Математика ЗНО 2013 2 сессия условия и решения всех заданий

ЗНО 2013 2 сесія

1. Три промені зі спільним початком лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну міру кута , якщо = 20^о , = 50^о.

А

Б

В

Г

Д

330^о

290^о

250^о

160^о

110^о

Розв'язання. Повний кут має 360^о, тоді = 360^о- - = 360^о - 20^о- 50^о = 290^о.

Відповідь. Б.

Повторити: «Найпростіші геометричні фігури на площині та їх властивості. Геометричні величини та їх вимірювання. Величина кута, вимірювання кутів».

2. Діаграма, зображена на рисунку, містить інформацію про кількість електроенергії ( у кВт· год.),спожитою певною сім'єю в кожному місяці 2012 року. Користуючись діаграмою, установіть, які з наведених тверджень є правильними.

І. У грудні порівняно з липнем спожито електроенергії більше, ніж у два рази.

ІІ. За всі літні місяці спожито електроенергії на 150 кВт· год. менше, ніж за всі весняні місяці. ІІІ. Середньомісячне споживання електроенергії за рік є більшим за 120 кВт· год.

А

Б

В

Г

Д

лише І

лише І і ІІ

лише І і ІІІ

лише ІІ і ІІІ

І, ІІ і ІІІ

Аналізуємо діаграму: у липні спожито електроенергії 80, у грудні - 220, - більше, ніж у два рази. За всі літні місяці спожито електроенергії:

100 + 80 + 100 = 280, за весняні:

160 + 150 + 120 = 430. Різниця: 430-280 =150.

Середньомісячне споживання електроенергії за рік:

(210+190+430+280+140+170+220):12 =

= 1640:12 = 136120.

Отже, всі три твердження є правильними.

Відповідь. Д.

Повторити: «Графічна, таблична, тестова та інші форми подання статистичної інформації».

3. Остача відділення натурального числа на 5 дорівнює 2. Укажіть остачу від ділення на 5 числа + 21.

А

Б

В

Г

Д

0

1

2

3

4

Розв'язання. За умови ділення з остачею = 5а + 2. Додамо до обох частин рівності число 21: + 21= 5а + 2+ 21; + 21= 5а + 23. Поділимо суму 5а + 23 на 5. Остачу 3 дасть число 23:

23= 5·4+3.

Відповідь. Г.

Повторити: «Дійсні числа. Дії з дійсними числами».

4. У геометричній прогресії (в_п ) задано в₃ = 0,2; в_{4= .} Знайдіть знаменник цієї прогресії.

А

Б

В

Г

Д

Розв'язання. Геометрична прогресія - це числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число, відмінне від нуля: в_п+1 = в_п·

де - знаменник геометричної прогресії, 0. Звідси = в_п+1 : в_п = : 0,2 = : = = Відповідь. А.

Повторити: «Геометрична прогресія. Означення геометричної прогресії. Формула п-го члена»

5. На рисунку зображено графік неперервної функції у = f (х), визначеної на відрізку [ -3; 7]. Скільки всього точок екстремуму має ця функція на відрізку [ -3; 7]?

А

Б

В

Г

Д

1

2

3

5

6

Розв'язання. Точки екстремуму - це точки максимуму та мінімуму функції. Очевидно, що заданому відрізку функція має три точки екстремуму: х_min = 3, 5, х _max = 1 та х _max = 6.

Відповідь. В.

Повторити: «Означення функції. Область визначення, область значень функції. Графік функції. Екстремуми функції».

6. Які з наведених тверджень є правильними?

І. Через дві прямі, що перетинаються, можна провести лише одну площину.

ІІ. Через точку, що не належить площині, можна провести безліч прямих, паралельних, цій

площині.

ІІІ. Якщо дві різні площини паралельні одній і тій самій прямій, то вони паралельні між со

бою.

А

Б

В

Г

Д

лише І

лише І і ІІ

лише І і ІІІ

лише ІІ і ІІІ

І, ІІ і ІІІ

Розв'язання. Завдання на знання аксіом і теорем стереометрії. Правильні твердження І і ІІ. Для третього твердження можливий випадок, коли пряма буде паралельна лінії перетину площин.

Відповідь. Б.

Повторити: «Прямі та площини у просторі». «Аксіоми і теореми стереометрії». «Взаємне розміщення прямих, прямих і площин, площин у просторі». «Ознаки паралельності прямих, прямої і площини, площин».

7. Розв'яжіть рівняння 2х(х + 2) = 5(х + 2).

А

Б

В

Г

Д

- 2,5; 2

-2

2,5

-2; 0,4

-2; 2,5

Розв'язання. Виконаємо рівносильні перетворення: 2х(х + 2) = 5(х + 2);

2х(х + 2) - 5(х + 2) = 0; (х + 2) (2х - 5) = 0; звідси х + 2 = 0 або 2х - 5 = 0. Маємо х = - 2 або х = 2,5.

Відповідь. Д.

Повторити: «Рівняння з однією змінною. Означення кореня рівняння», «Розкладання многочлена на множники».

8. Розв'яжіть нерівність 0.

