ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

«СЕМИЛУКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

М.Д. Евдокимова

методические указания

для практических занятий

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

для студентов 2-3 курсов

(специальность 230115 Программирование в компьютерных системах)

Семилуки

2014

Одобрено методическим советом ГОБУ СПО ВО «СГТЭК»

Автор-составитель: Евдокимова М.Д., преподаватель ГОБУ СПО ВО «СГТЭК»

Учебное пособие содержит указания для практических занятий по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика», являющейся естественно-научной дисциплиной. Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» и предназначены для студентов, обучающихся по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах.

© Евдокимова М.Д., 2014

©ГОБУ СПО ВО «СГТЭК»

Введение

Методические указания к выполнению практических занятий по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» предназначены для закрепления теоретических знаний, полученных на лекциях, а также для овладения студентами умений и навыков применять эти знания при самостоятельной работе.

Перечень практических занятий соответствует рабочей программе по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Выполнение студентами практических занятий по дисциплине проводится с целью:

- закрепления полученных теоретических знаний по дисциплине;

- углубления теоретических знаний в соответствии с заданной темой;

- формирования умений решать практические задачи;

- развития самостоятельности, ответственности и организованности;

- формирования активных умственных действий студентов, связанных с поисками рациональных способов выполнения заданий;

- подготовки к экзамену.

Методические указания выполняют функцию управления самостоятельной работой студента, поэтому каждое занятие имеет унифицированную структуру, включающую определение целей занятия, оснащения занятия, порядок выполнения работы, а также задания и контрольные вопросы для закрепления темы.

Содержание заданий практических занятий ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах и овладению профессиональными компетенциями:

ПК 1.1. Выполнять разработку спецификаций отдельных компонент.

ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.

ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.

ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.

В процессе освоения дисциплины у студентов должны формироваться общие компетенции:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОКЗ. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен уметь:

• Применять стандартные методы и модели к решению вероятностных и статистических задач

• Пользоваться расчетными формулами, таблицами, графиками при решении статистических задач

• Применять современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен знать:

• Основные понятия комбинаторики

• Основы теории вероятностей и математической статистики

В методических указаниях приведены теоретический (справочный) материал в соответствии с темой работы, обращение к которому поможет выполнить задания практической работы и сами задания.

Организация выполнения и контроля практических занятий по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» является подготовительным этапом к сдаче экзамена по данной дисциплине.

Нормы оценки знаний, умений и навыков обучающихся по математике

Оценка практических работ обучающихся по математике

Ответ оценивается отметкой «5», если:

• работа выполнена полностью;

• в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

• в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится в следующих случаях:

• работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

• допущены одна ошибка или есть два - три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставится, если:

• допущено более одной ошибки или более двух - трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

• допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Отметка «1» ставится, если:

• работа показала полное отсутствие у обучающегося обязательных знаний и умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена не самостоятельно.

Учитель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии обучающегося; за решение более сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предложенные обучающемуся дополнительно после выполнения им каких-либо других заданий

Общая классификация ошибок

При оценке знаний, умений и навыков учащихся следует учитывать все ошибки (грубые и негрубые) и недочёты.

Грубыми считаются ошибки:

• незнание определения основных понятий, законов, правил, основных положений теории, незнание формул, общепринятых символов обозначений величин, единиц их измерения;

• незнание наименований единиц измерения;

• неумение выделить в ответе главное;

• неумение применять знания, алгоритмы для решения задач;

• неумение делать выводы и обобщения;

• неумение читать и строить графики;

• неумение пользоваться первоисточниками, учебником и справочниками;

• потеря корня или сохранение постороннего корня;

• отбрасывание без объяснений одного из них;

• равнозначные им ошибки;

• вычислительные ошибки, если они не являются опиской;

• логические ошибки.

К негрубым ошибкам следует отнести:

• неточность формулировок, определений, понятий, теорий, вызванная неполнотой охвата основных признаков определяемого понятия или заменой одного - двух из этих признаков второстепенными;

• неточность графика;

• нерациональный метод решения задачи или недостаточно продуманный план ответа (нарушение логики, подмена отдельных основных вопросов второстепенными);

• нерациональные методы работы со справочной и другой литературой;

• неумение решать задачи, выполнять задания в общем виде.

Недочетами являются:

• нерациональные приемы вычислений и преобразований;

• небрежное выполнение записей, чертежей, схем, графиков.

Практическое занятие №1

«Применение стандартных методов и моделей к решению вероятностных задач. Решение задач на расчет количества выборок»

Цель работы:

• закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;

• научиться находить количество элементов в перестановке, сочетании и размещении элементов;

• научиться применять формулы комбинаторики при решении задач.

Теоретический материал

1. Принцип умножения

Пусть необходимо выполнить одно за другим одновременно r действий. Если первое действие можно вы­полнить n₁ способами, после чего второе - n₂ способами и т.д. до r - того действия, которое можно выполнить n_r способами, то все r действий вместе можно выполнить n₁, n₂…n_r способами.

Замечания к принципу умножения. Если на выполнение какого-либо из r действий наложено ограничение, то подсчет удобнее начи­нать с выполнения именно этого действия.

Размещения (упорядоченные выборки)

Пусть А - множество, состоящее из элементов а₁, а₂,…, а_n.

Упорядоченные наборы, состоящие из k элементов множество А, будем называть размещениями из n элементов множества А по k элементов.

- число размещений из n элементов по r элементов(r n).

Перестановки

Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов.

P_n - число перестановок из n элементов.

Сочетания (неупорядоченные выборки)

Неупорядоченные наборы, состоящие из k элементов множества А, называются сочетаниями из n элементов по k элементов. (kn).

Вариант 1

1. Проверьте равенство:

2. Решите уравнение:

3. В карточке спортлото 36 клеток. Играющий должен отметить 6. Каково число всех возможных вариантов?

4. Правление фирмы выбирает трех человек на различные должности из 10 кандидатов. Сколькими способами это можно сделать?

5. В премьер - лиге чемпионата страны по футболу 16 команд. Команды, занявшие 1,2,3 места, награждаются соответствующими медалями. А команды, занявшие 2 последних места, покидают премьер лигу Сколько различных итогов игр существует ?

6. На конференции по математике должны выступить 4. Сколькими способами их можно разместить в списке докладчиков?

7. Сколько различных «слов» можно составить, переставляя буквы слова «математика»?

Вариант 2

1. Проверьте равенство:

2. Решите уравнение:

3. Сколькими способами можно выбрать четырех человек на 4 различные должности из 15 кандидатов на эти должности?

4. Сколько трехзначных чисел можно из множества цифр 1,2,3,4,5,6 без повторений?

5. Из отделения военнослужащих 12 человек формируется караул, состоящий из начальника караула, его заместителя и трех караульных. Сколькими способами возможно сформировать такой караул?

6. Специалист по информационным технологиям ежедневно «посещает» 6 определенных сайтов в Интернете. Если порядок просмотра этих сайтов случаен, то сколько существует способов его осуществления?

7. Сколько различных «слов» можно составить, переставляя буквы слова «парабола»?

Вариант 3

1. Проверьте равенство:

2. Решите уравнение:

3. В группе 28 студентов. Сколькими способами можно избрать 6 делегатов на профсоюзную конференцию?

4. Студенту необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами это можно сделать?

5. На погранзаставе 40 рядовых и 8 офицеров. Сколькими способами можно составить наряд по охране границы, если он состоит из двух офицеров и четырех рядовых?

6. Сколькими способами можно расставить на полке 5 книг?

7. Сколько различных «слов» можно составить, переставляя буквы слова «информатика»?

Вариант 4

1. Проверьте равенство:

2. Решите уравнение:

3. Из 20 милиционеров необходимо составить наряд из 6 человек.. Сколькими способами это можно сделать?

4. Сколько можно изготовить трехцветных флажков, если использовать следующие цвета: белый, синий, красный, желтый, зеленый, черный?

5. В стройотряде 15 студентов. Сколькими способами можно их можно разбить на три бригады численностью 3, 7 и 5 человек?

6. В группе детского сада 10 детей. Сколькими способами их можно поставить в колонну?

7. Сколько различных «слов» можно составить, переставляя буквы слова «литература»?

Практическое занятие №2

«Применение стандартных методов и моделей к решению вероятностных задач. Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности»

Цели занятия:

• научиться находить вероятность события по классическому определению вероятности;

• научиться применять формулы комбинаторики при решении задач.

Теоретический материал

Классическое определение вероятности

Пусть некоторый опыт может приводить лишь к одному из конечного множества результатов. Эти результаты будем называть элементарными исходами. Предположим, что элементарные исходы удовлетворяют следующим условиям:

1. образуют полную группу, т.е. в каждом испытании обязан появиться какой-нибудь из этих исходов;

2. попарно несовместны, т.е. два различных элементарных исхода не могут появиться в одном испытании;

3. равновозможные, т.е. шансы на появление у всех элементарных исходов одинаковы.

В этих условиях может использоваться классическое определение вероятности.

Определение: Элементарные исходы, в которых появляются интересующее нас событие, называются благоприятными этому событию.

Определение: Вероятностью события А называются число P(А), равное отношению числа исходов испытания, благоприятствующих событию А к общему числу исходов:

где n -общее число исходов испытания, m -число исходов, благоприятствующих событию А.

Вариант 1

1. Из ящика, в котором 10 белых и 6 черных шаров, берут наудачу 3 шара. Какова вероятность того, что один из них белый, а два черных?

2. Собрание, на котором присутствуют 20 мужчин и 10 женщин, выбирают делегацию из четырех человек. Каждый может быть избран с равной вероятностью. Найти вероятность того, что в делегацию войдут 3 женщины?

3. Набирая номер телефона, абонент забыл три последние цифры, запомнив лишь, что они различные, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры?

4. 25 экзаменационных билетов содержат по две вопроса, которые не повторяются. Студент подготовил 45 вопросов. Какова вероятность того, что вытянутый студентом билет состоит из подготовленных им вопросов?

5. В мастерскую для ремонта поступило 15 телевизоров. Известно, что 6 из них нуждаются в общей регулировке. Мастер берет первые попавшиеся 5 телевизоров. Какова вероятность того, что 2 из них нуждаются в общей регулировке.

Вариант 2

1. Какова вероятность, что четырехзначный номер случайно взятого автомобиля в большом городе имеет все цифры различные?

2. Трехзначное число образовано случайным выбором трех неповторяющихся цифр из цифр 1, 2, 3, 4, 5. Какова вероятность того, что это число четное?

3. Среди 17 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрывается 7 пригласительных билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки?

4. Подлежат контролю 250 изделий, из которых 5 нестандартных. Какова вероятность того, что среди наудачу взятых для контроля 2-х изделий, одно окажется нестандартным?

5. У сборщика 10 деталей, из которых 4 одного типа, а 6 другого. Какова вероятность того, что взятые наудачу две детали окажутся разного типа?

Вариант 3

1. Партия состоит из 20 радиоприемников, из которых 5 неисправных. Для проверки отбираются три радиоприемника. Какова вероятность того, что среди них один неисправный, а две исправных?

2. В корзине находятся 5 красных и 4 синих мяча. Из корзины наудачу вынимают два мяча. Какова вероятность того, что они оба окажутся красными?

3. Из тридцати карточек с буквами русского алфавита наугад выбирают 4. Какова вероятность, сто эти карточки в порядке выхода составят слово «небо»?

4. Участник лотереи «Спортлото 5 из 36» отметил на карточке цифры 4, 12, 20, 31, 33. Найти вероятность того, что он угадал четыре цифры?

