82

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

В школьном курсе алгебры и начала анализа большую часть составляют основы дифференциального и интегрального исчисления. А изучение комплексного числа не внесено в современные программы ни углубленного уровня изучения математики учащимися общеобразовательных школ, ни в программы курсов по выбору профессионального или академического уровня, Однако эта тема представляет значительный интерес для школьника, и в преподавания математики школьного курса ранее изучалась, например, в середине ХХ века - в советской школе.

Операционное исчисление - один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев посредством простых правил решать сложные математические задачи, в первую очередь дифференциальные уравнения. В основе методов лежит идея замены изучаемых функций (оригиналов) некоторыми другими функциями (образами или изображениями), получаемыми по определенным правилам, причем действия над оригиналами заменяются более простыми действиями над изображениями.

Операционный метод в школьном курсе общеобразовательных школ не изучается, но его можно было бы применять для развития математических навыков школьников при решении обыкновенных дифференциальных уравнений.

Актуальность данной темы - в том, что на современном этапе обучения математики понятия про методы операционного исчисления открывают широкие возможности для использования математики в разных сферах науки и практики, формируют научное мировоззрение, дают возможность составлять и решать модели задач, которые характеризуют разнообразные процессы. Изучение элементов операционного исчисления помогает формированию у школьников цельного представления о математике делает знания практически более значимыми и применимыми, это помогает учащимся те знания и умения, которые они приобрели при изучении одних предметов, использовать при изучении других предметов, дает возможность применять их в конкретных ситуациях, при рассмотрении частных вопросов, как в учебной, так и во внеурочной деятельности, в будущей производственной, научной и общественной жизни выпускников средней школы. В тоже время методических разработок по изучению операционного исчисления в школе в настоящее время сравнительно мало.

Основателями символического (операционного) исчисления считают русских ученых М. Е. Ващенко-Захарченко и А. В. Летникова.
В научной литературе проблеме операционного исчисления были посвящены труды О.Хевисайда, А. М. Данилевского и А. М. Эфрос, М.И. Шкиля и других авторов, в которых освещены теоретические, содержательные и процессуальные аспекты метода операционного исчисления.

Цель работы - изучить и раскрыть теоретические и практические аспекты операционного исчисления как раздела математики и возможность применять элементы этого метода в преподавании школьного курса математики.

В соответствии с данной целью поставлены такие задачи:

1. раскрыть понятие метода операционного исчисления;

2. изучить возможность применения элементов операционного исчисления в школьном курсе математики;

3. разработать конспекты уроков по теме «Комплексный анализ и элементы операционого исчисления на уроках математики».

Объект исследования - процесс обучения математики в общеобразовательной школе.

Предмет исследования - методика преподавания темы «Комплексные числа и операционное исчисление» в старших классах на уроках математики.

Методы исследования - теоретические: изучение философской, математической, естественно-научной, педагогической, методической литературы с целью определения возможности использования операционного исчисления на уроках математики общеобразовательной школы; анализ разработок уроков учителей, систематизация и обобщение теоретических данных; эмпирические методы: опрос и анкетирование преподавателей математики с целью выявления их отношения к проблеме внедрения операционного исчисления в школьный курс; изучение разработок уроков по теме «Комплексные числа».

Новизна данной работы в том, что был проведен анализ возможности использования методов операционного исчисления для развития математических способностей школьников общеобразовательных школ и предложены рекомендации по их применению на уроках математики.

Практическое значение - возможность применять предложенный материал в учебном процессе математической подготовки учащихся в системе общего среднего образования

раздел 1
Основные понятия комплексных чисел и методов операционного исчисления

«Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое распространение»

Ф. Клейн.

Введение комплексных чисел связано с решением уравнений вида
х² + 1 = 0. В множестве R не существует решений данного уравнения, однако в множестве комплексных чисел - С решение существует. Множество С содержит элемент, квадрат которого равен (-1). Так как этот элемент не может быть действительным, то его обозначают через i, т. е. i² = - 1.

Комплексные числа находят широкое применение в задачах физики, геометрии, электротехники.

Операционное исчисление изобретено английским ученым О. Хевисойдом, предназначено для решения, дифференциальных уравнений и систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами как однородных так и неоднородных. Многие прикладные задачи описываются такими уравнениями. В частности, методы операционного исчисления позволяют с большим успехом рассчитывать любые процессы в сложных электрических цепях при произвольном внешнем напряжении [14, c.45].

Операционное исчисление - раздел математики, занимающийся главным образом алгебраическими операциями, производимыми над символами.

Операционное исчисление позволяет осуществить абстрактные постановки задач и обобщить такие разделы математического анализа, как теория дифференциальных и интегральных уравнений. Во многих задачах математического анализа рассматриваются ситуации, в которых каждая точка одного пространства ставится в соответствие некоторой точке другого (или того же) пространства. Пространства могут быть абстрактными, в которых «точки» в действительности являются функциями. Соответствие между двумя точками устанавливается с помощью преобразования или оператора. В задачу теории операторов входит подробное описание и классификация различных видов преобразований и их свойств, а также разработка символических методов, позволяющих минимизировать и упростить вычисления. Обычно теорию операторов применяют к пространствам, в которых допускается сложение или умножение точек, т.е. линейным пространствам, группам, кольцам, полям и т.д.[54, c.24]

Можно сказать, что операционное исчисление - один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев посредством простых правил решать сложные математические задачи, в первую очередь дифференциальные уравнения.

В основе методов лежит идея замены изучаемых функций (оригиналов) некоторыми другими функциями (образами или изображениями), получаемыми по определенным правилам, причем действия над оригиналами заменяются более простыми действиями над изображениями.

Например, в основе методов для решения дифференциальных уравнений лежит идея интегральных преобразований, связанная с сопоставлением решению исходной задачи, функции f(t) действительного переменного некоторой функции F(p) комплексного переменного так, что обыкновенное дифференциальное уравнение для f(t) переходит в алгебраическое для F(p). Аналогично, уравнению в частных производных для функции двух действительных переменных может быть сопоставлено обыкновенное дифференциальное уравнение. Это позволяет облегчить технику вычислений. Основную роль в операционном исчислении играет преобразование Лапласа [35, c.36].

Мощным стимулом для развития теории операторов стали современные проблемы квантовой теории. Наиболее полные результаты получены для дистрибутивных операторов, в том числе гильбертовом пространстве. Интерес к этой области во многом связан с представлением таких операторов интегральными преобразованиями.

1. История комплексного числа и методов операционного исчисления

Человечество всегда сталкивалось с проблемами неразрешимости каких-либо задач и искало, иногда успешно, иногда нет, пути их решения. Вспомним немного историю изучении чисел и методов исчисления. Математика - одна из древнейших наук мира.

Древнегреческие математики считали «настоящими» только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел. В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как . Наряду с натуральными числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби [25, c.102].

Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что «… элементы чисел являются элементами всех вещей, и весь мир в целом является гармонией и числом». Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно[25, c.104].

Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа , чтобы .

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида кубические и квадратные корни: .

Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (), а если оно имеет три действительных корня (), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня) [ 31].

В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее, всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.

Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений , не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида , , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что . Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин «комплексные числа» также был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д., образующих единое целое [31].

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707): . С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу : , которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что . Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.

2. История изучения методов операционного исчисления

История операционного исчисления ведет свое начало от таких великих математиков XVII-XVIII веков как Лейбниц и Сервуа, а в дальнейшем исследования в этом направлении принадлежали Мурфи, Булю, Грегори, Грэвсу, Хэргриву, Джиллету, Кермайклу и Кэйли. Английские математики применяли символические методы в дифференциальном и интегральном исчислениях, в исчислении конечных разностей, в теории дифференциальных и разностных уравнений. В их работах была выяснена сущность законов Сервуа и более глубоко обосновано возможность применения символики. Сами символы получили серьезное математическое определение, и применение их стало, если можно так назвать, стандартизировано. Изучены рациональные функции, целые и нецелые относительно соответствующей символики, что дало возможность вывести интересные формулы [4, c.67].

Для доказательства некоторых математических положений пользовались операторами символьными преобразованиями такие математики как Каке, Пикар и Коши. И с помощью уравнения
p^-1 f( t)= du.

Пикар и Коши разрабатывают метод доказательства существования и единственности решения дифференциальных уравнений Значительное усовершенствование методов символического исчисления принадлежит Лиувиллю.

Уже в середине XIX века появились математические работы, посвященные символическому, или операционному исчислению. Одной из основных целей их была «алгебраизация» дифференциальных уравнений, то есть замена исходных ДУ эквивалентными в отношении получаемых результатов алгебраическими. Одними из первых в этой области были работы профессора Киевского университета М. Е. Ващенко-Захарченко и одного из основателей Московского математического общества А. В. Летникова. Исследования Лиувилля использовал в своих работах А. В. Летников. Непосредственной причиной исследований А. В. Летникова в области теории дифференциальных уравнений явились попытки найти общий метод их интегрирования. Однако дать полное решение поставленной задачи Летникову не удалось [4, c.56].

Попытка создания символического исчисления была сделана в 1886 г. Швейцарским математиком Ольтрамаре. Его исследования, подобно исследованиям А. В. Летникова, являются развитием идей Лиувилля и названы функциональным символическим исчислением. Благодаря своим расчетам Ольтрамаре получил большое количество формул.

В начале XX века появились работы английского учёного Оливера Хевисайда (1850-1925 гг.), в которых решались различные задачи электротехники и электросвязи методами, близкими, а иногда и совпадающими с методами, предложенными Ващенко-Захарченко. Работы О. Хевисайда имели большое значение для развития операционного исчисления. Можно сказать, по требованиям времени в науке появляется неоднозначная фигура О. Хэвисайда.