А

Б

В

Г

Д

(;5)

(; -5)

(; 5) (5;+

(-5;+

(5;+

Розв'язання. ОДЗ: х

Оскільки 1 0, то знак нерівності залежить від знака знаменника. Маємо х - 5 , х. Отримані значення х задовольняють ОДЗ. Отже, х

Відповідь. А.

Повторити: «Розв'язування дробово-раціональних нерівностей».

9. Якщо х + 2у - 6z = -1 і -у + 3 = 5, то х =

А

Б

В

Г

Д

9

11

4

-9

-11

Розв'язання. Помножимо другу рівність на (-2), отримаємо: 2у - 6z = -10. Підставимо значення різниці в першу рівність: х + ( - 10) = - 1, звідси х = 9.

Відповідь. А.

Повторити: «Означення розв'язку системи двох рівнянь та методи їх розв'язання».

10. На рисунку зображено графік функції у = х²- 2х. Укажіть графік функції у = | х²- 2х |.

Розв'язання. Графік функції у = | х²- 2х | отримаємо з графік функції у = х²- 2х, дзеркально відобразивши частину параболи з від'ємної півплощини в додатну. Такий графік зображено на рисунку А.

Відповідь. А.

Повторити: «Квадратична функція, її властивості і графік».

11. =

А

Б

В

Г

Д

lg5

5

lg20

2

0,5

Розв'язання. За властивостями логарифма = = 2.

Відповідь. Г.

Повторити: «Логарифм. Властивості логарифма».

12. Сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює 3 см, а периметр її бічної грані - 22 см. Знайдіть площу бічної поверхні цієї призми.

А

Б

В

Г

Д

66 см²

72 см²

96 см²

114 см²

264 см²

Розв'язання. Площа бічної поверхні призми обчислюється за формулою S=P·H, де P- периметр основи, Н - висота призми. В основі правильної чотирикутної призми - квадрат. Його периметр P дорівнює: Р = 4а, де а - сторона квадрата. За умовою а = 3 см. Тоді Р = 12 см. Бічна грань призми - прямокутник з периметром Р₁= 22 см. Периметр прямокутника: Р₁= 2а + 2, де а і - його виміри. Звідси 2 = Р₁- 2а = 22 - 2·3 = 22 - 6 = 16 (см); = 8 см. Сторона прямокутника є висотою Н грані призми. Знайдемо площу бічної поверхні призми: S=P·H = 12 · 8 = 96 (см²).

Відповідь. 96 см²

Повторити: «Формули для обчислення площ поверхонь многогранників».

13. Знайдіть значення виразу - , якщо =

А

Б

В

Г

Д

-2

0,5

2

3

6

Розв'язання. - = . Поділимо обидві частини рівності = на Маємо:

= , = 2. Отже, - = 2.

Відповідь. В.

Повторити: «Раціональні вирази та їхні перетворення», «Корені та їх властивості».

14. У трикутнику АВС задано АС= 2 см, ∠ А = 50^о, ∠В = 70^о (див. рисунок).

Визначте ВС ( у см) за теоремою синусів.

Розв'язання. За теоремою синусів = . Звідси ВС = = .

Відповідь. Д.

Повторити: «Тригонометричні функції. Теорема синусів». «Пропорції».

15. На координатній площині ху зображено коло, центр якого збігається з початком координат (див. рисунок). Точки К (8;6) і М (х;у) належать цьому колу. Визначте координати точки М.

А

Б

В

Г

Д

(-10;0)

(10;0)

(0; -14)

(0; -10)

(0; 10)

Розв'язання. За координатами точки К знайдемо радіус R кола за теоремою Піфагора:

R² = 8²+ 6² = 64 + 36 = 100, R = 10. Точка М лежить на осі ординат, тому її координата х = 0. Координата у = ОМ = R = 10. Отже, М (0; 10).

Відповідь. Д.

Повторити: «Прямокутна система координат на площині. Координати точки». «Теорема Піфагора».

16. У трикутнику АВС точка М - середина сторони ВС, АC = 24 см (див. рисунок). Знайдіть відстань d від точки М до сторони АС, якщо площа трикутника АВС дорівнює 96 см².
    
    

А

Б

В

Г

Д

2 см

3 см

4 см

6 см

8 см

Розв'язання. Проведемо висоту h = ВК трикутника АВС. З формули площі трикутника S = ah знайдемо h: h = ВК = = = 8 (см). За умовою ВМ = МС. Тоді за теоремою Фалеса МN = d = ВМ= = 4 (см).

Відповідь. В.

Повторити: «Трикутник. Формули для обчислення площі трикутника», «Теорема Фалеса».

17. Спростіть вираз sin² (1 - ctg²).

А

Б

В

Г

Д

сos(2

tg²

1

ctg²

-сos(2

Розв'язання. sin² (1 - ctg²) = sin² - sin² · = sin² - = - сos(2.

Відповідь. Д.

Повторити: «Тригонометричні вирази та їх перетворення», «Основні тригонометричні тотожності».

18. Знайдіть похідну функції у = .

А

Б

В

Г

Д

у =

у = -2

у = -2х

у =

у = -

Розв'язання. у = ) = · (-2х) = -2.

Відповідь. Б.

Повторити: «Похідні елементарних функцій. Правила обчислення похідних»

19. Розв'яжіть нерівність .

