Разработка кружка по математике на тему Секреты листа Мебиуса

Занятие кружка: «Секреты ленты Мебиуса»

Цель и задачи:

Цель:

Показать, на примере ленты Мебиуса, что в математике много увлекательного и интересного.

Предмет исследования: лента Мёбиуса.

Объект исследования: свойства ленты Мебиуса, использование ленты.

Задачи:

1. Узнать историю возникновения листа Мебиуса.

2. Сделать лист Мёбиуса.

3. Узнать топологические свойства листа Мёбиуса.

4. Проделать эксперементы и фокусы с листом Мебиуса.

5. Выяснить практическое применение листа Мебиуса в технике, науке, искусстве и жизни.

Планируемые результаты обучения

личностные:

1. Умение организовать свою работу.

2. Чувство коллективизма.

3. Чувство ответственности за проделанную работу.

метапредметные:

1. Умение сознательно организовывать свою познавательную деятельность (от постановки цели до получения и оценки результата).

2. Овладение различными видами публичных выступлений (высказывания, монолог, дискуссия) и следования этическим нормам и правилам ведения диалога.

3. Умение выполнять познавательные и практические задачи, в том числе и с использование проектной деятельности на уроках и в доступной социальной практике.

предметные:

1. Иметь представление о понятии «лента Мебиуса».

2. Изготавливать ленту Мебиуса.

3. Моделировать практические ситуации и исследовать построенные модели.

Формы работы:

-проектная деятельность;

-работа в группах;

-мультимедийная презентация;

Оборудование:

-компьютер;

-проектор;

1. Орг. момент: (2 -3 мин)

- Добрый день, ребята! На столах у вас смайлики, выберите тот, который соответствует вашему настроению. Соберите смайлики и прикрепите их на доску. Посмотрим ваше настроение!

(смайлики): настроение в начале урока и в конце урока

II. Актуализация знаний:

О чем говорится в данном высказывании?

Лентой Мёбиуса закручен путь

В какую сторону не иди…

Обязательно увидишь ещё раз того,

Кого однажды встретил на пути…

Если нужно кого-то догнать,

Не трать сил, времени на ускорение…

Лучше просто подождать или

Двинуться в обратном направлении…

Как вы думаете о чем мы будем сегодня говорить на занятии? ( уч-ся: о ленте Мебиуса)

На прошлом занятии вы разделились на группы. Каждая группа получила индивидуальное задание: по подготовке информационного проекта по темам. I группа подготовила информационный проект (уч - ся называет тему…), II группа подготовила и т. д.

Давайте заслушаем ваши отчеты.

Свой информационный проект защищает I группа

Мы расскажем о истории возникновения …

1. Лист Мебиуса. Свойства листа Мебиуса.

Задачи:

1. Выявить источники и литературу по данной теме и проанализировать их.

2. Познакомиться с историей возникновения листа Мёбиуса.

3. Научиться и научить других, изготавливать лист Мёбиуса.

4. Изучить топологические свойства листа Мёбиуса.

1. Литература

2. Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса придумал в 1858 году немецкий геометр и астроном, профессор Лейпцигского университета Август Фердинанд Мёбиус. Ученик "короля математиков" Гаусса. Рассказывают, что открыть свой "лист" Мёбиусу помогла служанка, сшившая неправильно концы длинной ленты. Семь лет он ждал рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал её результаты. Именно так и появилась в 19 веке знаменитая лента Мёбиуса. Мёбиус сделал открытие поразительной красоты - получил поверхность, которая имеет лишь одну сторону.

Презентация

(портрет Мебиуса, портрет Листинга)

Одновременно с Мёбиусом изобрёл этот лист и другой ученик К. Ф. Гаусса - Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года позже, чем Мёбиус, - в 1862 году.

Как изготовить лист Мёбиуса ?

Свойства листа Мёбиуса

Что же поразило двух немецких ученых в этой ленте?

1. Односторонность:

а) Что получится, если начать закрашивать кольцо с одной стороны, не переходя через край?

Результат окрашивания: - кольцо окрашено с одной стороны.

б) Что получится, если начать закрашивать лист Мёбиуса с одной стороны, не переходя через край?