Хэвисайд - английский ученый-самоучка, инженер, математик и физик. Впервые применил комплексные числа для изучения электрических цепей, разработал технику применения преобразования Лапласа для решения дифференциальных уравнений, сформулировал уравнения Максвелла в терминах электрической и магнитной сил и потока, и независимо от других математиков создал векторный анализ. Несмотря на то, что Хэвисайд большую часть жизни был не в ладах с научным сообществом, его работы изменили облик математики и физики на многие годы. Без него современный мир информационных технологий выглядел бы совсем по- другому. В 1873 г. он разработал теорию линий передачи (также известную как «телеграфные уравнения») [20, c. 68].

Уравнения Хэвисайда способствовали дальнейшему развитию телеграфной связи, однако он применял свои глубокие математические познания также в самых различных областях естествознания: занимался определением возраста Земли, изучением движения электронов, термоэлектрическими изысканиями, изучением увеличения массы тел при очень высоких скоростях.

Между 1880 и 1887 годами Оливер Хэвисайд разрабатывал операционное исчисление, он ввел обозначение для дифференциального оператора, метод решения дифференциальных уравнений с помощью сведения к обыкновенным алгебраическим уравнениям, который по началу вызвал бурную полемику из-за отсутствия строгого обоснования. Тогда он произнес известную фразу: «Математика есть наука экспериментальная, определения появляются последними». Это было ответом на критику за использование еще не вполне определенных операторов.

Ему, как инженеру-электрику, нужны были решения, а не строгость. Хэвисайд задался целью выработать метод для решения дифференциальных уравнений, обыкновенных или в частных производных. При этом трансцендентная операция дифференцирования должна была быть заменена алгебраической операцией умножения. Принципиально эта мысль не была новой, к ней постоянно обращались на протяжении двух столетий, и, исходя из нее, была создана целая серия более или менее остроумных систем символических исчислений. Но лишь Хэвисайду удалось создать такую систему, которая, постоянно совершенствуясь, смогла развиться в исчисление, ставшее рабочим инструментом физиков и инженеров самых различных специальностей [7, c.98].

Наиболее полно Хэвисайд изложил свои идеи во втором томе известного трехтомного сочинения «Электромагнитная теория». Одним из наиболее интересовавших Хэвисайда вопросов, решению которого он уделил много внимания, было распространение возмущений в длинных линиях с учетом или без учета индуктивности самих линий, а также в линиях, заканчивающихся каким-либо полным сопротивлением. Именно этот вопрос он использовал для применения операционного исчисления. Простота его решения этих иногда весьма сложных задач были просто удивительны. Из нескольких операционных представлений он выводит новые, причем, делает это часто так кратко и элегантно, как можно едва ли сделать многими более точными математическими методами. Имея достаточную сводку таких «операционных представлений», или изображений (по современной терминологии), каждый, кто знаком с техникой метода, может cамостоятельно и без особых затруднений вывести новые операционные соотношения между более или менее сложными функциями.

Изложенное выше относится к абстрактным математическим применениям операционного исчисления Хэвисайда, однако следует иметь в виду, что это исчисление оказалось чрезвычайно ценным при исследовании любых переходных процессов, как в электрических, так и в механических системах, поскольку такие системы подчиняются линейным дифференциальным, разностным или интегральным уравнениям. Сведение к линейным задачам было исходным предположениям Хэвисайда и его непосредственных продолжателей. Оно, как показано выше, обусловливалось историческим развитием теории символических методов. Кроме того, самой теории решения задач нелинейной механики не существовало. Она была создана значительно позднее, лишь в первой половине 30-х годов ХХ века.

Поэтому ограничение операционных методов линейными проблемами было весьма существенным, и до определенного времени вопрос о возможности его распространения на нелинейные задачи даже не поднимался [12, c.123].

Все положения операционного исчисления были выведены Хэвисайдом эмпирически и более или менее независимо от других математиков (Хэвисайд очень мало ссылается на работы своих предшественников).

Впервые он попытался опубликовать свои результаты в серии статей «Об операторах в физической математике». Одним из важнейших результатов Хэвисайда является также теорема (формула) разложения.

Таким образом, Хэвисайд предложил формальные правила обращения с оператором p = и некоторыми функциями от этого оператора, решил ряд важнейших задач электродинамики. Однако операционное исчисление не получило в трудах Хевисайда математического обоснования, многие его результаты оставались недоказанными. Дальнейшее развитие операционного исчисления состояло в обосновании рассуждений Хэвисайда.

Вскоре в качестве основного положения исчисления было принято преобразование Лапласа. Строгое обоснование операционного исчисления было дано с помощью интегрального преобразования Лапласа. Если при этом преобразовании функция f (t ) , 0 t < +, переходит в функцию F(z), где z=x +iy, обозначается как f(t)F(z), то производная перейдет в функцию zF(z) - f(0), т.е. f ' (t ) zF(z) - f(0), и интеграл .

Таким образом, оператор дифференцирования р переходит в оператор умножения на переменную z, а интегрирование сводится к делению на z.

В начале 20-х годов операционное исчисление снова попадает в поле зрения математиков. С 1916 г. в этом направлении работает Бромвич. В этот же период Карсон попытался создать для операционного исчисления прочную математическую основу. Он показал, что операционные методы Хэвисайда можно полностью обосновать, исходя из преобразования Лапласа. В сущности, ему принадлежит честь обращения внимания математиков к преобразованию Лапласа. При этом возникает тенденция вообще уничтожить какое-либо значение «оператора» и вернуть исчислению старое название - «символическое исчисление», хотя между операционным исчислением и символическим исчислением первой половины XIX века была «дистанция огромного размера» [14, c.68].

Однако в конце XIX века развитие теории символьного исчисления начало тормозиться. Стремительное развитие техники ставило конкретные задачи и ожидало на них быстрого ответа, инженерам нужна была не теория, а практические методы. Корни такого практического, прикладного направления в математике, как операционное исчисление, следует искать в XVIII веке. Характерно, что именно в 18 веке была существенно упорядочена обычная (с современной точки зрения) математическая символика. Это обстоятельство явилось, вероятно, катализатором первых еще не ясных идей о возможности введения новых символов, применение которых смогло бы упростить сложные математические операции.

Существенные усовершенствования внесли в обоснование операционного исчисления также П. Леви и Джеффрис. Построение новой системы операционного исчисления на основе преобразования Лапласа снимает саму идею действия «оператора». На «оперируемое выражение», и поэтому, как указывает Ван-дер-Поль, вновь появляется право применять вместо термина «операционное исчисление» термин символическое исчисление» [22, c.345].

В 30-х годах вопросами операционного исчисления занимались А. М. Данилевский и А. М. Эфрос. А. М. Данилевский, инженер-электрик по образованию, с 1935 г. работал в Математическом институте Харьковского университета. Он обладал большой и разносторонней математической эрудицией. В этот период Данилевский опубликовал ряд исследований, в частности работу «О численном решении волнового уравнения» А. М. Эфрос также был сотрудником Математического института Харьковского университета. Он окончил Харьковский электротехнический институт, защитил кандидатскую и докторскую диссертации и получил звание профессора. Его исследования относятся к области операционного исчисления.

А. М. Данилевский и А. М. Эфрос опубликовали в 1937 г. большую работу по операционным методам «Операционное исчисление и контурные интегралы». В своих исследованиях Эфрос и Данилевский исходили из операционного исчисления Хевисайда в той его форме, которая была разработана Карсоном. Так, в работе «Некоторые применения операционного исчисления к анализу» Эфрос значительно дополняет соотношения, выведенные Карсоном, Ван-дер-Полем и другими учеными. Для этого он пользуется различными методами и способами операционного исчисления, которые сводит, в основном, к следующим: применение теоремы Бореля (обычной и обобщенной); суммирование изображений и начальных функций; применение рядов изображений и рядов начальных функций; дифференцирование и интегрирование символических соотношений по определенному параметру; смешанные преобразования; вычисления интегралов с помощью введения параметров, преобразуемых символически. Ученые ХПИ и его выпускники также добились успехов в деле развития операционного исчисления, используя его математический аппарат для решения технических задач. Одним из них был выпускник Харьковского политехнического института Айзенберг Яков Ейнович (1934-2003). Начав свою деятельность инженером, он вырос в крупного ученого-теоретика.

Доктор технических наук, профессор, академик. Областью его научной деятельности было создание алгоритмов управления ракетой. Управление межконтинентальными баллистическими ракетами (МБР) - одна из наиболее сложных систем, созданных человечеством. А техника, разработанная в нашей стране, была одной из первых в мире. Ученый занимался ракетами носителями космических аппаратов, возглавляя НПО «Хартрон». Выделим среди его трудов работу «О применении операционного исчисления к краевым задачам» [35, c.126].

Отметим также еще одного великого ученого Наума Ильича Ахиезера (1901-1980), который внес огромный вклад в развитие науки. Он был основателем кафедры прикладной математики в ХПИ и заведовал ею с1947 г. по 1955 г. Научные результаты Н. И. Ахиезера относятся к теории приближений, проблеме моментов, теории функций комплексного переменного, гидромеханике и теории сингулярных интегральных уравнений. Характерной чертой для большей части его исследований является широкое использование методов теории функций комплексного переменного. Его труд «Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве», написанный в соавторстве с И. Н. Глазман, который имеет отношение к символьному исчислению, позволяет решать электротехнические задачи, например задача расчёта динамических режимов различных цепей.

Таким образом, история появления комплексных чисел начинается с XVI века, а исследование методов операционного исчисления связано в первую очередь с практическим применением математики для изучения физических процессов, что и доказывает большую значимость метода операционного исчисления.

1.3. Основные понятия комплексного числа

1.3.1.Определение комплексного числа

Комплексным числом z называется выражение , где a и b - действительные числа, i - мнимая единица, которая определяется соотношением: , при этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).

Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

Числа и называются комплексно-сопряженными.

Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел [1].

Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.

Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY - чисто мнимые.

С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.

1.3.2. Алгебраическая и тригонометрическая форма чисел

Запись комплексного числа z в виде a + ib называется алгебраической формой комплексного числа. Рассмотрим другие формы записи комплексных чисел.

Пусть r- модуль, а - какой-либо из аргументов комплексного числа z = a + ib, то есть r = , . Для того, чтобы перейти от алгебраической формы комплексного числа a + ib к тригонометрической, достаточно найти его модуль и один из аргументов. Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде:

Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа. При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона - аргументом комплексного числа.

.

Из геометрических соображений видно:

Очевидно, что комплексно-сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.

Все алгебраические действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме, совершаются по тем же правилам, что и с комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Складывать и вычитать комплексные числа проще и удобнее, когда они заданы в алгебраической форме, а умножать и делить - в тригонометрической форме. Существуют три теоремы[2, c.56].

Теорема1. При умножении любого конечного количества комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Доказательство. Ограничимся двумя сомножителями; общий случай без труда получается индукцией. Итак, мы должны доказать, что (r. (1)

Но (откуда непосредственно вытекает равенство (1). Так как из r rследует, что то r-модуль, а - аргумент произведения двух данных чисел. Теорема доказана.

Теорема 2. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Доказательство. Преобразуем дробь умножив её числитель и знаменатель на . В результате получим Поскольку i = -1, знаменатель второй дроби равен Числитель же можно записать так:

Применив правило умножения, получим

cos, что и требовалось доказать.

Теорема 3. Пусть z - комплексное, и n - натуральное число. Во множестве комплексных чисел выражение при z =0 имеет единственное значение равное нулю, а при z0 - n различных значений. Если z = r(cos + i sin), то эти значения находятся по формуле

=(cos + i sin).

=0,1,…, n-1.

Доказательство. Поскольку и из следует, что 0 = 0, z = 0. Пусть теперь

z = r(cos. Обозначив через и соответственно модуль и аргумент корня, будем иметь =. Отсюда по формуле Муавра r(cos Следовательно, должны выполняться соотношения , откуда , то есть (4). Сколько различных значений мы получим? Легко убедиться, что пока мы будем подставлять в последнюю формулу значения = 0,1,2,…, n-1, все получаемые значения корня будут различны, поскольку будут различны их аргументы. При получим , и корень будет равен , то есть мы получим тот же корень, что и при k = 0. Аналогично, при k = n+1, n+2 и так далее, мы будем получать те же корни, что и при k=1, 2, … . Таким образом, целое число k в формуле (4) изменяется в пределах от 0 до n-1. Теорема доказана [2, c.106] .

Пример 1. Найти модуль комплексного числа:

а) 21 - 20 i; б) i( i - 1); в) (i - 1)/ i

Решение.

а) = 29

б)

в)

Пример 2. Записать данное комплексное число в стандартной тригонометрической форме:

а) -3 + 4 i ; б)

Решение.

а) Найдём модуль числа z = -3 + 4 i . Получим:

= 5. Значит, .

Этим условиям удовлетворяет число

Итак, -3 + 4 i = , где .

б) Найдём модуль числа z = . Получим:

= 2. Значит, .

Этим условиям удовлетворяет число

Итак, = [3, c.175]

1.3.3. Действия с комплексными числами

Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

1) Сложение и вычитание:

2) Умножение.

В тригонометрической форме:,

В случае комплексно - сопряженных чисел:

3) Деление: ,

В тригонометрической форме:

4) Возведение в степень: Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:, где n - целое положительное число. Это выражение называется формулой Муавра. (Абрахам де Муавр (1667 - 1754) - английский математик). Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов [9, c.145].

Пример. Найти формулы sin2 и cos2.

Рассмотрим некоторое комплексное число

Тогда с одной стороны .

По формуле Муавра:

Приравнивая, получим

Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то ;

Получили известные формулы двойного угла [10, c.123].

5) Извлечение корня из комплексного числа:

Возводя в степень, получим:

Отсюда:

Таким образом, корень n - ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

Пример 3. Найти сумму и произведение комплексных чисел. Дано , , . Вычислить:

а) ; б) ; в) .

Решение.

а) .

б) .

в) ;

;

.

Пример 4. Дано , . Вычислить:

.

Решение.

;

.

Значит, .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение.

Разложим левую часть на множители:

[25, c.345].

Таким образом, все множества чисел такие, как натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, частными случаями комплексных чисел. Комплексные числа можно представить геометрически в виде радиус-вектора, у которого модуль r = , аргумент - угол вектора , и алгебраически в виде выражения вида z = a + ib, где а- действительная часть, ib - мнимая часть комплексного числа. С комплексными числами можно выполнять все алгебраические действия - сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень.

Выводы по разделу 1

Комплексные числа и теория операционного исчисления в современной математике имеет большое значение, как закономерный итог эволюции числа и необходимость практических потребностей людей в узком смысле слова. Комплексные числа возникли из внутреннего развития математики как науки и практики решения алгебраических уравнений.

История операционного исчисления ведет свое начало от таких великих математиков как Лейбниц и Сервуа, а в дальнейшем исследования в этом направлении принадлежали Мурфи, Булю, Грегори, Грэвсу, Хэргриву. Английские математики применяли символические методы в дифференциальном и интегральном исчислениях, в исчислении конечных разностей, в теории дифференциальных и разностных уравнений. Такие задачи были важными для практического применения в физике. Значительное усовершенствование методов символического исчисления принадлежит Лиувиллю. Если теория существования комплексные числа изучались еще древними вавилонянами и греками, то математические работы, посвященные символическому, или операционному исчислению появились только с середине XIX века. Одной из основных целей их была «алгебраизация» дифференциальных уравнений, то есть замена исходных ДУ эквивалентными в отношении получаемых результатов алгебраическими. Одними из первых в этой области были работы профессора Киевского университета М. Е. ащенко-Захарченко и одного из основателей Московского математического общества А. В. Летникова.

раздел 2
понятия операционного исчисления

Операционное исчисление - один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев посредством простых правил решать сложные математические задачи. В основе метода лежит идея замены изучаемых функций (оригиналов) некоторыми другими функциями (образами), получаемыми из данных по определенным правилам, причем действия над оригиналами заменяются более простыми действиями над образами.

Существуют различные виды таких преобразований: преобразование Фурье, Лапласа, Ханкеля, Мейера, Конторовича-Лебедева ряд других. Наиболее распространены преобразования Лапласа.

2.1. Преобразование Лапласа

Пусть функция f(t) обладает следующими свойствами:

1) f(t) 0 при t < 0 ; 2)| f(t)| < M при t > 0, где М > 0 , т.е. f(t) возрастает не быстрее некоторой экспоненты и s₀ - показатель роста функции ; 3) На любом промежутке оси [a,b] выполняются условия Дирихле - функция кусочно-непрерывна и имеет конечное число экстремумов и точек разрыва I рода.

Такие функции наз. изображаемыми по Лапласу или оригиналами. Запишем интеграл

= F(p) ( 1 )

где p = s + iq - комплексная переменная. При s и F(p) 0 . При указанных условиях он сходится и наз. интегралом Лапласа, а функция F(p) наз. изображением оригинала. Переход от f(t) к F(p) наз. преобразованием Лапласа и обозначается f(t) =: F(p) или F(p) =: f(t). Для значения f(t) в точке разрыва t₀ выбирают f(t₀) = ½ [f(t₀ - 0) + f(t₀ + 0)] . При этих условиях между f(t) и F(p) существует взаимно - однозначное соответствие [34, c.167].

Смысл преобразования - многим операциям над оригиналом соответствуют более простые операции над изображением. Например, решение дифференциальных и интегральных уравнений может существенно упроститься.

2.2. Нахождение изображений

Вычислим изображение единичной функции и экспоненты

Пример 1 (t) = , (t) =: = = , Re p > 0

Пример 2 = , =: = = ,

Re p > a = s₀

Свойство линейности. Т.к. интеграл от суммы функций равен сумме интегралов, то линейной комбинации оригиналов соответствует линейная комбинация изображений.

С₁ f₁(t) + С₂ f₂(t) =: С₁ F₁(p) + С₂ F₂(p)

Из формулы Эйлера e^it = cos t + i sin t имеем соs t = ½(e^it + e^-it) , sin t = ½i(e^it - e^-it) и для оригиналов этих функций вычислим изображения

Пример 3 f(t) = cos t = ½(e^it + e^-it) =: ½ [] =

Пример 4 f(t) = sin t = ½i(e^it - e^-it) =: 1/2i [] =

Пример 5 f(t) = t =:==+= = . f(t) = t² =: = = + += = . Аналогично имеем t³ =:, t⁴ =:, . . . и получаем tⁿ =: [34, c.234].

2.3. Теоремы подобия, смещения, запаздывания

Теорема подобия. Дополнительное умножение аргумента t в оригинале на число а R, a > 0 приводит в изображении к уменьшению в а раз параметра p и самого изображения, f(аt) =: F() . ( 2 )

Доказательство.

f(аt) =: = = =

= = = F()

Пример 6 sin at =: = ; cos at =: =

Теорема смещения. Переход в изображении от p к (p + z), где z комплексное число, причем Re (p + z) > s₀ , приводит к дополнительному умножению оригинала на экспоненту e^-zt

F(p + z) =: e^-zt f(t) ( 3 )

Доказательство.

e^-zt f(t) =: = = F(p + z) [34, c.256]

Пример 7 e^zt sin at =: ; e^zt cos at =:

Теорема запаздывания. Уменьшение параметра t в оригинале на величину > 0 приводит к дополнительному умножению изображения на экспоненту

f(t -) (t-) =: F(p) ( 4 )

Доказательство.

f(t -) =: = +

+

Первый интеграл равен 0, т.к. (t-) = 0 при t < .

f(t -) =: = =

= = F(p)

Пример 8 (t - ) =: и (t - a)(t - а) =: с учетом Примера 5.

