Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл. (12 класс заоной формы обучения)

Контрольная работа по математике(алгебра и начала анализа) составлена на основе учебника "Алгебра и начала анализа" 10-11 классы:учебник для общеобразовательных учреждений под редакцией А.Н.Колмагорова и др. М.Просвещение-2008г. Работа составлена в шести вариантах по начальной букве фамилии. Каждый вариант состоит из четырёх заданий. Прилагаемые  к контрольной работе методические рекомендации и справочный материал помогут учащимся самостоятельно разобраться с данной темой , а также успешно выпол...
Раздел Математика
Класс 12 класс
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Контрольная работа по теме: «Первообразная и интеграл».


(заочная форма обучения)


12 класс

Методические рекомендации к контрольной работе.


Необходимо знать: таблицу первообразных, уметь применять первообразную для вычисления площадей криволинейных трапеций, основные правила интегрирования, формулы простейших интегралов.

Справочный материал.

Определение: функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F'(x)=f(x).

Правила вычисления первообразных:

1.f(x)+h(x) = F(x)+H(x)

2.k f (x) = k F(x), k - постоянная

3.f ( kx+b) = Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения) F(kx+b), если k≠0, b - постоянная.

Таблица первообразных.

Функция f(x)

Первообразная F(x) для f(x)

k≠0

k x

хn, где n є Z, n≠-1

Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения)

Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения)

Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения)

sin x

  • сos x

сos x

sin x

Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения), х ≠ 0

ln |x|

ex

ex

ax

Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения)

Определение: интегралом от а до b функции f называется приращение первообразной F этой функции, т.е. Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения) . (читается: «Интеграл от а до б эф от икс дэ икс»).

∫ - знак интеграла; а и b - пределы интегрирования; а - нижний предел; b- верхний предел; f - подынтегральная функция; х - переменная интегрирования.

Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения)= F(b) - F(a) - формула Ньютона - Лейбница.

Определение: фигуру ограниченную графиком непрерывной функции f, отрезком [a,b] и прямыми х=а и х=b называют криволинейной трапецией.

Примеры.

  1. Найдите первообразную функции f(x)=x3+2, график которой проходит через данную точку Р (2;15).

РЕШЕНИЕ:

F(x) =Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения)

Т.к. график одной из первообразных проходит через точку (2;15), то составим и решим уравнение F(2)=15.

Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения)4+4+C=15, 8+C=15, C=7.

F(x) =Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения)

Ответ: F(x)=Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения)

  1. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=х4; у=1.

Решение.


  1. у=х4 - графиком данной функции является парабола ветви которой направлены вверх с вершиной в точке (0;0).

у=1 - уравнение прямой параллельной оси ОХ.

2. Строим график функции у=х4

х

-1

1

у

1

1

Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения)

3Найдем пределы интегрирования из уравнения х4=1

х1 = -1; х2 =1 отметим их на графике

4. Вычисляем площадь

Искомая площадь может быть получена как разность площадей прямоугольника АВСД и криволинейной трапеции АВЕСД

S ВCЕ = S АВСД - S АВЕСДКонтрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения)

S АВСД = АВ ×ВС = 1× 2 = 2 кв. ед.Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения)

S АВЕСД = Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения) Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения)

S ВCЕ = 2 - 0, 4 = 1,6 кв. ед.

Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения)Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения)

Ответ: 1,6 кв.ед.

Примечание: для удобства записи разность F(b) - F(a) в формуле Ньютона - Лейбница принято сокращенно обозначать Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения) . Пользуясь этим обозначением, формулу Ньютона - Лейбница запишем в виде: Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения) =Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения)

Контрольная работа

Тема Первообразная и интеграл .

  1. Найти все первообразные функции Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения) .

  2. Вычислите интеграл

Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения)

  1. Докажите справедливость равенства

Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения)

  1. Найдите первообразную функции Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения) значение которой при х=0 равно 6.

  2. Является ли функция Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения) первообразной для каждой из следующих функций: Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения) , Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения) , Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения) ?

  3. Найти площадь криволинейной трапеции Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения) , y = 0, x = 2, x = 4.


  1. Найдите первообразную функции Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения) , график которой проходит через данную точку Q (-2;4).


    8.Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

    Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения), y = 2, x = 4.

    1. Применяя правила первообразных вычислите все первообразные функций:

    а) Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения) б) Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл.(12 класс заоной формы обучения)

    Варианты выполнения контрольной

    Начальная буква фамилии

    Номера заданий

    А Б Ю Я

    1, 3, 5, 8


    Г Д Щ Ш

    2, 4, 6, 9


    Ж З Ц Ч Э

    1, 2, 5, 7


    И Е Ф Х К

    3, 4, 5, 9


    Л М Н Т У

    1, 3, 4, 7


    В О П Р С

    2, 3, 6, 8



    © 2010-2022