Результат окрашивания: - весь лист полностью окрашен

б) Паука и муху отправим «гулять» по обыкновенному кольцу, но запретим им переползать границы. Что произойдет?

Результат. Паук не смог добраться до мухи.

в) Паука и муху отправим «гулять» по листу Мебиуса. И запретила им переползать через границу.

А здесь что произойдет?

Результат. Бедная муха будет съедена, если, конечно, паук бегает быстрее!

Вывод: лист Мёбиуса- односторонняя поверхность.

2. Непрерывность

а) На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой. Разрывов нет -непрерывность-полная (опыт)

3. Связность.

Если один оборот -Лист Мёбиуса двусвязен, т. к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.

4. Неориентированность.

Ориентированность - свойство отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился в своё зеркальное отражение.

Вывод: лист имеет свойство - неориентированность.

Наука топология

С листа Мебиуса началась новая наука - топология. Слово это придумал - Иоганн

Бенедикт Листинг в 1847 году. Топология - один из новейших разделов математики.

Тополо́гия (от др.-греч. τόπος - место и λόγος - слово, учение) - раздел математики, изучающий в

самом общем виде явление непрерывности, в частности свойства пространств, которые остаются

неизменными при непрерывных деформациях, например, связность, ориентируемость. В отличие от

геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов (например, расстояние между

парой точек). Примером топологических объектов являются: буквы И и Н, тонкие длинные воздушные шарики.

Свой информационный проект защищает II группа

Мы расскажем …

Применение листа Мёбиуса в науке и технике.

Задачи:

1. Выявить источники и литературу по данной теме и проанализировать их.

2. Изучить применение листа Мебиуса в науке и технике.

Лист Мёбиуса находит многочисленное применение в науке, технике.

Свойство односторонности листа Мёбиуса было использовано в технике.

Презентация

1. Благодаря ленте Мёбиуса возникло множество самых разнообразных изобретений. Так, например, были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты с "двух сторон" не меняя их местами.

2. В метро ручка эскалатора, не что иное, как лента Мёбиуса, это позволяет равномерно изнашиваться, и продлевает срок службы резины

3. В 1969 году советский изобретатель А. Губайдуллин получил бесконечную шлифовальную ленту, работающую обеими своими сторонами. Он предложил натянуть сделанную из специального материала ленту Мебиуса на два вращающихся ролика и покрыть ее крупинками твердого абразива. Понятно, что такая лента служит вдвое больше обычной.

4. В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса.

5. Для распиливания бревен используется пила, лента которой имеет форму ленты Мебиуса

6. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде листаМёбиуса, позволяет ему работать дольше в два раза

7. В матричном принтере красящая лента имеет вид листа Мёбиуса

Свой информационный проект защищает III группа

Мы расскажем …

Применение листа Мёбиуса в жизни, искусстве .

1. Скольких людей приводили в восторг аттракционы "Американские горки".

2. Игрушка эта очень полюбилась не только математикам. Не зря ведь, наверное, у входа в Музей истории и техники в Вашингтоне стоит памятник ленте Мёбиуса - на пьедестале медленно вращается стальная лента, закрученная на полвитка.

3. В Москве, на Комсомольском проспекте около кинотеатра "Горизонт" установлен памятник «Ленте Мёбиуса».

4. Наша Вселенная вполне вероятно замкнута в ленту Мёбиуса

5. Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса

6. Физики утверждают, что отражение в зеркале основано на свойствах ленты Мёбиуса

7. Германия г. Франкфурт. Памятник листу Мебиуса.

8. Изображенный на фотографии объект расположен в бельгийском городке Опховен. Он представляет собою скульптуру работы Матье Хемакерз

9. Также применяется в украшениях

10. Литография с муравьями принадлежит известному голландскому художнику Мауриц Эшеру . Кажется, что девять красных муравьев один за другим ползут и по той, и по другой стороне.. Тем не менее это полоса с односторонней поверхностью
    
    

11. Даже мастерицы - рукодельницы изготавливают шарфики, закрученные в эту чудо ленту Лента служит красоте. Шапки в виде ленты Мебиуса - снуды.