2.4. Поиск изображения по графику оригинала

Для нахождения изображения по графику оригинала

построим аналитическое выражение для данной

функции,на основе общего уравнения прямой,

проходящей через две точки (t₁, y₁) , (t₂, y₂) = ( 5 )

и свойств единичной функции (t - а) =

(t) (t) - (t - а)

Решение. Функцию на интервале [0 , a] описывает разность двух единичных функций (t) - (t - а) . Первую наклонную определим из ( 5 ) по точкам (2а, 0), (а, 1): y =- (t - 2a). Для перехода от бесконечной прямой к отрезку на интервале [a, 3a] умножим уравнение на разность(t -а) -(t -3а) Вторую наклонную определим из ( 5 ) по точкам (4а,0) , (3а,-1): y =(t - 4a), и умножим уравнение на (t - 3а). Сумма этих трех выражений определит аналитический вид функции

f(t) = (t) - (t - а) - (t - 2a) [(t - а) - (t - 3а)] + (t - 4a) [(t - 3а)]

Представим f(t) в виде суммы слагаемых двух типов (t - b) и (t - b)(t - b)

f(t) =(t) -(t - а) -(t - a)(t - а) +(t - а) +(t - 3a)(t - 3а) +(t - 3а)+

+ (t - 3a) (t - 3а) - (t - 3а) = (t) - (t - a)(t - а) + (t - 3a)(t - 3а)

С помощью соотношений Примера 8 совершим переход к искомому изображению F(t) =: - + [35, c.136].

Таблица 2.1. Таблица оригиналов и их изображений

При помощи таблицы оригиналов и их изображений можно быстро решать задачи дифференциального и интегрального исчисления.

2.5. Отыскание оригинала по изображению

Если изображение является дробно-рациональной функцией F(p) = и m < n , то многочлен знаменателя представим в виде произ-ведения линейных множителей = .

Корни многочлена p_i могут быть действительными числами, комплексными числами и кратными. Комплексные корни входят сопряженными парами и приводят к трехчленам типа ( p² + p + ). В результате F(p) представ-ляется в виде суммы элементарных дробей типа , (метод неопределенных коэффициентов). Комбинируя эти дроби, можно пытаться построить изображения основных элементарных функций и затем по таблице восстановить оригинал [35, c.156].

Пример 10 Найти оригинал функции F(p) = .

= = + ½=: e^tcos 2t + ½ e^tsin 2t

Пример 11 Найти оригинал функции F(p) = .

= = + = =

p² | A + B = 0

p¹ | 2A - 2B + C = 0 A = 1/12 , B = -1/12 , C = - 1/3

p⁰ | 4A - 2C = 1

= - = -

Из формул № 3, 6, 7 оригинал f(t) =e^2t - e^-t (cos t+ sin t) .

Если в F(p) только простые нули : = , то разложение изображения упрощается

F(p) = , где ( 6 )

Пример 12 Найти оригинал функции F(p) =

Вычисляем производную от знаменателя = [ p(p - 1)(p - 2)(p - 3) ]` =

= (p - 1)(p - 2)(p - 3) + p(p - 2)(p - 3) + p(p - 1)(p - 3) + p(p - 1)(p - 2),

находим её значения в нулевых точках v₄`(0) = - 6 , v<sub>4</sub>`(1) = 2 , v₄`(2) = - 2 , v<sub>4</sub>`(3) = 6 , определяем коэффициенты A₀ = - 1/6 , A₁ = 1, A₂ = - 3/2, A₃ = 2/3

и по формуле ( 6 ) расписываем разложение изображения на простые дроби

F(p) = =: + - + .

Если F(p) разлагается в сходящийся ряд

F(p) = + + + . . . + + . . . ,

то его оригинал находится по формуле

f(t) = + + + . . . + + . . .

Этот ряд сходится при всех значениях t .

Пример 13 Найти оригинал функции F(p) = .

Используем формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии

== - + - . . . Этот ряд сходится при |p| > 1

По формуле № 2 получаем оригинал f(t) = - + - + . . .

2.6. Дифференцирование оригиналов и изображений

Теорема о дифференцировании оригинала Пусть оригинал f(t) и его производная f `(t) имеют одинаковый показатель роста s_{0 ,} тогда их изображения имеют простую алгебраическую связь

f `(t) =: p F(p) - f(0) ( 7 )

Доказательство.

f `(t) =: = ==

= [ f(t)e^-pt |₀^b + p ] = p F(p) - f(0) + f(b) e^-pb,

но последнее слагаемое обращается в 0 , т.к. Re p = s > s₀ [35, c.205].

Пример 14 Найти изображение cos t с учетом равенства cos t = (sin t)`

cos t = (sin t)` =: p - sin 0 =

Вычислим изображение 2 производной оригинала по формуле ( 7 )

f ``(t) =: p[ pF(p) - f(0) ] - f `(0) = p<sup>2</sup> F(p) - p f(0) - f `(0) ( 8 )

Переходя к производным высших порядков, получаем общую формулу

f⁽ⁿ⁾(t) =: pⁿ F(p) - p^{n - 1}f(0) - p^{n - 2}f `(0) - . . . - f^{(n - 1)}(0) , Re p > s₀ ( 9 )

Теорема о дифференцировании изображения Дифференцирование изображения приводит к оригиналу, который отличается от исходного оригинала только общим множителем - t :

F`(p) =: - t f(t) ( 10 )

К (10) приводит дифференцирование по p левой и правой части равенства (1). Повторные дифференцирования дают формулу

. ( 11 )

Пример15 Найти изображение для t sin at , t cos at , t e^at .

Так как sin at умножается на t , то достаточно продифференцировать его изображение

t sin at =: - ()` = ( формула № 10)

t cos at =: - ()` = ( формула № 9)

t e^at =: - ()` = ( формула № 8)

2.7. Интегрирование оригиналов и изображений

Теорема об интегрировании оригинала. Интегрирование оригинала приводит к делению изображения на параметр p

=: F(p) ( 12 )

Доказательство. Интеграл удовлетворяет всем 3 условиям, определяющим оригинал. Обозначим = Ф(p), тогда по формуле ( 7 ) имеем

()` = pФ(p) - = pФ(p) ,

но интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для подынтегральной функции и производная от него есть подынтегральная

функция, т.е. f(t) =: pФ(p) или Ф(p) =: F(p) [35, c.235] .

Пример 16. Найти изображение для f(t) = tⁿ .

Интеграл от единичной функции (t) дает t . Последующие интегрирования приведут к функции tⁿ /n! . При каждом интегрировании изображение F(p) = умножится на

=: = ; = =: ;

= =: ; = =:

В результате получим формулу № 2 из таблицы tⁿ =: .

Теорема об интегрировании изображения Интегрирование изображения от p до приводит к делению оригинала на переменную t

=: , ( 13 )

где F(z) аналитическая функция.

2.8. Приложения операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений

2.8.1. Задача Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид: x⁽ⁿ⁾+a₁x^(n-1)+a₂x^(n-2)+…+a_n-1x′+a_nx=f(t),
x(0) = x₀, x′ (0) = x₁, x″ (0) = x₂, …, x _{(n -1)} (0) = x_{n -1}.

Начальные условия в этой задаче заданы в точке t₀ = 0. Если начальные условия задаются в другой точке t₀ ≠ 0, то заменой аргумента
u=t - t₀ их сдвигают в точку u₀ = 0 [5, c.102].

Метод решения этой задачи основан на теореме о дифференцировании оригинала. Предположим, что функция x(t), её производные до n-го порядка, правая часть f(t) являются функциями-оригиналами, и x(t)X(p).

Тогда x ′(t)p X(p) − x(0) = p X(p) − x₀, x ″(t)p² X(p) − p x₀− x₁, …, x ⁽ⁿ⁾(t)p ⁿ X(p) − p ^{n - 1}x₀ − p ^{n - 2} x₁ − … − p x _{n - 2} − x _{n - 1}, и изображение задачи будет иметь вид p ⁿ X(p) − p ^{n - 1}x₀ − p ^{n - 2} x₁ − … − p x _{n - 2} − x _{n - 1} + a ₁( p ^{n - 1} X(p) − p ^{n - 2}x₀ − p ^{n - 3} x₁ − … − x _{n - 2}) + … + a _{n - 1}( p X(p) − x₀) + a _n X( p) = F( p), где F( p)f (t) - изображение правой части уравнения. Это линейное относительно X(p) алгебраическое уравнение, решив которое, находим X(p). Оригинал этого изображения и будет решением задачи Коши [ 5, c.124].

Пример 17. Найти решение задачи Коши x″− 2 x′ + x = e ^t, x(0)=1, x′(0)=2.

Решение. Пусть x(t)X(p). Тогда x ′(t)p X(p) − x(0) = p X(p) − 1, x ″(t)p² X(p) − p − 2, , и изображение задачи имеет вид . Находим X(p): . Обращаем это изображение:

, . Решение задачи: .

2.8.2. Общее решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

Решив задачу Коши с произвольными начальными условиями, мы получим общее решение уравнения. Так, для задачи предыдущего пункта
x″ − 2 x′ + x = e ^t, x(0) = C₁, x′(0) = C₂, изображение будет иметь вид

Решение задачи зависит от двух произвольных постоянных, представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения
x_{общ. одн.} = С₁ e ^t + (С₂ − С₁) t e ^t и частного решения , следовательно, является общим решением уравнения [13, c.236].

Пример18. Решить ЛДУ y``+ 6y`+ 9y = 9e<sup>3t</sup> при условии y(0) = y`(0) = 0.

