет высота этой грани.

Если в пирамидеМини-учебник по геометрии (11 класс) плоскость Мини-учебник по геометрии (11 класс) перпендикулярна плоскости Мини-учебник по геометрии (11 класс) и Мини-учебник по геометрии (11 класс), то Мини-учебник по геометрии (11 класс) - высота пирамиды (Мини-учебник по геометрии (11 класс)).


Мини-учебник по геометрии (11 класс)


  1. Если две смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, то высотой пирамиды будет их общее боковое ребро.




Если плоскость Мини-учебник по геометрии (11 класс) перпендикулярна плоскости Мини-учебник по геометрии (11 класс) и плоскость Мини-учебник по геометрии (11 класс) перпендикулярна плоскости Мини-учебник по геометрии (11 класс), то Мини-учебник по геометрии (11 класс) - высота пирамиды (Мини-учебник по геометрии (11 класс)).

Мини-учебник по геометрии (11 класс)



  1. Если две не смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, то высотой пирамиды будет отрезок прямой, по которой пересекаются плоскости этих граней.


Если плоскость Мини-учебник по геометрии (11 класс) перпендикулярна плоскости Мини-учебник по геометрии (11 класс), плоскость Мини-учебник по геометрии (11 класс) перпендикулярна плоскости Мини-учебник по геометрии (11 класс) и плоскость Мини-учебник по геометрии (11 класс) пересекает плоскость Мини-учебник по геометрии (11 класс) по прямой Мини-учебник по геометрии (11 класс) (Мини-учебник по геометрии (11 класс) плоскости Мини-учебник по геометрии (11 класс)), то Мини-учебник по геометрии (11 класс) - высота пирамиды.

Мини-учебник по геометрии (11 класс)



Мини-учебник по геометрии (11 класс)


Мини-учебник по геометрии (11 класс)


Мини-учебник по геометрии (11 класс)

Подумай, насколько самостоятельно ты сможешь решать предложенные задачи и в каких вопросах тебе необходимо обратится за помощью к учителю.





Мини-учебник по геометрии (11 класс)

Прочитай, задумайся - это интересно!

Выдающийся математик - Архимед

Великий математик, механик и инженер древности Архимед родился в 287 г. до н. э. (предположительно) в Сиракузах - богатом торговом городе Сицилии. Отцом его был астроном Фидий, который привил сыну с детства любовь к математике, механике и астрономии. В Александрии Египетской - научном и культурном центре того времени - Архимед познакомился со знаменитыми александрийскими учеными, астрономом Кононом, разносторонним ученым Эратосфеном, с которыми потом переписывался до конца жизни. В знаменитой Александрийской библиотеке Архимед познакомился с трудами Демокрита, Евдокса и других замечательных греческих геометров, о которых он упоминал в своих сочинениях.

Уже при жизни Архимеда вокруг его имени создавались легенды, поводом для которых служили его поразительные изобретения, производившие ошеломляющее действие на современников.

Всем известен рассказ о том, как Архимед сумел определить, сделана ли корона царя Гиерона из чистого золота. Благодаря этому случаю был открыт основной закон гидростатики.

Другая легенда рассказывает, что построенный Гиероном в подарок египетскому царю Птолемею роскошный корабль Сирокосия, никак не удавалось спустить на воду. Архимед соорудил систему блоков, с помощью которых он смог проделать это один, движением руки. Этот случай послужил поводом его крылатых слов ..Дайте мне точку опоры, и я сдвину Землю.

Мини-учебник по геометрии (11 класс)

Архимед прославился и другими механическими конструкциями. Изобретённый им бесконечный, или архимедов, винт для вычерпывания воды до сих пор применяется в Египте. Архимед построил планетарий, или, «небесную сферу», при движении которой можно было наблюдать движение пяти планет, восход Солнца и Луны, фазы и затмения Луны, исчезновение обоих тел за линией горизонта. Инженерный гений Архимеда с особой силой проявился во время осады Сиракуз римлянами в 212 г.до н.э. А ведь в это время ему было 75 лет. Изобретённые Архимедом механические машины помогали успешно бороться с римскими войсками, которые, в конце концов, отказались взять город штурмом и перешли к его осаде.

Знаменитый историк древности Полибий писал: «Такова чудесная сила одного человека, одного дарования…римляне могли бы быстро овладеть городом, если бы кто-либо изъял из среды сиракузян одного старца».

Архимед был убит римским солдатом после взятия Сиракуз вследствие измены.

Плутарх сохранил нам яркий рассказ о его смерти: «К Архимеду подошел солдат с мечом в руке, что бы убить его. Но Архимед настойчиво просил его подождать одну минуту, чтобы задача, которой он занимался, не осталась не решенной; солдат ,которому не было дела до его доказательства, пронзил его своим мечом»

Архимед был замечательным механиком - практиком и теоретиком, но основным делом его жизни была математика. По словам Плутарха, Архимед был просто одержим ею. Он забывал о пище, совершенно не заботился о себе. Его работы относились почти ко всем областям математики того времени.

Так, он нашел все полуправильные многогранники, которые теперь носят его имя, значительно развил учения о конических сечениях, дал геометрический способ решения кубических уравнений вида Мини-учебник по геометрии (11 класс), корни которых он находил с помощью пересечения параболы и гиперболы Архимед провёл и полное исследование этих уравнений.

Но главное его внимание было сосредоточено на трех типах проблем.

