Методическая разработка по математике. 5 класс. Решение практических задач по математике

Решение практических задач по математике. 5 класс.

Анализ результатов входящей к/р по математике показал, что успеваемость по решению практических задач составляет соответственно 0,31%; 0,31%; 0,063%. Что явилось огромной учебной проблемой.

По этим причинам возникла необходимость более глубокого изучения традиционного раздела элементарной математики: решение текстовых задач. Полный минимум знаний, необходимый для решения всех типов текстовых задач, формируется в течение первых девяти лет обучения учащихся в школе.

Необходимость рассмотрения техники решения текстовых задач обусловлена еще и тем, что умение решать задачу является высшим этапом в познании математики и развитии учащихся.

С помощью текстовой задачи формируются важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением главного в условии, составлением плана решения, проверкой полученного результата и, наконец, развитием речи учащегося. В ходе решения текстовой задачи формируется умение переводить ее условие на математический язык уравнений.

Для развития познавательной активности учащихся, для повышения мотивации к данной учебной деятельности, использовалась форма групповой исследовательской работы.

Цель - формирование у обучающихся полного представления о решении текстовых задач.

Задачи:

• выделить основные виды практических задач.

• выработать единый алгоритм для решения всех видов задач.

• применить единый алгоритм ко всем типам задач (разобрать на примерах).

Проанализировав текстовые задачи, мы выделили следующие типы задач:

• Сложение и вычитание.

• Все арифметические действия.

• Деление с остатком.

• Скорость. Время. Расстояние.

• Движение навстречу и в противоположных направлениях.

• Движение вдогонку.

• Движение по воде.

• Совместная работа.

• Задачи, решаемые алгебраическим способом.

• Нахождение дроби от числа.

• Нахождение числа по его дроби.

• Проценты.

• Геометрические задачи.

• Комбинаторные задачи.

Мы задумались над тем, а нельзя ли как-то систематизировать предложенный объем текстовых задач и выработать единый алгоритм их решения.

Еще с начальной школы предлагалось решать задачи, видя текст перед собой в виде краткой записи условия. Взяв за основу краткую запись, мы подошли к тому, что удобно делать ее в виде таблицы.

Все типы задач они решаются по одной и той же схеме.

Движение:

V(скорость) * t(время) =S (расстояние)

Работа:

р (производительность) * t (время) =А (работа)

Покупка:

Цена * Количество = Стоимость

То есть действия с выражениями аналогичные.

Таким образом, алгоритм решения задач следующий:

1. Прочитать текст задачи полностью;

2. Определить ее тип, исходя из условия;

3. Составить таблицу (краткое условие);

4. Заполнить таблицу, читая каждое предложение условия задачи;

5. Найти в таблице место вопросу задачи.

6. Составить арифметическое или алгебраическое выражение для решения задачи по таблице.

7. Проанализировать полученный результат.

8. Записать ответ.

Задачи на сложение и вычитание

Задача 1.

В одном мотке 250 м веревки, и это на 39 м больше, чем в другом мотке. Сколько метров веревки в двух мотках?

Длина

1 моток: 250м ?

2 моток: на 39м <, чем

1) 250-39=211(м)-во 2 мотке.

2)250+211=461(м)

Ответ: всего 461 метр верёвки.

Задача 2.

В доме слева 560 квартир, что на 118 квартир больше, чем в доме справа. Сколько квартир в правом доме?

Количество квартир

Дом слева: 560 кв.

Дом справа: на 118кв. <,чем ?

1) 560-118=442(кв.)

Ответ: в доме справа 442 квартиры.

Задача 3.

В первый день с овощной базы вывезли 2340 кг овощей, во второй день столько же, а в третий день - на 178 кг меньше, чем в первый. Сколько овощей вывезли с базы за 3 дня?

Вывезли овощей

1 день: 2340 кг

2 день: : 2340 кг ?

3 день: на 178 кг <, чем

1) 2340-178=2162(кг) вывезли в 3 день.

2)2340*2+2162=6842 (кг)

Ответ: всего с базы вывезли 6842кг овощей.

Задачи на все арифметические действия

Задача 1.

Из двухкилограммового пакета муки для приготовления блинов брали 3 раза по 560 г муки. Сколько муки осталось в пакете?

Взяли муки Остаток

1 раз: 560г ?

2 раз: 560г ?