Решение 1. Пусть y(t) =: F(p), тогда y`(t) =: p F(p), y ``(t) =: p² F(p), 9e^3t = (№3) и приходим к изображающему уравнению

p² F(p) + 6p F(p) + 9 F(p) = или F(p)(p² + 6p + 9) = . Решение представим в виде суммы простейших дробей

F(p) = = + + и просуммируем их.

Числитель A(p + 3)² + B(p² - 3²) + C(p - 3) = 9 приводит к системе 3 уравнений

p² | A + B = 0 A = ¼ Переход от изображения к оригиналу

p¹ | 6A + C = 0 B = - ¼ по формулам № 3, 8 дает

p⁰ | 9A - 9B - 3C = 9 C = - 3/2

y(t) = ¼ e^3t - ¼ e ^{- 3t} - 3/2 t e^-3t

Решение 2. Пусть y(t) =: F(p) и 9e^3t =: Ф(p). Решение изображающего уравнения F(p)(p² + 6p + 9) = Ф(p) представим в виде произведения двух изображений F(p) = Ф(p), которые соответствуют функциям t e^-3t и 9e^3t. Оригинал решения есть свертка этих функций: y(t) = = = 9 = 9 e^3t = =

= 9 e^3t { } = ¼ e^3t - ¼ e ^{- 3t} - 3/2 t e^-3t

Помимо рассмотренных выше примеров решения задач методами операционного исчисления, можно решать системы дифференциальных уравнений, интегральные уравнения [18, c.546].

Выводы по разделу 2

Идея операционного исчисления состоит в следующем. Пространство функций, удовлетворяющих некоторым достаточно общим условиям (пространство функций-оригиналов) взаимно однозначно отображается в другое пространство функций (пространство функций-изображений) так, что операциям дифференцирования и интегрирования в пространстве функций-оригиналов соответствуют более простые операции (конкретно - операции умножения и деления) в пространстве функций-изображений. В результате дифференциальное уравнение в пространстве функций-оригиналов преобразуется в линейное алгебраическое уравнение в пространстве функций-изображений, решение которого находится без проблем. Последнее действие - восстановление решения уравнения по его изображению.

Операционное исчисление можно рассматривать как один из методов решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений. Каких-либо решающих преимуществ этот метод перед другими не имеет; в то же время его простота сделала его основным инструментом при решении задачи Коши в целом ряде прикладных наук (механике, радиотехнике, электротехнике и т.д.).

Раздел 3
Использование операционного исчисления для преподавания математики средней школы

Современное общество предъявляет выпускнику школы достаточно высокие требования. Эти требования касаются и общей культуры выпускника и научной культуры. В нашем случае мы будем говорить о математической культуре, а еще точнее - об алгебраической.

С первого класса и до окончания школы главным понятием алгебры является понятие числа. Изучение чисел идет последовательно - натуральные числа, дроби, целые числа, иррациональные, действительные. На этом общеобразовательная программа ставит точку, оставляя существенный пробел в знаниях ученика, так как естественным и логически правильным является формирование более общего понятия - понятия комплексного числа. Тема «Комплексные числа» традиционно входила в программы по математике старшей школы с углубленным изучением математики. Комплексные числа важны как область математики, в которой в полную силу работают знания и умения, полученные учащимися при обучении алгебре и тригонометрии. Таким образом, переход от действительных чисел к комплексным является завершающим шагом во всем изучении понятия числа в школьном курсе математики.

Значительную часть курса алгебры и начала анализа составляет дифференциальное и интегральное исчисление, которые завершают в школьном курсе учение о функции. Логично было бы продолжить изучение операционного исчисления как завершающего этапа начала анализа в курсе общеобразовательной школы [30, c.456].

Если преподавание курса «Комплексные числа» рассматривались многими педагогами, например, проблема формирования и усвоения основных понятий комплексных чисел рассматривалась О.Шаран, и были предложены конспекты уроков по данной теме, то вопрос преподавания в школьном курсе математики основ теории операционного исчисления еще не рассматривался.

За основу разработки конспектов уроков по основам теории операционного исчисления можно взять лекции высшей школы.

3.1. Исторический обзор изучения комплексных чисел в общеобразовательной школе

Рассмотрим программы средней школы по математике, учитывая объем и содержание темы «Комплексные числа» в различные периоды развития советской и современной школы [8, c.304].

Выделим несколько этапов:

I этап: 1917 - 1932г.г.

II этап: 1933 - 1965г.г.

III этап: 1965 - 1967г.г.

IV этап: 1968 г. - по настоящее время

I этап (1917-1932г.г.).

В эти годы понятия о комплексных числах входили в обязательную программу по математике. В программы, по которым работали школы до 1932 года, изучались лишь мнимые числа. Комплексные числа и идея расширения понятия числа в программу этих лет не входили. Мнимые числа использовались лишь в двух темах: «простейшие преобразования и действия со степенями и корнями» и «решение квадратных уравнений». Перед школьниками ставилась задача о необходимости извлечения квадратного корня из отрицательного числа и потребность установления числа корней квадратного уравнения. Этим объяснялось введение мнимых чисел. Впервые в школу было введено рассмотрение комплексных чисел в 1932 году. По программе этого года следует вводить комплексные числа в 8-м классе при исследовании квадратных уравнений. Программой предусмотрено изучение следующих вопросов: запись мнимого числа через i; степени i; комплексное число; сопряжённые комплексные числа; сумма и произведение комплексных чисел; разложение суммы квадратов двух чисел на произведение двух сопряжённых комплексных чисел»[8, c.256] .

II этап (1932 - 1965 г.г.)

С 1933 и до 1935 года, комплексные числа в школе изучаются уже в значительно большем объёме. Школьников знакомят с ними в 8 классе, а более подробно изучают в 9 классе, где кроме действий над комплексными числами дается их геометрическое представление. В 1935-1937 г.г. впервые в программу 10 класса включаются комплексные числа (действия над ними, их тригонометрическая форма). Их изучение дается в темах «Расширение понятия о числе» и «Обобщение понятия о числе» .

В Объяснительной записке к программе 1938 г. составители прямо указывают, что «в курсе алгебры 10-го класса перед введением комплексных чисел желательно привлечь внимание учащихся к идее эволюции понятия числа и сообщить краткие исторические сведения. Необходимо сообщить учащимся, что комплексные числа играют очень значительную роль в современной технике, в частности в авиации и электротехнике». В 1938 году общее название темы «Обобщение понятия о числе» было заменено названием «Комплексные числа». Но, несмотря на такие рекомендации в Объяснительной записке, самостоятельно вопросы расширения понятия числа не включались в программы вплоть до 1964 года.

В программу 1964 года была включена тема «Обобщение понятия числа «Комплексные числа». Здесь вопросы расширения понятия числа в какой-то степени затрагивались в программах средней школы, а вопросы приложений совсем не были развиты[8, c.267].

III этап (1965 - 1967г.г.).

К середине 20 века выявилось отставание математической подготовки учащихся средней школы в теории комплексных чисел.

Действующая программа средней школы по математике мало способствовала формированию у учащихся правильного научного представления о понятии комплексного числа и его роли в общей идее расширения понятия числа.

В 1965 году был предложен проект программы средней школы по математике, где изучение комплексных чисел предлагалось начинать в 10 классе в курсе алгебры в темах.

В 1966 году был предложен проект программы, где тема «Комплексные числа» была включена второй темой в курс алгебры 10 класса, и на ее изучение отводилось 20 часов.

И, наконец, в 1967 году в журнале «Математика в школе» был опубликован «Проект программы средней школы по математике», в котором впервые в истории советской школы было предложено в дополнение к урокам математики ввести факультативные занятия с изучением на них специального курса «Дополнительные главы и вопросы математики». Согласно этому проекту тема «Комплексные числа» из обязательной программы была исключена и введена в курс «Дополнительные главы и вопросы математики».

Исключение темы «Комплексные числа» из программы общеобразовательной средней школы вызвало многочисленные возражения со стороны учителей, методистов и преподавателей ВУЗов. «Изучение комплексных чисел только на факультативных занятиях лишит большую часть учеников школы получить какое-либо представление о них. Для этой части будущих специалистов (если они не будут продолжать своего математического образования) комплексные числа останутся неизвестными. Изъятие этой темы обеднит уровень не только математического, но и общего развития учащихся, нанесет ущерб воспитанию у них диалектического мировоззрения» [8, c.287].

IV этап (1968г. - по настоящее время)

Прошедшая в 1968 году модернизация общеобразовательного курса математики привела тому, что до настоящего времени раздел «Комплексные числа» в обычных школах не изучается. В школах с углубленным изучением математики на самостоятельное изучении раздела отводится 20 часов в следующем объеме:

1. Развитие понятия комплексного числа: натуральные, целые, рациональные и действительные числа.

2. Комплексные числа в алгебраической форме. Арифметические действия с комплексными числами. Сопряженные комплексные числа.

3. Решение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами.

4. Комплексная область. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление, возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел.

5. Комплексные корни многочлена.

Как можно заметить, и здесь изучение темы «Комплексные числа» ведется очень абстрактно, оторвано от жизни и не оставляет никаких следов в сознании учащихся. О широком применении комплексных чисел учащиеся школ, как правило, не знают [8, c.289].

Предлагается разработка урока знакомства с комплексными числами в 11 классе ( см. Приложение А)

3.2. Изучение операционного исчисления в общеобразовательной школе как один из методов решения уравнений и систем уравнений

Изучение методов решения уравнений входит составной частью в содержание обучения математике на протяжении всех лет пребывания учащихся в школе. Совокупность относящихся к этому вопросу знаний, умений и навыков учащихся образует определенную содержательно-методическую линию курса математики, пронизывающую весь материал обучения и тесно связанную с другими основными линиями курса - вычислительной, алгоритмической, логической и другими. Методов операционного анализа является продолжением изучения уравнений, но уже дифференциальных. Изучение теории операционного исчисления в общеобразовательной школе целесообразно проводить, когда уже изучены основные понятия алгебры и начала анализа [11, c.57].

