Практическая работа по теме: «Окружность. Эллипс»

Практическая работа по теме: «Окружность. Эллипс»

Цель работы:

• сформировать у студентов представление о кривых второго порядка;

• научиться использовать свойства окружности и эллипса при решении различных задач;

• повышать математическую культуру студентов.

Основной теоретический материал.

Кривые второго порядка: эллипс, окружность, парабола, гипербола.

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс, при пересечении образующих обеих полостей - гипербола, а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола. Кривая второго порядка на плоскости в прямоугольной системе координат описывается уравнением:

Эллипс.

Множество всех точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F ₁ и F ₂ есть заданная постоянная величина, называется эллипсом.

Каноническое уравнение эллипса.

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):,где Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат. Число a называют большой полуосью эллипса , а число b - его малой полуосью .

Свойства эллипса:

• Фокальное свойство. Если F ₁ и F ₂ - фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой ( F ₁ X ) равен углу между этой касательной и прямой ( F ₂X ) .

• Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.

• Эволютой эллипса является астроида.

• Эксцентриситетом эллипса называется отношение . Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.

Эллипс также можно описать как

• фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование

• ортогональную проекцию окружность на плоскость.

• Пересечение плоскости и кругового цилиндра.

Окружность.

Окружность - геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой её центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.

Каноническое уравнение окружности.

Общее уравнение окружности записывается как:

Точка - центр окружности, R - её радиус. Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат:

Свойства окружности:

• Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).

• Касательная к окружности всегда перпендикулярна её диаметру, один из концов которого является точкой касания.

• Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

• Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

• Длину окружности с радиусом R можно вычислить по формуле C = 2π R .

• Вписанный угол либо равен половине центрального угла, опирающегося на его дугу, либо дополняет половину этого угла до 180°.

  • Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

  • Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности равен 90°.

• Угол между двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне окружности равен полуразности мер дуг, лежащих между секущими.

• Угол между пересекающ-ся хордами равен полусумме мер дуги лежащей в угле и дуги напротив нее.

• Угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой.

• Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

• При пересечении двух хорд произведение отрезков, на которые делится одна из них точкой пересечения, равно произведению отрезков другой.

• Произведение длин расстояний от выбранной точки до двух точек пересечения окружности и секущей проходящей через выбранную точку не зависит от выбора секущей и равно абсолютной величине степени точки относительно окружности.

Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей и равен абсолютной величине степени точки относительно окружности.

• Окружность является простой плоской кривой второго порядка.

• Окружность является коническим сечением и частным случаем эллипса.

Задания для самостоятельного решения:

ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2

1. Составьте уравнение окружности, концы диаметра которой имеют координаты: (0;3) и (6; -7)

2. Составьте уравнение окружности, проходящей через начало координат и имеющей центр в точке с координатами

(-2;3).

1. 3) Составьте уравнение эллипса, если две его вер шины находятся в точках: (0;-8) и (0;8), а

2. фокусы эллипса в точках: (-5;0) и (5;0).

3. 4) Составьте уравнение эллипса с фокусами на

4. оси ОХ, если большая ось равна 10, а

5. эксцентриситет равен 0,6.

6. 5) Найдите длину отрезка прямой х-2у-2=0,

заключенного внутри эллипса

1. Составьте уравнение окружности, концы диаметра которой имеют координаты: (-2;3) и (2;5)

2. Составьте уравнение окружности, проходящей через начало координат и имеющей центр в точке с координатами (3;-5).

3. Составьте уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках: (0;-4) и (0;4), а фокусы эллипса в точках: (0;-2) и (0;2).

4. Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси ОХ, если малая ось равна 16, а эксцентриситет равен 0,6.

5. Составьте уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку

А(18;-4)

Критерии оценивания

Отметка «5» ставится за верно выполненные 5 задач,

Отметка «4» ставится за верно выполненные 4 задачи,

Отметка «3» ставится за верно выполненные 2-3 задачи,

Отметка «2» ставится, если выполнено верно менее двух задач.