12. Как прекрасны изделия, связанные крючком.

13. Кухонные и офисные столы выполнены в виде ленты Мебиуса.

14. Кресла для отдыха.

15. Удивителен лист Мебиуса в природе

16. Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса, состоит в том, что он дал толчок новым исследованиям. Математические исследования продолжаются и в наши дни. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета.

Ребята, посмотрите , какие уникальные слова записаны на доске?

Скажи мне - и я забуду.

Покажи мне - и я запомню.

Вовлеки меня - и я научусь»

(китайская пословица)

Давайте посмотрим, практическую часть листа Мебиуса

Свой информационный проект защищает IV группа

Мы покажем вам эксперементы и поможем открыть секреты…

Эксперементы и фокусы.

Задачи:

1. Выявить источники и литературу по данной теме и проанализировать их.

2. Изучить и продемонстрировать эксперементы и фокусы.

3. !!!!!Техника безопасности: При выполнении эксперементов нам будут необходимы ножницы. Расскажите, пожалуйста, как нужно обращаться с ножницами?

Ножницы должны лежать на столе в закрытом виде;

Передавать ножницы нужно кольцами вперед;

При работе ножницы должны лежать с правой стороны;

Не использовать ножницы без разрешения учителя.

№ 1:Что произойдёт с обычным кольцом, если его разрезать посередине?

Исходный материал - обычное кольцо, склеенное из полоски бумаги.

Результат разрезания кольца посередине - два отдельных обычных кольца.

№ 2: А если лист Мёбиуса разрезать посередине (то есть на 2 полоски)?

Исходный материал - лист Мёбиуса.

Результат разрезания кольца посередине - одно кольцо (Афганская лента)

№ 3: Каков результат разрезания листа Мёбиуса на 3 полоски?

Исходный материал - на обеих сторонах ленты на равном расстоянии от краев проводим по две пунктирные линии. Склеиваем лист Мёбиуса. Разрезаем по пунктирным линиям (на 3 полоски).

Результат разрезания - получается 2 кольца. Одно из них вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое перекручено. Оно получилось из краев исходной ленты. Другое - лист Мёбиуса - состоит из центральной части исходного листа Мёбиуса.

№ 4: Каков результат разрезания листа Мёбиуса на 4 полоски?

Исходный материал - лента шириной 4 см, на которой нанесен пунктир, отступив от края на 1 см, 2 см, 3 см. Сделаем из неё лист Мёбиуса. Разрезаем его по пунктиру (на 4 полосок).

Вывод: Результат разрезания - получим 2 больших кольца.

№ 5: Каков результат разрезания листа Мёбиуса на 5 полосок?

Исходный материал - лента шириной 5 см, на которой нанесен пунктир, отступив от края на 1 см, 2 см, 3 см и 4 см. Сделаем из неё лист Мёбиуса. Разрезаем его по пунктиру (на 5 полосок).

Вывод: Результат разрезания- получим 3 кольца: I - лист Мёбиуса -1 перекрут, ширина 1 см, длина равна длине исходного кольца. II, III - кольца с двумя перекрутами, ширина 1 см, длина в 2 раза больше исходного листа. II и III кольцо сцеплены с I кольцом и между собой.

№ 6: Каков результат разрезания листа Мёбиуса на 6 полосок?

Исходный материал - лента шириной 6 см, на которой нанесен пунктир, отступив от края на 1 см, 2 см, 3 см, 4 см, 5 см. Сделаем из неё лист Мёбиуса. Разрезаем его по пунктиру (на 6 полосок).

Вывод: Результат разрезания - получим 3 больших кольца.