Изучение курса начал анализа совпадает с периодом повзросления учащихся, определения их интересов и стремлений, общей жизненной позиции. Это дает возможность использовать для повышения интереса к обучению естественное стремление развивающегося ума увидеть не только количественный рост знаний, но и качественное развитие - переход на новую ступеньку. Разными школьниками движут разные мотивы. Одних привлекает то, что, изучив начала анализа, они поднимутся на более высокую ступень, другие, интересующиеся техникой, знают, что современное производство уже включило в свой язык не только числа и формулы, но и понятия и терминологию дифференциального исчисления. Третьи, не собирающиеся связывать свою профессию с естественными науками или техникой, особенно чутки к «гуманитарной» стороне математики; таких школьников может привлечь то, что изучение, понимание математического анализа требует большой отточенности логики, воображения и, значит, изучая его, можно развить свою способность мыслить [16, c.8].

Операционное исчисление рассматривается как один из способов решения дифференциальных уравнений. Можно сказать, что операционное исчисление - один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев посредством простых правил решать сложные математические задачи, в первую очередь дифференциальные уравнения. Такие уравнения имеют высокое практическое значение. Изучая явления природы, решая всевозможные задачи по экономике, биологии, физике, технике, не всегда есть возможность непосредственно установить прямую связь между некими значениями, которые описывают тот или иной эволюционный процесс. Как правило, можно определить связь между этими величинами (функциями) и скоростью их изменения по отношению к другим (независимым) переменным.

При этом возникают дифференциальные уравнения, в которых неизвестные функции стоят под знаком производной - это дифференциальные уравнения. Применение дифференциальных уравнений довольно широко: в моделях экономической динамики, где отображаются не только зависимость переменных во времени, но и их взаимосвязь со временем, в задачах микро- и макроэкономики; с их помощью описывают распространение электромагнитных и тепловых волн и разные эволюционные явления, которые происходят в живой и неживой природе [19, c.78].

Обычным дифференциальным уравнением называют нетождественные соотношение между искомой функцией Y с одним независимым аргументом Х, самой независимой переменной Х и производными искомой функции некоторого порядка. Существует множество видов дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения бывают:

1) обычные уравнения І-го порядка, которые интегрируются в квадратах. Эти, в свою очередь, делятся на: дифференциальные уравнения с отделяемыми переменными; ДУ с отделенными переменными; однородные ДУ; линейные ДУ; уравнения в полных дифференциалах.

2) ДУ высших порядков;

3) линейные ДУ ІІ-го порядка, которые бывают линейными однородными ДУ ІІ-го порядка с постоянными коэффициентами и линейными неоднородными ДУ с постоянными коэффициентами.

Решаются ДУ также несколькими способами, наиболее распространенные из которых - задача Коши, методы Эйлера и Бернулли и прочие. Методы операционного исчисления также являются способами решения различных дифференциальных уравнений [15].

Во многих задачах экономики, математики, техники необходимо высчитать некое количество функций, связанных меж собой некоторым количеством ДУ. Тогда нам на помощь приходят системы дифференциальных уравнений: совокупность уравнений, в каждое из которых входят независимая переменная, функции этой независимой и их производные.

Решать такие системы дифференциальных уравнений также удобно с помощью методов дифференциального исчисления.

Предлагается разработка урока для 11 класса, в которой знакомятся с видами дифференциальных уравнений и способами их решений (см. Приложение Б)

3.3. Рекомендации для изучения решений дифференциальных уравнений методами операционного исчисления

В примерах школьной математики встречаются три типа дифференциальных уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения и линейные неоднородные уравнения.

При решении дифференциальных уравнений целесообразно вспомнить способы решения обычных уравнения. Они содержат переменные и числа. Простейший пример: . Что значит решить обычное уравнение? Это значит, найти множество чисел, которые удовлетворяют данному уравнению. Легко заметить, что детское уравнение имеет единственный корень: . Для прикола сделаем проверку, подставим найденный корень в наше уравнение: . - получено верное равенство, значит, решение найдено правильно [6, c.304].

Дифференциальные уравнения решаются похожими методами.

Дифференциальное уравнение первого порядка, содержит:
1) независимую переменную ; 2) зависимую переменную (функцию); 3) первую производную функции: .

В некоторых случаях в уравнении первого порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек» - важно чтобы в дифференциальном уравнении была первая производная , и не было производных высших порядков - , и т.д.

Решить дифференциальное уравнение - это значит, найти множество функций , которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения [23, c.305].

Пример 1.

Решить дифференциальное уравнение

В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем громоздкое обозначение производной: . Итак, на первом этапе переписываем производную в нужном нам виде:

На втором этапе всегда смотрим, нельзя ли разделить переменные. В левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п.

Дифференциалы и - это полноправные множители и активные участники боевых действий. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:

Переменные разделены. В левой части - только «игреки», в правой части - только «иксы».

Следующий этап - интегрирование дифференциального уравнения.

Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные:

Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу достаточно записать один раз. Почти всегда её приписывают в правой части.

Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решенным. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть, - это общий интеграл [21, c.405].

Теперь нужно попробовать найти общее решение, то есть попытаться представить функцию в явном виде.

Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях. Когда в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу почти всегда целесообразно записать тоже под логарифмом.

То есть, вместо записи обычно пишут .

Здесь - это такая же полноценная константа, как и . Зачем это нужно? А для того, чтобы легче было выразить «игрек». Используем школьное свойство логарифмов: . В данном случае:

Теперь логарифмы и модули можно убрать с обеих частей:

Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Множество функций является общим решением дифференциального уравнения .

Придавая константе различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения. Любая из функций , , и т.д. будет удовлетворять дифференциальному уравнению .

Иногда общее решение называют семейством функций. В данном примере общее решение - это семейство линейных функций, а точнее, семейство прямых пропорциональностей.

Многие дифференциальные уравнения довольно легко проверить. Делается это очень просто, берём найденное решение и находим производную:

Подставляем наше решение и найденную производную в исходное уравнение :

- получено верное равенство, значит, решение найдено правильно. Иными словами, общее решение удовлетворяет уравнению .

Пример 2.

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

По условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Сначала находим общее решение. В уравнении нет переменной «икс», но это не должно смущать, главное, в нём есть первая производная.

Переписываем производную в нужном виде:

Очевидно, что переменные можно разделить:

Интегрируем уравнение: ,

Общий интеграл получен. Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить «игрек» в явном виде). Вспоминаем: . В данном случае:

Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом:

Если - это константа, то - тоже некоторая константа, которую обозначим через букву : .Итак, общее решение: . На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию .

Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось заданное начальное условие .

Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:



То есть,

В общее решение подставляем найденное значение константы : - это и есть нужное нам частное решение [27, c.56].

Очень часто, в процессе решения дифференциальных уравнений, в решении появляются константы, которые можно узнать только при подстановке начальных условий. Например, если есть уравнение

то мы сначала получим решение

и только потом, подставив некоторые значения х, у, и так далее мы получим полноценное решение. Но это долго. К счастью, для некоторых типов дифференциальных уравнений есть метод получения решения для которого значения констант вычисляются в процессе решения. И базируется этот метод на т.н. преобразовании Лапласа [15].

Выглядит это так: если у нас есть функция f(t), которая определена для t≥0, то преобразование Лапласа определено как

Где s - это переменная, значение которой выбрано так чтобы интеграл сходился.

Начнем с простого преобразования - посчитаем , то есть преобразование константы. Решение несложное:

Тут еще есть требование что s>0 т.к. если s<0 то по мере того как . Ну а если s=0, то не определен. В общем, резюмируя, для константы k, при условии что s>0 .

Предлагается фрагмент урока в 11 классе нахождения изображений и оригиналов по табице (см.Приложение В)

Попробуем что-нибудь посложнее, например . Тут тоже ничего особенно трудного:

при условии что [15].

Преобразование Лапласа - это выражение с участием переменной s, которое записывается как . Тогда можно сказать что f(t) является обратным преобразованием F(s). Другими словами, .

Не существует каких-то простых методов для поиска обратного преобразования той или иной функции - это в основном «табличные» операции. Например, если то мы можем подглядеть в наши предыдущие результаты чтобы понять, что просто подставив k=-1 в предыдущий результат.

Мы уже близки к использованию преобразования. Осталось лишь отметить что

• Преобразование суммы равно сумме преобразований. И с обратными суммами то же самое:
  
  

• Константу можно выносить за скобки:
  
  [15]

Пример 3.

При f(0)=0. Берем и трансформируем обе стороны. Получается

А следовательно . Делим это на две раздельные дроби, так что . А теперь, просто применяем обратную трансформацию к левой и правой части и получаем

ВЫВОДЫ ПО РАЗДЕЛУ 3

В средней школе понятие комплексного числа обычно вводится настолько в малом объеме, что оно считается малопригодным в практическом применении, или совсем не изучаются. Однако в настоящее время комплексные числа с успехом применяются не только в самых разнообразных отраслях математики, но и в целом ряде приложение - в математической физике, гидродинамике, небесной механике, в вопросах воздухоплавания и т.п. В ХХ веке неоднократно были попытки ввести изучение комплексных чисел в школьный курс и в работе были выделены четыре этапа такого внедрения.

Изучение дифференциальных уравнений также рассматривается в школьном курсе, но весьма поверхностно. Однако дифференциальные уравнения являются логическим продолжением изучения уравнений в школьном курсе математики и, кроме того, имеют также большое практическое значение в моделях экономической динамики, в задачах микро- и макроэкономики; с их помощью описывают распространение электромагнитных и тепловых волн и разные эволюционные явления, которые происходят в живой и неживой природе.