А

Б

В

Г

Д

(; 2]

(0,4; 2]

(0; +

[2;+

(0;2]

Розв'язання. Функція у = при 0 а 1 спадна, тому маємо: х (0;2]

Відповідь. Д.

Повторити: «Лінійні нерівності та їх системи», «Логарифмічна функція та її властивості», «Логарифмічні нерівності».

20. Для розігрівання в мікрохвильовій печі рідких страв використовують посудину у формі циліндра, радіус основи якого дорівнює 9 см. Посудина ставиться на горизонтальний диск у формі круга і накривається кришкою, що має форму півсфери ( див. рисунок). Радіус півсфери дорівнює 12 см і є меншим за радіус круга. Укажіть найбільше з наведених значень, якому може дорівнювати висота посудини, якщо посудина не торкається кришки.

А

Б

В

Г

Д

3 см

5 см

6 см

7 см

8 см

Розв'язання. Розглянемо трикутник ОАВ, утворений радіусом ОВ основи циліндра, його висотою АВ та радіусом ОА півсфери. В ньому кут ОВА прямий (АВ - висота - перпендикуляр до основи). За умовою ОВ = 9 см, ОА = 12 см . За теоремою Піфагора знайдемо висоту АВ циліндра: АВ² = ОА² - ОВ² = 12² - 9² =

= 144 - 81 = 63; АВ = ; 7² 8². Отже, найбільше з наведених значень, якому може дорівнювати висота посудини, якщо посудина не торкається кришки - 7 см.

Відповідь. Г.

Повторити: «Тіла і поверхні обертання та їх елементи. Основні види тіл і поверхонь обертання. Циліндр, куля, сфера», «Теорема Піфагора».

21. З пунктів А і В одночасно по шосе назустріч один одному виїхали два велосипедисти. Вони їхали без зупинок зі сталими швидкостями: перший - зі швидкістю х км/год, другий - зі швидкістю у км/год ( х у). Через t годин (t 1) вони зустрілися в точці С і, не зупиняючись, продовжили рух без зміни напрямків.

До кожного запитання (1-4) доберіть правильну відповідь (А-Д).

Запитання

Відповідь

На скільки кілометрів зменшилася відстань по шосе між велосипедистами через 1 годину після початку руху?

А

(х + у)t

Чому дорівнює відстань по шосе між пунктами А і В ( у км)?

Б

(х - у)t

На скільки кілометрів більше проїхав перший велосипедист, ніж другий, за час від початку руху до моменту зустрічі?

В

За скільки годин перший велосипедист подолає відстань по шосе від точки С до пункту В?

Г

Д

х + у

Розв'язання. 1. Через 1 годину після початку руху відстань між велосипедистами зменшилась на суму їх швидкостей: . Відповідь Д.

2. За 1 годину обидва велосипедисти долають (х + у)км. До зустрічі вони їхали t годин. Отже, відстань між пунктами А і В обчислюється за формулою (х + у)t - сума швидкостей на час до зустрічі. Відповідь А.

3. За 1 годину перший велосипедист проїде на (х - у) км більше (за умовою швидкості постійні), а за час t до зустрічі - на (х - у)t км більше. Відповідь Б.

4. Відстань від пункту В до пункту С проїхав другий велосипедист. Ця відстань обчислюється за формулою . Поділивши цю відстань на швидкість першого велосипедиста, дізнаємось час: год. Відповідь В.

Відповідь.

А

Б

В

Г

Д

1

Х

2

Х

3

Х

4

Х

Повторити: «Розв'язування задач на рух».

22. Установіть відповідність між твердженням (1-4) та функцією (А-Д), для якої це твердження є правильним.

Твердження

Функція

Графік функції не перетинає жодну з осей координат.

А

у = - х + 2

Областю значень функції є проміжок (0; +).

Б

у = х² - 2

Функція спадає на всій області визначення.

В

у = -

На відрізку [-1,5; 1,5] функція має два нулі.

Г

у = 3^х

Д

у = сosх

Розв'язання. 1. Жодну з осей координат не перетинає гіпербола - у = - . Відповідь В.

2. Показникова функція у = 3^х набуває додатних значень на всій області визначення. Відповідь Г.

3. Лінійна функція у = - х + 2 спадна на всій області визначення, бо має від'ємний коефіцієнт k. Від повідь А.

4. Квадратична функція у = х² - 2 перетинає вісь абсцис у точках х = ,

Відповідь Б.

Функція у = сosх перетинає вісь абсцис у точках х = , а | | 1,5.

Відповідь.

А

Б

В

Г

Д

1

Х

2

Х

3

Х

4

Х

Повторити: «Функції. Види функцій та їх властивості».

23. У прямокутній системі координат на площині дано вектори a⃗ (3;4) і b⃗(-2;2). До кожного речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

Закінчення речення

Довжина вектора a⃗

А

дорівнює 7.

Сумою векторів a⃗ і c⃗ (-3; k) є нульовий вектор, якщо k

Б

дорівнює 2.

Вектори b⃗ і ( -4; т) колінеарні, якщо т

В

дорівнює -4.

Скалярний добуток векторів a⃗ і b⃗

Г

дорівнює 5.

Д

дорівнює 4.

Розв'язання. 1. Довжина вектора a⃗ : | a⃗ | = = = = 5. Відповідь Г.

2. Координати суми векторів дорівнюють сумі їх відповідних координат: a⃗ + c⃗= (3 - 3; 4 + k) =

= (0; 4 + k). Нульовий вектор має координати (0;0). Маємо: 4 + k = 0, k = - 4. Відповідь В.

3. Вектори колінеарні, якщо їх відповідні координати пропорційні. Складаємо і розв'язуємо пропорцію: -2: (-4) = 2: т; - 2 т = - 8; т=4. Відповідь Д.

4. Скалярний добуток векторів дорівнює сумі добутків їх відповідних координат:

a⃗ b⃗ = 3 · (-2) + 4 · 2 = -6 + 8 = 2. Відповідь Б.

Відповідь.

А

Б

В

Г

Д

1

Х

2

Х

3

Х

4

Х

Повторити: «Вектор. Довжина вектора. Дії з векторами. Скалярний добуток векторів та його властивості. Колінеарні вектори. Рівність векторів».

24. Установіть відповідність між тілом обертання, заданим умовою (1-4), та формулою (А-Д) для обчислення його об'єму V.

Квадрат зі стороною а обертається навколо прямої, що проходить через сторону цього квадрата (рис.1).

Прямокутний рівнобедрений трикутник із катетом а обертається навколо прямої, що проходить через катет цього трикутника (рис.2).

Прямокутний рівнобедрений трикутник із катетом а обертається навколо прямої, що проходить через вершину гострого кута цього трикутника перпендикулярно до одного з його катетів (рис.3).

Круг, радіус якого дорівнює а, обертається навколо прямої, що проходить через центр цього круга (рис. 4).

А

Б

В

Г

Д

V = а³

V = а³

V = а³

V = а³

V =2а³

Розв'язання. 1. При обертанні квадрата навколо прямої, що проходить через сторону цього квадрата, утворюється циліндр, в якому радіус основи і висота рівні ( як сторони квадрата). Об'єм циліндра обчислюється за формулою V = R²Н, де R - радіус основи, Н - висота. За умовою R =Н= а, тому

V = а³ . Відповідь Г.

2. При обертанні прямокутного рівнобедреного трикутника із катетом а навколо прямої, що проходить через катет цього трикутника, утворюється конус, в якому радіус основи і висота рівні ( як сторони рівнобедреного трикутника). Об'єм конуса обчислюється за формулою V = R²Н. За умовою R =Н= а, тому V = а³. Відповідь А.

3. При обертанні прямокутного рівнобедреного трикутника із катетом а навколо прямої, що проходить через вершину гострого кута цього трикутника перпендикулярно до одного з його катетів, утворюється фігура, що дорівнює різниці циліндра і конуса з рівними висотами і основами. Об'єм утвореної фігури відповідно дорівнюватиме різниці об'ємів циліндра і конуса, в яких R =Н= а:

V = а³- а³ = а³. Відповідь В.

4. При обертанні круга навколо прямої, що проходить через центр цього круга, утворюється куля, радіус R якої дорівнює а. Об'єм кулі обчислюється за формулою V = ³. Підставивши значення радіуса, маємо: V = а³. Відповідь Б.

Відповідь.

А

Б

В

Г

Д

1

Х

2

Х

3

Х

4

Х

Повторити: «Тіла обертання. Формули для обчислення об'ємів тіл обертання».

25. У магазині молодіжного одягу діє акція: при покупці будь-яких двох однакових футболок за одну платять на 40% менше, ніж за іншу. За дві однакові футболки, придбані в цьому магазині під час акції, Микола заплатив 200 гривень. Скільки гривень заплатить Микола, якщо він купить лише одну таку футболку?

Розв'язання. Ціна футболки - 100%, тоді ціна другої футболки: 100% - 40% = 60%. Разом 160%. Микола заплатив 200 гривень за дві футболки. Маємо пропорцію: 100% : х = 160% : 200, де х - ціна

( в грн.) однієї футболки. Звідси х = 200 · 100 : 160, х = 125. Отже, Микола заплатить 125 грн., якщо купить лише одну таку футболку.

ІІ спосіб. Нехай х грн. - ціна однієї футболки, знижка складає 0,4х грн.. Тоді ціна після знижки:

х - 0,4х = 0,6х. Разом за дві футболки Микола заплатив х+ 0,6х = 1,6х (грн.) або 200 грн. Складаємо і розв'язуємо рівняння: 1,6х = 200, х = 200: 1,6, х = 125. Отже, Микола заплатить 125 грн., якщо купить лише одну таку футболку.

Відповідь. 125.

ІІ варіант. У магазині молодіжного одягу діє акція: при покупці будь-яких двох однакових футболок за одну платять на 40% менше, ніж за іншу. За дві однакові футболки, придбані в цьому магазині під час акції, Микола заплатив 240 гривень. Скільки гривень заплатить Микола, якщо він купить лише одну таку футболку?

Розв'язання. Ціна футболки - 100%, тоді ціна другої футболки: 100% - 40% = 60%. Разом 160%. Микола заплатив 240 гривень за дві футболки. Маємо пропорцію: 100% : х = 160% : 240, де х - ціна

( в грн.) однієї футболки. Звідси х = 240 · 100 : 160, х = 150. Отже, Микола заплатить 150 грн., якщо купить лише одну таку футболку.