Результаты опыта

На сколько полосок

разрезан лист

Мёбиуса

Что получилось при разрезании листа Мёбиуса

Большие

Маленькие

2

1

0

3

1

1

4

2

0

5

2

1

6

3

0

Вывод: проведя эксперименты мы заметили, что разрезая лист Мебиуса на четное число полос получаем только большие кольца, а если на нечетное - большие и маленькие (показать в таблице)

№ 7: Опыты (сердечки отдельные и соединенные)

Фокусы:

Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

Вот пример еще одного фокуса: фокусник вручает зрителю три больших бумажных кольца, каждое из которых получилось путем склеивания концов длинной ленты. Зритель разрезает ножницами первое кольцо вдоль ленты посередине, пока не вернется в исходную точку. В результате получаются два отдельных кольца. Разрезая таким же образом второе кольцо, он получает, к своему удивлению, не два кольца, а одно, которое вдвое длиннее исходного. Наконец, разрезая третье, он снова получает поразительный результат: два кольца, сцепленных друг с другом. Результат этого фокуса зависит от того, как были сомкнуты концы ленты перед склейкой. Первое наше кольцо получилось путем простого соединения концов ленты без перекручивание. Второе кольцо получается при соединении концов ленты, перекрученной один раз на 180ْ. Третье кольцо получилось при разрезании ленты, концы которой перекручивались перед склейкой дважды. Известно еще много фокусов с применением ленты Мебиуса.

Я предлагаю вам следующие опыты:

Фокус 1. Рамка для фото.

Как сделать рамку для фотографии?

Склеим обычное кольцо и ленту Мёбиуса под прямым углом и разрежем по пунктирной линии. В результате разрезания мы получим прямоугольник, который можно применить как фоторамку. Если проявить фантазию, и заменить ровный разрез бумаги на фигурный , то можно получить оригинальную рамку.

Фокус 2. Завязывания узлов

Как завязать на шарфе узел, не выпуская из рук его концов? Это можно сделать так. Положите шарф на стол. Скрестите руки на груди. Продолжая держать их в таком положении, нагнитесь к столу и возьмите поочередно по одному концу шарфа каждой рукой. После того как руки будут разведены, в середине шарфа сам собой получится узел. Пользуясь топологической терминологией, можно сказать, что руки зрителя, его корпус и шарф образуют замкнутую кривую в виде "трехлистного" узла. При разведении рук узел только перемещается с рук на платок.

2. Если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трехлистника.

Лиза:

Писатели-фантасты сочиняют о ленте Мебиуса произведения.

Чудесные ее свойства тут же породили множество многочисленных фантастических рассказов. В рассказе А. Дейча "Лента Мёбиуса" описывался случай в Нью-Йоркском метро. «Однажды случилось так, что пути метрополитена пересеклись, и весь он стал напоминать огромную ленту Мебиуса. Поезда один за другим стали исчезать, появляясь снова только через несколько месяцев.»

А Козьма Прутков подарил читателям афоризм: "Где начало того конца, которым оканчивается начало?".

Поэты посвящают ей стихи.

Лист Мебиуса - символ математики,

Что служит высшей мудрости венцом…

Он полон неосознанной романтики:

В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем - простота, и вместе с нею - сложность,

Что недоступна даже мудрецам:

Здесь на глазах преобразилась плоскость

В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,

Стремись вперед и открывай миры,

Почувствуй силу новых ощущений,

Прими познанья высшего дары…

Закончите фразы:--------посмотреть в начальной школе

НА уроке я узнал……

На уроке меня заинтересовало …

ВЫВОД:

«Мышление начинается с удивления»,- заметил 2500 лет назад Аристотель. А математика замечательный предмет для удивления.

Лист Мёбиуса - удивительный феномен. Мы увидели, что он в жизни пригодится, его можно исследовать до бесконечности, мы рассмотрели лишь некоторые его свойства. Надеемся, что мы вас заинтересовали и вы продолжите исследования этого непредсказуемого листа.

С того момента, как немецкий математик А. Ф. Мёбиус обнаружил существование удивительного одностороннего листа бумаги, начала развиваться целая новая ветвь математики, называемая топологией. Наука эта настолько сложная, что ее в школе не проходят. Только в институтах (и то не во всех!). Но кто знает, вдруг вы станете со временем знаменитым топологом и совершите не одно замечательное открытие. И быть может, какую-нибудь замысловатую поверхность назовут вашим именем.

Рефлексия. (смайлики)

Занятие наше подошло к концу

А теперь я попрошу встать тех, у кого изменилось настроение!

(Ребята подходят к доске и прикрепляют смайлики)