3 раз: 560г ?

2000 - ( 560 * 3 ) = 320 (г)

Ответ : 320 граммов муки осталось в пакете.

Задача 2.

В пассажирском поезде 14 вагонов, по 58 мест в каждом. Сколько в поезде свободных мест, если в поезде едут 779 пассажиров?

Количество

вагонов

Мест

в вагоне

Пассажиры

в поезде

Свободные места

1. 14 * 58 = 812(м) - всего мест в пассажирском поезде.

2. 812 - 779 = 33 (м)

Ответ: 33 свободных места в пассажирском поезде.

Поезд

14

58

779

?

Задача 3.

Микроволновая печь стоит 2300 рублей. Она дешевле стиральной машины в 4 раза. Сколько стоит стиральная машина?

Стоимость

Микроволновая печь: 2300 руб., < в 4 раза, чем

Стиральная машина: ?

1. 2300 * 4 = 9200 ( руб )

Ответ : стиральная машина стоит 9200 рублей .

Задачи на деление с остатком

Задача 1.

Цена поздравительной открытки 37 руб. Какое количество открыток можно купить на 300 руб.?

Цена Стоимость Кол-во товара

Открытки 37 руб. 300 руб. ?

1. 300:37= 8 (ост.4) (откр.)

Ответ: 8 открыток можно купить.

Задача 2.

На одного отдыхающего в летнем лагере положено 40г сахара в день. В лагере отдыхают 248 человек. Сколько килограммовых пачек сахара необходимо иметь ежедневно?

Норма Кол-во Кол-во

на человека отдыхающих сахара

Сахар 40г 248чел. ?

1. 248*40= 9920 (г)

Ответ: Ежедневно необходимо иметь 10 килограммовых пачек сахара.

Задача 3.

В мешке 45 кг муки, а в один пакет входит 2 кг муки. Какое наименьшее количество пакетов потребуется, чтобы расфасовать всю муку?

Всего муки Муки в пакете Кол-во пакетов

Мука 45 кг 2кг ?

1. 45:2=22 (ост. 1)(п)

Ответ: Для расфасовки муки потребуется 23пакета.

Задачи на скорость, время, расстояние

Задача 1.

Теплоход за 6 часов прошёл 210 км, а поезд за 4 часа - 420 км. Во сколько раз скорость поезда больше скорости теплохода?

S, км v=S/ t, км/ч t,ч

теплоход: 210км ? ? v_п : v_т 6ч

поезд: 420км ? 4ч

1. 210:6=35(км/ч)-скорость теплохода.

2. 2) 420:4=105(км/ч)-скорость поезда.

3. 3)105:35=3(р)

Ответ: В 3 раза скорость поезда больше скорости теплохода.

Задача 2.

Самолёт за 3 часа пролетел 2160 км. Какое расстояние пролетит этот самолет за 7 часов?

самолет S= v* t, км v=S/ t, км/ч t,ч

1 условие: 2160км ?км/ч 3ч

2 условие: ?км ?км/ч 7ч

1)2160:3=720(км/ч) скорость самолета при 1 условии.

2)720*7=5040(км)

Ответ: этот самолет пролетит за 7 часов 5040 км.

Задача 3.

Туристы прошли 16 км со скоростью 4 км\ч и 225 км проехали на автобусе со скоростью 45 км\ч. Сколько времени туристы были в пути?

S, км v, км/ч t= S/ v,ч

Пешком: 16 км 4 км/ч ? ? ч

На автобусе: 225 км 45 км/ч ?

1)16:4=4 (ч) шли туристы пешком.

2)225:45=5(ч) ехали на автобусе.

3) 4+5=9 (ч)

Ответ: 9ч туристы были в пути..

Задачи на движение навстречу и в противоположных направлениях

Задача 1.

Из двух городов, расстояние между которыми 140 км, одновременно навстречу друг другу выехали 2 велосипедиста. Скорость одного велосипедиста 15 км/ч, другого- 20 км/ч. Через сколько часов велосипедисты встретятся?

«навстречу» S, км v, км\ч t=S/v,ч

1 велосипедист: ? 140 км 15км\ч ? ?ч

2 велосипедист: ? 20 км\ч

1)20+15=35(км/ч.)-скорость сближения.

2)140:35=4(ч.)

Ответ: через 4 часа велосипедисты встретятся.

Задача 2.

