- Преподавателю
- Математика
- Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл. (12 класс заоной формы обучения)
Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл. (12 класс заоной формы обучения)
Раздел | Математика |
Класс | 12 класс |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Кулявцева С.А. |
Дата | 12.09.2014 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Контрольная работа по теме: «Первообразная и интеграл».
(заочная форма обучения)
12 класс
Методические рекомендации к контрольной работе.
Необходимо знать: таблицу первообразных, уметь применять первообразную для вычисления площадей криволинейных трапеций, основные правила интегрирования, формулы простейших интегралов.
Справочный материал.
Определение: функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F'(x)=f(x).
Правила вычисления первообразных:
1.f(x)+h(x) = F(x)+H(x)
2.k f (x) = k F(x), k - постоянная
3.f ( kx+b) = F(kx+b), если k≠0, b - постоянная.
Таблица первообразных.
-
Функция f(x)
Первообразная F(x) для f(x)
k≠0
k x
хn, где n є Z, n≠-1
sin x
-
сos x
сos x
sin x
, х ≠ 0
ln |x|
ex
ex
ax
-
Определение: интегралом от а до b функции f называется приращение первообразной F этой функции, т.е. . (читается: «Интеграл от а до б эф от икс дэ икс»).
∫ - знак интеграла; а и b - пределы интегрирования; а - нижний предел; b- верхний предел; f - подынтегральная функция; х - переменная интегрирования.
= F(b) - F(a) - формула Ньютона - Лейбница.
Определение: фигуру ограниченную графиком непрерывной функции f, отрезком [a,b] и прямыми х=а и х=b называют криволинейной трапецией.
Примеры.
-
Найдите первообразную функции f(x)=x3+2, график которой проходит через данную точку Р (2;15).
РЕШЕНИЕ:
F(x) =
Т.к. график одной из первообразных проходит через точку (2;15), то составим и решим уравнение F(2)=15.
4+4+C=15, 8+C=15, C=7.
F(x) =
Ответ: F(x)=
-
Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=х4; у=1.
Решение.
-
у=х4 - графиком данной функции является парабола ветви которой направлены вверх с вершиной в точке (0;0).
у=1 - уравнение прямой параллельной оси ОХ.
2. Строим график функции у=х4
-
х
-1
1
у
1
1
3Найдем пределы интегрирования из уравнения х4=1
х1 = -1; х2 =1 отметим их на графике
4. Вычисляем площадь
Искомая площадь может быть получена как разность площадей прямоугольника АВСД и криволинейной трапеции АВЕСД
S ВCЕ = S АВСД - S АВЕСД
S АВСД = АВ ×ВС = 1× 2 = 2 кв. ед.
S АВЕСД =
S ВCЕ = 2 - 0, 4 = 1,6 кв. ед.
Ответ: 1,6 кв.ед.
Примечание: для удобства записи разность F(b) - F(a) в формуле Ньютона - Лейбница принято сокращенно обозначать . Пользуясь этим обозначением, формулу Ньютона - Лейбница запишем в виде: =
Контрольная работа
Тема Первообразная и интеграл .
-
Найти все первообразные функции .
-
Вычислите интеграл
-
Докажите справедливость равенства
-
Найдите первообразную функции значение которой при х=0 равно 6.
-
Является ли функция первообразной для каждой из следующих функций: , , ?
-
Найти площадь криволинейной трапеции , y = 0, x = 2, x = 4.
-
Найдите первообразную функции , график которой проходит через данную точку Q (-2;4).
8.Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями
, y = 2, x = 4.
-
Применяя правила первообразных вычислите все первообразные функций:
а) б)
Варианты выполнения контрольной
Начальная буква фамилии
Номера заданий
А Б Ю Я
1, 3, 5, 8
Г Д Щ Ш
2, 4, 6, 9
Ж З Ц Ч Э
1, 2, 5, 7
И Е Ф Х К
3, 4, 5, 9
Л М Н Т У
1, 3, 4, 7
В О П Р С
2, 3, 6, 8