5. В круг вписан квадрат. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в круг, окажется внутри квадрата.

Вариант 4

1. Отрезок разделен на три равные части. На этот отрезок наудачу брошены три точки. Найти вероятность того, что на каждую из трех частей отрезка попадает по одной точке.

2. Из ящика, в котором 8 белых и 4 черных шаров, берут наудачу 3 шара. Какова вероятность того, что два из них белые, а один черный?

3. Из колоды в 52 карты берется наугад 4 карты. Найти вероятность того, что среди этих 4 карт будут представлены все четыре масти.

4. На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди них находится трехтомник А.С.Пушкина. Некто взял наудачу с полки 5 книг. Найти вероятность того, что среди этих пяти книг есть трехтомник Пушкина.

5. Секретных замок содержит на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 5 секторов с различными цифрами. Замок открывается только в том случае, если диски установлены так, что образуют определенное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок откроется.

Практическое занятие №3

«Вычисление вероятностей событий, используя теоремы сложения, умножения вероятностей»

Цели занятия:

• научиться применять стандартные методы и модели к решению вероятностных и статистических задач.

• научиться вычислять вероятности сложных событий, использую теоремы сложения и умножения вероятностей, вероятность противоположного события

• научиться применять формулы комбинаторики при решении задач.

Теоретический материал

Теорема умножения вероятностей

Теорема: Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

P(A^.B) = P(A)^.P(B).

Теорема: Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предложении, что первое уже наступило.

P(A ^.B) = P(A)^.P(BA).

Теорема сложения вероятностей несовместимых событий

Теорема: Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B) = P(A)+P(B).

Теорема: Если A и B - совместные события, то

P(A+B) = P(A)+P(B)-P(A ^.B).

Вероятность противоположного события

Несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта обязательно должно появиться хотя бы одно из этих событий, Отсюда следует, что сумма событий полной группы есть достоверное событие, вероятность которого равна единице.

Теорема: Два противоположных друг другу события образуют полную группу:

Пример: Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в 1-м, 2-м и 3-м справочниках, соответственно равна 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится:

а) только в одном справочнике;

б) только в двух справочниках;

в) во всех трех справочниках;

г) хотя бы в одном справочнике;

д) ни в одном справочнике.

Решение

Рассмотрим элементарные события и их вероятности:

A₁ - формула находится в 1-м справочнике, , ;

A₂ - формула находится во 2-м справочнике, , ;

A₃ - формула находится в 3-м справочнике, , .

Выразим через элементарные события и их отрицания все события а) - д) и применим теоремы сложения и умножения вероятностей:

а) Пусть событие A - формула содержится только в одном справочнике:

,

.

б) Пусть событие B - формула содержится только в двух справочниках:

.

Далее аналогично пункту а) получим, что

.

в) Пусть событие C - формула содержится во всех трех справочниках:,

.

г) Пусть событие D - формула не содержится ни в одном справочнике:,

.

д) Пусть событие E - формула содержится хотя бы в одном справочнике:

.

Для вычисления вероятности события E удобно воспользоваться формулой:

.

Вариант 1

1. Покупатель может приобрести акции трех компаний: A, B и C. Надежность первой оценивается экспертами на уровне 90 %, второй - 85 % и третьей - 91 %. Чему равна вероятность того, что а) только одна компания в течение года станет банкротом; б) по крайней мере две компании обанкротятся?

2. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что за смену первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9, второй - 0,8, третий - 0,75. Найти вероятность того, что за смену: а) только третий станок потребует внимания; б) хотя бы один станок потребует внимания рабочего.

3. В магазин вошли три покупателя. Вероятность того, что каждый что-нибудь купит, равна 0,3. Найти вероятность того, что: а) два из них совершат покупки; б) ни один не совершит покупок; в) по крайней мере два совершат покупки.

4. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй - 0,3, третий - 0,4. Найти вероятность того, что корреспондент услышит вызов радиста.

5. Найти вероятность того, что откажут два из четырех независимо работающих элементов вычислительного устройства, если вероятности отказа первого, второго, третьего и четвертого элемента соответственно равны 0,4; 0,3; 0,4; 0,2.

Вариант 2

1. Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии - 0,2, на втором - 0,35, на третьем - 0,15. Определить вероятность того, что акционер, имеющий акции всех предприятий, получит высокие дивиденды: а) на всех предприятиях; б) только на одном предприятии; в) хотя бы на оном предприятии.

2. Вероятность потери письма в почтовом отделении равна 0,03, а телеграммы - 0,01. Отправлено два письма и одна телеграмма. Какова вероятность того, что дойдет: а) только телеграмма; б) хотя бы одно из отправлений?

3. Покупатель может приобрести акции трех компаний: A, B и C. Надежность первой оценивается экспертами на уровне 81 %, второй - 92 % и третьей - 86 %. Чему равна вероятность того, что а) две компании обанкротятся; б) наступит хотя бы одно банкротство?

4. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность безотказной работы первого из них равна 0,75, второго - 0,85, третьего - 0,95. Найти вероятность того, что: а) откажут два станка; б) все три станка будут работать безотказно; в) хотя бы один станок откажет в работе.

5. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый и второй вопросы, равна 0,9, на третий - 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить: а) на все вопросы; б) по крайней мере на два вопроса билета.

Вариант 3

1. Агрегат имеет четыре двигателя и способен функционировать, если работают по крайней мере два из них. Вероятность выйти из строя первому двигателю - 0,01; второму - 0,02; третьему - 0,03 и четвертому - 0,04. Какова вероятность выйти из строя агрегату?

2. Предприятием послана автомашина за различными материалами на четыре базы. Вероятность наличия нужного материала на первой базе равна 0,9, на второй - 0,95, на третьей - 0,8, на четвертой - 0,6. Найти вероятность того, что только на одной базе не окажется нужного материала.

3. В магазин вошли три покупателя. Вероятность того, что каждый что-нибудь купит, равна 0,3. Найти вероятность того, что: а) все три покупателя совершат покупки; б) только один из них купит товар; в) хотя бы один купит товар.

4. На спортивных соревнованиях вероятность показать рекордный результат для первого спортсмена - 0,5, для второго - 0,3, для третьего - 0,1. Какова вероятность того, что: а) рекорд будет установлен одним спортсменом; б) рекорд будет установлен хотя бы одним спортсменом; в) рекорд не будет установлен.

5. Три орудия стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель каждого равна 0,7. Найти вероятность попадания в цель: а) только одного из орудий; б) хотя бы одного орудия.

Вариант 4

1. Станция метрополитена оборудована тремя независимо работающими эскалаторами. Вероятность безотказной работы в течение дня для первого эскалатора равна 0,9, для второго - 0,95, для третьего - 0,85. Найти вероятность того, что в течение дня произойдет поломка не более одного эскалатора.

2. Произведен залп по цели из трех орудий. Вероятности попадания в цель из каждого орудия соответственно равны 0,6, 0,7, 0,8. Найти вероятность поражения цели: а) хотя бы один раз; б) только один раз.

3. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что за смену первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9, второй - 0,8, третий - 0,75. Найти вероятность того, что за смену: а) только один станок потребует внимания; б) не более двух станков потребуют внимания рабочего.

4. Три студента сдают экзамен. Вероятность того, что отдельный студент сдаст экзамен на «отлично», равна для первого студента 0,7, для второго - 0,6, для третьего - 0,2. Какова вероятность того, что экзамен будет сдан на «отлично»: а) двумя студентами; б) хотя бы одним; в) ни одним?

5. По мишени производятся три независимых выстрела. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах равны соответственно 0,4, 0,5, 0,7. Какова вероятность того, что в мишень произойдет ровно одно попадание?

Практическое занятие №4

«Применение стандартных методов и моделей к решению вероятностных задач. Вычисление вероятностей сложных событий»

Цели занятия:

• научиться применять стандартные методы и модели к решению вероятностных и статистических задач.

• научиться вычислять вероятности событий, использую формулы полной вероятности и формулу Байеса.

• научиться вычислять вероятности событий в схеме Бернулли.

Теоретический материал

1. Формула полной вероятности

Пусть событие А происходит совместно с одним из событий (гипотез) Н₁, Н₂,… Н_n, которые образуют полную группу событий. Тогда справедлива формула полной вероятности события А :

,

где Р(Н_к) - вероятность гипотезы Н_к, Р(АН_к) - условная вероятность А, т.е. вероятность появления события А при условии, что произошла гипотеза Н_к .

2. Формула Байеса

Пусть вероятности гипотез до опыта были Р(Н₁), Р(Н₂),… Р(Н_n). В результате опыта появилось событие А . Тогда условная вероятность Р(Н_кА) гипотезы Н_к с учетом появления события А вычисляется по формуле Байеса:

.

Пример. На двух станках производят одинаковые детали, которые поступают на конвейер. Производительность первого станка в три раза больше производительности второго. Первый станок дает в среднем 80% деталей отличного качества, а второй -90%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того , что она изготовлена на втором станке.

Решение Пусть событие А - взятая наудачу с конвейера деталь отличного качества.

Гипотезы:

Н₁- деталь изготовлена на первом станке;

Н₂- деталь изготовлена на втором станке.

Вероятность гипотез до появления события А:

Р(Н₁)=3/4; Р(Н₂)=1/4.

Условные вероятности

Вероятности того, что взятая наудачу с конвейера деталь окажется отличного качества, т.е. вероятность события А, вычисляется по формуле полной вероятности:

Искомая вероятность того, что взятая деталь отличного качества изготовлена на втором станке, вычисляется по формуле Байеса:

3. Схема Бернулли. Формула Бернулли

Пусть производится n независимых однотипных испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью Р. Тогда вероятность непоявления события А, т.е. Р() равна q=1-p.

Вероятность того, что событие А произойдет в этих n независимых испытаниях ровно k раз, можно вычислить по формуле Бернулли

Для определения вероятности появления события A менее m раз (k < m), более m раз (k > m), хотя бы один раз () и т. п. могут быть использованы формулы:

,

,

.

Пример . Всхожесть семян данного растения равна 90 %. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.

Решение

а) Искомую вероятность находим с помощью формулы Бернулли (14), учитывая что , , , .

.

б) «Не менее трех» означает, что из четырех семян взойдут или три, или четыре. Так как эти события несовместны, то по теореме сложения искомая вероятность равна

.

4. Предельные теоремы для схемы Бернулли

Теорема Пуассона. (Отметим, что на практике эта теорема применяется при Это означает, что p должно быть очень малым числом). Пусть имеется n независимых испытаний с вероятностью р успеха в одном испытании и q- вероятностью неудачи. Тогда для любого фиксированного m справедливо соотношение

, где

Пример. Машинистка печатает текст, который содержит 20000 знаков. Каждый знак может быть напечатан неправильно с вероятностью 0.0004. Какова вероятность того, что в тексте не менее 3 опечаток?

Решение. Если опечатку считать успехом, то к этой задаче применима схема Бернулли при p=0.0004, n=20000. Поскольку λ=np=8, то можно использовать предельную теорему Пуассона. Поэтому, искомая вероятность равна 1-P_n⁰- P_n¹- P_n²=1-e^-8- 8 e^-8-(64/2) e^-8= 1-41 e^-8=0.986.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пусть имеется n независимых испытаний с вероятностью успеха p, , в одном испытании и - вероятностью неудачи. Величина не зависит от n. Тогда .для любых вещественных чисел a<b при

P(a<<b )=Φ(b)- Φ(a).

Здесь Φ(x)=- функция Лапласа, значения которой заданы в таблицах.

Пример. При рождении ребенка вероятность рождения мальчика равна 0.512. Найти вероятность того, что среди 1000 новорожденных мальчиков родится больше, чем девочек.

Решение. Пусть A - это событие, соответствующее вопросу задачи, m - это число рожденных мальчиков. Нетрудно видеть, что P(A) = P(m>500). Поскольку n=1000 можно считать достаточно большим, то применим интегральную теорему Муавра-Лапласа, согласно которой

P(A)=P(

Вариант 1

1. На каждом из трех станков изготовили по 100 однотипных деталей. Все детали сложили в один ящик. Известно, что продукция первого станка содержит в среднем 3% брака, а 2-го и 3-го станков по 2% брака. Найти вероятность того, что взятая науда­чу из ящика деталь окажется набракованной.

2. Партия состоит из 70% вентиляторов рижского завода и 30% вентиля­торов московского завода. Для вентилятора рижского завода вероятность, выдержать гарантийный срок равна 0,92, для вентиляторов московского завода эта вероятность равна 0,95. Наудачу взятый из партии вентилятор выдержал гарантийный срок. Найти вероятность того, что вентилятор московского завода.

3. На сборку поступило 1000 изделий с первого автомата, 2000 со второго и 2500 с третьего. Первый автомат дает 0,3% брака, второй - 0,4%, третий - 0,2%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали.

4. В батарее из 10 орудий имеется одно непристрелянное. Вероятность попадания из него равна 0,25. Остальные орудия, пристрелян­ные с одинаковой вероятностью попадания равной 0,6. Произведен один выстрел, в результате чего цель поражена. Какова вероятность того, что выстрел сделан из непристрелянного орудия?

5. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника не менее 3 партий из 4 или не менее 5 из 8?

6. В течение года за индивидуальной консультацией по математике обращаются в среднем 40 % студентов-первокурсников. Найти вероятность того, что в данном учебном году из 800 студентов этого курса за консультацией обратятся: а) 350 человек; б) не менее 340.

Вариант 2

1. Первый станок производит 45% всех болтов, а второй - 55%. В продукции первого станка брак составляет 2%, а в продукции второго - 3%. Какова вероятность, что случайно взятый болт окажется годным?

2. Противник применяет самолеты пяти типов. Известно, что на данном участке фронта сосредоточено примерно равное число са­молетов каждого типа. Вероятности сбить самолет при проходе над оборонительной зоной соответственно равны для них 0,6; 0,3; 0,2; 0,1; 0,1. Самолет противника, прорывавшийся через оборонительную зону, сбит. Чему равна вероятность того, что это самолет первого типа?

3. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить норму мастера спорта равна: для лыжника 0,9, для велосипедиста 0,8 и для бегуна 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, вызванный наудачу, выполнит норму мастера спорта.

4. На первом станке обрабатывается 80% всей продукции, а на втором - 20%. Первый станок дает 99% качественной продукции, а вто­рой - 96%. Проверенное изделие оказалось бракованным. Какова веро­ятность того, что оно обрабатывалось на втором станке?

5. Каждое из 8 предприятий отрасли выполняет месячный план с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что в конце месяца план выполнят 6 предприятий.

6. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,9. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) ровно 86 раз; б) более 90 раз.

Вариант 3

1. Прибор может работать в двух режимах. Нормаль­ный режим наблюдается в 80% всех случаев, ненормальный - в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном ре­жиме равна 0,1, а в ненормальном - 0,7. Найти полную вероятность выхода из строя прибора за время t.

2. Среди поступающих на сборку деталей с первого автомата -1% бракованных, со второго автомата - 2%, с третьего - 2%, с чет­вертого - 3%. Производительности автоматов относятся, как 4:3:2:1 соответственно. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Най­ти вероятность того, что её изготовил третий автомат.

3. Одинаковые детали изготовляются на трех стан­ках: 25% на первом, 30% на втором и 45% на третьем. В продукции станков брак составляет соответственно 4%, 3%, 2%. Какова вероят­ность, что случайно взятая деталь окажется стандартной?

4. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродви­гатель. На складе имеются электродвигатели заводов №1, № 2 и №3 соответственно в количестве 19, 6 и 11 штук, которые могут безот­казно работать до конца гарантийного срока соответственно с ве­роятностями 0,65, 0,76 и 0,71. Рабочий берет случайно электродви­гатель и монтирует его к устройству. Найти вероятность того, что смонтированный и безотказно работающий до конца гарантийного сро­ка электродвигатель поставлен заводом № I, 2 или 3.

5. Какова вероятность того, что при бросании семи игральных костей шестерка выпадет трижды?

6. Швейная фабрика выпускает в среднем 96 % продукции отличного ткачества. За смену сшито 150 костюмов. Найти вероятность того, что при проверке среди них окажутся отличного качества: а) 146 костюмов; б) не менее 146 костюмов.

Вариант 4

1. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных, во втором - 30 деталей из них 24 стандартных, в третьем - 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь из произвольно выбранного ящика оказалась стандартной.

2. В магазин поступили заводные машины с трех фабрик: 150 машин с первой фабрики, 200 машин со 2-й и 250 машин с 3-й. Вероятность того, что игрушка 1-й фабрики не имеет брака, равна 0,7, для 2-й фабрики эта вероятность равна 0,8, а для 3-й - 0,9. Наудачу купленная в магазине машина оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена на 1-йфабрике?

3. Первый цех выпускает 80% продукции первым сор­том, а второй цех - 85%. В ящике находится 20 изделий первого це­ха и 10 изделий второго цеха. Какова вероятность того, что наудачу вынутое из ящика изделие окажется первосортным?

4. Получены три партии изделий одного образца. В первой партии - 20%бракованных изделий, а в двух других - десятая часть. Из произвольно выбранной партии извлечено бракованное изделие. Найти вероятность того, что оно извлечено из партии с наибольшим процентом брака.

5. Бросают 19 монет. Какое число выпавших гербов более вероятно: 10 или 9.

6. В среднем 35 % студентов сдают экзамен по математике на оценки «хорошо» и «отлично». Какова вероятность того, что из 100 человек, сдающих экзамен по математике, такие оценки получат: а) 42 человека; б) от 25 до 40 человек?

Практическое занятие №5

«Решение задач на запись ДСВ»

Цель занятия:

• научиться применять стандартные методы и модели к решению вероятностных и статистических задач.

• научиться записывать функцию распределения ДСВ, заданную рядом распределения;

• научиться составлять ряд распределения ДСВ, суммы ДСВ.

Теоретический материал

Определение: Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта примет одно и только одно возможное значение, при этом зара­нее неизвестно, какое именно.

Определение: Дискретной называют случайную величину, которая принимает от­дельные, изолированные значения.

Определение: Законом распределения ДСВ называется соотношение между ее возможными значениями и их вероятностями (т. е. вероятностями, с которыми случайная величина принимает эти возможные значения).

Закон распределения может быть задан формулой (формулы Бернулли, Пуассона и др.), таблицей или графиком, а также функцией распределения.

называется законом или рядом распределения дискретной случайной величины.

Пример 1. Построить ряд распределения случайной величины - числа выпадений орла при трех подбрасываниях монеты.

Решение. Случайная величина может принять четыре различных значения: 0, 1, 2, 3. Найдем вероятности этих значений по формуле Бернулли:

Следовательно, ряд распределения:

Определение: Функцией распределения случайной величины называется функция , определяющая вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее .

Пример: Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность р₃. Построить функцию распределения. Найти числовые характеристики с.в.

Решение:

Проверим тождество

0,2+0,3+р₃+0,1=1.

р₃=0,4.

Построим функцию распределения этой случайной величины.

Имеем:

Вариант 1

1. Случайная величина подчиняется закону распределения

x

1

2

3

4

5

p(x)

0,1

0,3

0,15

Р₄

0,2

Найти вероятность р₄. Построить функцию распределения.

2. Составить ряд распределения случайной величины - числа отказавших приборов за время испытания на надежность, если испытанию подвергалось 4 прибора, а вероятность отказа каждого равна 0,2.

3. Экзаменатор задает студенту не более четырех дополнительных вопросов. Вероятность того, что студент ответит на любой вопрос, равна 0,9. Преподаватель прекращает экзаменовать студента, как только студент обнаружит незнание заданного вопро­са. Составить ряд распределения случайной величины - числа допол­нительных вопросов, заданных студенту.

4. Случайные величины Х и Y подчиняются законам распределения

x

1

2

3

4

у

0

1

2

3

p(x)

0,3

0,3

0,1

0,3

p(у)

0,3

0,3

0,2

0,2

Построить ряд распределения случайной величины Х+Y.

Вариант 2

1. Случайная величина X задана функцией распределения

x

1

3

5

7

9

p(x)

0,25

0,1

Р₃

Р₄

0,2

Найти вероятности р₃, р₄, если р₃=2р₄.Построить функцию распределения.

2. Батарея состоит из трех орудий. Вероятности по­падания в цель при одном выстреле из 1-го, 2-го, 3-го орудия рав­ны соответственно 0,5; 0,6; 0,8. Каждое из орудий стреляет по не­которой цели один раз. Построить ряд распределения случайной ве­личины числа попаданий в цель.

3. Шесть однотипных приборов испытывают на перегру­зочных режимах. Вероятности для каждого прибора пройти испытание равны 0,7. Испытание заканчивается после выхода из строя первого же прибора. Построить ряд распределения числа произведенных испы­таний

4. Случайные величины X и Y заданы функциями распределения

x

1

2

3

5

у

0

1

4

5

p(x)

0,2

0,4

0,2

0,2

p(у)

0,2

0,4

0,15

0,25

Построить функцию распределения случайной величины Х+Y.

Вариант 3

1. Случайная величина X задана функцией распределения

x

2

4

6

8

10

p(x)

0,1

0,2

Р₃

0,3

0,1

Найти вероятность р₃. Построить функцию распределения.

2. Партия, насчитывающая 20 изделий, содержит 5 бра­кованных. Из этой партии случайным образом взято 4 изделия. Тре­буется построить ряд распределения числа бракованных изделий, содержащихся в выборке.

3. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа, станок не потребует внимания рабочего, равна для 1-го станка 0,7, для 2-го - 0,75, для 3-го - 0,8 и для 4-го - 0,9. Построить рад распределения слу­чайной величины - числа станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа.

4. Случайные величины X и Y заданы функциями распределения

x

0

1

3

4

у

1

2

4

5

p(x)

0,2

0,3

0,1

0,5

p(у)

0,1

0,4

0,2

0,3

Построить функцию распределения случайной величины Х+Y.

Вариант 4

1. Случайная величина подчиняется закону распределения

x

3

6

9

12

15

p(x)

0,1

0,2

0,1

Р₄

0,2

Найти вероятность р₄. Построить функцию распределения.

2. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов тако­вы: 0,3 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6. Составить ряд распределения числа отказавших приборов.

3. В цехе брак составляет 5% всех изделий. Соста­вить ряд распределения числа бракованных изделий из трех взятых наудачу.

4. Случайные величины X и Y заданы функциями распределения

x

1

3

4

6

у

0

1

2

3

p(x)

0,2

0,2

0,3

0,3

p(у)

0,5

0,1

0,2

0,2

Построить функцию распределения случайной величины Х+Y.

Практическое занятие №6

«Вычисление числовых характеристик ДСВ»

Цель занятия:

• научиться применять стандартные методы и модели к решению вероятностных и статистических задач.

• научиться вычислять числовые характеристики ДСВ.

Теоретический материал

1. Математическое ожидание ДСВ

Определение: Математическое ожидание ДСВ находится по формуле:

Вероятностный смысл этого выражения таков: при большом числе измерений среднее значение наблюдаемых значений величины Х приближается к ее математическому ожиданию.

Механический смысл этого равенства заключается в следующем: математическое ожидание есть абсцисса центра тяжести системы материальных точек, абсцис­сы которых равны возможным значениям случайной величины, а массы - их вероятностям.

2. Дисперсия ДСВ

Определение: Дисперсия случайной величины Х есть

Дисперсию случайной величины Х иногда удобнее вычислять по формуле

.

Вероятностный смысл Дисперсия случайной величины Х есть характеристика рассеива­ния разбросанности значений случайной величины около ее математи­ческого ожидания. Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины.

3. Среднее квадратическое отклонение

Для более наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, имеющей размерность самой случайной величины. Поэтому вводится понятие среднего квадратического отклонения: .

Пример: Случайная величина X задана функцией распределения

x

1

2

3

4

p(x)

0,2

0,3

Р₃

0,1

Найти вероятность р₃. Найти числовые характеристики с.в.

РЕШЕНИЕ:

Проверим тождество

0,2+0,3+р₃+0,1=1.

р₃=0,4.

Найдем числовые характеристики случайной величины Х:

М(Х)=1^.0,2+2^.0,3+3^.0,4+4^.0,1=0,2+0,6+1,2+0,4=2,4.

Для вычисления дисперсии применим формулу: .

М(Х² )=1^2. 0,2+2^2.0,3+3^2.0,4+4^2.0,1=0,2+1,2+3,6+1,6=6,6.

.

Вариант 1

1. Случайная величина подчиняется закону распределения

x

1

2

3

4

5

p(x)

0,1

0,3

0,15

Р₄

0,2

Найти вероятность р₄.Найти числовые характеристики с. в. Х.

2. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,1. Из партии контролер берет деталь для проверки на качест­во. Если она окажется нестандартной, партия задерживается. Если деталь окажется стандартной, то контролер берет следующую деталь. Всего проверяется не более пяти деталей. Вычислить числовые характеристики числа проверяемых деталей.

3. В благоприятном режиме устройство выдерживает три применения без регулировок, перед четвертым его приходится регулировать. В неблагоприятном режиме его приходится регулиро­вать после первого же применения. Вероятность того, что устройст­во попадает в благоприятный режим, равна 0,7, в неблагоприятный - 0,3. Рассматривается случайная величина - число применений устрой­ства до регулировки. Найти ее числовые харак­теристики.

4. По заданной функции распределения случайной величины найти ее числовые характеристики:

Вариант 2

1. Случайная величина X задана функцией распределения

x

1

3

5

7

9

p(x)

0,25

0,1

Р₃

Р₄

0,2

Найти вероятности р₃, р₄, если р₃=2р₄. Найти числовые характеристики случайной величины Х.

2. В устройстве, содержащем 6 радиоламп (все лам­пы различные), перегорела одна лампа. С целью устранения неисправ­ности наудачу выбранную лампу заменяют заведомо годной из запас­ного комплекта, после чего сразу проверяют работу устройства. Со­ставить ряд распределения числа замен ламп. Найти числовые харак­теристики этой случайной величины.

3. Испытывается надежность четырех приборов. Если очередной прибор не прошел испытание, то испытания прекращаются. Найти числовые характеристики случайного числа испытанных приборов, если вероятность выдержать испытание для каждого прибора, равна 0,9.

4. По заданной функции распределения случайной величины найти ее числовые характеристики:

Вариант 3

1. Случайная величина X задана функцией распределения

x

2

4

6

8

10

p(x)

0,1

0,2

Р₃

0,3

0,1

Найти вероятность р₃.Найти числовые характеристики с.в. Х.

2. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,1. Для проверки на качество ОТК берет из партии не более четырех деталей. При обнаружении нестандартной детали вся партия задерживается. Найти числовые характеристики числа подвергшихся проверке деталей.

3. Пять однотипных приборов испытываются при пере­грузочных режимах. Вероятность пройти испытание для каждого при­бора равна 0,85. Испытания заканчиваются после выхода из строя первого же прибора. Построить ряд распределения случайной величи­ны- числа произведенных испытаний. Найти числовые характеристи­ки.

4. По заданной функции распределения случайной величины найти ее числовые характеристики:

Вариант 4

1. Случайная величина подчиняется закону распределения

x

3

6

9

12

15

p(x)

0,1

0,2

0,1

Р₄

0,2

Найти вероятность р₄. Найти числовые характеристики с.в. Х.

2. В нашем распоряжении четыре лампочки, каждая из которых имеет дефект с вероятностью 0,08. Для отбора одной год­ной лампочки каждая: лампочка ввинчивается в патрон. При включении тока дефектная лампочка сразу же перегорает. Построить ряд распре­деления случайной величины - числа лампочек, которое будет испро­бовано. Найти ее числовые характеристики.

3. В ящике семь изделий, одно из которых бракован­ное. Из ящика извлекают одно изделие за другим, пока не обнаружат брак. Найти числовые характеристики случайной величины - числа вы­нутых изделий.

4. По заданной функции распределения случайной величины найти ее числовые характеристики:

Практическое занятие №7

«Нахождение интегральной функция распределения НСВ»

Цель работы:

• закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;

• научиться вычислять вероятности и интегральную функцию с помощью функции плотности НСВ.

Теоретический материал

Определение: Функция F(x) называется функцией распределения с.в.Х или интегральной функцией.

Например, значение функции F(x) при х=2 равно вероятности того, что с.в. Х в результате испытания примет значение, меньшее двух, т.е. F(2)=Р(Х<2).

Определение: С. в. называется непрерывной (НСВ), если ее функция распределения F(x) является непрерывной функцией.

Свойства функции распределения:

1. F(x)- неубывающая функция;

2. ; ;

3. Р(а≤Х<в)= F(в)-F(а).

Определение: Функция f(x)= F′(x) называется плотностью распределения вероятностей НСВХ.

Зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределения F(x) по формуле

F(x)= .

Пример:

Дана плотность распределения случайной величины X:

Требуется:

а) найти параметр A;

б) функцию распределения случайной величины X;

в) построить график функции распределения;

г) найти вероятность попадания случайной величины X в интервал .

Решение:

а) Параметр A подберем так, чтобы выполнялось свойство (2) плотности распределения:

.

, .

Отсюда .

б) Функцию распределения будем искать на каждом интервале отдельно.

Для значений

,

Для значений

.

Для значений

.

Таким образом,

в) График этой функции изображен на рисунке.

г) Вероятность попадания случайной величины X в интервал вычисляем по формуле:

:

.

Вариант 1

1. Дана плотность распределения f(x) случайной величины X.

 = -1,8;  = 0,6.

Требуется:

а) найти параметр c;

б) функцию распределения случайной величины X;

в) построить графики функции распределения и плотности распределения;

г

) вероятность попадания случайной величины X в интервал .

2. С.в. Х задана функцией распределения

1. Найти f(x), М(Х), Д(Х).

2. Построить графики функций f(x), F(x).

3. Вычислить Р(1,5<X<2.5).

Вариант 2

1. С.в. Х задана функцией распределения

1. Найти f(x).

2. Построить графики функций f(x), F(x).

3. Вычислить Р(0.5<X<1.5).

2. Дана плотность распределения f(x) случайной величины X.

 = 6,2;  = 10,5.

Требуется:

а) найти параметр c;

б) функцию распределения случайной величины X;

в) построить графики функции распределения и плотности распределения;

г) вероятность попадания случайной величины X в интервал .

Вариант 3

1. С.в. Х задана функцией распределения

1. Найти f(x).

2. Построить графики функций f(x), F(x).

3. Вычислить Р(2,5<X<3,5).

2. Дана плотность распределения f(x) случайной величины X.

 = 1,2;  = 1,5.

Требуется:

а) найти параметр c;

б) функцию распределения случайной величины X;

в) построить графики функции распределения и плотности распределения;

г) вероятность попадания случайной величины X в интервал .

Вариант 4

1. С.в. Х задана функцией распределения

1. Найти f(x).

2. Построить графики функций f(x), F(x).

3. Вычислить Р(Х≥3).

2. Дана плотность распределения f(x) случайной величины X.

 = 1,3;  = 3,7.

Требуется:

а) найти параметр c;

б) функцию распределения случайной величины X;

в) построить графики функции распределения и плотности распределения;

г) вероятность попадания случайной величины X в интервал .

Практическое занятие №8

«Вычисление характеристик НСВ с помощью функции плотности»

Цели занятия:

• научиться применять стандартные методы и модели к решению вероятностных и статистических задач.

• научиться вычислять характеристики НСВ с помощью функции плотности.

Теоретический материал

Числовые характеристики НСВ

Математическое ожидание с.в. Х находится по формуле

, если сходится несобственный интеграл.

Дисперсией с.в. Х называют несобственный интеграл

, если он сходится.

Для вычисления дисперсии более удобна следующая формула:

Пример. Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение с.в. Х.

Решение: Воспользуемся определениями.

.

.

.

.

Вариант 1

3. С.в. Х задана функцией распределения

4. найти f(x).

5. вычислить числовые характеристики с.в.Х.

6. вычислить Р(0.5<X<1.5).

4. Дана плотность распределения f(x) случайной величины X.

 = 6,2;  = 10,5.

Требуется:

1. найти параметр c;

2. вычислить числовые характеристики с.в.Х.

3. вероятность попадания случайной величины X в интервал .

Вариант 2

3. С.в. Х задана функцией распределения

4. найти f(x).

5. вычислить числовые характеристики с.в.Х.

6. вычислить Р(Х≥3).

4. Дана плотность распределения f(x) случайной величины X.

 = 1,3;  = 3,7.

Требуется:

1. найти параметр c;

2. вычислить числовые характеристики с.в.Х.

3. вероятность попадания случайной величины X в интервал .

Вариант 3

3. Дана плотность распределения f(x) случайной величины X.

 = -1,8;  = 0,6.

Требуется:

1. найти параметр c;

2. вычислить числовые характеристики с.в.Х.

3. вероятность попадания случайной величины X в интервал .

4. С.в. Х задана функцией распределения

1. найти параметр c;

2. вычислить числовые характеристики с.в.Х.

3. вычислить вероятность Р(1,5<X<2.5).

Вариант 4

3. С.в. Х задана функцией распределения

4. Найти f(x).

5. Построить графики функций f(x), F(x).

6. Вычислить Р(2,5<X<3,5).

4. Дана плотность распределения f(x) случайной величины X.

 = 1,2;  = 1,5.

Требуется:

1. найти параметр c;

2. вычислить числовые характеристики с.в.Х.

3. вероятность попадания случайной величины X в интервал .

Практическое занятие №9

«Вычисление вероятностей для нормального распределения»

Цель занятия:

• закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;

• научиться вычислять вероятности для нормально распределенной величины.

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина X имеет нормальное распределение (или распределение Гаусса), если ее плотность распределения имеет вид:

.

Постоянные a и  ( > 0) называются параметрами нормального распределения и представляют собой соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины X, т. е.

, . .

Функция распределения нормальной случайной величины

связана с функцией Лапласа соотношением

.

где - функция Лапласа, таблицу значений которой можно найти в приложениях.

Замечание: Ф(х) - функция нечетная, т.е. Ф(-х)=-Ф(х).

Поэтому для нормальной случайной величины справедлива формула

.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормальной случайной величины меньше положительного числа , равна:

.

