Урок алгебры в 11 классе на темуКасательная. Уравнение касательной

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Шпикуловская средняя общеобразовательная школа

Учитель Полякова Г.А.

Учитель Полякова Г.А.

Подробный конспект урока.

Организационная информация

Тема урока

«Касательная. Уравнение касательной»

Предмет

Алгебра и начала анализа

Класс

11

Автор/ы урока (ФИО, должность)

Полякова Г.А. учитель математики

Образовательное учреждение

МБОУ Шпикуловская СОШ

Методическая информация

Тип урока (мероприятия, занятия)

Изучение нового материала

Цели урока (мероприятия, занятия)

(образовательные, развивающие, воспитательные)

• Уточнить понятие «касательной».

• Вывести уравнение касательной.

• Составить алгоритм «составления уравнения касательной к графику функции

у = f (x)».

• Начать отрабатывать умения и навыки в составлении уравнения касательной в различных математических ситуациях.

Задачи урока (мероприятия, занятия)

• Отработать умения и навыки по применению производной;

• Расширять кругозор; развивать математическую речь, внимание, скорость, память, логическое мышление.

• Развивать умения анализировать, обобщать, показывать, использовать элементы исследования.

• Развивать навыки исследовательской работы.

Используемые педагогические технологии, методы и приемы

Технология развивающего обучения, проблемный метод, контроля и взаимоконтроля, мозговой штурм.

Время реализации урока (мероприятия, занятия)

45 минут, школьный урок

Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют/приобретут/закрепят/др. ученики в ходе урока (мероприятия, занятия)

«Уточняют» понятие касательной, выводят уравнение касательной, создают алгоритм написания уравнения касательной, отрабатывают умения и навыки в составлении уравнения касательной в различных математических ситуациях, учатся решать задания ЕГЭ В-8.

Необходимое оборудование и материалы

Компьютер, презентация, проектор, интерактивная (или маркерная) доска

Дидактическое обеспечение урока (мероприятия, занятия)

Карточки с памяткой, карточки для рефлексии.

Список учебной и дополнительной литературы

Алгебра и начала анализа. 10-11 класс. Учебник. -Мордкович,

Д. А. Мальцев и др. «МАТЕМАТИКА Всё для ЕГЭ 2013»

Ход и содержание урока (мероприятия, занятия),

деятельность учителя и учеников.

1. Мотивация учащихся

Тема сегодняшнего урока: «Уравнение касательной к графику функции». Откройте тетради, запишите число и тему урока. (Слайд 1)

Пусть слова, которые вы видите на экране, станут девизом сегодняшнего урока. (слайд 2)

• Плохих идей не бывает

• Мыслите творчески

• Рискуйте

• Не критикуйте

Чтобы настроиться на урок повторим ранее изученный материал. Внимание на экран. Решение запишите в тетрадь.

2. Повторение изученного материала

(слайд 3).Цель: проверить знание основных правил дифференцирования.

Найти производную функции:

1. у =2х¹⁰

2. у=4

3. у=7х+4

4. у = tg x +

5. у = х³sin x

6. у =

Поменяйтесь тетрадью с соседом, оцените работу. Тест проверяют сами учащимися (слайд3 ).

У кого не одной ошибки? У кого одна?

3. Актуализация

Цель: Активизировать внимание, показать недостаточность знаний о касательной, сформулировать цели и задачи урока. (Слайд 4)

Давайте обсудим, что такое касательная к графику функции?

Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная - это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»?
Давайте рассмотрим конкретные примеры:

Примеры. (слайд 5)
1) Прямая x = 1 имеет с параболой y = x² одну общую точку M(1; 1), однако не является касательной к параболе.

Прямая же y = 2x - 1, проходящая через ту же точку, является касательной к данной параболе.

Прямая x = π не является касательной к графику y = cos x, хотя имеет с ним единственную общую точку K(π; 1). С другой стороны, прямая y = - 1, проходящая через ту же точку, является касательной к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида (π+2 πk; 1), где k - целое число, в каждой из которых она касается графика.

4. Постановка цели и задачи перед детьми на уроке:

Попробуйте сами сформулировать цель урока.

Выяснить, что такое касательная к графику функции в точке, вывести уравнение касательной. Применять формулу при решении задач

5. Изучение нового материала

Посмотрите, чем отличается положение прямой х=1 от положения у=2х-1? (слайд 7)

Сделайте вывод, что же такое касательная?

Примем за определение: касательная это предельное положение секущей.

Раз касательная это прямая линия, а нам нужно составить уравнение касательной, то что, как вы думаете, нам нужно вспомнить?

Вспомнить общий вид уравнения прямой.( у= кх+b)

Как еще называют число к? (угловой коэффициент или тангенс угла между этой прямой и положительным направлением оси Ох) к = tg α

В чем заключается геометрический смысл производной?

Тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси оХ

Т. Е. я могу записать tg α = yˈ(а). (слайд 8)

Давайте проиллюстрируем это на чертеже. (слайд 9)

Пусть дана функция y = f (x) и точка М принадлежащая графику этой функции. Давайте определим её координаты следующим образом: х=а, у= f (а), т.е. М (а, f (а) ) и пусть существует производная f '(а), т.е. в данной точке производная определена. Проведем через точку М касательную. Уравнение касательной - это уравнение прямой, поэтому оно имеет вид: y = kx + b. Следовательно, задача состоит в том, чтобы отыскать k и b. Обратите внимание на доску, из того что там записано, можно ли найти к? ( да, k = f '(а).)

