Конспект урока Неравенства с одной переменной

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА
Неравенства с одной переменной

ФИО (полностью)

Григорова Юлия Георгиевна

Место работы

МАОУ «СОШ № 40 г.Чебоксары

Должность

Учитель математики

Предмет

Алгебра

Класс

9

Тема и номер урока в теме

Неравенства с одной переменной. Системы и совокупности неравенств. Урок № 33

Базовый учебник

• Мордкович А.Г., Николаев Н.П., «Алгебра,9». Часть 1. Учебник .Мнемозина, 2009

• Мордкович А.Г. и др.«Алгебра,7», Мордкович А.Г., Рязановский А.Р., «Алгебра,9». Часть 2. Задачник. Мнемозина, 2009

8. Цель урока: Обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Неравенства с одной переменной»

9. Задачи:

- обучающие: овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования

-развивающие: расширение и обобщение сведений о рациональных и иррациональных неравенствах и способах их решения

-воспитательные: воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научно-технического прогресса.

10. Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний

11. Формы работы учащихся: Фронтальная работа, индивидуальная работа

12. Необходимое техническое оборудование: Компьютерный класс

13. Структура и ход урока

Таблица 1.

СТРУКТУРА И ХОД УРОКА

№

Этап урока

Название используемых ЭОР

(с указанием порядкового номера из Таблицы 2)

Деятельность учителя

(с указанием действий с ЭОР, например, демонстрация)

Деятельность ученика

Время

(в мин.)

1

2

3

5

6

7

1.

Актуализация знаний

Объявление темы, цели и задач урока

Работа со справочным материалом

6

2.

Практическая работа по теме «Неравенства с модулем»

Предлагает решить неравенства

и

Решает неравенства

12

3.

Практическая работа по теме «Иррациональные неравенства»

Предлагает решить неравенства

и

Решает неравенства

12

4.

Проверочная работа по теме «Неравенства с одной переменной»

1

Указывает задание

(необходимо выполнить лишь 3,4,5 задачи модуля)

демонстрация ЭОР

Модуль Систематизация и обобщение сведений о неравенствах. Основные методы решения неравенств. П1

Выполняет практическую работу

12

5.

Подведение итогов

Просматривает раздел модуля «статистика» на каждом компьютере и по результатам выполнения работы выставляет оценку

Демонстрирует раздел модуля «статистика»

2

6.

Домашнее задание

Указывает задание:

Решить неравенства

Записывает домашнее задание

1

Пример 1

Решите неравенство:

Решение:

Перейдём к равносильной совокупности.

Ответ:

Как видно, в простых случаях особых преимуществ метод перехода к равносильной системе не имеет, но иногда его преимущества весьма заметны.

Пример 2

Решите неравенство

Решение:

Как видно, найти значения x, при которых подмодульное выражение обращается в нуль, чрезвычайно затруднительно. Однако переход к равносильной системе значительно упрощает дело. Имеем:

Ответ:

Пример 3

Решите неравенство

Решение:

Сразу перейдём к равносильной системе:

Ответ:

Неравенства вида

ОДЗ данного неравенства f (x) ≥ 0. Пусть для каких-то x из ОДЗ g (x) < 0. Тогда, очевидно, все эти x − решения, так как при этих x левая часть определена (x ОДЗ) и неотрицательна, в то время как правая часть g (x) < 0.

Для других x из ОДЗ g (x) ≥ 0. Для них обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат:

Значит, данное неравенство равносильно совокупности неравенств:

Заметим, что в последнюю систему не входит требование f (x) ≥ 0. Оно и не нужно, так как выполняется автоматически

ибо полный квадрат всегда неотрицателен.

Пример 4

Решите неравенство

Решение

ОДЗ неравенства: x ≥ -3.

1. Если

то все эти x ОДЗ, для которых верно x < -1, − решения. Таким образом,

− первая часть ответа.

