Конспект урока по теме «Производная показательной функции»

Конспект урока по теме «Производная показательной функции» в 11 классе.

Цель: Ввести понятие «экспоненты», «натурального логарифма», сформировать понятие о производной показательной функции y=е^х.

Задачи:

• Образовательная: сформировать навык вычисления показательной функции, пользуясь правилами и формулами дифференцирования

• Развивающая: развить и совершенствовать применение правил дифференцирования для показательной функции.

• Воспитательная: воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения и речи.

Ход урока

1. Организационный момент, объявление темы и цели урока

«Сегодня на уроке мы изучаем новую тему «Производная показательной функции». Наша цель познакомиться с понятием «экспоненты», «натурального логарифма», с теоремой о дифференцировании показательной функции.

2. Устная работа:

- Вспомним правила дифференцирования функции:

А) чему равна производная алгебраической суммы двух функций: (u + v)′ = u′ + v′;

Б) чему равна производная произведения функций (u∙v)′= u′∙v + u∙v′;

В) чему равна производная частного двух функций ;

Г) чему равна производная степенной функции (xⁿ)′=n∙x^n-1;

Д) чему равна производная тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса и котангенса);

Е) чему равна производная константы c′= 0;

Ж) чему равна производная произведения константы на функцию (c∙u) ′ = c∙u′;

Все вышеуказанные формулы воспроизводятся на интерактивной доске.

3. Тематический контроль (найти производные функций, выбрать правильный ответ и записать код ответа). Работа выполняется по вариантам.

Дети сдают карточки с ответами учителю. Учитель проверяет работы, дети записывают в тетради тему урока.

4. Объяснение нового (с помощью мультимедийного оборудования)

• график какой функции изображен на доске (y=2x),

• в какой точке к графику функции проведена касательная (х=0),

• какой угол образует касательная с положительным направлением оси абсцисс (35°),

• какой угол образует касательная к графику функции y=3x (48°),

• для функции y=10x в аналогичной ситуации получаем угол 66,5°,

Вывод: если основание показательной функции а увеличивается от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точки х=0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35° до 66,5°.

Логично предположить, что существует основание а, для которого соответствующий угол равен 45°.

• между какими числами лежит основание а (2 и 3),

• доказано в математике, что интересующее нас основание существует. Его принято обозначать буквой е. В математике установлено, что число е - иррациональное, т.е. представляет собой бесконечную десятичную непериодическую дробь.

е = 2,7182818284590…

На практике обычно полагают, что е = 2,7

1828 - это год рождения Льва Николаевича Толстого.

График функции y=ех. Показательная функция с основанием е называется экспонентой.

• перечислите свойства функции y=е^х,

• чему равен tg45°,

• чему равно значение tg45° для функции y=е^х (геометрический смысл производной),

• дайте определение производной в точке х = 0 (∆y/∆x) при ∆x стремящемся к нулю,

• чему равна производная функции y=е^х в точке х=0 (y′ =1), т.е. при ∆x стремящемся к нулю,

Теперь докажем теорему о производной функции y=е^х.

Теорему доказывает ученик.

- Что использовали в доказательстве теоремы? (определение производной, теоремы о пределах);

Учащиеся записывают доказательство в тетрадь.

(е^х)′ = е^х

Показательная функция с основанием е называется экспонентой. Рост и убывание функции со скоростью экспоненты называется экспоненциальным. Экспоненциальный рост и убывание часто встречается в природе и технике. Иногда формулы для экспоненты записываются в виде exр(х) вместо ех.

Найти производные функций (учащиеся по очереди выходят к доске и вычисляют:

• - (2е^х)′ =2е^х,

• - (е^5х)′ = е^5х∙5 = 5е^5х,

• - (10е^-3х)′ = 10е^-3х∙ (-3) = -30е^-3х,

• - ,

• - ,

- Открыли учебники(стр. 242) и читаем определение натурального логарифма.

На доске записываем

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е.

Вычислить:

5. Закрепление нового материала (работа с учебником)

Выполнить задание № 538, 540 (а), 543 (а, в), 544 (в).

№538

y'=(4e^x+5)'=4e^x+5

y'=(3-0.5e^x)'=-0.5e^x

y'=(2x+3e^-x)'=2-3e^-x

y'=(5e^-x)'=-5e^-x

Решаем на доске с комментариями.

Вспомним уравнение касательной к графику функции в точке х₀

№540

f(x)=e-x, x₀=0

1. f(0)=1

2. f'(0)=-e^-x0= -1

3. y=1-1*(x-0)

y=1-x

№543

y'=(e^x2*sinx/2)'=2xe^x2sinx/2+e^x20.5cos0.5x

№544(б)

6. Итог урока:

• с чем познакомились на сегодняшнем уроке,

• что такое число е,

• как называется функция y=е^х,

• как читается теорема № 1,

• что такое натуральный логарифм,

7. Домашнее задание: индивидуальная работа по карточкам.