Відповідь. 150.

ІІІ варіант. У магазині молодіжного одягу діє акція: при покупці будь-яких двох однакових футболок за одну платять на 40% менше, ніж за іншу. За дві однакові футболки, придбані в цьому магазині під час акції, Микола заплатив 192 гривні. Скільки гривень заплатить Микола, якщо він купить лише одну таку футболку?

Розв'язання. Ціна футболки - 100%, тоді ціна другої футболки: 100% - 40% = 60%. Разом 160%. Микола заплатив 192 грн. за дві футболки. Маємо пропорцію: 100% : х = 160% : 192, де х - ціна

( в грн.) однієї футболки. Звідси х = 192 · 100 : 160, х = 120. Отже, Микола заплатить 120 грн., якщо купить лише одну таку футболку.

Відповідь. 120.

Повторити: «Відношення і пропорції. Відсотки»

26. Розв'яжіть рівняння 3^х · 4^х = (12 ^х+1)⁵.

Розв'язання. ОДЗ: х За властивостями степеня 3^х · 4^х= (3 · 4) ^х = 12 ^х; (12 ^х+1)⁵ = 12^5х+5. Маємо 12 ^х= 12^5х+5.

Звідси х = 5х + 5, - 4х = 5, х = - 1,25.

Відповідь. - 1,25.

ІІ варіант. Розв'яжіть рівняння 3^х · 4^х = (12 ^х+1)⁶.

Розв'язання. Скористаємось властивостями степеня і виконаємо рівносильні перетворення: 3^х · 4^х = (12 ^х+1)⁶ 12^х = 12^6х+6 х = 6х + 6 - 5х = 6 х = - 1,2.

Відповідь. - 1,2.

ІІІ варіант. Розв'яжіть рівняння 3^х · 4^х = (12 ^х+2)⁵.

Розв'язання. Скористаємось властивостями степеня і виконаємо рівносильні перетворення:

3^х · 4^х = (12 ^х+2)⁵ 12^х = 12^5х+10 х = 5х + 10 - 4х = 10 х = - 2,5.

Відповідь. - 2,5.

Повторити: «Показникові рівняння», «Лінійні рівняння», «Властивості степеня».

27. Знайти значення виразу | у -2х|, якщо 4х² - 4ху + у² = .

Розв'язання. 4х² - 4ху + у² = (у -2х)² ( за формулами скороченого множення). Маємо: (у -2х)²= . Звідси | у -2х| = або | у -2х| = 1,5.

Відповідь. 1,5.

ІІ варіант. Знайти значення виразу | у -2х|, якщо 4х² - 4ху + у² = .

Розв'язання. 4х² - 4ху + у² = (у -2х)² ( за формулами скороченого множення). Маємо: (у -2х)²= . Звідси | у -2х| = або | у -2х| = 2,5.

Відповідь. 2,5.

ІІІ варіант. Знайти значення виразу | у -2х|, якщо 4х² - 4ху + у² = .

Розв'язання. 4х² - 4ху + у² = (у -2х)² ( за формулами скороченого множення). Маємо: (у -2х)²= . Звідси | у -2х| = або | у -2х| = 3,5.

Відповідь. 3,5.

Повторити: «Формули скороченого множення», «Модуль числа», «Ірраціональні рівняння».

28. Знайдіть найбільше значення функції у = .

Розв'язання. За властивостями косинуса -1 1

2;

2 +1;

-1 3.

Нерівності f(x) > g(x) та > , де ∈ N, рівносильні на множині M, де f(x)⩾0 и g(x)⩾0. Якщо в нерівності обидві частини додатні, її можна піднести до степеня.

0 )⁴ 81;

40,5. Найбільше значення функції у = дорівнює 40,5.

Відповідь. 40,5.

ІІ варіант. Знайдіть найбільше значення функції у = .

Розв'язання. -1 1

2;

2 +1;

-1 3;

0 )⁴ 81;

8,1. Найбільше значення функції у = дорівнює 8,1.

Відповідь. 8,1.

ІІ варіант. Знайдіть найбільше значення функції у = .

Розв'язання. -1 1

2;

2 +1;

-1 3;

0 )⁴ 81;

13,5. Найбільше значення функції у = дорівнює 13,5.

Відповідь. 13,5.

Повторити: «Тригонометричні функції та їх властивості», «Означення найбільшого i найменшого значень функції», «Дослідження функції за допомогою похідної», «Нерівності та їх властивості. Подвійні нерівності».

29. У прямокутний трикутник АВС вписано коло, яке дотикається катетів АС та ВС у точках К і М відповідно. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника АВС ( у см), якщо

АК = 4,5 см, МВ = 6 см.

Розв'язання. Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині його гіпотенузи. Скориставшись властивістю дотичних, проведених з однієї точки до кола, маємо, що

МВ = ТВ = 6 см, і АК = АТ = 4,5 см. Знайдемо довжину гіпотенузи АВ:

АВ = АТ + ТВ = 4,5 + 6 = 10,5 (см). Радіус R кола, описаного навколо трикутника АВС: R = АВ = ·10,5 = 5,25 (см).

