Свойство биссектрисы угла треугольника

22

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………. 2

1. Свойство биссектрисы треугольника и способы

доказательства …………………………………………………………4

2. Нахождение длины биссектрисы (формулы) ………………………7

3. Соотношения, связанные с биссектрисой………………………..…...13

4.Задачи…………………………………………………………………….16

5. Выводы…………………………………………………………………..20

6. Список литературы…………………………………………………….21

ВВЕДЕНИЕ

Цель работы:

Показать многообразие способов доказательства свойства биссектрисы треугольника.

Задачи:

1. Ознакомиться с литературой по данной теме, повторить ряд геометрических фактов, необходимых для проекта

2. Систематизировать теоретический материал, используемый для доказательства теоремы

3. Выяснить практическое применение формул для вычисления биссектрисы треугольника

4. Создание презентации к работе

Что мы знаем о биссектрисе угла треугольника? Наверное не так уж и много - определение биссектрисы; факт, что точка пересечения биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности и свойство деления стороны биссектрисой на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам.

В своей работе я постаралась систематизировать сведения и найти дополнительную информацию, которая углубляет знания об этом понятии в теории треугольников. С помощью научной литературы по теме и работы с научным руководителем, мы привели несколько способов доказательства свойства биссектрисы треугольника. При этом использовали следующие теоремы и понятия:

1.Теорему Фалеса о пропорциональных отрезках

2. Подобие треугольников

3. Применение формул площадей треугольника

4. Теорема синусов

Доказательство теоремы разными способами позволят повторить широкий спектр геометрических фактов, совершенствовать навыки применения разных методов и приемов решения задач, способствует более глубокому и прочному пониманию и запоминанию материала.

В работе значительно расширены сведения о биссектрисах треугольника:

• приводятся 4 вида формул для вычисления биссектрисы треугольника, эти формулы имеют практическое применение;

• выводятся формулы радиуса окружности, вписанной в треугольник;

• формулируются свойства точки пересечения продолжения биссектрисы треугольника с описанной окружностью;

• устанавливается взаимное расположение высоты, медианы и биссектрисы треугольника, проведенных из одной вершины ( 3 способа).

.

РАЗДЕЛ 1

Свойство биссектрисы треугольника и способы его доказательства.

Теорема.

Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки пропорциональные двум другим сторонам .

Дано: ∆ АВС, BD - его биссектриса.

Доказать:

Рис. 1.1

1. Применим к доказательству теорему Фалеса

Проведем прямую CK||BD и продолжим сторону AB до пересечения с этой прямой. 2 = 3 как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BD и KC и секущей BC. 1 = 4 как соответственные углы при CK||BD и секущей BC.

∆ BCK - равнобедренный.

Тогда по теореме Фалеса:

Т.е , что и требовалось доказать

2. Применим подобие треугольников (рис. 1.2)

Проведем перпендикуляры из вершин А и С на биссектрису и ее продолжение, тогда имеем:

Рис. 1.2

∆ AND ~ ∆ CMD (по двум углам). Из определения подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

, (*)

∆ ABN~ ∆ CBM, тогда ; (**)

В равенствах (*) и (**) равны правые части, а значит:

2. Применим формулы площади треугольника (рис. 1.3)

Точка D лежит на биссектрисе угла ABC, значит она равноудалена от его сторон, то есть

Тогда:

Получили, что

4. Применим теорему синусов

Рис. 1.4

Из ∆ ABD по теореме синусов: , или упростив, имеем: (*)

Из ∆ BDС по теореме синусов: (**)

Разделим равенство (*) на (**), получим

. 5. Докажем теорему, используя формулы площади треугольника (рис. 1.4)

Получили

РАЗДЕЛ 2

Формулы для вычисления длины биссектрисы

В разделе выводятся четыре формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника [3].

2.1. Длина биссектрисы через пропорциональные стороны и отрезки

Рис. 2.1.1.

2.1.1.Доказательство. I способ - через вписанные углы (рис. 2.1.1).

Опишем вокруг ∆ABC окружность и продолжим биссектрису CD =l до

пересечения с окружностью, F - точка пересечения. Пусть DF= x.

Вписанные углы BFC и CAB равны, так как опираются на одну и ту же дугу BC. Тогда ∆FCB ~ ∆ACD по двум углам. У подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны:

или

Тогда (1).

По свойству пересекающихся хорд

или .

Подставим последнее равенств в формулу (1), получим

2.1.2.Доказательство. II способ - через теорему косинусов (рис.2.1.2)

Рис 2.1.2

Из пропорции следует, что , (2).

Из ∆ BCD из теоремы косинусов.

Из ∆ DCA .
Получим равенство .

После умножения на 2abl получим:

Перегруппировка слагаемых

. Подставим формулы (2) в равенство вместо m и n

В случае, если делим на (b - a) и получаем

2.2. Длина биссектрисы через две стороны и угол между ними (рис. 2.2)

Рис. 2.2

Доказательство через площадь треугольника.

.

Равенство умножим на 2, а заменим по формулам двойного угла

Так как разделим на него и найдём l. ;

Следствие. В прямоугольном треугольнике угол , поэтому биссектриса опущенная на гипотенузу равна , где a и b - катеты.

3. Длина биссектрисы через стороны треугольника (рис. 2.3)

Рис. 2.3

Выразим отрезки m и n через стороны треугольника, решив систему.

; ; ; =c ; .

Аналогично .

Подставим найденные выражения в формулу биссектрисы

Тогда .