В частности,

.

Отсюда следует «правило трех сигм»: если случайная величина X имеет нормальное распределение, то отклонение этой случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превышает утроенное среднее квадратическое отклонение (3).

Нормальный закон - наиболее часто встречающийся закон распределения, он является предельным законом, к которому, при определенных условиях, приближаются другие законы распределения.

Пример 1. Нормально распределенная случайная величина X задана плотностью вероятности . Требуется найти:

а) математическое ожидание и дисперсию X;

б) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу ;

в) вероятность того, что абсолютная величина отклонения X от математического ожидания окажется меньше 5.

Решение.

а) Сравнив данную функцию с плотностью нормального распределения, заключаем, что , . Следовательно, , .

б) Воспользуемся формулой .

В нашем случае , ,  = 3;  = 10.

.

Значения и определили по таблице значений функции Лапласа.

в) Воспользуемся формулой , где , ,  = 5.

.

Пример 2: Ошибка измерительного прибора - случайная величи­на, распределенная по нормальному закону, со средним квадратическим отклонением 3 мк. Систематическая ошибка прибора отсутствует. Какова вероятность того, что в независимом измерении ошибка окажется в интервале (0 ; 2,4)?

Решение: Вычислим вероятность того, что в результате измерения случайная, величина Х - ошибка измерительного прибора будет принадлежать интервалу (0 ; 2,4):

Здесь математическое ожидание a=0 (так как систематическая ошибка отсутствует, то среднее значение ошибки при большом числе измерений будит равно нулю).

Ф(0)=0, Ф(0,8)=0,2881 находим по таблице Лапласа.

Вариант 1

1. Нормально распределенная случайная величина X задана плотностью вероятности f(x). Требуется найти:

а) математическое ожидание и дисперсию X;

б) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу ;

в) вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше .

 = 5;  = 24;  = 10.

2. Среднее квадратическое отклонение ошибок изме­рения дальности радиолокатором равно 25 м, а систематическая ошибка отсутствует. Определить вероятность получения ошибки измерения дальности, по абсолютной величине, не превосходящей 20 м.

3. Предполагается, что дальность полета снаряда распределена нормально с математическим ожиданием 1000 м и средним квадратическим отклонением 50м. Найти вероятность того, что снаряд даст перелет от 40 до 60м.

4. Производится стрельба по наземной цели снарядами, снабженными радио взрывателями. Номинальная высота подрыва снаряда, на которую рассчитан взрыватель, равна а, но фактически имеют место ошибки в высоте, распределенные по нормальному закону со сред­ним квадратическим отклонением а/2. (систематической ошибки нет). Если взрыватель не сработает над землей, взрыва снаряда во­обще не происходит. Найти вероятность того, что при стрельбе тре­мя снарядами ни один снаряд не разорвется на высоте более 1,2 а.

Вариант 2

1. Нормально распределенная случайная величина X задана плотностью вероятности f(x). Требуется найти:

а) математическое ожидание и дисперсию X;

б) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу ;

в) вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше .

 = 5;  = 28;  = 12

2. Самолет сбрасывает одну бомбу на железнодорожный мост, ширина которого 10 м. Направление захода самолета вдоль мос­та. Прицеливание по средней линии моста. Среднее квадратическое отклонение равно 35м. Систематические ошибки отсутствуют. Найти вероятность попадания в мост.

3. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону . Если стандартная длина равна m=40 см и среднее квадратическое отклонение σ=0,4 см, то какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,8?

4. Длина детали представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону, со средним значением 20 см и дисперсией , равной 0,04 см². На станке изготовили две де­тали. Найти вероятность того, что длина деталей заключена между19,5 см и 20,5 см.

Вариант 3

1. Нормально распределенная случайная величина X задана плотностью вероятности f(x). Требуется найти:

а) математическое ожидание и дисперсию X;

б) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу ;

в) вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше .

 = 10;  = 15;  = 4

2. Производится два независимых измерения прибором, имеющим систематическую ошибку 5 м и среднее квадратическое откло­нение 6 м. Какова вероятность того, что измеренные значения будут отклоняться от истинного по абсолютной величине не более, чем на 15 м?

3. Производится выстрел по полосе автострады. Шири­на полосы 20 м. Прицеливание производится по средней линии полосы. Систематическая ошибка отсутствует. Среднее квадратическое откло­нение точки попадания в направлении, перпендикулярном полосе, равно 16 м. Найти вероятность попадания в полосу.

4. Деталь считается годной, если отклонение её конт­ролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 5 мм и математическим ожиданием, равным нулю. Найти вероятность изготовления годной детали.

Вариант 4

1. Нормально распределенная случайная величина X задана плотностью вероятности f(x). Требуется найти:

а) математическое ожидание и дисперсию X;

б) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу ;

в) вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше .

 = 8;  = 20;  = 8

2. Размер цилиндрa деталей является случайной вели­чиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожида­нием 5см и дисперсией 0,81см² . Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали лежит между 4 и 7 см.

3. Производится одно измерение прибором, имеющим систематическую ошибку 5 м и среднее квадратическое отклонение 6 м. Какова вероятность того, что измеренное значение будет отклонять­ся от истинного не более, чем на 15 м?

4. Предполагая, что дальность полета снаряда распре­делена по нормальному закону, со средним квадратическим отклонени­ем 40 м, найти вероятность того, что снаряд даст перелет от 60 до 80 м, если известно, что прицеливание систематических ошибок не имеет.

Практическое занятие №10

«Использование расчетных формул, таблица, графиков при решении статистических задач. Построение по заданной выборке ее графической диаграммы, расчет числовых характеристик»

Цели занятия:

• научиться использовать расчетные формулы, таблицы, графики при решении статистических задач.

• научиться строить по заданной выборке ее графической диаграммы, расчет числовых характеристик.

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Графическое изображение выборки

Графически вариационный ряд изображается полигоном частот, представляющим собой ломаную, отрезки которой соединяют на плоскости соседние точки и или и , если строится полигон относительных частот.

В случае табл. 2 исходный интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на определенное количество равных интервалов длины . После этого строится гистограмма частот - ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основания которых равны h, а высоты равны отношению (или для гистограммы относительных частот).

Точечные оценки параметров распределения

По аналогии с такими числовыми характеристиками случайной величины, как математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, для выборки случайной величины X и для статистического ряда определяются следующие числовые характеристики:

выборочная средняя , где k - число вариант и ;

выборочная дисперсия или , ;

выборочное среднее квадратическое отклонение

Исправленная дисперсия вычисляется по формуле:

.

Пример: По заданному статистическому ряду требуется:

а) построить гистограмму относительных частот;

б) перейти к вариантам и построить полигон относительных частот;

в) построить эмпирическую функцию распределения.

Решение

а) Объем выборки .

Определяем относительные частоты и составляем таблицу с относительными частотами:

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладываются частичные интервалы длины , а над ними проводятся горизонтальные отрезки на расстоянии

б) Перейдем к вариантам, положив их равными серединам частичных интервалов , где , - концы интервалов. Тогда вариационный ряд имеет вид:

Отметим на плоскости точки и, соединив соседние точки, получим полигон относительных частот.

в) Эмпирическая функция распределения строится по закону:

В нашем случае получаем:

График функции :

Вариант 1

1. Статистический ряд задан таблицей. Требуется:

а) построить гистограмму относительных частот;

б) перейти к вариантам и построить полигон относительных частот;

в) записать эмпирическую функцию распределения и построить ее график:

2. Выборка задана в виде распределения частот:

x_i

3

5

8

13

15

18

n_i

4

6

7

14

10

9

Найти точечные оценки выборки.

Вариант 2

1. Статистический ряд задан таблицей. Требуется:

а) построить гистограмму относительных частот;

б) перейти к вариантам и построить полигон относительных частот;

в) записать эмпирическую функцию распределения и построить ее график:

2. Выборка задана в виде распределения частот:

x_i

6

8

10

14

17

21

n_i

10

15

30

10

10

25

Найти точечные оценки выборки.

Вариант 3

1. Статистический ряд задан таблицей. Требуется:

а) построить гистограмму относительных частот;

б) перейти к вариантам и построить полигон относительных частот;

в) записать эмпирическую функцию распределения и построить ее график:

2. Выборка задана в виде распределения частот:

x_i

4

7

8

12

18

22

n_i

6

2

4

10

16

12

Найти точечные оценки выборки.

Вариант 4

1. Статистический ряд задан таблицей. Требуется:

а) построить гистограмму относительных частот;

б) перейти к вариантам и построить полигон относительных частот;

в) записать эмпирическую функцию распределения и построить ее график:

2. Выборка задана в виде распределения частот:

x_i

7

9

12

15

17

20

n_i

10

12

18

30

10

20

Найти точечные оценки выборки.

Практическое занятие №11

«Использование расчетных формул при решении статистических задач. Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения. Интервальная оценка вероятности события»

Цель занятия:

• закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;

• научиться строить интервальное оценивание математического ожидания нормального распределения; интервальное оценивание среднего квадратического отклонения; интервальное оценивание вероятности события.

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения

Если случайная величина распределена нормально и среднее квадратическое отклонение  известно, то доверительный интервал для оценки математического ожидания a

,

где n - объем выборки, а t находится из равенства по таблице значений функции Лапласа .

Если  неизвестно, то в формуле (1) оно заменяется на исправленное среднее квадратическое отклонение S, t заменяется на , которое находится по таблице (приложение )

.

Интервальная оценка среднего квадратического отклонения нормального распределения

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения  нормального распределения с заданной надежностью  находится по формуле

,

где находится по таблице (приложение ).

Интервальная оценка вероятности события

Интервальной оценкой (с надежностью ) неизвестной вероятности р биномиального распределения по относительной частоте служит доверительный интервал (с приближенными концами р₁ и р₂) ,

где

n- общее число испытаний; m- число появления события; - относительная частота, ; t- значение аргумента функции Лапласа, при котором .(-заданная надежность).

Замечание: При больших значениях n (порядка сотен) можно принять в качестве приближенных границ доверительного интервала

Пример: Дано распределение частот выборки.

Найти доверительные интервалы для математического ожидания a и среднего квадратического отклонения  с доверительной вероятностью  = 0,95, если известно, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

Решение: Вычислим точечные оценки заданной выборки: , , . Так как объем выборки , то находим .

По таблице приложения находим .

Подставляя полученные значения S и t_ в формулу, получим

.

По таблице найдем .

Подставляя значения S и q в формулу, получим

.

Пример: Изготовлен экспериментальный игровой автомат, который должен обеспечить появление выигрыша в одном случае из 100 бросаний монеты в автомат. Для проверки пригодности автомата произведено 400 испытаний, причем выигрыш появился 5 раз. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность появления выигрыша с надежностью =0.999.

Решение: Найдем относительную частоту появления выигрыша .

Найдем t из соотношения . По таблице функции Лапласа находим t=3,3.

Учитывая, что n=400 велико, используем для отыскания границ доверительного интервала приближенные формулы:

Подставив в эти формулы n=400, , t=3,3, получим р₁= -0,0058, р₂= 0,0308.

Итак, искомый доверительный интервал .

Вариант 1

1. Дано распределение частот выборки. Найти доверительные интервалы для математического ожидания a и среднего квадратического отклонения  с доверительной вероятностью  = 0,95, если известно, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону

   

   10

   15

   20

   25

   30

   35

   

   2

   6

   12

   19

   7

   4

2. Заданы среднее квадратическое отклонение  нормально распределенной случайной величины Х, выборочная средняя , объем выборки n. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а с надежностью =0,99: =6, =18,61,n=81.

