Урок на тему: Изготовление и знакомство с листом Мебиуса

Геометрия

5 класс

Тема

«Изготовление и знакомство с листом Мебиуса».

(1 час)

Цели урока:

У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое "поверхность". Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Пример листа Мёбиуса показывает, что может.

Лист Мёбиуса очень легко сделать, подержать в руках, разрезать, поэкспериментировать как-нибудь еще. Изучение листа Мёбиуса - хорошее введение к элементам топологии.

Методические замечания.

К занятию, посвященному листу Мёбиуса, полезно подготовить достаточное количество бумажных лент, с которыми будут проводиться эксперименты. Хороши ленты, у которых длина примерно в 4 раза больше ширины. При разрезании листов Мёбиуса, склеенных из более узких лент, получатся слишком тонкие "кольца". Предложите набор лент, клей и ножницы каждому школьнику для экспериментальной работы сначала параллельно с учителем, а потом самостоятельно.

Изготовление и знакомство с листом Мёбиуса.

Смотрите, я беру бумажную ленту ABCD, разделенную по ширине пополам пунктирной линией. Прикладываю ее концы АВ и CD друг к другу и склеиваю. Но не как попало, а так, чтобы точка А совпала с точкой D, а точка В с точкой С. Перед склейкой я перекрутила ленту один раз. Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо. У него есть даже особое название - "Лист Мёбиуса".

Сколько сторон у листа Мёбиуса?

У ленты, из которой сделан лист Мёбиуса, две стороны. А у него самого, оказывается, есть только одна сторона!

Попробуйте покрасить одну сторону листа Мёбиуса - кусок за куском, не переходя за край ленты. И что же? Вы закрасите весь лист Мёбиуса! "Если кто- нибудь вздумает раскрасить "только одну" сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть лучше сразу погрузит ее всю в ведро с краской"- пишут Рихард Курант и Герберт Робинс в превосходной книге "Что такое математика".

• Если на внутреннюю сторону обычного кольца посадить паука, а на наружную - муху и разрешить им ползать как угодно, запретив лишь перелезать через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи, не так ли? А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук ползает быстрее!

Историческая справка.

Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал в 1858 г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790- 1868), ученик "короля математиков" Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика была обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX в. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса.

Топология как наука.

Лист Мёбиуса - один из объектов области математики под названием "топология" (по-другому - "геометрия положения"). Удивительные свойства листа Мёбиуса - он имеет один край, одну сторону, - не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология.

В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины).

С точки зрения топологии баранка и кружка - это одно и то же. Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар - разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

Среди букв русского алфавита тоже есть топологически одинаковые буквы. Предлагаю детям представить, что они сделаны из мягкой проволоки и перечислить топологически родственные буквы (проволоку можно гнуть и растягивать).

Эксперименты для всех.

Возьмем нами приготовленный лист Мёбиуса и разрежем склеенную ленту посередине, вдоль пунктирной линии. Как вы думаете, что получится? Конечно, если бы мы не перекрутили ленту перед склейкой, все было бы просто: из одного широкого кольца получилось бы два узких (это тоже лучше продемонстрировать). А что сейчас?

Получилось не два кольца, а одно, вдвое уже, но зато вдвое длиннее. К тому же перекручено оно не один раз, а два. Предлагаю детям результат эксперимента занести в таблицу.

Число

перекручиваний

Результат

разрезания

Свойства

Рисунок

0

2 кольца

Длина окружности та же, но кольцо в два раза уже

1

1 кольцо

Кольцо перекручено дважды, оно вдвое длиннее, но уже

2

2 кольца

Кольцо перекручено дважды, оно вдвое длиннее, но уже

3

1 кольцо

Кольцо перекручено 6 раз и оно вдвое уже

Изобразить затруднительно

Продолжаю эксперименты.

А ну-ка, разрежем это кольцо еще раз посередине. Получится два сцепленных друг с другом кольца, каждое из которых дважды перекручено (заносим результат в таблицу).

Возьмем кольцо с тремя перекрутами и разрежем опять посередине. Получим одно кольцо вдвое длиннее и уже с множеством перегибов.

Может быть кто-то сумеет их пересчитать? (Заканчиваем заполнение таблицы).

Эксперимент на дом.

а) На обеих сторонах ленты на равном расстоянии от краев провести по две пунктирные линии.

Склеить лист Мёбиуса. Разрезать по пунктирным линиям. Описать полученный результат.

(Получается 2 кольца. Одно из них вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое перекручено. Оно получилось из краев исходной ленты. Другое - лист Мёбиуса - состоит из центральной части исходного листа Мёбиуса.

Прошу дать прогноз для подобного эксперимента, но когда лента не была перекручена. (Два тонких кольца и центральная часть).

б) Приготовьте ленту шириной 5 см, на которой нанесите пунктир, отступив от края на

1. см, 2 см, 3 см и 4 см. Сделайте из неё лист Мёбиуса. Что получится, если разрезать его по пунктиру?

Получим 3 кольца:

кольцо - лист Мёбиуса - 1 перекрут, ширина 1 см, длина равна длине исходного кольца.

II, III - кольца кольца с двумя перекрутами, ширина 1 см, длина в 2 раза больше исходного листа.

2. и III кольцо сцеплены с I кольцом и между собой.

Можно ставить еще немало экспериментов по разрезанию лент. Попросите учеников придумать и поставить свой эксперимент, суть которого отразить на отдельном листе бумаги.