Відповідь. 5,25.

ІІ варіант. У прямокутний трикутник АВС вписано коло, яке дотикається катетів АС та ВС у точках К і М відповідно. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника АВС ( у см), якщо

АК = 3,5 см, МВ = 6 см.

Розв'язання. Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині його гіпотенузи. Скориставшись властивістю дотичних, проведених з однієї точки до кола, маємо, що

МВ = ТВ = 6 см, і АК = АТ = 3,5 см. Знайдемо довжину гіпотенузи АВ:

АВ = АТ + ТВ = 3,5 + 6 = 9,5 (см). Радіус R кола, описаного навколо трикутника АВС:

R = АВ = · 9,5 = 4,75 (см).

Відповідь. 4,75

ІІІ варіант. У прямокутний трикутник АВС вписано коло, яке дотикається катетів АС та ВС у точках К і М відповідно. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника АВС ( у см), якщо

АК = 6,5 см, МВ = 8 см.

Розв'язання. Розв'язання. Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині його гіпотенузи. Скориставшись властивістю дотичних, проведених з однієї точки до кола, маємо, що

МВ = ТВ = 8 см, і АК = АТ = 6,5 см. Знайдемо довжину гіпотенузи АВ:

АВ = АТ + ТВ = 6,5 + 8 = 14,5 (см). Радіус R кола, описаного навколо трикутника АВС:

R = АВ = · 9,5 = 7,25 (см).

Відповідь. 7,25

Повторити: ««Геометричні величини та їх вимірювання», «Коло, описане навколо трикутника, і коло, вписане в трикутник», « Дотичні до кола та їх властивості».

30. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком функції у = - ( х + 1)² і прямими у =,

х = -1 та х = 1.

Розв'язання. Площа даної фігури - модуль різниці площ криволінійних трапецій на інтервалі

[-1;1]. Обчислюємо за формулою Ньютона - Лейбнiца:

S = | ²) - dх |= | ²+ 2х + 1) - dх |=

= | ² - 2х - 1 - dх | =| ² - + dх | = | (- - х) /_-1¹ | =

= | - - + - ( - - ) | = | - - + - + + ) |= | | = = 12.

Відповідь. 12.

ІІ варіант. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком функції у = - ( х + 1)² і прямими

у =, х = -1 та х = 1.

Розв'язання. Площа даної фігури - різниця площ криволінійних трапецій. Обчислюємо за формулою Ньютона - Лейбнiца:

S = | ²) - dх |= | ²+ 2х + 1) - dх |=

= | ² - 2х - 1 - dх | =| ² - + dх | = | (- - х) |_-1¹ | =

= | - - + - ( - - ) | = | - - + - + + ) |= | | = = 14.

Відповідь. 14.

ІІІ варіант. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком функції у = - ( х + 1)² і прямими

у =, х = -1 та х = 1.

Розв'язання. Площа даної фігури - різниця площ криволінійних трапецій. Обчислюємо за формулою Ньютона - Лейбнiца:

S = | ²) - dх |= | ²+ 2х + 1) - dх |=

= | ² - 2х - 1 - dх | =| ² - + dх | = | (- - х) /_-1¹ | =

= | - - + - ( - - ) | = | - - + - + + ) |= | | = = 16.

Відповідь. 16.

Повторити: «Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ криволінійних трапецій. Формула Ньютона - Лейбнiца», «Дії із звичайними дробами», «Формули скороченого множення».

31. У фестивалі беруть участь 25 гуртів, серед яких є по одному гурту з України і Чехії. Порядок виступу гуртів визначається жеребкуванням, за яким кожен із гуртів має однакові шанси отримати будь-який порядковий номер від 1 до 25. Знайдіть імовірність того, що на цьому фестивалі гурт з України виступатиме першим, а порядковий номер гурту з Чехії буде парним.

Розв'язання.

Подія A - гурт з України виступатиме першим. Подія B - порядковий номер гурту з Чехії буде парним. Ймовірність події A обчислюється за формулою:

P(A) = , де n - загальна кількість рівноможливих елементарних подій, а N - кількість сприятливих елементарних подій. Ймовірність, що гурт з України виступатиме першим:

P(A) = (загальна кількість місць (подій) - 25, сприятливих - 1 (перше місце)).

Парних місць всього 12. Загальна кількість місць, після того як Україні дістанеться перше, - 24. Тоді ймовірність, що порядковий номер гурту з Чехії буде парним:

P_А (B)= = .

Ймовірність сумісної появи обох подій рівна добутку ймовірностей першої та другої події з умовою, що друга подія здійснилася після здійснення першої. Отже, імовірність того, що на цьому фестивалі гурт з України виступатиме першим, а порядковий номер гурту з Чехії буде парним дорівнює

P(A) · P _А (B) = = = 0,2.

Відповідь. 0,2.

Повторити: «Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Класичне означення ймовiрностi події, найпростiшi випадки підрахунку ймовірностей подій».

32. Основою піраміди є ромб, тупий кут якого дорівнює 120^о. Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а дві інші бічні грані нахилені до площини основи під кутом 30^о. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди ( у см²), якщо її висота дорівнює 4 см.