3. По данным выборки объема n=10 из генеральной совокупности нормально распределенного количественного признака «исправленное» среднее квадратическое отклонение равно 5,1. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,999.

4. Произведено 400 испытаний, в каждом из которых неизвестная вероятность р появления события А постоянна. Событие А появилось в 250 испытаниях. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность р с надежностью 0,95.

Вариант 2

1. Дано распределение частот выборки. Найти доверительные интервалы для математического ожидания a и среднего квадратического отклонения  с доверительной вероятностью  = 0,95, если известно, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону

2. Заданы среднее квадратическое отклонение  нормально распределенной случайной величины Х, выборочная средняя , объем выборки n. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а с надежностью =0,99 : =5, =18,71 , n=25.

3. Произведено 10 измерений одним прибором ( без систематической ошибки) некоторой физической величины, причем «исправленное» среднее квадратическое отклонение случайных ошибок измерений оказалось равным 0,8. Найти точность прибора с надежностью 0,95.

4. В 360 испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события А неизвестна и одинакова. Событие А появилось 270 раз. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность р с надежностью 0,95.

Вариант 3

1. Дано распределение частот выборки. Найти доверительные интервалы для математического ожидания a и среднего квадратического отклонения  с доверительной вероятностью  = 0,95, если известно, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону

2. Заданы среднее квадратическое отклонение  нормально распределенной случайной величины Х, выборочная средняя , объем выборки n. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а с надежностью =0,99 : =5, =16,8 , n=25.

3. По данным выборки объема n=50 из генеральной совокупности нормально распределенного количественного признака «исправленное» среднее квадратическое отклонение равно 14. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,999.

4. Среди 250 деталей, изготовленных станком-автоматом, оказалось 32 нестандартных. Найти доверительный интервал, покрывающий с надежностью 0,99 неизвестную вероятность р изготовления станком нестандартной детали.

Вариант 4

1. Дано распределение частот выборки. Найти доверительные интервалы для математического ожидания a и среднего квадратического отклонения  с доверительной вероятностью  = 0,95, если известно, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону

2. Заданы среднее квадратическое отклонение  нормально распределенной случайной величины Х, выборочная средняя , объем выборки n. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а с надежностью =0,99 : =3, =12.5 , n=30.

3. По данным выборки объема n=60 из генеральной совокупности нормально распределенного количественного признака «исправленное» среднее квадратическое отклонение равно 9. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,999.

4. Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности р с надежностью 0,95, если в 500 испытаниях событие А появилось 200 раз.

Практическое занятие № 12

«Использование расчетных формул, таблица, графиков при решении статистических задач. Моделирование случайных величин, Моделирование сложных испытаний и их результатов»

Цель занятия:

• закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;

• научиться моделировать случайные величины (ДСВ, НСВ);

• м моделировать сложные события и их результаты.

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Разыгрывание ДСВ

ПРАВИЛО: Для того, чтобы разыграть ДСВ Х, заданную законом распределения

надо:

1. Разбить интервал (0,1) оси Or на n частичных интервалов:

2. Выбрать (например, из таблицы случайных чисел) случайное число r_j.

Если r_jпопало в частичный интервал , то разыгрываемая величина приняла возможное значение x_i.

ПРИМЕР: Разыграть шесть возможных значений ДСВ Х, закон распределения которой задан в виде таблицы:

Решение:

1. Разобьем интервал (0,1) оси Or точками с координатами 0,22: 0,22+0,17=0,39 на три частичных интервала:

2. Выпишем из таблицы случайных чисел (приложение) шесть случайных чисел, например 0,32; 0,17; 0,90; 0,05; 0,97; 0,87 (пятая строка снизу).

Случайное число r₁=0.32 принадлежит частичному интервалу , поэтому разыгрываемая ДСВ приняла возможное значение х₂=10; случайное число r₂=0.17 принадлежит частичному интервалу , поэтому разыгрываемая ДСВ приняла возможное значение х₁=2.

Аналогично получим остальные возможные значения.

Итак, разыгранные возможные значения таковы: 10; 2; 18; 2; 18; 18.

Разыгрывание полной группы событий

Требуется разыграть испытания, в каждом из которых наступает одно из событий полной группы, вероятности которых известны. Разыгрывание полной группы событий сводится к разыгрыванию ДСВ.

ПРАВИЛО: Для того, чтобы разыграть испытания, в каждом из которых наступает одно из событий А₁, А₂,…,А_nполной группы, вероятности которых р₁, р₂, …, р_n известны, достаточно разыграть (по правилу для ДСВ) ДСВ Х со следующим законом распределения:

Если в испытании величина Х приняла возможное значение x_i=i_., то наступило событие А_i.

ПРИМЕР: Заданы вероятности трех событий: А₁, А₂, А₃, образующих полную группу: р₁=Р(А₁)=0,22, р₂=Р(А₂)=0,31, р₃=Р(А₃)=0,47. Разыграть пять испытаний, в каждом из которых появляется одно из трех рассматриваемых событий.

Решение:

В соответствии с правилом надо разыграть ДСВ Х с законом распределения

По правилу для ДСВ разобьем интервал (0,1) на три частичных интервала:

Выпишем из таблицы случайных чисел (приложение) пять случайных чисел, например 0,61; 0,19; 0,69; 0,04; 0,46.

Случайное число r₁=0.61 принадлежит частичному интервалу , Х=3 и, следовательно, наступило событие А₃.

Аналогично найдем остальные события.

Получим последовательность событий: А₃, А₁, А₃, А₁, А₃.

Разыгрывание НСВ

Известна функция распределения F(x) НСВ Х. Требуется разыграть Х, т.е. вычислить последовательность возможных значений x_i.

Метод обратных функций:

ПРАВИЛО 1: Для того, чтобы разыграть возможное значение x_i НСВ Х, зная ее функцию распределения F(x), надо выбрать случайное число r_i , приравнять его функции распределения и решить относительно x_i полученное уравнение F(x_i)=r_i,

Если известна плотность вероятности f(x) , то используют правило 2.

ПРАВИЛО 2: Для того, чтобы разыграть возможное значение x_i НСВ Х, зная ее плотность вероятности f(x), надо выбрать случайное число r_i и решить относительно x_i уравнение

, или уравнение ,

где а - наименьшее конечное возможное значение Х.

ПРИМЕР: Найти явную формулу для разыгрывания равномерно распределенной с.в. Х, заданной плотностью вероятности f(x)=b/(1+ax)² в интервале (0;1/(b-a)); вне этого интервала f(x)=0.

Решение:

Используем правило 2, напишем уравнение .

Решив это уравнение относительно x_i , окончательно получим .

Вариант 1

1. Разыграть шесть возможных значений ДСВ Х, закон распределения которой задан в виде таблицы:

2. Заданы вероятности трех событий: А₁, А₂, А₃, образующих полную группу: р₁=Р(А₁)=0,15, р₂=Р(А₂)=0,25, р₃=Р(А₃)=0,6. Разыграть пять испытаний, в каждом из которых появляется одно из трех рассматриваемых событий.

3. Разыграть четыре возможных значения НСВ Х, распределенной равномерно в интервале(4;14).

4. Найти явную формулу для разыгрывания равномерно распределенной с.в. Х, заданной плотностью вероятности f(x)=2 в интервале (0;0,5); вне этого интервала f(x)=0.

Вариант 2

1. Разыграть восемь возможных значений ДСВ Х, закон распределения которой задан в виде таблицы:

2. Заданы вероятности четырех событий: А₁, А₂, А₃, А₄ образующих полную группу: р₁=Р(А₁)=0,15, р₂=Р(А₂)=0,64, р₃=Р(А₃)=0,05, р₄=Р(А₄)=0,16 . Разыграть 10 испытаний, в каждом из которых появляется одно из рассматриваемых событий.

3. Разыграть четыре возможных значения НСВ Х, распределенной равномерно в интервале(5;15).

4. Найти явную формулу для разыгрывания равномерно распределенной с.в. Х, заданной плотностью вероятности f(x)=0,1 в интервале (0;10); вне этого интервала f(x)=0.

Вариант 3

1. Разыграть шесть возможных значений ДСВ Х, закон распределения которой задан в виде таблицы:

2. События А и В независимы и совместны. Разыграть пять испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,6, а события В - 0,8.

3. Разыграть четыре возможных значения НСВ Х, распределенной равномерно в интервале(2;115).

4. Найти явную формулу для разыгрывания равномерно распределенной с.в. Х, заданной плотностью вероятности f(x)=0,2 в интервале (0;5); вне этого интервала f(x)=0.

Вариант 4

1. Разыграть восемь возможных значений ДСВ Х, закон распределения которой задан в виде таблицы:

2. События А,В и С независимы и совместны. Разыграть пять испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,6, а события В - 0,2, события С - 0,4.

3. Разыграть четыре возможных значения НСВ Х, распределенной равномерно в интервале(1;13).

4. Найти явную формулу для разыгрывания равномерно распределенной с.в. Х, заданной плотностью вероятности f(x)=4 в интервале (0;0,25); вне этого интервала f(x)=0.

Практическое занятие № 13

«Применение современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа»

Цель работы:

• научиться обрабатывать статистические данные с помощью встроенных функций; изучить возможности Пакета анализа и его некоторые инструменты: Генерация случайных чисел, Гистограмма, Описательная статистика.

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

1. Основные статистические характеристики.

Электронные таблицы Excel имеют огромный набор средств для анализа статистических данных. Наиболее часто используемые статистические функции встроены в основное ядро программы, то есть эти функции доступны с момента запуска программы. Другие более специализированные функции входят в дополнительную подпрограмму, называемую пакетом анализа. Команды и функции пакета анализа называют Инструментами анализа. Мы ограничимся изучением нескольких основных встроенных статистических функций и наиболее полезных инструментов анализа из пакета.

Среднее значение.

Функция СРЗНАЧ (или AVERAGE) вычисляет выборочное (или генеральное) среднее, то есть среднее арифметическое значение признака выборочной (или генеральной) совокупности. Аргументом функции СРЗНАЧ является набор чисел, как правило, задаваемый в виде интервала ячеек, например, =СРЗНАЧ (А3:А201).

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Для оценки разброса данных используются такие статистические характеристики, как дисперсия D и среднее квадратическое (или стандартное) отклонение . Стандартное отклонение есть квадратный корень из дисперсии: . Большое стандартное отклонение указывает на то, что значения измерения сильно разбросаны относительно среднего, а малое - на то, что значения сосредоточены около среднего.

В Excel имеются функции, отдельно вычисляющие выборочную дисперсию D_в и стандартное отклонение _в и генеральные дисперсию D_г и стандартное отклонение _г. Поэтому, прежде чем вычислять дисперсию и стандартное отклонение, следует четко определиться, являются ли ваши данные генеральной совокупностью или выборочной. В зависимости от этого нужно использовать для расчета D_г и _г , D_в и _в.

Для вычисления выборочной дисперсии D_в и выборочного стандартного отклонения _в имеются функции ДИСП (или VAR) и СТАНДОТКЛОН (или STDEV). Аргументом этих функций является набор чисел, как правило, заданный диапазоном ячеек, например, =ДИСП (В1:В48).

Для вычисления генеральной дисперсии D_г и генерального стандартного отклонения _г имеются функции ДИСПР (или VARP) и СТАНДОТКЛОНП (или STDEVP), соответственно.

Аргументы этих функций такие же как и для выборочной дисперсии.

Объем совокупности.