Как теперь найти b? Искомая прямая походит через точку М(а; f(a)), подставим эти координаты в уравнение прямой: f(a) = ka +b , отсюда b = f(a) - ka, т. к. к = tg α= yˈ(x), то b = f(a) - f '(а)а

Подставим значение b и к в уравнение y = kx + b.

y = f '(а)x + f(a) - f '(а)a, вынося за скобку общий множитель, получаем:

y = f(a) + f '(а) · (x-a).

Нами получено уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х = а.

Чтобы уверенно решать задачи на касательную, нужно четко понимать смысл каждого элемента в данном уравнении. Давайте ещё раз остановимся на этом: (слайд 10)

1. (а, f (а) ) - координаты точки касания

2. f '(а) = tg α = к тангенс угла наклона или угловой коэффициент

3. (х,у) - координаты любой точки касательной

И так мы вывели уравнение касательной, проанализировали смысл каждого элемента в данном уравнении, давайте попробуем теперь вывести алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f (x)

6. Составление алгоритма

(слайд 11) Предлагаю составить алгоритм самим учащимся:

1. Обозначим абсциссу точки касания буквой а.

2. Вычислим f(a).

3. Найдем f '( х) и вычислим f '( а).

4. Подставим найденные значения числа а, f( а), f '( а) в уравнение касательной.

5. y = f(a) + f '(а) · (x-a).

(Раздаю учащимся напечатанный заранее алгоритм как памятку для последующей работы.)

7. Историческая справка

Внимание на экран. Расшифруйте слово

f(x) = √(3-2х)

f '(1) = ?

Я

f(x) = 5 / ³√ (3х+2)

f '(-1/3) = ?

Ю

f(x) = 12 / √ (3х ²+1)

f '(1) = ?

Ф

f(x) = 4√ (3-2х²)

f '(-1) = ?

К

f(x) = 2 ctg 2x

f '(-π/4) = ?

И

f(x) = 4/(2-cos 3x)

f '(- π/6) = ?

Л

f(x) = tg x

f '( π /6 ) = ?

Ответ: ФЛЮКСИЯ (слайд 13).

Какова история происхождения этого названия? (слайд 14,15)

Понятие производная возникло в связи с необходимостью решения ряда задач физики, механики и математики. Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому ученому Ньютону и немецкому математику Лейбницу. Лейбниц рассматривал задачу о проведении касательной к произвольной кривой.

Знаменитый физик Исаак Ньютон, родившейся в английской деревушке Вульстроп, внес немалый вклад и в математику. Решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, он создал общий метод решения таких задач - метод флюксий (производных), а саму производную называл флюентой.

Он вычислил производную и интеграл степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях он пишет в своей работе «Метод флюксий» (1665 - 1666гг.), послужившей одним из начал математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления, которое ученый разработал независимо от Лейбница.

Многие ученые в разные годы интересовались касательной. Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика Н.Тартальи (ок. 1500 - 1557гг.) - здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая данность полета снаряда. И. Кепплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения встречаются у Р.Декарта.

8. Закрепление

(слайд 16-18).

1) Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = х² - 3х + 5 в точке с абсциссой а = -1.

Решение:

Составим уравнение касательной (по алгоритму). Вызвать сильного ученика.

1. а = -1;

2. f(a) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;

3. f '(x) = 2х - 3,
   f '(a) = f '(-1) = -2 - 3 = -5;

4. y = 9 - 5 · (x + 1),

y = 4 - 5x.

Ответ: y = 4 - 5x.

Задания ЕГЭ 2011 года В-8

1.Функция у = f(x) определена на промежутке (-3; 4). На рисунке изображён её график и касательная к этому графику в точке с абсциссой а = 1. Вычислите значение производной f'(x) в точке а= 1.

Решение: для решения необходимо вспомнить, что если известны координаты каких-либо двух точек А и В, лежащих на данной прямой, то её угловой коэффициент можно вычислить по формуле: к = , где (x₁;у₁), (х₂; у₂)- координаты точек А, В соответственно. По графику видно, что эта касательная проходит через точки с координатами (1; -2) и (3; -1),

значит к=(-1-(-2))/(3-1)= 0,5.

к= fˈ(1)=0,5

2. Функция у = f(x) определена на промежутке (-3;4). На рисунке изображён её график и касательная к этому графику в точке с абсциссой а = -2. Вычислите значение производной f'(x) в точке а = -2.

Решение : график проходит через точки (-2;1) (0;-1) . fˈ(-2)= -2

8.Домашнее задание

(слайд 19).

Подготовка к ЕГЭ В-8 № 3 - 10

9.Самостоятельная работа

Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой а.
вариант 1 вариант 2

f(x) = х²+ х+1, а=1 f(x)= х-3х², а=2

ответы: 1 вариант: у=3х; 2 вариант: у= -11х+12

10. Подведение итогов.

• Что называется касательной к графику функции в точке?

• В чём заключается геометрический смысл производной?

• Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?

Рефлексия деятельности на уроке (мероприятии, занятии)

Выберете смайлик, соответствующий вашему настроению и состоянию после проведенного урока. Спасибо за урок.

Дополнительная необходимая информация

Ссылки на использованные интернет-ресурсы

festival.1september.ru/articles/584315/

festival.1september.ru/articles/518318/

В помощь учителю

Обоснование, почему данную тему оптимально изучать с использованием медиа-, мультимедиа, каким образом осуществить

Данная тема очень объемна, за счет использования мультимедиа высвобождается достаточное количество времени для отработки практических навыков, хорошо работает принцип наглядности.

Советы по логическому переходу от данного урока к последующим

На последующих уроках желательно продолжить отработку навыков составления уравнения касательной, желательно уделить время для решения тренировочных заданий В -8 из сборников по ЕГЭ.