- Преподавателю
- Математика
- Конспект урока по геометрии 8 класс по теме
Конспект урока по геометрии 8 класс по теме
Раздел | Математика |
Класс | 8 класс |
Тип | Конспекты |
Автор | Куликова Е.Г. |
Дата | 20.12.2014 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Урок геометрии в 8 классе.
Учитель : Куликова Е.Г.
Тема : «Теорема Пифагора»
Цель урока:
- изучить теорему Пифагора
- показать применение теоремы Пифагора в решении задач;
- показать практическую значимость теоремы Пифагора;
-познакомить учащихся с историческими фактами из жизни Пифагора Самосского;
- установить факт существования других доказательств теоремы Пифагора.
Задачи урока:
Образовательные:
-
познакомить учащихся с интересными фактами биографии жизни и деятельности Пифагора;
-
рассмотреть определение теоремы Пифагора и изучить её доказательство;
-
расширить круг геометрических задач с применением теоремы Пифагора, решаемых учащимися.;
-
показать межпредметные связи геометрии, алгебры, истории, литературы.
Воспитательные:
-
совершенствование умений самостоятельной работы ( самообразования); усвоение методов творческой деятельности;
-
усвоение правил нравственного применения знаний и умений;
-
усовершенствование приёмов самоанализа и самооценки результатов деятельности;
-
обучение правилам общения в группах.
Развивающие:
-
развить нравственное воспитание учащихся;
-
развитие письменной и устной математической речью, мышления;
-
умение владеть основами публичных выступлений, совершенствование умственной деятельности: анализ, синтез, делать выводы, проводить межпредметную аналогию объектов, выдвигать гипотезы, проверять результаты.
Тип урока : урок совместного анализа нового учебного материала
Прогнозируемый результат:
-
знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника;
-
уметь доказывать теорему Пифагора;
-
уметь применять теорему Пифагора для решения задач.
План урока.
1.Организационный момент.
2. Актуализация знаний.
3. Целеполагание.
4. Мотивация ( Исторические странички из жизни Пифагора Самосского.
Исторические факты теоремы Пифагора) .
5. Практическая работа ( исследовательская).
5. Изучение доказательства теоремы Пифагора.
6. Решение задач с применение теоремы Пифагора (старинные задачи).
7. Подведение итогов.
Оборудование:
-
чертёжные инструменты;
-
портрет Пифагора;
-
«буклеты »: легенды о Пифагоре, нравственные заповеди пифагорейцев, исторические задачи пифагорова головоломка.
-
«раскладушка» с различными доказательствами теоремы Пифагора.
Технология: ИКТ
Используемые методы:
-
Беседа.
-
Исследовательская работа.
-
Фронтальный опрос.
-
Самопроверка.
-
Алгоритмические методы.
-
Синектика.
-
Групповая форма, работа в парах.
-
«Мозговой штурм».
-
Самоанализ.
-
Самостоятельная работа.
Ход урока.
I. Организационный момент урока ( 1 мин)
-Здравствуйте, ребята!
Слайд 1.
Садитесь. Зовут меня Куликова Елена Георгиевна!
Но прежде, чем приступить к занятиям, давайте определимся с темой сегодняшнего урока.
II. Актуализация ( 2 мин).
- Давайте разгадаем кроссворд простейших геометрических понятий, результаты ваших знаний помогут узнать тему урока. У вас на столах имеются листочки с геометрическим кроссвордом. Вы работаете в парах в течении 1 минуты.
Слайд 2-3.
п
я
м
о
й
р
и
а
г1
н
а
д
е
а
м2
ф
г
у
ра
а
и
4
м
т
е
о
р
е3
4
а
т
о
п
и
з
н
е
у5
0
р
а
с
ы
ь
л
в
т
к
а
са
и
с
с
е
о
б
и
г
у
е
т
р
т
и
н
к7 6
8
8
Вопросы кроссворда.
-
Угол, градусная мера которого 90 градусов?
-
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны треугольника?
-
Очертания на плоскости предмета называется геометрическая ……………………. на плоскости.
-
В математике каждое утверждение , справедливость которого устанавливается путём рассуждений- ……………………..
-
Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла-……………
-
Какая фигура получиться, если последовательно соединить три точки не лежащие на одной прямой?
-
Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, -………угла.
-
Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону - ……………..
Итак , кто из вас может сформулировать тему сегодняшнего урока?
Молодцы!
III. Целеполагание ( 1мин).
Слайд 4( тема урока)
Тема урока: «Теорема Пифагора»
Слайд 5.