Розв'язання. SABCD - дана піраміда. ABCD - ромб, в якому ∠ABC=∠ADC=120^о, ∠BAD=∠BCD=180^о−120^о=60^о, BE - висота, BE⊥DC. (SBA)⊥(ABCD), (SBC)⊥(ABCD), тому SB = 4 см - висота піраміди. ∠SEB=30^о.

△SBA=△SBC (за двома сторонами та кутом між ними: SB - спільна, AB=BC , ∠SBA=∠SBC=90^о), отже, SA=SC і S_△SBA=S_△SBC.

△SDA=△SDC (за трьома сторонами: SD - спільна, AD=DC, SA=SC), отже, S_△SDA=S_△SDC.

Площу бічної поверхні піраміди можна знайти за формулою:

S=S_△SBA+S_△SBC+S_△SDA+S_△SDC=2(S_△SBC+S_△SDC).

Площі трикутників знайдемо за формулами: S_△SBC=BC⋅SB та S_△SDC = DC⋅SE. ВС = ДС як сторони ромба. Тоді S_△SDC = ВC⋅SE, S=2(BC⋅SB+ВC⋅SE)= 2· BC⋅( SB + SE) = BC⋅(SB+SE)

Розглянемо △SBE: ∠B=90^о, ∠E=30^о, SB=4 см - катет проти кута 30^о - дорівнює половині гіпотенузи SE, тому SE=8 см.

За теоремою Піфагора BE= = = = =см).

BE, висота ромба і рівностороннього трикутника BCD (кути по 60^о), обчислюється за формулою

h= BE =a, де a - сторона рівностороннього трикутника (і сторона ромба).

Маємо BE=см і BE=a см. Прирівняємо праві частини і знайдемо сторону ромба:

=a, a = = 8см).

Тоді площа бічної поверхні піраміди: S_б.= BC⋅(SB+SE) = 8(4+8) = 96 (см²).

Відповідь. 96.

ІІ варіант. Основою піраміди є ромб, тупий кут якого дорівнює 120^о. Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а дві інші бічні грані нахилені до площини основи під кутом 30^о. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди ( у см²), якщо її висота дорівнює 3 см.

Розв'язання. SABCD - дана піраміда. ABCD - ромб, в якому ∠ABC=∠ADC=120^о, ∠BAD=∠BCD=180^о−120^о=60^о, BE - висота, BE⊥DC. (SBA)⊥(ABCD), (SBC)⊥(ABCD), тому SB = 3 см - висота піраміди. ∠SEB=30^о.

△SBA=△SBC (за двома сторонами та кутом між ними: SB - спільна, AB=BC , ∠SBA=∠SBC=90^о), отже, SA=SC і S_△SBA=S_△SBC.

△SDA=△SDC (за трьома сторонами: SD - спільна, AD=DC, SA=SC), отже, S_△SDA=S_△SDC.

Площу бічної поверхні піраміди можна знайти за формулою:

S=S_△SBA+S_△SBC+S_△SDA+S_△SDC=2(S_△SBC+S_△SDC).

Площі трикутників знайдемо за формулами: S_△SBC=BC⋅SB та S_△SDC = DC⋅SE. ВС = ДС як сторони ромба. Тоді S_△SDC = ВC⋅SE, S=2(BC⋅SB+ВC⋅SE)= 2· BC⋅( SB + SE) = BC⋅(SB+SE)

Розглянемо △SBE: ∠B=90^о, ∠E=30^о, SB= 3 см - катет проти кута 30^о - дорівнює половині гіпотенузи SE, тому SE= 6 см.

За теоремою Піфагора BE= = = = =см).

BE, висота ромба і рівностороннього трикутника BCD (кути по 60^о), обчислюється за формулою

h= BE =a, де a - сторона рівностороннього трикутника (і сторона ромба).

Маємо BE=см і BE=a см. Прирівняємо праві частини і знайдемо сторону ромба:

=a, a = = 6см).

Тоді площа бічної поверхні піраміди: S_б.= BC⋅(SB+SE) = 6(3+6) = 54 (см²).

Відповідь. 54.

ІІІ варіант. Основою піраміди є ромб, тупий кут якого дорівнює 120^о. Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а дві інші бічні грані нахилені до площини основи під кутом 30^о. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди ( у см²), якщо її висота дорівнює 5 см.

Розв'язання. SABCD - дана піраміда. ABCD - ромб, в якому ∠ABC=∠ADC=120^о, ∠BAD=∠BCD=180^о−120^о=60^о, BE - висота, BE⊥DC. (SBA)⊥(ABCD), (SBC)⊥(ABCD), тому SB = 4 см - висота піраміди. ∠SEB=30^о.

△SBA=△SBC (за двома сторонами та кутом між ними: SB - спільна, AB=BC , ∠SBA=∠SBC=90^о), отже, SA=SC і S_△SBA=S_△SBC.

△SDA=△SDC (за трьома сторонами: SD - спільна, AD=DC, SA=SC), отже, S_△SDA=S_△SDC.

Площу бічної поверхні піраміди можна знайти за формулою:

S=S_△SBA+S_△SBC+S_△SDA+S_△SDC=2(S_△SBC+S_△SDC).