3. Угол между высотой и биссектрисой треугольника , проведенными

из одной вершины [1]

Рис. 2.4

Пусть CM= h - высота, а CD= l биссектриса треугольника, проведенная из той же вершины. Найдем угол MCD между высотой и биссектрисой треугольника.

Из

Из ∆BCM () BCM =

MCD= BCD - BCM = .

2.5.Длина биссектрисы через высоту (рис. 2.4)

Из ∆CMD () .

РАЗДЕЛ 3

Соотношения, связанные с биссектрисой

В разделе будет получено отношение, в котором биссектрисы треугольника делятся точкой пересечения; найден угол, образованный при пересечении биссектрис; установлена связь между сторонами треугольника и отрезками касательных ко вписанной в треугольник окружности.

3.1. Отношение , в котором биссектрисы треугольника делятся точкой пересечения (рис. 3.1)

Известно, что медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Найдём, в каком отношении делятся биссектрисы точкой пересечении.

Рис. 3.1

Дано: биссектрисы CD и AM _∆АВС пересекаются в точке I (инцентр)

Пусть CI = x, а ID = y. Найдём отношение .

Из ∆ CDB по свойству биссектрис . Учитывая что , находим .

Получили соотношение

2. Угол , образованный при пересечении биссектрис,

(рис. 3.2)

Рис. 3.2

Из :

3.3 . Связь между сторонами треугольника и отрезками касательных к вписанной в треугольник окружности (рис. 3.3)

Рис. 3.3

В _∆АВС вписана окружность. Пусть М,К, N - точки касания окружности сторон треугольника. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки, AM=AK=x, CM=CN=y, NB=KB=z . Тогда

.

Сложив уравнения системы, получим

, где р - полупериметр.

Вычитая из последнего равенства уравнения системы, получим

Формулы, выражающие отрезки касательных через стороны треугольника.

Привожу без доказательства утверждения о свойстве точки пересечения продолжения биссектрисы треугольника с описанной около него окружностью, о расположении биссектрисы треугольника. Эта часть работы будет продолжена.

1. Точка пересечения продолжения биссектрисы треугольника с описанной около него окружностью, равноудалена от двух других вершин и инцентра

2. В неравнобедренном треугольнике биссектриса всегда расположена между высотой и медианой, проведенными из одной вершины.

Задачи

1. Дан треугольник ABC, в котором угол В = 30°, АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D. Определите площадь треугольника ABD (рис. 1).

Рис. 1

Решение. По свойству биссектрисы AD/DC = AB/BC = 4/6 = 2/3.

Пусть AD = 2х; DC = Зх.

Ответ: 12/5.

Задача.

Стороны треугольника равны 10 см, 11 см и 12 см. Найти отрезки, на которые делит биссектриса треугольника среднюю сторону.

Дано: AC=10 см, BC=11 см, AB=12 см, AP = биссектриса.

Найти: CP и BP.

Решение:

По свойству биссектрисы треугольника:

Пусть CP=x см, тогда BP=11-x см:

откуда по основному свойству пропорции

CP=5 см, BP=6 см.

Ответ: 5 см, 6 см.

Найти биссектрису угла B треугольника ABC и определить, в каком отношении центр вписанной в треугольник окружности делит эту биссектрису, если AB = 4, BC = 5 и AC = 6.

Решение

Пусть BD и AK - биссектрисы углов B и A треугольника ABC и O - центр вписанной окружности.
Так как AB = 4 и BC = 5, то по теореме о биссектрисе AD = 4t и CD = 5t, поэтому AC = 6 = 4t + 5t, т.е. , и тогда .

и

, т.е. .

И, наконец, определим по теореме о биссектрисе из треугольника BAD, в каком отношении точка O делит отрезок BD:

.

Ответ: и .

Найти биссектрисы острых углов в прямоугольном треугольнике, катеты которого равны 6 и 8 см.

Решение

Пусть ABC - прямоугольный треугольник, у которого AB = 6, BC = 8, B = 90 °, P и H - основания биссектрис углов C и A соответственно. Тогда по теореме Пифагора .
По теореме о биссектрисе BP = 8t и Pa = 10t , откуда AB = AB = 6 = 8t + 10t и .
Поэтому , и по теореме Пифагора . Аналогично находим .

Ответ: см, см.

ВЫВОДЫ

В этой работе мы показали разнообразие способов доказательства свойства биссектрисы треугольника. Выведена формула для вычисления длины биссектрисы, рассмотрен ряд задач, которые были в заданиях на ЕГЭ разных лет. Доказано положение биссектрисы в неравнобедренном треугольнике. Показано отношение , в котором биссектрисы треугольника делятся точкой пересечения; определен угол , образованный при пересечении биссектрис. Для многих свойств приводится несколько способов доказательства.

Работая над проектом и находя различные способы доказательств, приобретаются логические навыки, умение анализировать и сопоставлять, сравнивать. С помощью доказанных свойств многие задачи решаются легче и доступней.

Данная работа может служить справочным материалом при подготовке к ЕГЭ, как в теоретическом, так и в практическом плане.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шарыгин И.Ф. Учимся решать задачи по геометрии //Математика в школе.-1989.-№2. -С. 87-89.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Геометрия .8 класс: Учебник. Харьков: Гимназия,2008.- С.83-84.

3. Биссектриса треугольника.- [Электронный ресурс] .-режим доступа: ru.wikipedia.org/

4. Апостолова Г.В. Геометрия .8 класс: Учебник. Киев: Генеза, 2008.-С.36-37.