  1. Определение площадей криволинейных фигур или объёмов тел. Греки до Архимеда умели находить площади прямолинейных фигур, площадь круга, объём призмы, пирамиды цилиндра и конуса, но только Архимед нашел общий метод, позволяющий найти любую площадь или объём. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам Архимед определил с помощью своего метода площади и объёмы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. Лучшим своим достижением он считал определение поверхности и объёма шара. Он просил выбить на своей могиле шар, вписанный в цилиндр.

  2. Как определить касательную в любой точке кривой. Древние греки умели находить касательную к окружности, эллипсу, гиперболе и параболе. Первый общий метод решения и этой задачи был найден Архимедом. Этот метод лёг в основу дифференциального исчисления.

  3. В математике, физике и астрономии очень важно уметь находить наибольшие и наименьшие значения изменяющихся величин - их экстремумы. Например, как среди цилиндров, вписанных шар, найти цилиндр, имеющий наибольшей объём? Все такие задачи могут быть решены с помощью дифференциального исчисления. Архимед первым увидел связь этих задач с проблемами определения касательных и показал, как с их помощью можно решать задачи на экстремумы.

Огромное значение для развития математики имело вычисленное Архимедом отношение длины окружности к диаметру, т.е. число Мини-учебник по геометрии (11 класс),с большой степенью точности.

Идеи Архимеда почти на две тысячи лет опередили своё время. Только в XVII в. ученые смогли продолжить и развить труды великого греческого математика. Только тогда было раскрыто их подлинное значение.

Лейбниц, один из творцов дифференциального и интегрального исчислений, писал "Внимательно читая сочинения Архимеда, перестаёшь удивляться всем новейшим открытиям геометров"

Как Вы считаете, можем ли мы оценить Архимеда, только как учёного, зная его открытия?

Мог ли он совершить их, если бы не имел целью улучшение жизни граждан своего города?

Как Вы считаете, должен ли учёный иметь гражданскую позицию или заниматься только наукой?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Период:

нормативно - регуляционный

Девиз:

«Освоим изученное!»

Механизм:

добывание, осмысление, нормирование

Доминанта:

мышление, личностная адаптация


Тебе предстоит решить 5 задач. Выбери уровень сложности: достаточный (средний) или высокий. Отметь, насколько понятным было решение каждой задачи, закрась ту часть круга, которая соответствует твоему уровню понимания решения.


Думай

Решай

Записывай

Мини-учебник по геометрии (11 класс)

*Достаточный уровень сложности

**Высокий уровень сложности


Задача 1

Основанием пирамиды является прямоугольник со стороною Мини-учебник по геометрии (11 класс). Угол между этой стороной и диагональю прямоугольника равен. Найдите объем пирамиды, если каждое ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом Мини-учебник по геометрии (11 класс).

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, площадь которого равна Мини-учебник по геометрии (11 класс), а угол при основании - Мини-учебник по геометрии (11 класс). Все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания угол Мини-учебник по геометрии (11 класс). Найдите объем пирамиды.


Задача 2

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом Мини-учебник по геометрии (11 класс). найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Основание пирамиды - равнобедренный треугольник с боковой стороной Мини-учебник по геометрии (11 класс) и углом Мини-учебник по геометрии (11 класс) при основании. Все двугранные углы при ребрах основания равны Мини-учебник по геометрии (11 класс). Найдите объем пирамиды.


Задача 3

Основанием пирамиды является правильный треугольник. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом Мини-учебник по геометрии (11 класс). Найдите объем пирамиды, если ее высота равна 12 см.

Основание пирамиды - равнобедренный треугольник с боковой стороной Мини-учебник по геометрии (11 класс) и углом Мини-учебник по геометрии (11 класс) при основании. Боковая грань пирамиды, которая основание этого треугольник, перпендикулярна к плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом Мини-учебник по геометрии (11 класс). Найдите объем пирамиды.


Задача 4

Основанием пирамиды Мини-учебник по геометрии (11 класс) является прямоугольный треугольник Мини-учебник по геометрии (11 класс), в котором Мини-учебник по геометрии (11 класс), Мини-учебник по геометрии (11 класс), Мини-учебник по геометрии (11 класс)см. Боковая граньМини-учебник по геометрии (11 класс) перпендикулярна плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом Мини-учебник по геометрии (11 класс). Найдите длину ребра Мини-учебник по геометрии (11 класс).

Основание пирамиды Мини-учебник по геометрии (11 класс) - прямоугольник Мини-учебник по геометрии (11 класс). Боковая грань Мини-учебник по геометрии (11 класс) перпендикулярна плоскости основания, грани Мини-учебник по геометрии (11 класс) и Мини-учебник по геометрии (11 класс) наклонены к плоскости основания под углом Мини-учебник по геометрии (11 класс), а грань Мини-учебник по геометрии (11 класс) - под углом Мини-учебник по геометрии (11 класс). Найдите объем пирамиды, если ее высота равна Мини-учебник по геометрии (11 класс).


Задача 5

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой Мини-учебник по геометрии (11 класс) и острым углом Мини-учебник по геометрии (11 класс). Две боковые грани, содержащие стороны этого угла, перпендикулярны к плоскости основания, а третья - наклонена к ней под углом Мини-учебник по геометрии (11 класс). Определите боковую поверхность пирамиды.

В основании пирамиды лежит квадрат. Две боковые смежные грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом Мини-учебник по геометрии (11 класс). Определите объем пирамиды, если наибольшее боковое ребро равно Мини-учебник по геометрии (11 класс).



Подведи итог своей работы

Мини-учебник по геометрии (11 класс)

Подчеркни, во сколько баллов ты оцениваешь свой результат работы.



1 2 3 4 5

© 2010-2022