Объем совокупности выборочной или генеральной - это число элементов совокупности. Функция СЧЕТ (или COUNT) определяет количество ячеек в заданном диапазоне, которые содержат числовые данные. Пустые ячейки или ячейки, содержащие текст, функция СЧЕТ пропускает. Аргументом функции СЧЕТ является интервал ячеек, например: =СЧЕТ (С2:С16).

Для определения количества непустых ячеек, независимо от их содержимого, используется функция СЧЕТ3. Ее аргументом является интервал ячеек.

Мода и медиана.

Мода - это значение признака, которое чаще других встречается в совокупности данных. Она вычисляется функцией МОДА (или MODE). Ее аргументом является интервал ячеек с данными.

Медиана - это значение признака, которое разделяет совокупность на две равные по числу элементов части. Она вычисляется функцией МЕДИАНА (или MEDIAN). Ее аргументом является интервал ячеек.

Размах варьирования. Наибольшее и наименьшее значения.

Размах варьирования R - это разность между наибольшим x_max и наименьшим x_min значениями признака совокупности (генеральной или выборочной): R=x_max-x_min. Для нахождения наибольшего значения x_max имеется функция МАКС (или MAX), а для наименьшего x_min - функция МИН (или MIN). Их аргументом является интервал ячеек. Для того, чтобы вычислить размах варьирования данных в интервале ячеек, например, от А1 до А100, следует ввести формулу: =МАКС (А1:А100)-МИН (А1:А100).

Отклонение случайного распределения от нормального.

Нормально распределенные случайные величины широко распространены на практике, например, результаты измерения любой физической величины подчиняются нормальному закону распределения. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

,

где дисперсия, - среднее значение случайной величины .

Для оценки отклонения распределения данных эксперимента от нормального распределения используются такие характеристики как асимметрия А и эксцесс Е. Для нормального распределения А=0 и Е=0.

Асимметрия показывает, на сколько распределение данных несимметрично относительно нормального распределения: если А>0, то большая часть данных имеет значения, превышающие среднее ; если А<0, то большая часть данных имеет значения, меньшие среднего . Асимметрия вычисляется функцией СКОС. Ее аргументом является интервал ячеек с данными, например, =СКОС (А1:А100).

Эксцесс оценивает «крутость», т.е. величину большего или меньшего подъема максимума распределения экспериментальных данных по сравнению с максимумом нормального распределения. Если Е>0, то максимум экспериментального распределения выше нормального; если Е<0, то максимум экспериментального распределения ниже нормального. Эксцесс вычисляется функцией ЭКСЦЕСС, аргументом которой являются числовые данные, заданные, как правило, в виде интервала ячеек, например: =ЭКСЦЕСС (А1:А100).

Задание 1

Одним и тем же вольтметром было измерено 25 раз напряжение на участке цепи. В результате опытов получены следующие значения напряжения в вольтах: 32, 32, 35, 37, 35, 38, 32, 33, 34, 37, 32, 32, 35, 34, 32, 34, 35, 39, 34, 38, 36, 30, 37, 28, 30. Найдите выборочные среднюю, дисперсию, стандартное отклонение, размах варьирования, моду, медиану. Проверить отклонение от нормального распределения, вычислив асимметрию и эксцесс.

1. Наберите результаты эксперимента в столбец А.

2. В ячейку В1 наберите «Среднее», в В2 - «выборочная дисперсия», в В3 - «стандартное отклонение», в В4 - «Максимум», в В5 - «Минимум», в В6 - « Размах варьирования», в В7 - «Мода», в В8 - «Медиана», в В9 - «Асимметрия», в В10 - «Эксцесс». Выровняйте ширину этого столбца с помощью Автоподбора ширины.

3. Выделите ячейку С1 и нажмите на знак «=» в строке формул. С помощью Мастера функций в категории Статистические найдите функцию СРЗНАЧ, затем выделите интервал ячеек с данными и нажмите Enter.

4. Выделите ячейку С2 и нажмите на знак «=» в строке формул. С помощью помощью Мастера функций в категории Статистические найдите функцию ДИСП, затем выделите интервал ячеек с данными и нажмите Enter.

5. Проделайте самостоятельно аналогичные действия для вычисления стандартного отклонения, максимума, минимума, моды, медианы, асимметрии и эксцесса.

6. Для вычисления размаха варьирования в ячейку С6 следует ввести формулу: =МАКС (А1:А25)-МИН(А1:А25).

2. Инструменты статистического анализа: Генерация случайных чисел, Гистограмма, Описательная статистика.

Загрузка Пакета анализа.

Пакет анализа без дополнительных установок автоматически не загружается при запуске Excel. Он входит в так называемую Надстройку - набор дополнительных подпрограмм, к которым относятся, например, уже известные вам Мастер диаграмм и Мастер функций. Для загрузки Пакет анализа необходимо:

1. в Основном меню выбрать пункт Сервис;

2. выбрать пункт Надстройки;

3. в появившемся списке Надстроек активизировать переключатель AnalysisToolPak-VBA и нажать ОК.

После этого в меню Сервис добавится пункт Анализ данных. К этому пункту следует обращаться для вызова Пакета анализа.

Инструмент: Генерация случайных чисел.

В Excel имеется встроенная функция СЛЧИСЛ (или RAND) для генерации равномерно распределенных случайных чисел в интервале [0,1].

Пакет анализа позволяет генерировать случайные числа с различными типами распределений: равномерное, нормальное, Бернулли, биномиальное, Пуассона и дискретное (определенное пользователем). Для генерации случайных чисел следует:

1. в меню Сервис выбрать команду Анализ данных;

2. в появившемся диалоговом окне Анализ данных в группе Инструменты анализа выбрать пункт Генерация случайных величин и нажать ОК;

3. в появившемся диалоговом окне Генерация случайных чисел следует заполнить поля ввода:

• в полях Число переменных и Число случайных чисел указать нужное количество столбцов и сколько чисел вы хотите получить в каждом столбце;

• в поле Распределение следует выбрать один из имеющихся типов распределения случайных чисел;

• в группе Параметры следует указать диапазон чисел, т.е. min и max числа распределения для Равномерного распределения; или среднее значение и стандартное отклонение для Нормального распределения и т.д.

• поле Случайное рассеивание заполняется только в том случае, если вам необходимо несколько раз воспроизводить одну и туже последовательность случайных чисел;

• в поле Выходной интервал указывается место, куда следует поместить последовательность чисел, как правило, это интервал ячеек (или столбец целиком).

Инструмент: Гистограмма.

Графическое представление результатов обработки статистических данных обычно оформляется в виде гистограммы. Совокупность данных разбивается на частичные интервалы, называемые нормальными. Интервалы разбиения могут быть любой ширины, но обязательно они должны следовать в порядке возрастания. Интервалы разбиения откладываются по оси абсцисс гистограммы. На оси ординат гистограммы откладывается число значений, попавших в интервал разбиения. Это число значений признака совокупности называется частотой. Для построения гистограммы:

1. в начале следует задать частичные интервалы разбиения;

2. затем в меню Сервис выбрать команду Анализ данных и указать инструмент анализа -Гистограмма и нажать ОК;

3. в диалоговом окне Гистограмма следует указать:

• в группе Входные данные в поле Входной интервал - интервал ячеек с данными, а в поле Интервал карманов - интервал ячеек с частичными интервалами разбиения;

• в группе Параметры вывода указывается интервал ячеек для вывода частот и отмечается галочкой переключатель Вывод графика.

После нажатия ОК инструмент Гистограмма выводит два столбца: карман и частота. Сама гистограмма выводится правее столбца частот. Форматирование гистограммы производится так же, как и любой диаграммы в Excel (см. лабораторную работу №6).

Инструмент: Описательная статистика.

В пакете анализа Excel содержится инструмент Описательная статистика, который создает таблицу основных статистических характеристик для совокупности данных. В этой таблице будут содержаться следующие характеристики: среднее, стандартная ошибка, дисперсия, стандартное отклонение, мода, медиана, размах варьирования интервала, максимальное и минимальное значения, асимметрия, эксцесс, объем совокупности, сумму всех элементов совокупности, доверительный интервал (уровень надежности). Инструмент Описательная статистика существенно упрощает статистический анализ тем, что нет необходимости вызывать каждую функцию для расчета статистических характеристик отдельно.

Для того, чтобы вызвать Описательную статистику, следует:

1. в меню Сервис выбрать команду Анализ данных;

2. в списке Инструменты анализа диалогового окна Анализ данных выбрать инструмент

Описательная статистика и нажать ОК;

3. в появившемся диалоговом окне Описательная статистика необходимо:

• в группе Входные данные в поле Входной интервал указать интервал ячеек, содержащих данные;

• если первая строка во входном диапазоне содержит заголовок столбца, то в поле Метки в первой строке следует поставить галочку;

• активизировать переключатель (поставить галочку) Итоговая статистика, если нужен полный список характеристик;

• активизировать переключатель Уровень надежности и указать надежность в %, если необходимо вычислить доверительный интервал.

Задание 2.

Сгенерировать 500 случайных чисел, распределенных нормально. Построить гистограмму и полный список статистических характеристик с помощью инструмента Описательная статистика.

1. Выполните команду СервисАнализ данныхГенерация случайных чисел;

2..В диалоговом окне Генерация случайных чисел введите в поле число переменных: 1; в поле Число случайных чисел 500; выберите Распределение Нормальное; задайте любое среднее значение (желательно около 100) и небольшое стандартное отклонение (не больше 10); в поле Выходной интервал укажите абсолютный адрес столбца $A$2. Нажмите ОК.

1. Теперь постройте гистограмму по совокупности случайных чисел. Сначала нужно задать интервалы решения. Пусть длины интервалов будут одинаковыми и равны 3. Для автоматического составления интервалов разбиения наберите в ячейку В2 начальное число, например, 75 для наших случайных чисел. Затем выполните команду ПравкаЗаполнитьПрогрессия. В появившемся диалоговом окне заполните данные:

• в группе переключателей поле Расположение установите по столбцам;

• в поле Шаг наберите 3;

• в поле Предельное значение наберите 125;

• в группе переключателей Тип установите арифметическая и нажмите ОК.

В результате столбец В будет содержать интервалы разбиения (карманы).

2. Выполните команду СервисАнализ данныхГистограмма. В появившемся диалоговом окне Гистограмма заполните:

• входной интервал появится, если щелкнуть мышью по столбцу А;

• интервал карманов появится, если щелкнуть мышью по столбцу В;

• поставьте галочку в поле метки;

• укажите столбец С в поле Выходной интервал;

• активизируйте переключатель Вывод графика; если это поле не содержит галочки, нажмите ОК.

3. Построение гистограммы займет от 5 до 10 минут. За это время письменно ответьте на контрольные вопросы. В результате вычисления получатся столбец под названием Карман, который дублирует ваш столбец интервалов разбиения, и столбец под название Частота с рассчитанными частотами. После того, как появилась гистограмма, измените ее размеры с помощью мыши так, чтобы хорошо были видны все столбцы и подписи.

4. Теперь осталось получить таблицу статистических характеристик с помощью Описательной статистики. Выполните команду СервисАнализ данныхОписательная статистика. В появившемся диалоговом окне Описательная статистика укажите:

• в поле Входной интервал появится адрес, если выделить мышью интервал сданными или с клавиатуры набрать адрес $A$2: $A$501;

• в поле Группирование активизировать переключатель по столбцам;

• активизировать переключатель Метки в первой строке;

• в группе Параметры вывода укажите Выходной интервал, щелкнув мышью по какой-либо пустой ячейке ниже столбца частот, например, по С 25;

• активизируйте переключатель Итоговая статистика (если в этом поле нет галочки);

• активизируйте переключатель Уровня надежности и установите 95%;

• снимите галочки с полей наименьший и наибольший и нажмите ОК.

