Методическая разработка Математический язык. Математическая модель

Методическая разработка по математике для 6, 7, 8 классов учителя МБОУ СОШ № 42 г. Владикавказа Уруймаговой З. Ю.

Тема: «Математический язык. Математическая модель.»

Цели: Закрепить: владение учащимися математическим языком, составление математической модели задачи. Научить проводить аналогию математических законов с данной конкретной жизненной ситуацией.

Методы: лекция.

Пояснительная записка.

Данная методическая разработка направлена в помощь учителю как пятого, так шестого, седьмого, восьмого, возможно и девятого классов, для ознакомления учащихся с данной темой, так как в большинстве, предлагаемых на сегодняшний день, учебников, она не изучается. Рассматривается в УМК М.Б.Волович «Математика 6».

Для каждого из классов могут быть использованы задачи соответственного уровня сложности, начиная с самых элементарных уравнений и заканчивая системами уравнений второй степени с несколькими переменными.

Знакомство с данным материалом заставляет учащихся задуматься над явлениями окружающего мира и пытаться «разрулить» ситуацию с помощью математических законов.

Умение абстрактно мыслить- одна из острых проблем в обучении математике.

На уроке-лекции можно рассмотреть ряд задач и составить математическую модель условий ( решение данного уравнения или системы уравнений можно задать на дом).

Возможно и обратное задание: перевести с математического языка на русский и придумать ситуацию к данному переводу.

Ход урока: В этом параграфе речь пойдёт о математическом языке, который вы уже седьмой год изучаете в школе, хотя многие из вас даже не догадываются, что в ходе изучения данного предмета идёт овладение новым языком.

Уже в самых первых классах, когда вы, например, слышали: «Назовите число, на 2 большее, чем число 7» , то сразу переводили это на математический язык: «7+2» и называли ответ: 9.

По мере овладения математикой переводы становятся всё более сложными.

Задача 1. Переведите на математический язык: Найдите сумму, первое слагаемое которой - четвёртая степень числа 3, увеличенная в 2 раза, второе слагаемое- пятая степень числа 1, уменьшенная на 7. Найдите модуль разности числа 151 - и полученной суммы.

Решение: Переведём на математический язык то, что известно о первом слагаемом. Четвёртая степень числа 3 - это 3 , увеличенная в 2 раза - это 3 2.Чтобы перевести на математический язык 3 , надо знать, что 3 = 3 3 3 3 =81. Увеличив результат в 2 раза, получим 162. Переведём на математический язык то, что известно о втором слагаемом. Пятая степень числа 1 - это 1 ; 1 = 1∙ 1∙ 1∙ 1 ∙1=1. Слова «пятая степень числа 1, уменьшенная на 7» можно перевести как 1 -7. Эта разность равна -6. Продолжим перевод. Мы нашли слагаемые, а требуется найти сумму чисел, то есть 162 + (-6). Эта сумма равна 156. Теперь надо перевести слова «найдите модуль разности числа 151- и полученной суммы

| 151-- - 156| = | -4 -- | = 4-- . Перевод завершён.

В настоящее время, когда вы делаете первые шаги в овладении математическим языком, результатами «перевода» чаще всего являются числовые и буквенные выражения. И если решение текстовых задач вызывает у вас затруднения , то скорее всего потому, что вы недостаточно хорошо овладели искусством перевода информации , которая содержится в тексте задачи, на математический язык. Давайте вместе вспомним , как осуществляется такой перевод.

Задача 2: Составить уравнение по условию задачи: Из 555г. шерсти связали лыжную шапку, шарф и свитер. Сколько шерсти пошло на каждое изделие, если на свитер потребовалось в 5 раз больше шерсти, чем на шапку?

Решение: Перевод требования «составьте уравнение по условию задачи» включает в себя информацию: надо обозначить одну из неизвестных величин буквой. В самом тексте задачи об этом ничего не сказано. Но мы договорились , что именно с этого начинается перевод на математический язык в любой задаче, где надо составить уравнение по её условию. В этой задаче важно разобраться, какую именно неизвестную величину имеет смысл обозначать буквой. В задаче количество шерсти, которая пошла на изготовление свитера и шарфа, связанная с количеством шерсти, необходимым для изготовления шапки. По этому удобно обозначить буквой именно эту величину : р грамм шерсти пошло на шапку. Далее читаем текст задачи и записываем имеющуюся здесь информацию в виде числовых или буквенных выражений. «Из 555 г. шерсти связали лыжную шапку, шарф и свитер.» Эту информацию пока использовать не удаётся. Но , чтобы не забыть её можно записать: шапка шарф 555 г.