Площі трикутників знайдемо за формулами: S_△SBC=BC⋅SB та S_△SDC = DC⋅SE. ВС = ДС як сторони ромба. Тоді S_△SDC = ВC⋅SE, S=2(BC⋅SB+ВC⋅SE)= 2· BC⋅( SB + SE) = BC⋅(SB+SE)

Розглянемо △SBE: ∠B=90^о, ∠E=30^о, SB=4 см - катет проти кута 30^о , дорівнює половині гіпотенузи SE, тому SE=10 см. За теоремою Піфагора BE= = = = =см).

BE, висота ромба і рівностороннього трикутника BCD (кути по 60^о), обчислюється за формулою

h= BE =a, де a - сторона рівностороннього трикутника (і сторона ромба).

Маємо BE =см і BE=a см. Прирівняємо праві частини і знайдемо сторону ромба:

=a, a = = 10см).

Тоді площа бічної поверхні піраміди: S_б.= BC⋅(SB+SE) = 10(5+10) = 150 (см²).

Відповідь. 150.

Повторити: «Многогранники. Формули для обчислення площ поверхонь».

33. При якому найбільшому від'ємному значенні параметра а рівняння - 2х = а має один корінь?

Розв'язання. Подамо рівняння у іншому вигляді: = 2х + а. Розглянемо ліву та праву його частини. Графік лінійної функції у = 2х + а - пряма, залежно від знака параметра перетинає додатну або від'ємну піввісь Оу. Графік функції у = складається з двох віток. Оскільки за умовою необхідно знайти від'ємне значення параметра а, то частину графіка при х0 можна не розглядати.

Пряма перетинає вітку в двох точках при х = 1. При значеннях х графіки перетинаються лише в одній точці і рівняння має один корінь. При 0 х1 рівняння матиме лише один корінь у випадку, коли

пряма є дотичною. Значення параметра а при цьому буде найбільшим від'ємним. Кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює 2 ( з лінійної функції у = 2х + а). Знайдемо за допомогою похідної кутовий коефіцієнт для функції у =:

у' = ( )' = . Прирівнюємо знайдені кутові коефіцієнти: = 2. Звідси = 8; х -1 = ; х -1 = = = ;

х = 1. Знайдемо значення функції в точці дотику: у(1) = = = = . Знайдемо значення параметра а: у = 2х + а; а = у -2х = - 2 ·1 = - = - = -1,625.

Відповідь. -1,625 .

ІІ варіант. При якому найбільшому від'ємному значенні параметра а рівняння - 2х = а має один корінь?

Розв'язання. Подамо рівняння у іншому вигляді: = 2х + а. Розглянемо ліву та праву його частини. Графік лінійної функції у = 2х + а - пряма, залежно від знака параметра перетинає додатну або від'ємну піввісь Оу. Графік функції у = складається з двох віток. Оскільки за умовою необхідно знайти від'ємне значення параметра а, то частину графіка при х0 можна не розглядати.

Пряма перетинає вітку в двох точках при х = 1. При значеннях х графіки перетинаються лише в одній точці і рівняння має один корінь. При 0 х1 рівняння матиме лише один корінь у випадку, коли пряма є дотичною. Значення параметра а при цьому буде найбільшим від'ємним. Кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює 2 ( з лінійної функції у = 2х + а). Знайдемо кутовий коефіцієнт за допомогою похідної для функції у =:

у' = ( )' = . Прирівнюємо знайдені кутові коефіцієнти: = 2. Звідси = 8; х -2 = ; х -2 = = = ;

х = 2. Знайдемо значення функції в точці дотику: у(2) = = = = . Знайдемо значення параметра а: у = 2х + а; а = у -2х = - 2 · 2 = - 4 = - = -3,625.

Відповідь. -3,625 .

ІІІ варіант. При якому найбільшому від'ємному значенні параметра а рівняння - 2х = а має один корінь?

Розв'язання. Подамо рівняння у іншому вигляді: = 2х + а. Розглянемо ліву та праву його частини. Графік лінійної функції у = 2х + а - пряма, залежно від знака параметра перетинає додатну або від'ємну піввісь Оу. Графік функції у = складається з двох віток. Оскільки за умовою необхідно знайти від'ємне значення параметра а, то частину графіка при х0 можна не розглядати.

Пряма перетинає вітку в двох точках при х = 1. При значеннях х графіки перетинаються лише в одній точці і рівняння має один корінь. При 0 х1 рівняння матиме лише один корінь у випадку, коли пряма є дотичною. Значення параметра а при цьому буде найбільшим від'ємним. Кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює 2 ( з лінійної функції у = 2х + а). Знайдемо кутовий коефіцієнт за допомогою похідної для функції у =:

у' = ( )' = . Прирівнюємо знайдені кутові коефіцієнти: = 2. Звідси = 8; х -3 = ; х -3 = = = ;

х = 3. Знайдемо значення функції в точці дотику: у(3) = = = = . Знайдемо значення параметра а: у = 2х + а; а = у -2х = - 2·3 = - = = - - 5,625.

Відповідь. -5,625 .

Повторити: «Рівняння, нерівності та системи. Лiнiйнi, квaдpaтні, рацiональнi, iррацiональнi, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні рівняння, неpiвності та їx системи»

Буду вдячна за зауваження