Результаты записать в отчет.

Контрольные вопросы.

1. Для чего предназначена функция СРЗНАЧ?

2. С помощью каких характеристик оценивают разброс статистических данных? Какие функции в Excel их вычисляют? В чем отличие функции оценки разброса данных для генеральной и выборочной совокупности?

3. В чем отличие функций СЧЕТ и СЧЕТЗ?

4. Что такое мода и какая функция ее вычисляет?

5. Что такое медиана и какая функция ее вычисляет?

6. Как вычислить размах варьирования?

7. С помощью каких характеристик оценивают отклонение случайного распределения от нормального? Какой смысл этих характеристик и какие функции в Excel их вычисляют?

8. Что такое Инструменты Анализа? Как загрузить Пакет Анализа?

9. Опишите последовательность действий, которые необходимо совершить для генерации случайных чисел распределенных нормально.

10. Как построить гистограмму?

11. Для чего предназначен инструмент Описательная статистика?

Практическое занятие №14

«Метрические характеристики графов»

Цели занятия:

• закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;

• научиться строить графы;

• научиться находить метрические характеристики графов..

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Метрические характеристики графов

В теории графов применяются:

1. Матрица инцидентности. Это матрица А с n строками, соответствующими вершинам, и m столбцами, соответствующими рёбрам. Для ориентированного графа столбец, соответствующий дуге (х,y) содержит (-1) в строке, соответствующей вершине х и 1 в строке, соответствующей вершине у. Во всех остальных - 0.

Петлю, т. е. дугу (х,х) можно представлять иным значением в строке х, например, 2.

Если граф неориентированный, то столбец, соответствующий ребру (х,у) содержит 1, соответствующие х и у - нули во всех остальных строках.

2. Матрица смежности. Это матрица n*n где n - число вершин, где b_ij = 1, если существует ребро, идущее из вершины х в вершину у и b_ij = 0 в противном случае.

3. Пусть G=(X,U) - связный граф, а - две его несовпадающие вершины. Длина кратчайшего маршрута, соединяющего вершины (пути из ) называется расстоянием между вершинами и обозначается . Положим , если вершины не соединены маршрутом (путем). Расстояние удовлетворяет следующим аксиомам:

1) ;

2) ;

3) тогда и только тогда, когда ;

4) для симметрических графов;

5)

Расстояние для графа G удобно задавать матрицей расстояний. Матрицей расстояний графа с n вершинами называется квадратная матрица D порядка n, элементы которой определяются следующим образом:

4. Для фиксированной вершины величина называется эксцентриситетом (отклоненностью) вершины .

5. Максимальный среди эксцентриситетов вершин называется диаметром графа G и обозначается diam (G):

6. Минимальный из эксцентриситетов вершин связного графа называется его радиусом и обозначается через r(G):

7. Вершина, имеющая минимальный эксцентриситет, называется центром графа.

8. Для вершины число называется передаточным числом.

9. Вершина графа, которой соответствует минимальное передаточное число называется медианой графа.

Центров и медиан в графе может быть несколько.

Рис. 1

Пример. Для графа, изображенного на рис.1 метрические характеристики определяются следующим образом:

Радиус графа равен 1, диаметр равен 2. Центр графа - вершина ; Медиана графа - вершина .

Вариант 1

1. Дана матрица А. Постройте соответствующий ей граф, имеющий матрицу А своей матрицей смежности. Удалите из графа кратные ребра. Найдите матрицу инцидентности для построенного графа.

.

2. Определить метрические характеристики графа:

Вариант 2

1. Дана матрица А. Постройте соответствующий ей граф, имеющий матрицу А своей матрицей смежности. Удалите из графа кратные ребра. Найдите матрицу инцидентности для построенного графа.

.

2. Определить метрические характеристики графа:

Вариант 3

1. Дана матрица А. Постройте соответствующий ей граф, имеющий матрицу А своей матрицей смежности. Удалите из графа кратные ребра. Найдите матрицу инцидентности для построенного графа.

.

2. Определить метрические характеристики графа:

Вариант 4

1. Дана матрица А. Постройте соответствующий ей граф, имеющий матрицу А своей матрицей смежности. Удалите из графа кратные ребра. Найдите матрицу инцидентности для построенного графа.

.

2. Определить метрические характеристики графа:

Контрольные вопросы

1. Что такое граф?

2. Приведите разновидности графов.

3. Нарисуйте полный граф.

4. Каким образом понятие графа используется в информатике и программировании?

5. Перечислите метрические характеристики графов.

Практическое занятие №15

«Построения остовного дерева»

Цели занятия:

• закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;

• научиться строить графы;

• научиться строить остовное дерево и находить его длину.

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

1. Постановка задачи

Пусть имеется связный неориентированный граф G, на ребрах которого задана весовая функция c(e). Связный подграф графа G, являющийся деревом и содержащий все его вершины, называют покрывающим деревом этого графа (иногда используют термин остовное дерево или остов). Весом остовного дерева будем считать сумму весов всех его ребер. Тогда возникает задача о нахождении максимального покрывающего дерева, т.е. такого, что его вес наибольший, либо равен весу любого из покрывающих деревьев для данного графа. Будем обозначать наибольшее покрывающее дерево графа G как MAX(G).

2. Методы решения данной проблемы

Остовным деревом графа называется дерево, содержащее все вершины V графа.

Стоимость остовного дерева вычисляется как сумма стоимостей всех ребер.

Идея решения:

Для остовного дерева верно следующее свойство:

Пусть G=(V,E) - свызный граф с заданной функцией стоимости, определенной на множестве ребер. Обозначим через U подмножество множества вершин V. Если (u,v) - такое ребро наибольшей стоимости, что u из U и v из V\U, тогда для графа G существует остовное дерево максимальной стоимости, содержащее ребро (u,v)

На этом свойстве основан алгоритм Прима. В этом алгоритме строится множество вершин U, из которого "вырастает" остовное дерево. Пусть V={1,2,...n}. Сначала U={1}. На каждом шаге алгоритма находится ребро наименьшей стоимости (u,v) такое, что u из U и v из V\U, затем вершина v переносится из множества V\U в множество U. Процесс продолжается до тех пор, пока множество U не станет равным множеству V.

3. Описание алгоритма Краскала

Алгоритм Краскала может строить дерево одновременно для нескольких компонент связности, которые в процессе решения объединяются в одно связанное дерево.

Полный граф задается списком ребер. Перед работой список ребер сортируется по возрастанию длины. На каждом шаге просматривается список ребер, начиная с ребра, следующего за вошедшим в решение на предыдущем шаге, и к строящемуся поддереву присоединяют то ребро, которое не образует цикла с ребрами, уже включенными в решение.

Алгоритм состоит из следующей последовательности действий:

1. Создается список ребер R, содержащий длину ребра, номер исходной вершины ребра (i),номер конечной вершины ребра (j), признак включения данного ребра в дерево.

2. Данный список упорядочивается в порядке возрастания длин ребер.

3. Просматривается список R и выбирается из него ребро с максимальной длиной, еще не включенное в результирующее дерево и не образующее цикла с уже построенными ребрами.

4. Если все вершины включены в дерево и количество ребер на единицу меньше количества вершин, то алгоритм свою работу закончил. В противном случае осуществляется возврат к пункту 3.

Пример: Для заданного графа произвольно пронумеровать вершины и построить кратчайшее остовное дерево, определить его длину.

Решение:

Для построения кратчайшего остовного дерева воспользуемся алгоритмом Крускала.

В этом алгоритме мы начинаем с пустого дерева и добавляем к нему ребра в порядке возрастания их весов пока не получим набор ребер, объединяющий все вершины графа. Если ребра закончатся до того, как все вершины будут соединены между собой, то это означает, что исходный граф был несвязным, и полученный нами результат представляет собой объединение МОД всех его компонент связности.

Начнем с ребер наименьшего веса, равного 1, то есть с ребер AB, BE, ED, EL, LK.

Ребер веса 2 нет.

Следующими добавляем ребра веса 3, при этом следим, чтобы в графе не появлялись циклы. Добавляем ребра BC, CF.

К результирующему графу последовательно добавляются ребра веса 4- EG.

Добавление остальных ребер приведет к появлению цикла в уже построенной части МОД.

Таким образом, кратчайшее остовное дерево для заданного графа имеет вид:

Длина построенного кратчайшего остовного дерева равна 15.

Вариант 1

1. Для заданного графа произвольно пронумеровать вершины и построить кратчайшее остовное дерево, определить его длину.

1 6

3 2 3 4 3

7 2

6 4 3 3 1

1 2

2. Найдите кратчайшее остовное дерево, определить его длину

(прочерк означает отсутствие ребра).

Вариант 2

1. Для заданного графа произвольно пронумеровать вершины и построить кратчайшее остовное дерево, определить его длину.

3 2

3 4 3 4 3

5 2

1 1 3 7 1

5 3

2. Найдите кратчайшее остовное дерево, определить его длину

(прочерк означает отсутствие ребра).

Вариант 3

1. Для заданного графа произвольно пронумеровать вершины и построить кратчайшее остовное дерево, определить его длину.

5 2

0 4 1 4 2

2 2

2 4 6 4 5

1 2

2. Найдите кратчайшее остовное дерево, определить его длину

(прочерк означает отсутствие ребра).

Вариант 4

1. Для заданного графа произвольно пронумеровать вершины и построить кратчайшее остовное дерево, определить его длину.

7 2

9 8 2 6 1

5 2

6 1 2 3 4

4 2

2. Найдите кратчайшее остовное дерево, определить его длину

(прочерк означает отсутствие ребра).

Контрольные вопросы:

1. Какое из двух утверждений верно: а) ориентированный граф яв­ляется частным случаем неориентированного графа; б) неориентированный граф является частным случаем ориентированного графа?

2. Сколько ребер имеет связный граф без циклов с n вершинами?

3. Чему равно наименьшее и наибольшее число ребер в связном гра­фе без петель и кратных ребер с n вершинами?

4. Чему равно наименьшее и наибольшее число ребер в графе без петель и кратных ребер с n вершинами?

5. Верно или неверно следующее утверждение: Минимальное остовное дерево может содержать циклы?

6. Постройте дерево наименьшей общей длины, ребра которого соеди­няют вершины правильного шестиугольника.

Литература

Основные источники

1. М.С. Спирина, П.А. Спирин Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Издательский центр «Академия», 2012.

Дополнительные источники

1. Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко Математика.-М.: Дрофа, 2010.

2. Статистика : учебник для учреждений среднего профессионального образования / ред. В. С. Мхитарян . - 11-е изд., стер . - М. : Академия , 2012

3. Virtual Laboratory Wiki. Распределение вероятностей /Категория: Распределения_вероятностей. - М., 2010. / ru.vlab.wikia.com/wiki/

4. Кочетков Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для СПО / Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская, В.В. Соколов. - М.: Форум, 2011

Периодические издания

1. Журнал «Алгебра и анализ»

2. Журнал «Математические заметки»

Интернет-ресурсы

1. Единое информационно-образовательное пространство колледжа NetSchool. Форма доступа: sgtek.ru

2. Информационно-справочная система «В помощь студентам». Форма доступа: window.edu.ru

3. Информационно-справочная система. Форма доступа: dit.isuct.ru.

4. Информационно-справочная система. Форма доступа: resolventa.ru

66