свитер.

«….на свитер потребовалось в 5 раз больше шерсти, чем на шапку.» Это можно записать в виде буквенного выражения. 5р грамм шерсти пошло на свитер, «…а на шарф на 5 г. меньше, чем на шапку.» Перевод можно записать в виде буквенного выражения: (р-5) грамм шерсти пошло на шарф. Теперь надо вернуться к той информации, которая не была использована: записать в виде буквенного выражения, что на все три изделия пошло 555 грамм шерсти. Получаем уравнение:

р + 5р + р - 5 = 555

Задача 3. Переведите с математического языка на русский язык:

а) в+к = к+в

б) ( в+к)+р = в + (к+р)

в) в + о = в

Решение: Здесь при помощи буквенных выражений записаны переместительный и сочетательный законы сложения, а так же свойство нуля при сложении. Эти переводы вам хорошо известны:

а) от перестановки слагаемых сумма не меняется

б) чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому слагаемому прибавить сумму второго и третьего.

в)прибавив к любому числу нуль, получим то же самое число.

Задача 4: Переведите на математический язык и запишите в виде уравнений информацию, которая содержится в следующих задачах:

а) если скорость автомобиля увеличилась на 10 км/ч, то путь 420 км. автомобиль пройдёт за 7 часов.

б) если число книг на каждой полке увеличить на 10, то 420 книг займут 7 полок.

в) если число автомобилей на каждой стоянке увеличить на 10 , то 420 автомобилей можно будет разместить на 7 стоянках.

Решение: Поскольку в определении писать наименования не принято , во всех трёх задачах уравнение может быть записано, например так:

(m+10)∙7=420

Составляя уравнение по условию задачи , мы учитываем только соотношения между величинами , о которых говориться в условии задачи . Не принимается во внимание , не учитывается информация , которая характеризует сами объекты: автомобили, книги и т.п. Сюжет в математической задаче - совсем не главное. Ведь уравнения являются математическим описанием связей, которые находятся между рассматриваемыми в задаче величинами. Математики называют такие описания «математическими

моделями» рассматриваемых задач.

Математические модели служат схемы, чертежи, формулы и т. п., которые фиксируют суть изучаемого материала

Например: ( модель помогает понять, что такое противоположные числа)

a+b=0 a и b- противоположные числа

Эта схема объясняет, как установить, являются ли два числа противоположными. Верхняя стрелка «подсказывает»

Если сумма чисел=0,то числа противоположны. Нижняя

стрелка осуществляет связь в обратном направлении:

если числа противоположные, то их сумма=0.

В школе мы имеем дело либо с мат. моделями, которые получаются в результате перевода, например, содержания задачи с языка русского на язык математический, либо с математическими моделями, позволяющими на уроках лучше объяснить суть основных понятий и законов математики.

Задачи

№1 Запишите на математическом языке:

а) четвёртая степень числа 7

б) куб разности чисел 3 и m

в) число, противоположное c

г) модуль разности чисел 4 и p

№2 Переведите с математического языка:

1. m⁴ четвёртая степень числа m

2. (3-a)² квадрат разности трёх и а

3. -p число, противоположное p

4. ∣6-c ∣ модуль разности 6 и с

5. ∣-с∣=11 модуль числа, противоположного с равен 11

6. (a-4):4a частное разности а и 4, и их произведения

№3 Перейдите к математическим записям:

1. число а на 7,2 больше числа с

a-7,2=c

б) число m в 1,3 раза меньше числа p

1,3∙m=p

в) число m отрицательное

m< 0

г) сумма чисел 2,3 и р равна четвёртой степени числа 2

2,3+р=2

№4 Составьте математическую модель ситуации:

а) Один кг яблок стоит - m рублей, а один кг винограда - р рублей. Семь кг яблок стоят на 10 рублей дешевле, чем четыре кг винограда.

7m+10=4p

б) Известн , что 2/ 3 числа а равны ¾ числа m.

При этом а на 12 больше m

№5. Придумайте реальную ситуацию, математической модели которой может служить равенство:

а) m- 4=c

б) m+1=c-2

в)2m= 5c+4

Литература:

УМК М. Б. Волович. Методическое пособие

Математика 6, Москва

Издательство «Вентана - Граф.»