Обратите внимание на содержание урока. Какие цели урока вы могли бы для себя определить?
(Выслушиваются ответы учащихся)
- Откройте, пожалуйста, тетради и запишите число, классная работа, тему урока!
IV. Мотивация ( 5 мин).
Слайд 6- 7( биография Пифагора Самосского)
- Послушайте высказывание.
- «Мысль превыше всего между людьми»
- «Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что нужно знать».
- Как вы думаете, какую основную мысль несут эти слова?
( Выслушиваются ответы учащихся)
- Эти слова принадлежат древнегреческому учёному Пифагору Самосскому. Он родился на острове Самос в VI веке до н. э.
Сегодня мы приступаем к изучению одной из важнейших теорем геометрии. Она является основой для решения множества геометрических задач и базой для дальнейшего изучения теоретического материала. Докажем эту теорему и решим несколько задач с её применение. Но сначала давайте познакомимся с историческими страничками из жизни Пифагора Самосского.
О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.
Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.
Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки.
Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне.
Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя.
В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю. Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:
-
теорема о сумме внутренних углов треугольника;
-
построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;
-
геометрические способы решения квадратных уравнений;
-
деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные;
-
введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;
-
доказательство того, что не является рациональным числом;
-
создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.
Сегодня абсолютно невозможно сказать, какие из сотен подобных заповедей восходят к самому Пифагору. Но совершенно очевидно, что все они выражают вечные общечеловеческие ценности, которые остаются актуальными всегда, покуда жив человек.
Пифагор был вегетарианцем и не употреблял в пищу мясо. Среди его братства была запрещена охота. Их рацион состоял из овощей, зерновых и воды. Но один овощ, а именно: бобы - Пифагор не любил, поэтому членам братства запрещалось даже притрагиваться к бобам.
Итак, вы познакомились с биографией Пифагора Самосского древнегреческого учёного. Пифагор сделал много важных открытий, на наибольшую славу принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя.
- Я вам прочитаю стихотворение, по смыслу которого, вы определите, относительно какой фигуры была открыта теорема Пифагора.
Зима раскрыла снежные объятья,
И до весны всё дремлет тут,
Только ёлки в треугольных платьях,
Только ёлки в треугольных платьях
Мне на встречу всё бегут, бегут, бегут.
(треугольник)
V. Практическая исследовательская работа (4 мин)
- Ребята, вы, что- либо слышали о теореме Пифагора?
- Я сейчас предлагаю вам побыть в роли учеников Пифагора и выполнить исследовательскую работу по результатам, которой вы сможете выдвинуть гипотезу по формулировке этой теоремы.
Итак, исследовательскую работу вы будете вести по вариантам. Посмотрите, пожалуйста, на слайд.
Слайд 8( практическая работа)
-
Изобразите у себя в тетрадях прямоугольный треугольник со сторонами (за единичный отрезок примите 1 клетку).
I ряд: 5см-гипотенуза, 4 см и 3см - катеты.
II ряд: 15 см - гипотенуза, 9 см и 12 см - катеты.
III ряд: 10 см - гипотенуза, 6 см и 8 см - катеты.
2.Возведите катеты в квадрат и найдите сумму степеней.
3. Возведите гипотенузу в квадрат.
4. Сравните результаты суммы степеней и квадрат гипотенузы.
Слайд 9. ( результаты практической работы)
- Как бы сформулировали вывод вашей исследовательской деятельности?
( Выслушиваются предположительные формулировки теорем)
VI . Изучение новой темы (10 мин)
Слайд 10. (геометрическая и геометрическая запись теоремы Пифагора).
-Вы уже познакомились в практической работе с геометрической интерпретацией теоремы Пифагора.
- Как бы вы изложили эту теорему алгебраической записью (формулой)? Молодцы! Дело в том, что вы сейчас сформулировали и на практике доказали знаменитую теорему Пифагора.
Существует шуточная формулировка теоремы. «Пифагоровы штаны во все стороны равны».
- Давайте обратим наше внимание на трактовку этой теоремы в современных учебниках;
-Сформулирована она так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».
- Записать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника АВС с катетами a , b и гипотенузой с можно следующим образом.
Слайд 11.
- Во времена Пифагора теорема звучала иначе:
- Попробуйте, проанализировать рисунок и сформулировать определение теоремы.
(Выслушиваются ответы учащихся)
Действительно, с2 - площадь квадрата, построенного на гипотенузе, а2 и b2 - площади квадратов, построенных на катетах. Итак, теорема звучала таким образом:
«Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах»
Слайд.12.