2. Если

то обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат. Имеем:

Получаем, что решениями являются все

Объединяя результаты пунктов 1 и 2, получаем:

Ответ:

Приложение к плану-конспекту урока

Неравенства с одной переменной

(Тема урока)

Таблица 2.

ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ НА ДАННОМ УРОКЕ ЭОР

№

Название ресурса

Тип, вид ресурса

Форма предъявления информации (иллюстрация, презентация, видеофрагменты, тест, модель и т.д.)

Гиперссылка на ресурс, обеспечивающий доступ к ЭОР

1

Модуль Систематизация и обобщение сведений о неравенствах. Основные методы решения неравенств. П1

Открытая образовательная модульная мультимедийная система (ОМС)

практический модуль

Открытая образовательная модульная мультимедийная система (ОМС)

fcior.edu.ru/card/8031/sistematizaciya-i-obobshenie-svedeniy-o-neravenstvah-osnovnye-metody-resheniya-neravenstv-p1.html

Справочные материалы по теме «Неравенства с модулем»

Основные способы решений неравенств с модулем во многом совпадают с методами решения аналогичных уравнений. Единственное отличие, пожалуй, связано с тем, что, решая неравенства с модулем (как, впрочем, и неравенства вообще), нужно очень внимательно совершать равносильные переходы и следить не только за тем, чтобы не приобрести новые решения, но и за тем, чтобы не потерять уже имеющиеся.

Стандартный путь решения неравенств с модулем заключается в том, что координатная прямая разбивается на промежутки (границами этих промежутков являются нули подмодульных выражений), а затем неравенство решается на каждом из промежутков.

Этот метод работает всегда. Правда, в отдельных случаях может быть затруднена его техническая реализация, например, очень тяжело или невозможно найти корни подмодульных выражений и пр. Однако, это сложности иного плана. Нужно понимать, что раскрытие модуля по определению неизменно приводит к цели. Конечно же, этот метод не является оптимальным: в условиях конкурсного экзамена важен не только результат, но и то время, которое потрачено на его получение.

Рассмотрим методы, не связанные с поиском нулей функций, стоящих под знаком модуля.

Рассмотрим неравенство

Очевидно, что те x, для которых g (x) < 0, не являются решениями. Значит, если x является решением, то для него g (x) ≥ 0, и согласно геометрическому смыслу модуля, как расстоянию на координатной оси, данное неравенство равносильно системе

Таким образом, имеем

Аналогично можно рассмотреть неравенство

Неравенство выполнено для тех x, для которых g (x) < 0 и функции f (x) и g (x) определены. Для тех x, для которых g (x) ≥ 0, имеем равносильную совокупность

Заметим, что последняя совокупность является равносильной нашему неравенству и при g (x) ≤ 0. В этом можно непосредственно убедиться, учтя

g (x) ≤ 0 и вспомнив определение знака совокупности.

Справочные материалы «Иррациональные неравенства»

Если в неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными.

Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень: если в неравенство входит квадратный корень, то в квадрат; входит корень третьей степени − в куб и т. д. Однако, возводить в квадрат, не нарушая равносильности, можно только неравенство, у которого обе части неотрицательны. При возведении же в квадрат неравенств, части которых имеют разные знаки, могут получиться неравенства, как равносильные исходному, так и неравносильные ему.

Простой пример: -1 < 3 − верное неравенство,

− тоже верное неравенство. Несмотря на то, что -4 < -1 − неравенство верное, неравенство

уже верным не является.

Покажем, как получить равносильные системы для некоторых часто встречающихся типов неравенств.

Неравенства вида

Если x лежит в ОДЗ: f (x) ≥ 0, то левая часть неравенства существует и неотрицательна. Поскольку для всех x, являющихся решением данного неравенства, правая часть больше левой, то g (x) > 0. Следовательно, обе части неравенства неотрицательны (для тех x, которые являются решениями неравенства, другие x нас не интересуют). Значит, возведение в квадрат не нарушает равносильности и можно записать равносильную нашему неравенству систему неравенств: