Урок математике в 11 классе. Применение производной

1. При каких значениях а кривая касается оси абсцисс?

Решение.

у = 0 (уравнение оси ОХ) - касательная к графику функции.
k = 0 - угловой коэффициент прямой у = 0. k = у' (х).

2 (x - 2)(x + 2) = 0

x = 2, х = -2 - абсциссы точек касания графика к оси ОХ.

у (2) = 0 и у (-2) = 0

Ответ: кривая касается оси абсцисс при а = 32 и а = -32.

2. Постройте график функции .

Решение.

1. Область определения функции 1 + х ≥ 0; х ≥ -1.

D (y) = [-1;+∞).

2. При х = 0, - график функции проходит через начало координат.

3. При у = 0

x = 0 x = -1

0 и -1 - абсциссы точек пересечения графика с осью ОХ.

5. Найдем критические точки: у' (х) = 0.

0 и -0,8 - внутренние точки области определения, значит они являются критическими.

-1 - не является критической точкой, т.к. она не является внутренней точкой области определения.

6. Найдем промежутки возрастания и убывания функции.

Функция возрастает на промежутке, где f '(х) > 0.

Функция возрастает на промежутке: (-1; -0,8) и (0; +∞) и убывает на промежутке (-0,8; 0).

-0,8 - точка мах

точки экстремума

0 - точка min

Найдем экстремумы функции

3. При каких значениях а уравнение имеет два решения?

Решение.

Решим это уравнение графически. Построим графики функции и у = а.

D (y) = R - область определения симметричная относительно нуля.

, значит функция ни четная, ни нечетная.

Найдем критические точки у' (х)=0.

3х² + 6х - 9 = 0

3(х² + 2х - 3) = 0

х ² + 2х - 3 = 0

D = 4 - 4 (-3) = 4 + 12 = 16 > 0

Найдем промежутки возрастания и убывания функции. Функция возрастает на промежутках, где у'(х) > 0.

3х² + 6х - 9 > 0

3(х² + 2х - 3) > 0

(х - 1) (х + 3) > 0.

Отметим на координатной прямой нули функции

f (x) = (x - 1) (x + 3)

x = 1 x = -3.

у' (х) = 3х² + 6х - 9

Функция возрастает на промежутках (-∞; -3) и (1; + ∞) и убывает на промежутках (-3; 1).

-3 - точка мах,

1 - точка min

Пересекая график функции прямыми у = а, получим следующие результаты:

1. при а = 24 - два решения;

2. при -8 < а < 24 - три решения;

3. при а = -8 - два решения;

4. при а > 24 - одно решение;

5. при а < -8 - одно решение.

Ответ: два решения при а = 24 и а = -8.

4. При каких значениях параметра а, функция у = (а + 2) х³ + 9ах - 2 убывает на R?

Решение

Функция убывает на R, если y' (х) < 0.

при а + 2 <0 и D < 0

D = (2a)² - 4(a + 2) ·3a = 4a² - 12a² - 24a = -8a² - 24a = -8a (a + 3)

Решим систему неравенств:

а (а + 3) > 0

а = 0 а = -3.

а ∊ (-∞; -3).

Ответ: а ∊ (-∞; -3).

5. При каком значении с функция у = х³ - 0,6х² + сх + 0,8 не имеет экстремума в критической точке?

Решение.

Имеем

Рассмотрим функцию с областью определения R. Если функция g(x) на R не имеет корней, то функция у(х) не имеет критических точек. Если функция g(x) на этом же промежутке R имеет корень, но двойной кратности, то функция у(х) имеет критическую точку, которая не является точкой экстремума. Понятно, что при ином поведении функции g(x) на R, функция у(х) имеет экстремумы.

Найдем значение с, при котором уравнение 3х² - 1,2х + с = 0 не имеет корней.

Квадратное уравнение не имеет корней при D < 0.

D = (-1,2)² - 4·3·c = 1,44 - 12c

1,44 - 12c < 0

c - 0,12 > 0

c > 0,12.

Уравнение не имеет корней при c > 0,12.

Выясним при каком с уравнение 3х² - 1,2х + с = 0 имеет корень, но двойной кратности.

, значит , с = 0,12

При с = 0,12 уравнение имеет корень двойной кратности. Объединим полученые значения параметра с в ответ: с ≥ 0,12.

Ответ: с ≥ 0,12.

6. Докажите, что при х ≥ 1 выполняется неравенство

Решение.

Рассмотри функцию

D (y) = (0; +∞).

Найдем наибольшее значение функции на интервале (0; +∞).

Найдем критические точки: у' (х) = 0.

или

Пусть

x = 1 t² + t + 1 = 0

D = 1 - 4 = -3 <0 - корней нет.

x = 1 - внутренняя точка области определения, значит является критической,
0 ∉ D (y) - не является критической.

Определим знак производной в каждом из интервалов (0; 1) и (1; +∞).

x = 1 - точка мах, т.к. при переходе через нее производная поменяла свой знак с «+» на «-».

Так как у = 0 - наибольшее значение функции на интервале (0; + ∞), то при х ≥ 1 выполняется неравенство

7. Докажите, что уравнение х³ + х² + х = 1 имеет не более одного действительного корня.