- Мы рассмотрели с вами определение теоремы Пифагора относительно произвольного прямоугольного треугольника. А какие гипотезы по определению формулировки теоремы Пифагора , вы можете предложить для равнобедренного треугольника?
В теореме Пифагора, для равнобедренных прямоугольных треугольников. Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника. А на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника. Из рисунка видно, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
Слайд13
Посмотрите-ка, вот они «Пифагоровы штаны во все стороны равны».
Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам - даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора.
Слайд14.
Вы многое уже узнали о Пифагоре и о теореме, рассмотрели геометрическую и алгебраическую интерпретацию теоремы Пифагора, но
Когда ж излишне доверяем зренью,
То можем впасть в обман.
А он сродни слепому заблужденью.
И даже самомненью.
М.Буонарроти.
- Как вы думаете, какую мысль хотел выразить поэт этими словами?
( Чертёж - рисунок не является доказательством)
- Так давайте, докажем теорему Пифагора в той формулировке, в которой она трактуется в современных школьных изданиях, но при этом используя другие пути доказательства.
Т
Дано :
Доказать: .
Доказательство:
S .
Достроим до квадрата со стороной
( a + b), имеем S =S= .
S=.
=;
что и требовалось доказать.
еорема: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.»
Контрольные вопросы:
- С чего начать рассуждения доказательства теоремы?
- Какие дополнительные построения необходимо выполнить?
- Чему равна площадь квадрат, построенного на катетах прямоугольного треугольника?
- Каким ещё способом можно найти эту площадь квадрата?
- Можно ли приравнять получившиеся выражения и почему?
- Какие алгебраические преобразования необходимо выполнить?
- Какие можно сделать выводы по доказанному вами в теореме?
- Молодцы вы успешно справились с доказательством теоремы Пифагора, но дело в том, что существует еще много доказательств этой теоремы, с ними вы сможете познакомиться по окончании нашего урока , используя информационную «раскладушку».
VI. Закрепление изученной темы. (9 мин)
Слайд.15- 16,17 ( устные задачи)
- Давайте попробуем применить теорему Пифагора при решении простейших устных задач.
Задача 1. Задача 2
- Составьте устно условие задачи: что дано, что надо найти?
- Какой элемент прямоугольного треугольника неизвестен?
- Составьте алгоритм решения задач?
Следующую задачу решим с записями в тетрадь. Желающие могут записать решить задачу у доски.
Задача 3.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 16 см. Найдите высоту, проведённую к основанию.
М
Решение.
- Ну , а теперь предлагаю вам посоревноваться в знаниях применения теоремы Пифагора. Допустим I ряд - это одна из школ Пифагора, II - вторая, и соответственно III - ряд - это третья школа Пифагора. Все вы так называемы е пифагорейцы , то есть ученики Пифагора. Каждая школа должна выдвинуть на роль учителя Пифагора - одного учащегося. Он и будет контролировать правильность выполнения заданий, которые вам предлагают учёные пифагорейцы.
Итак, на это задание отводится 4 минуты, после вы должны озвучить получившиеся ответы. У вас на столах лежит раздаточный материал старинные задачи, которые имели свое место ещё во времена Пифагора.
I ряд - «Историческая задача индийского математика VII века Бхаскары».
II ряд - задача из китайской «Математики в девяти книгах».
III- ряд задача из учебника «Арифметика » Леонтия Магницкого.
Случиться некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же твоя высота есть 117 стоп. Изобрете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, коли стоп сея лестница.
- Итак, школы готовы дать свои ответы?
- Учителя запишите получившиеся ответы на доску?
- А теперь проверим правильность решения старинных задач?
Слайд 19-24 ( с решениями старинных задач.)
- О применении теоремы Пифагора в других областях сферы деятельности человека, допустим в строительстве архитектурных зданий, вы можете узнать из информационного блока после урока.
Слайд 25 (головоломка)
- Я уже поняла, насколько вы активны в работе с геометрическими задачами аналитического характера, теперь посмотрим, как вы справитесь с заданием на воображение.
- У вас на столах, имеется конверт с бумажными фигурами, вам необходимо с помощью этих фигур сконструировать квадрат. Работаете вы в парах. Кто первый соберёт, покажет свой вариант сборки на доске.
VII. Подведение итогов ( 1 мин).
- Что нового вы узнали сегодня на уроке?
- С какой теоремой познакомились?
- Сформулируйте теорему Пифагора?
VIII. Домашнее задание. Изучить справочные материалы, подробнее познакомиться с другими доказательствами теоремы.
Слайд 26. ( спасибо за сотрудничество)
- Спасибо за активный, плодотворный урок.