Дифференциальные уравнения можно решать различными методами, в том числе и методами операционного исчисления , и в данном разделе рассматривались примеры решения дифференциальных уравнений обычными способами и с помощью операционного исчисления.

ВЫВОДЫ

Комплексные числа и теория операционного исчисления в современной математике имеет большое значение как логическое продолжение изучения числа, способов решения уравнений, понятие дифференциальных уравнений и их практическое применение не только в математике, но и в более широком смысле при решении разнообразных задач естественно-математических наук.

Понятие комплексных чисел стало закладываться еще с XVI века и в наше время широко используется. Многие математические положения на языке комплексных чисел формулируются очень кратко и изящно, доказательства многих теорем становится компактным и простым, вычисления в физике, механике, астрономии упрощаются.

Методы операционного исчисления появились в первую очередь из практической необходимости при решении задач прикладной механики. Уже в середине XIX века появились математические работы, посвященные символическому, или операционному исчислению. Одной из основных целей их была «алгебраизация» дифференциальных уравнений, то есть замена исходных ДУ эквивалентными в отношении получаемых результатов алгебраическими.

Применение методов операционного исчисления в школьном курсе математики необходимо вводить в старшей школе, когда уже достаточно хорошо изучены понятия числа, решения уравнений, в том числе и дифференциальных уравнений. Однако можно начинать готовить школьников и в среднем звене. В работе была предложена последовательность изучения данной темы.

Первоначально нужно подготовить почву для восприятия школьниками комплексного числа. В современной школе тема «Комплексные числа» не введены в программу, хотя попытки изучения комплексных чисел были в ХХ столетии. В работе представлены этапы изучения комплексных чисел, но все они не давали достаточного эффекта восприятия этой темы школьниками. На современном этапе очень много разработок авторских программ, например А.Шаран, который можно использовать для углубленного изучения математики на факультативах и математических кружках. В приложении работы предложена разработка урока по знакомству с комплексными числами.

Следующим этапом является изучение дифференциальных уравнений и способов их решения. В школьном курсе математики эта тема представлена также ознакомительно. Рекомендуется рассмотреть подробнее виды дифференциальных уравнений, способы решения дифференциальных уравнений, наиболее распространенные из которых - задача Коши. В данном разделе завершающим способом как раз и будет теория операционного исчисления. Школьникам целесообразно объяснить, что такое оригинал и изображение, показать преобразование Лапласа. Тем самым показать, что в математике можно использовать разные способы решения дифференциальных уравнений и самые сложные задачи можно свести к простым, используя подстановку из таблицы оригиналов и их изображений.

Таким образом, применение операционного исчисления и комплексных чисел наиболее полно обобщает математические понятия и способы решения дифференциальных уравнений, которые можно применять не только в математике.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение А

Урок алгебры в 11 классе

Тема: «Комплексные числа в алгебраической форме».

Цель: ввести понятие «мнимое число»

Ход урока:

1. Организационный момент

2. Повторение:

а). Цифры и числа (цифр десять, числа составлены из цифр);

б). Множества чисел: натуральные, целые, рациональные, действительные;

в). За счёт чего происходит расширение каждого из этих множеств, представление этого процесса с помощью кругов;

г). Все действительные числа расположены на числовой прямой и заполняют всё это одномерное пространство (свободных мест нет);

д). Каждой точке соответствует число и наоборот - А(4), С(-6).

е) Прямоугольная система координат - двумерное пространство, любая точка которого имеет уже две координаты А(1;2), В(-4;7) .

3. Актуализация опорных знаний

А как записать этот факт чем-то похожим на алгебраическое выражение?... С одной стороны появились векторы, а вместе с ними начала развиваться векторная алгебра, а с другой комплексные числа.

4.Объяснение нового материала. Введение понятия комплексного числа.

Мнимые числа. К мнимым числам приводит извлечение квадратного корня из отрицательного числа. Будем говорить только о квадратном корне из отрицательного числа. Принято обозначать мнимое число одной буквой i (начальная буква французского слова imaqinaire, что означает мнимый) и называть мнимой единицей. Естественно допустить, что i² = -1 и .

Всякое мнимое число может быть выражено в виде произведения i на некоторое действительное число. Например, = 4i . Вообще i.

Комплекные числа. Определение. Числа вида а + в i, где а и в - действительные числа, называются комплексными числами (слово «комплексный» означает на русском языке «сложный», «составной»; такое название впервые было дано числам такого вида немецким математиком Гауссом (1777-1855). Название «мнимый» (imaqinaire) было введено французским математиком Рене Декартом в 1637 г). В нём «а» называется действительной частью, вi - мнимой частью. При а=0 оно обращается в чисто мнимое число вi ; при в=0 получим число а + 0i, которое рассматривается как действительное число.

Комплексные числа вида а + вi и а - в i называются сопряженными.

Комплексные числа вида а + в i и -а - в i называются противоположными. Например. Назовите сопряжённое и противоположное число для 3,4+ 45i.

Два комплексных числа а + вi и а₁ + в₁ i считаются равными если а = а₁ и в = в₁.

Из этого определения вытекает, что комплексное число а + вi равно нулю тогда и только тогда, когда а =0, в = 0.

Замечание: относительно комплексных чисел не принято никакого соглашения относительно того, какое из них считать больше другого.

Возведение в степень мнимой единицы: i ⁰= 1, i¹ = i

i² = -1 i⁵ = i⁴ i = i

i³ = i² i = -1 i = - i i⁶ = i⁵ i = i² = -1

i⁴ = i² i² = -1 (-1)= 1 i⁷ = i⁶ i = -i

Получается, таким образом, четыре чередующихся значения:

1; i; -1; - i. Например Верно ли равенство: i⁷ + i¹⁸ + i²⁵ + i³⁵ + i⁹⁷ + i¹⁰⁰ =0.

Приложение Б

Урок алгебры в 11 классе

Тема урока : Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Задача Коши.

Цели урока:

- помочь усвоить понятие дифференциальное уравнение;

- помочь овладеть методами решения ДУ;

- отработать навыки решения обыкновенных диф.уравнений первого

порядка;

- развить логическое мышление и творческие способности школьника;

- побудить интерес к изучаемому предмету.

Ход урока:

1. Организационный момент:

2. Актуализация знаний:

1. выполнить устно упражнения:

а) найти производную:

(3х)^'=… (х³)^'=… (6х²)^'=… (х+5)^'=… (5х-4)^'=… (2sinx)^'=… (е^2х)^'=…

б) Указать угловой коэффициент прямой:

У=3х+4

У=6-7х

в) Чему равен угловой коэффициент касательной ,проведенной к графику функции в точке х₀? ( ответ: производной функции при х₀)

г) Как обозначается дифференциал функции? Назовите формулу дифференциала функции . ( ответ: dF=F^'dx).

д) Назовите процесс обратный дифференцированию? ( интегрирование)

е) в чем заключается смысл неопределенного интеграла? (Неопределенный интеграл - это семейство интегральных кривых, каждая из которых получается из одной путем параллельного переноса вдоль оси ОУ)

2. Работа по карточкам у доски:

а) ( ответ: I=2x+lnx+С); б) ; (I=ln(x+2)+C);

в) ().

3.Объяснение нового материала:

Мотивация: В начале занятия к нам пришла необычная телеграмма

от майора Пронина: « Совершенно секретно. На месте преступления обнаружен отпечаток пальца и записка: у^'=2х. Подозреваю функцию . Cherchez la femme! Майор Пронин»

Выяснить , что данное равенство уравнение и оно содержит функция и её производные. Такие уравнения называют дифференциальными.

Наша задача научиться решать такие уравнения. Может последовать вопрос: а зачем?

Как сказал один мудрец : «Великая книга природы написана на языке дифференциальных уравнений».

Смысл этой аллегории таков: математикам кажется , что законы природы во многих случаях удобно описывать в виде дифференциальных уравнений (ДУ). Сущность этих законов подчас раскрывается в результате решения ДУ.

Немного истории: Теория ДУ возникла в конце XVII века под влиянием потребностей механики и других естественных наук. В самостоятельный раздел математики её выделил прежде всего Леонард Эйлер (1707-1783)- гениальный математик , механик, физик.

Долгие годы Эйлер работал в Петербургской Академии наук. Он оказал решающее влияние на развитие математики в Европе и во всем мире. Французский математик Пьер Лаплас считал Эйлера учителем математиков второй половины XVIII века. Но оценка Лапласа оказалась излишне скромной. История поставила Эйлера во главу математиков всех времен и народов.

В Швейцарии , на родине Эйлера, полное собрание его научных трудов начали издавать в 1909 году, а завершили издание лишь в 1975 году. Список трудов Эйлера содержит 860 наименований.

Леонард Павлович ( так его называли в России) был непревзойденным нескучным вычислителем . Неутолимо вычисляя при свечах , он потерял зрение сначала на правый , а затем и на левый глаз. Последние годы он не менее плодотворно работал слепым. На сегодня так и не издана большая часть из его 3000 писем.

В 1971 году Швейцария украсила 10-франкоые ассигнации портретом Л.Эйлера.

Ученый кот , услышав шорох,

Надел очки и на ходу

Учел реакцию в опорах,

Уклон и скорость. Для ОДУ

Путем изящных вычислений

Решил систему уравнений,

Пересчитав все P и Q,

И приготовился к прыжку.

Мышь убежала. Но , однако,

Кот съел в теории собаку.

Теперь мы плавно переходим к теории.

Определение 1: Дифференциальным уравнением называют уравнение , связывающее независимые переменные, их функцию и производные

( или дифференциалы) этой функции.

Определение 2: Если независимая переменная одна , то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше , то уравнение называется в частных производных.

Определение 3 : Наивысший порядок производной , входящей в уравнение , называют порядком дифференциального уравнения.

Примеры:

ху^'+у=0- обыкновенное диф.уравнение первого прядка.