Решение.

Исследуем на монотонность функцию у (х) = х³ + х² + х.

D (y) = R.

y' (x) = 3х² + 2х + 1.

Найдем критические точки: 3х² + 2х + 1 = 0.

D = 4 - 4 ·3·1 = 4 - 12 = -8 < 0. Уравнение корней не имеет, значит нет критических точек.

3х² + 2х + 1 > 0 при любом х, т.к. а = 3 > 0 и D < 0. Значит функция у (х) = х³ + х² + х возрастает на всей области определения, поэтому уравнение у (х) = 1 имеет не более одного действительного корня.

8. Сколько корней имеет уравнение

а) х⁵ + х³ + 2 = 0

б) ?

Решение.

При х = -1 имеем (-1)⁵ + (-1)³ + 2 = 0; -2 + 2 = 0; 0 = 0 (верно).

а) Решим это уравнение графически х⁵ + х³ = -2.

Построим графики функций: у (х) = х⁵ + х³ и у = -2. Область определения у (х) = х⁵ + х³ - R

у (х) = х⁵ + х³; у' (х) = 5х⁴ + 3х²= х² (5 х²+ 3).

Найдем критические точки: х² (5 х²+ 3) = 0

х² = 0 или 5х² + 3 = 0

х = 0 5х² = -3

корней нет.

у' (х) > 0 при любом у, значит функция возрастает на всей области определения.

у (0) = 0

А т.к. у (х) = х⁵ + х³ возрастает на R, то прямая у = -2, пересечет график данной функции в одной точке, следовательно уравнение х⁵ + х³ + 2 = 0 имеет один корень, х = -1.

Ответ: -1.

б)

Решение.

При х = 0 имеем

1 = 1 (верно).

х = 0 - корень уравнения.

Покажем, что этот корень единственный. Построим графики функций у = cos x и в одной системе координат.

D (y) = R

Найдем критические точки: у' (х) = 0

- корней нет, значит критических точек нет.

при любом х, значит функция возрастает на всей области определения.

Если х = 0, то у(0) = 1.

Построим графики функций

y = cos x и в одной системе координат.

Графики пересекаются в одной точке, значит уравнение имеет единственный корень х = 0

Ответ: 0 - единственный корень.

9. Найдите наименьшее и наибольшее значение функций на заданных промежутках.

а)

б)

в)

Решение.

а)

2x - 1 ≠ 0 ;

2x ≠ 1

Найдем критические точки:

или

1 ∊ D(y); 0 ∊ D(y) 0 и 1 - критические точки.

Сравним , поэтому

мах у(х) = у (2)= ; min y(x) = y (1) = 1

Ответ: 1;

б)

Решение.

. Нет критических точек, принадлежащих отрезку .

Найдем значение функции на концах отрезка .

мах у(х) = у (3)= ;

Ответ:

в)

Решение.

D (y) = R, [0; π] ∊ D (y)

Найдем критические точки у'(х) = 0

2 sin x = 1

при при k = 0

при при k = 1

[0; π]

[0; π]

Ответ: 1;

10. Найдите точку графика функции , ближайшую к точке А

Решение.

А

Пусть точка В (х; у) - ближайшая точка графика функции.

к точке А

В (х;у), где , тогда

АВ - расстояние между точками А и В.

Пусть S (x) = AB², тогда

D(S) = R. Найдем наименьшее значение функции S(x).

Найдем критические точки из условия S'(x) = 0.

Определим знак производной на каждом из промежутков

- точка минимума;

Значит В - ближайшая точка графика к точке .

Ответ:

11. Два корабля плывут с постоянными скоростями V₁ = 20км/ч и V₂ = 30км/ч по прямым, угол между которыми 60°, в направлении точки пересечения этих прямых. Найдите наименьшее расстояние между кораблями, если в начальный момент времени, расстояния кораблей от точки пересечения прямых были соответственно 10 км и 20 км.

Решение.

АВ = 20 км, ВС = 10 км, где

А и С - положение кораблей в начальный момент времени.

Пусть М_t - положение второго корабля в момент t, а N_t - положение первого корабля в момент t.

Тогда ВМ_t = 20 - 30t

ВN_t = 10 - 20t

Из Δ ВМ_tN_t по теореме косинусов найдем квадрат расстояния S между кораблями:

;

Очевидно, что расстояние между кораблями будет наименьшим, если квадрат расстояния будет наименьшим. Таким образом дело свелось к нахождению аргумента при котором достигает наименьшего значения функция .

у'(t) = 1400t - 900. Найдем критические точки: у'(t) = 0;

1400t - 900 = 0

1400t = 900

y' (1) = 1400 - 900 = 500 > 0

y' (0) = - 900 < 0

- точка минимума.

Значит в момент времени расстояние между кораблями будет наименьшим.

Ответ:

12. Населенный пункт А расположен на расстоянии 3 км от автомагистрали и 5 км от города В, через который проходит эта магистраль. Под каким углом к автомагистрали нужно построить подъездную дорогу, чтобы затраты времени на перевозку грузов из А в В были наименьшими, если допустимая скорость движения автомобилей по магистрали - 90 км/ч, а по подъездной дороге - 45 км/ч?