ЛИТЕРАТУРА
-
Акимова С. Занимательная математика, серия "Нескучный учебник". - Санкт-Петербург. : "Тригон", 1997.
-
Волошников А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты. - М.: Просвещение, 1993.
-
Газета "Математика" № 17, 1996.
-
Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - 12-е изд. - М. : Просвещение, 2002.
-
Глейзер Г.И. История математики в школе. - М.: Просвещение, 1981.
-
Еленьский Ш. По следам Пифагора. М., 1961.
-
Журнал "Квант" № 2, 1992.
-
Журнал "Математика в школе" № 4, 1991.
-
Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.
-
Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе. М., 1963.
-
Геометрия. 7-9 классы.: учеб. Для общеобразоват. учреждений / [ Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др]- 19 -е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 384 c
-
Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М., 1990.
-
Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике. Минск, 1978.
-
Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П. Савин. - 3-е изд., испр. и доп. - М.: Педагогика-Пресс, 1997.
-
Энциклопедия для детей. Т.11. Математика / Глав. ред. М.Д. Аксёнова. - М.: Аванта+, 1998.
-
Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. - М., 1997.
Приложение 1
Актуализация. Кроссворд к уроку по теме: «Теорема Пифагора».
1
2
4
3
4
5
7 6
8
8
Вопросы кроссворда.
-
Угол, градусная мера которого 90 градусов?
-
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны треугольника?
-
Очертания на плоскости предмета называется геометрическая ……………………. на плоскости.
-
В математике каждое утверждение , справедливость которого устанавливается путём рассуждений- ……………………..
-
Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла-……………
-
Какая фигура получиться, если последовательно соединить три точки не лежащие на одной прямой?
-
Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, -………угла.
-
Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону - ……………..
Приложение 2.
К уроку по теме : «Теорема Пифагора»
ЗАПОВЕДИ ПИФАГОРЕЙЦЕВ
Пифагор заботился не только о научном развитии своих учеников, но и о духовном и нравственном развитии.
Вот некоторые из 325 Пифагоровых заповедей:
-
Мысль - превыше всего между людьми.
-
Сыщи себе верного друга; имея его, ты можешь обойтись без богов.
-
Юноша! Если ты желаешь себе жизни долгоденственной, то воздержи себя от пресыщения и всякого излишества.
-
Юные девицы! Помятуйте, что лицо лишь тогда бывает прекрасным, когда оно изображает изящную душу.
-
Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом.
-
Не пекись о скитании великого знания: из всех знаний нравственная наука, может быть, есть самая нужнейшая, но ей не обучаются.
-
Делай лишь то, что впоследствии не омрачит тебя и не заставит раскаиваться.
-
Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что нужно знать.
-
Не пренебрегай здоровьем своего тела.
-
Научись жить просто и без роскоши.
-
Через весы не шагай - избегай алчности.
-
Не садись на хлебную меру - не живи праздно.
-
Либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания.
-
Ласточек в доме не держи - не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык.
-
Не закрывай глаза, когда хочешь спать, не разобравши всех своих поступков за день.
-
По торной дороге не ходи - следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих.
I ряд - «Историческая задача индийского математика VII века Бхаскары».
II ряд - задача из китайской «Математики в девяти книгах».
III- ряд задача из учебника «Арифметика » Леонтия Магницкого.
Случиться некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же твоя высота есть 117 стоп. Изобрете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, коли стоп сея лестница.
Приложение 1
Актуализация. Кроссворд к уроку по теме: «Теорема Пифагора».
1
2
4
3
4
5
7 6
8
8
Вопросы кроссворда.
-
Угол, градусная мера которого 90 градусов?
-
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны треугольника?
-
Очертания на плоскости предмета называется геометрическая ……………………. на плоскости.
-
В математике каждое утверждение , справедливость которого устанавливается путём рассуждений- ……………………..
-
Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла-……………
-
Какая фигура получиться, если последовательно соединить три точки не лежащие на одной прямой?
-
Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, -………угла.
-
Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону - ……………..
Кроссворд.
1
2
4
3
4
5
7 6
8
8
Вопросы кроссворда.
-
Угол, градусная мера которого 90 градусов?
-
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны треугольника?
-
Очертания на плоскости предмета называется геометрическая ……………………. на плоскости.
-
В математике каждое утверждение , справедливость которого устанавливается путём рассуждений- ……………………..
-
Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла-……………
-
Какая фигура получиться, если последовательно соединить три точки не лежащие на одной прямой?
-
Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, -………угла.
-
Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону - ……………..
18