- обыкновенное диф. уравнение 2-го порядка.

у^'''-2у=х- обыкновенное диф. уравнение третьего порядка.

Определение 4: Процесс решения ДУ называется интегрирование.

Определение 5: Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Определение 6 : Общим решением ДУ называется такое решение , в которое входит столько независимых произвольных постоянных , каков порядок уравнения.

Так, общее решение ДУ первого порядка содержит одну произвольную.

Общему решению ДУ соответствует совокупность ( семейство) всех интегральных кривых.

Определение 7: Частным решением ДУ называется решение , полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения ДУ называется интегральной кривой.

Определение 8: Задача , в которой требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию у(х₀)=у₀, называется задачей Коши.

(Огюстен Луи Коши( 1789-1857)- французский математик).

В ходе записывания теории разбирается пример: , , - общее решение

При х= 2, у=5, тогда 5=, 5= 4+с, получим с= 1, следовательно,

- частное решение.

Мы сначала рассмотрим самые простые ДУ - это ДУ с разделяющимися переменными.

Определение 9: ДУ с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

Для решения этого уравнения необходимо:

1. разделить сначала переменные;

2. проинтегрировать обе части полученного равенства.

Рассмотрим пример:

1)

Общее решение.

2) ,

, ,

,

-общее решение

Найдем частное решение при начальных условиях: при х=2, у=-4.

Получим: -4+1=С²/(-3), тогда С²=9.

Частное решение имеет вид: .

3)

5.Закрепление:

Решить фронтально примеры. Отвечающим около доски задают вопросы по пройденному материалу.

1. у^'=4х³.Найти общее решение.( ответ: у=х⁴+С)

2. (ответ: )

Найти частные решения ДУ:

3. , при х=, у=3(ответ: y=tgx+2)

4. , при х=0, у=1 ( ответ: )

Приложение В

Фрагмент урока алгебры в 11 классе

Преобразование Лапласа - интегральное преобразование, связывающее функцию F(p) комплексного переменного (изображение) с функцией f(x) действительного переменного (оригинал).

Преобразованием Лапласа от функции f(x) (оргигинала) называется функция:

f(x) называют оригиналом преобразования Лапласа, а F(p) - изображением преобразования Лапласа. f(x) и F(p) однозначно определяются друг относительно друга, тоесть если Вы знаете f(x), то всегда можете узнать F(p), и наоборот, если знаете F(p), то всегда можете получить f(x).

Преобразование Лапласа является одним из самых мощных инструментов для решения очень многих задач в области математики, экономики, радиотехники, геометрии, теории управления, микропроцессоров, теории вероятности, теории массового обслуживания и много другого. Часто для решения задачи достаточно получить преобразование Лапласа от искомой функции (именно здесь и пригодится таблица преобразований Лапласа). Также преобразование Лапласа используют при решении задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, для решения интегральных уравнений, вычисления несобственных интегралов, для представления сигнала в спектральной области и многого другого!

При решении задач и использованием преобразования Лапласа пользуются таблицей Лапласа:

Таблица преобразований Лапласа, таблица Лапласа

Чаще всего применяется такое преобразование при решении дифференциальных уравнений.

С помощью таблицы преобразований решим задачи определения изображения для оригинала.

Пример 1. Используя свойства преобразования Лапласа, найти изображение для оригинала:

(1)

Решение:

Изображение по Лапласу функции-оригинала называется функция

. Принято обозначение: или

Пусть .

Тогда 1)

2)

Итак, (2)

(3)

(4) - изображение оригинала (1)

Ответ:

Пример 2. Используя свойства преобразования Лапласа, найти оригинал по изображению:

(1)

Решение:

Представим (1) в стандартном виде:

: ; (1) нельзя разложить на более простейшие дроби

Ответ:

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Абакумова, Е.Г. Проблемное обучение на уроках математики [Электронный ресурс] / Е.Г. Абакумова. - Режим доступа : festival.1september.ru/articles/537107/.

Андронов, И.К. Математика действительных и комплексных чисел / И. К. Андронов. - М.: Просвещение, 1975. - 155 с.

Башмаков, М.И. Задачи по математике. Алгебра и анализ / М.И. Башмаков, Б.М. Беккер, В.М. Гольховой; Под ред. К. Фаддеева. - М.: Наука, 1982. - 192 с. - (Б-чка «Квант». Вып. 22).

Белослюдова В.В. Специальные разделы математики. Часть 1. Элементы теории функций комплексной переменной. Операционное исчисление: Курс лекций для студентов второго курса специальностей 050702, 050716 / ВКГТУ./ Белослюдова В.В., Дронсейка И.П. - Усть - Каменогорск, 2006. - 205 c.

Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного / Бицадзе А.В. - М.: Наука, 1969.-240 с.

Брадис, В.М. Методика преподавания математики в средней школе: учебное пособие для студентов педагогических ВУЗов / В.М. Брадис. - М.: Учпедгиз, 1951. - 504 с.

Волков И.К. Интегральные преобразования и операционное исчисление: Учеб. для вузов. 2-е изд./ Волков И.К., Канатников А.Н. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. -228 с. (Сер. Математика н техническом университете; Вып. XI).

Глейзер, Г.И. История математики в школе. IX - X кл.: пособие для учителей / Г.И. Глейзер. - М.: Просвещение, 1983. - 351 с.

Гончаров В.Л. Теория функции комплексного переменного (учебное пособие для педагогических институтов)./ Гончаров В.Л. - М., Просвещение. - 1955. -353 с.

Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 2. / Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. - М., 2005. - 315 c.

Демидов В.П. Методика преподавания математики: пособие для студентов пед. институтов / В. П. Девидов, Г. И. Саранцев - Саранск: Мордовский гос. ун-т им. Н.П. Огарева - 1976. - 192 с.

Диткин В.А. Интегральные преобразования и операционное исчисление./ Диткин В.А., Прудников А.П. - М.: Физматгиз, 1961.- 524 с.

Евграфов М. А. Аналитические функции: Учеб. пособие для вузов.- 3-е изд., перераб. и доп./ Евграфов М. А. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.. 1991.-448 с.

Ершова В.В. Импульсные функции. Функции комплексной переменной. Операционное исчисление. / Ершова В.В. Под ред. В.И. Азаматовой. Минск, 1976. - 384 c.

Как решить дифференциальное уравнение методом операционного исчисления? [электронный ресурс] / Емелин А. - режим доступа : mathprofi.ru/reshenie_diffurov_metodom_operacionnogo_ischislenija.html

Колмогоров, А.Н. Проект программы средней школы по математике / А.Н. Колмогоров, А.И. Маркушевич, В.Г. Болтянский и др. // Математика в школе. - 1967. - № 1. - С. 12

Кухарь, В.М. Развитие понятия о числе: Автореф. дисс. на соискание учен. степени, к. пед. наук / В.М. Кухарь. - Киев, 1955 - 31 с.

Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного/ Лаврентьев М.А., Шабат Б.В.- 4-е изд., перераб. и доп.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1973.-749 с

Леонтьева Т. А. Лекции по теории функций комплексного переменного / Леонтьева Т. А. - М.: Научный мир. 2004, 216 с., 53 илл.

Лунц Г.Л. Функции комплексного переменного (с элементами операционного исчисления). / Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. - М.: Лань, 2002.-292 с.

Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. т. 1: Начала теории. Изд. 2-е./ Маркушевич А.И. - М.: Наука, 1967.-486 с.

Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. т. 2: Дальнейшее построение теории. Изд. 2-е, испр. и доп. / Маркушевич А.И. - М.: Наука, 1968.-624 с.

Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика / Ю.М. Коляги, Л.В. Оганесян, В.Я. Санинский, и др. - М.: Просвещение, 1980. - 368 с.

Новоселов, С.И. О комплексных числах в курсе 10 класса / С.И. Новоселов // Математика в школе. - 1968. - № 1. - С. 38

Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. - Изд. 13-е. / Привалов И. И. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 432 с.

Пичурин, Л.Ф. Вопросы общей методики преподавания математики: учеб. пособие для студ.-заочников III-IV курсов физ.-мат. фак-тов пед. институтов / Л.Ф. Пичурин, В.В. Репьев. - М.: Просвещение, 1979. - 80 с.

Половинкин Е.С. Курс лекций по теории функций комплексного переменного: Учеб. пособие. / Половинкин Е.С. - М.: МФТИ 1999 - 256 с.

Савин, А.П. Энциклопедический словарь юного математика : для сред. и ст. шк. Возраста / А.П. Савин. - М.: Педагогика, 1985. - 351 с.: ил.

Свешников А. Г.Теория функций комплексной переменной: Учеб.: Для вузов. - 6-е изд., стереот. / Свешников А. Г., Тихонов А. Н. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 336 с. - (Курс высшей математики и математической физики). (Вып. 5).

Сластенин, В.А. Педагогика: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.А. Сластенин, И.Ф. Исаев, Е.Н. Шиянов; Под ред. В.А. Сластенина. - М.: Академия, 2002. - 576 с.

Технология обучения комплексным числам на основе осуществления межпредметных связей в системе непрерывного профессионального образования [Электронный ресурс]. - режим доступа: planetadisser.com/see/dis_242400.html.

Шарова, О.П. Комплексные числа в курсе математики средней школы: Автореф. дисс. к. пед. наук. / О. П. Шарова. - Ярославль, 1969. - 16 с.

Шиманский И.Е. Обсуждение проектов программ // Математика в школе. / Шиманский, И.Е. - 1967. - №6. - С. 20

Шостак Р.Я. Операционное исчисление. Краткий курс. Изд. второе, доп. - Учебное пособие для втузов./ Шостак Р.Я. - М. «Высшая школа», 1972. 280 с. с ил.

Эйдерман В. Я. Основы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления./ Эйдерман В. Я. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 256 с.