УРОК РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВЫДЕЛЕНИЕМ КВАДРАТА ДВУЧЛЕНА2

ТЕМА: «Решение квадратного уравнения
выделением квадрата двучлена»

Цели: ознакомить учащихся с приемом решения квадратного уравнения выделением квадрата двучлена.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Назовите коэффициенты квадратного уравнения:

а) 3х² - 17х + 4 = 0; в) - х² = 0;

б) 2х - х² + 1 = 0; г) х² + 2х = 0.

2. Найдите корни уравнения:

а) х² = 1,21; в) х² = ;

б) х² = ; г) х² = 0,0049.

3. Представьте одночлен в виде удвоенного произведения двух множителей:

а) 10х; в) 7а;

б) -8у; г) .

4. Разложите на множители:

а) х² - 4х + 4; в) y² + y + 1 ;

б) а² + 6а + 9; г) 3х² - 6х + 3.

III. Объяснение нового материала.

1. А к т у а л и з а ц и я з н а н и й.

При решении квадратных уравнений рассматриваемым приёмом учащимся необходимо свободно решать уравнения вида х² = а и (х + k)² = m.

Частично знания учащихся были актуализированы при выполнении устной работы. Чтобы ребята вспомнили, как решаются уравнения вида (х + k)² = m, необходимо им предложить з а д а н и е:

- Решите уравнение:

а) (х + 2)² = 16; г) (2х - 7)² = ;

б) (х - 3)² = ; д) (1 - 3х)² = ;

в) (х + 1)² = 4; е) (2х + 1) = 0.

2. О з н а к о м л е н и е с приёмом решения квадратного уравнения путём выделения квадрата двучлена следует начать с рассмотрения приведённого квадратного уравнения, левая часть которого представляется в виде полного квадрата двучлена:

х² + 10х + 25 = 0;

х² - 6х + 9 = 0;

х² + х + = 0 и т. п.

После этого появляется возможность подвести учащихся к мысли о том, что для решения квадратного уравнения нужно привести его к виду (х + k)² = m, а сделать это можно путём выделения квадрата двучлена. Сперва рассматриваем приведённое квадратное уравнение, одновременно выделяя алгоритм решения квадратных уравнений данным приёмом.

х² - 6х - 7 = 0.

1-й ш а г. Записываем второй коэффициент в виде произведения двойки и некоторого числа: b = 2п.

х² - 6х - 7 = х² - 2 · 3х - 7.

2-й ш а г. Число п представляет собой второе слагаемое в искомом квадрате двучлена: п = 3. Для того чтобы получить искомый квадрат двучлена (х - n)² = х² - 2 · х · п + n², необходимо прибавить п² и одновременно вычесть его:

х² - 2 · 3х - 7 = х² - 2 · 3х + 9 - 9 - 7.

3-й ш а г. Выделяем квадрат двучлена:

х² - 6х - 7 = х² - 2 · 3х + 9 - 16 = (х - 3)² - 16.

4-й ш а г. Решаем полученное уравнение, равносильное исходному:

(х - 3)² - 16 = 0;

(х - 3)² = 16;

х - 3 = 4 или х - 3 = -4;

х = 7 или х = -1.

О т в е т: -1; 7.

3. Р е ш е н и е неприведённых квадратных уравнений приёмом выделения квадрата двучлена.

IV. Формирование умений и навыков.

Следующие упражнения представляют собой последовательность квадратных уравнений, решаемых приёмом выделения квадрата двучлена, от простых к более сложным.

1. Решить устно.

а) х² + 12х + 36 = 0;

(х + 6)² = 0;

х = -6.

б) х² - х + = 0;

= 0;

х = .

2. а) х² - 8х + 15 = 0;

(х² - 8х + 16) - 16 + 15 = 0;

(х - 4)² - 1 = 0;

(х - 4)² = 1;

х - 4 = -1 или

х = 3

х - 4 = 1;

х = 5.

О т в е т: 3; 5.

б) х² - 5х - 6 = 0;

(х² - 2 · 2,5х + 6,25) - 6,25 - 6 = 0;

(х - 2,5)² - 12,25 = 0;

(х - 2,5)² = 12,25;

х - 2,5 = 3,5 или

х = 6

х - 2,5 = -3,5;

х = -1.

О т в е т: -1; 6.

в) х² - 6х + 14 = 0;

(х² - 2 · 3х + 9) - 9 + 14 = 0;

(х - 3)² + 5 = 0;

(х - 3)² = -5.

Уравнение не имеет решений.

О т в е т: нет корней.

3. а) 3х² - 4х - 4 = 0;

х² - = 0;

х² - = 0;

= 0;

= 0;

;

х - или

х = 2

х - ;

х = .

О т в е т: ; 2.

б) 2х² - 9х + 10 = 0;

х² - х + 5 = 0;

х² - 2 ∙ х + 5 = 0;

+ 5 = 0;

- 5;

;

х - или

х = 2,5

х - ;

х = 2.

О т в е т: 2; 2,5.

4. а) При каком значении а уравнение х² - ах + 9 = 0 имеет один корень?

Р е ш е н и е

- Выделим квадрат двучлена.

х² - ах + 9 = 0;

х² - 2 ∙ ∙ х + 9 = 0;

+ 9 = 0;

- 9.

Это квадратное уравнение имеет единственный корень, если

- 9 = 0;

= 9; а² = 36; а = ±6.

О т в е т: при а = ±6.

б) При каком значении т уравнение 3х² - тх - 6 = 0 имеет единственный корень?

Р е ш е н и е

- Выделим квадрат двучлена.

3х² - тх - 6 = 0;

х² - х - 2 = 0;

х² - 2 ∙ х - 2 = 0;

- 2 = 0;

+ 2.

Это квадратное уравнение имеет единственный корень, если

+ 2 = 0;

= -2;

т² = -72 - нет корней.

О т в е т: нет решений.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- Какое уравнение называется квадратным?

- Какое квадратное уравнение называется приведённым?

- Как преобразовать неприведённое квадратное уравнение в приведённое?

- В чём заключается приём решения квадратных уравнений путём выделения квадрата двучлена?

- Любое ли квадратное уравнение может быть решено указанным приёмом?

Домашнее задание.№454,457,467(1,2),468(4,6)