Решение.

Пусть

АК ⏊ КВ, значит в ΔАКС АКС = 90°. Тогда

Из ΔАВС по теореме косинусов имеем:

Пусть ВС = у, у > 0

y² - 6 ctg α·y + 9 ctg²α - 16 = 0

a = 1; b = -6 ctg α; c = 9 ctg² α - 16.

D = b² - 4 ac = (-6 ctg α)² - 4 ·1· (9 ctg² α-16)=36 ctg² α - 36 ctg² α + 64 = 64 > 0

1. BC = 3 ctg α + 4

Расстояние АС по подъездной дороге автомобиль, двигаясь со скоростью 45 км/ч, поедет за время

а расстояние ВС, автомобиль проедет со скоростью 90 км/ч за время

Тогда время, затраченное на перевозку груза из А в В будет равно t (α) = t₁ + t₂, значит

Время будет функцией от α, для которой нужно выяснить под каким углом α к автомагистрали нужно построить подъездную дорогу, чтобы затраты времени были наименьшими.

Найдем критические точки:

ни при каких α, при условии sin α ≠ 0, α ≠ π n, n ∊ z.

Значит

- точка минимума. Значит при затраты времени будут наименьшими.

б) Аналогично, если ВС = , то

тогда

Ответ:

13. В окружность радиуса R вписан равнобедренный треугольник. При каком значении α при вершине треугольника, высота, проведенная к боковой стороне, имеет наибольшую длину? Найдите эту длину.

Решение.

Δ ABC (AB= BC) вписан в окружность радиуса R.

(следствие из теоремы синусов)

AF есть функция от α, т.е. , для которой нужно найти наибольшее значение.

Найдем критические точки: f '(α) = 0.

Ответ:, , .

14. В равнобочной трапеции нижнее основание равно а, угол при основании равен α. Диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне. При каком значении α площадь трапеции будет наибольшей? Найдите наибольшую площадь.

Решение.

Трапеция АBCD - равнобокая

АВ = CD, АD = а,

AC ⏊CD

В Δ ACD ACD = 90°.

CD = AD ·cos D = a cos α.

Проведем BF ⏊ AD и CK ⏊ AD.

ΔAFB= ΔDKC (по гипотенузе и катету),

значит AF = KD.

Из ΔCKD CKD = 90°

KD = CD cos D = a cos α ·cos α = a cos² α.

BC = AD - 2 KD = a - 2 a cos² α = a (1 - 2cos² α)

CK = CD ·sin D = a cos α·sinα.

Найдем критические точки: S'(α) = 0

Найдем критические точки: S'(α) = 0

= 0

= 0

α = π n, n ∊ z

α = π, что не удовлетворяет условию.

не удовлетворяет

условию.

=

- точка максимума, значит при площадь трапеции наибольшая.

Ответ: .

15. Найти все р, чтобы к графику функции , можно было провести касательную, которая пересекает ось ОХ в точке А такой, что .

Решение.

Напишем уравнение касательной в т. х₀

y = f (x₀) + f ' (x₀) · (x - x₀)

Найдем координаты точки А - точки пересечения касательной с осью ОХ: у = 0

x₀ ≠ 0 =>

Квадратное неравенство имеет решение, если D₁ ≥ 0

Пусть 3^p = t, t > 0. Получим -2t² + 3t + 9 ≥ 0

D = 9 - 4·2 (-9) = 9 + 72 = 81.

t ∊ (0; 3]

0 < t ≤3

0 < 3^p ≤3

p ≤ 1

Ответ: р ∊ (-∞; 1]

16. Найти уравнение прямой, проходящей через точку с координатами , касающейся графика функции и пересекающей в двух различных точках графики функции .

Решение.

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид

y = f (x₀) + f ' (x₀) · (x - x₀).

Точка касания принадлежит касательной и параболе. Найдем

- уравнение касательной.

Координаты точки удовлетворяют уравнению касательной, поэтому подставив их в общее уравнение касательной, получим уравнение для нахождения точки касания.

х₀² - х₀ = 0 х₀(х₀ - 1) = 0

х₀ > 0 и х₀ - 1 = 0

х_{0 = 1}

Получим абсциссы двух точек касания, то которым и составим уравнения двух касательных.

х₀ = 0х₀ = 1

f '(0) = 0 f '(1) = -1

y = 2 + 0 (x - 0) y = 1,5 - 1(x - 1)

y = 2 y = 1,5 - x + 1

y = 2,5 - x

Выясним какая из этих касательных пересекает график функции в двух точках

4 - х² ≥ 0 -(х² - 4) ≥ 0

(х - 2)(х + 2) ≤ 0

D (y) = [-2; 2 ]

4 - 4 = x² 2x² - 5x + 2,25 = 0

x² = 0 D = 25 - 4· 2 ·2,25=25-18=7

x = 0; y = 2

Одна точка пересечения Две точки пересечения.

Ответ: у = 2,5 - х