Расстояние между городами 660 км. Одновременно навстречу друг другу вышли 2 автобуса и встретились через 6 ч. Определите скорость второго автобуса, если скорость первого - 60 км/ч.

«навстречу» S, км v=S/ t, км\ч t,ч

1 автобус: ? 660 км 60 км\ч 6,ч

2 автобус: ? ? 6,ч

1)660:6=110(км/ч.)-скорость сближения.

2)110-60=50(км/ч.)

Ответ: скорость второго автобуса 50 км/ч.

Задача 3.

От автовокзала одновременно в противоположных направлениях выехали 2 автобуса: один со скоростью 65 км/ч, другой 75 км/ч. Какое расстояние будет между автобусами через 3 ч?

«в противоположных» S= v* t, км v, км\ч t,ч

1 автобус: ? ?км 65км\ч 3ч

2 автобус: ? 75 км\ч 3ч

1) 65+75=140(км/ч.)-скорость сближения.

2)140*3=420(км.)

Ответ:420 км будет между автобусами через 3 часа.

Задачи на движение вдогонку

Задача 1.

От одной автобусной станции одновременно в одном направлении отъехали 2 автобуса. Скорость одного-60 км/ч, а другого - 67 км/ч. Какое расстояние будет между автобусами через 5 ч?

«вдогонку» v t S=v*t

1 автобус 60 км/ч 5ч ?

2 автобус 67 км/ч 5ч ?

1. 60*5= 300 (км) проехал 1 автобус за 5ч

2. 67*5= 335 (км) проехал 2 автобус за 5ч

3. 335-300= 35 (км)

Расстояние между автобусами через 5 ч будет 35 км.

Задача 2.

Со станции вышел товарный поезд со скоростью 45 км/ч. Спустя 4 ч в том же направлении вышел пассажирский поезд со скоростью 75 км/ч. Через сколько часов после своего отправления пассажирский поезд нагонит товарный?

«вдогонку» v t S=v*t

товарный 45 км/ч ? >на 4ч S_т = S_п

пассажирский 75 км/ч ? S_п = S_т

Пусть х(ч) - время дв. пассажирского поезда, тогда время товарного (х+4)ч.

75*х=45*(х+4)

75х=45х+180

75х-45х=180

30х=180

Х=180:30

Х=6 (ч)

Ответ: через 6ч пассажирский поезд нагонит товарный.

Задача 3.

Из гаража с разницей в 1ч выехали в одном направлении 2 автомобиля. Скорость первого -75 км/ч, второго -90 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через 2ч после того, как они поравняются?

«вдогонку» v t₁ S=v*t₁

1 авто 75 км/ч ? >на 1ч S₁= S₂

2 авто 90 км/ч ? S₂= S₁

«вдогонку» v t₂ S=v*t₂

1 авто 75 км/ч 2ч S₁= S₂

2 авто 90 км/ч 2ч S₂= S₁

S=S₂ -S₁ ?

1. 75*2= 150 (км)проедет 1 авто за 2 ч

2. 90*2= 180 (км) проедет 2 авто за 2 ч

3. 180-150 =30 (км)

Ответ: через 2ч расстояние между авто будет 30 км.

Задачи на движение по воде

Задача 1.

Двигаясь по течению реки, катер за 3 ч прошел 57 км. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч?

«по» v_кат = v_общ- v_теч v_теч v_общ =S:t

Катер по воде ? 2км/ч 57км 3ч

1)57:3=19(км/ч)-скорость катера по течению реки

2/19-2=17км/ч

Ответ: собственная скорость катера. 17км/ч.

Задача 2.

Теплоход за 3 ч прошел вверх по реке 69 км. Собственная скорость теплохода 24.5 км/ч. Какова скорость течения реки?

«против» v_тепл v_теч= v_общ- v_тепл v_общ =S:t

Теплоход 24,5км/ч ? 69км 3ч

1)69:3 = 23 (км/ч) скорость теплохода по воде

2)24,5-23 = 1,5 (км/ч)

Ответ: скорость течения реки -1,5 км/ч.

Задача 3.

Скорость катера по течению реки 36,5 км/ч. Скорость течения реки 2,5 км/ч. Какое расстояние пройдет катер против течения реки за 4ч?

v_тепл= v_общ- v_теч v_теч v_общ

Катер по течению ? 2,5км/ч 36,5км/ч

v_тепл v_теч v_общ= v_тепл- v_теч

Катер

против течения ? 2,5км/ч ?

S= v_общ* t

? ? 4ч

1)36,5-2,5=34 (км/ч) собственная скорость катера

2)34-2,5=31,5 (км/ч) скорость катера против течения

3)31,5*4=126 (км)

Ответ: 126 км прошел катер против течения за 4ч.

Задачи на совместную работу

Задача 1.

Первая бригада может отремонтировать 1500 м дороги за 75 дней, а вторая - за 100 дней. За какое время бригады, работая совместно, отремонтируют 1750 м дороги?

Производительность t,дн A=п*t

1 бригада: ?м/дн 75 1500м

2 бригада ?м/дн 100 1500м

Совместно: ? м/дн ?дн 1750м

1)1500:75=20(м)-в день отремонтирует 1 бригада.

2)1500:100=15(м)-в день отремонтирует 2 бригада.

3)20+15=35(м)-за день отремонтируют обе бригады.

4)1750:35=50(дн)

Ответ:за 50 дней, работая совместно, 1 и 2 бригада отремонтируют 1750м дороги.

Задача 2.

Мастер может изготовить 540 деталей за 9 дней, а его ученик - за 18 дней. За сколько дней мастер и ученик изготовят это количество деталей, если будут работать вместе?

Производительность t,дн A=п*t

Мастер: ?дет/дн 9 540 дет.

Ученик: ?дет/дн 18 540 дет.

Совместно: ? дет/дн ?дн 540 дет.

1)540:9=60(дет)-в день изготавливает мастер

2)540:18=30(дет)-в день изготавливает ученик

3)30+60=90(дет)-в день изготавливают вместе

4)540:90=6(дн)

Ответ :за 6 дней изготовят 540 деталей мастер и ученик , если будут работать вместе.

Задача 3.

Один наборщик может набрать на компьютере 120 страниц текста за 15 ч, а другой - 120 страниц за 10 ч. За какое время наборщики смогут, работая одновременно, набрать этот текст?

Производительность t,ч A=п*t

1 наборщик: ?стр/ч 15 120 стр.

2 наборщик: ?стр/ч 10 120 стр.

Совместно: ?стр/ч ?ч 120 стр.

1)120:15=8(стр)-в день набирает 1 наборщик

2)120:10=12(стр)-в день набирает 2 наборщик

3)12+8=20(стр)-в день 1 и 2 наборщики вместе

4)120:20=6(ч)

Ответ :за 6 часов оба наборщика смогут, работая одновременно, набрать этот текст.

Задачи, решаемые алгебраическим способом

Задача 1.

После того как из бидона отлили 8л молока, в нем осталось на 24л больше, чем отлили. Сколько л молока было в бидоне первоначально?

Было хл

Отлили 8л

Осталось на 24л >, чем (8+24)л

Х-8=8+24

Х-8=32

Х=32+8

Х=40(л)

Ответ: первоначально в бидоне было 40л молока.

Задача 2.

Первое слагаемое на 47 больше второго слагаемого, а второе слагаемое на 16 меньше третьего слагаемого. Сумма трех слагаемых равна 315. Найдите каждое слагаемое.

Первое слагаемо на 47 >, чем (х+47)

Второе слагаемое х 315

Третье слагаемое на 16 >, чем (х+16)

(х+47)+х+(х+16)=315

3х+ 63=315

3х=315-63

3х=252

х=252:3

х=84 - второе слагаемое

1)84+47=131 -первое слагаемое

2)84+16=100 - третье слагаемое

Ответ: 1 слагаемое - 131; 2 слагаемое - 84; 3 слагаемое - 100.

Задача 3.

Саша задумал число, уменьшил его на 48 и в результате получил число, равное сумме наибольшего двузначного и наибольшего однозначного чисел. Какое число задумал Саша?

Задуманное число х

Уменьшили на 48

Результат (99+9)

(х-48)= 99+9

х - 48= 108

х=108+48

х=156

Ответ: задуманное число - 156.

Задачи на нахождение дроби от числа

Задача 1.

В пачке 10 коробок спичек. Достаточно ли пачки на 3 недели, если в неделю тратить по 2 коробки?

Число Доля от числа

Неделя 2 коробки

3 недели ? от 10 коробок

1)10*1:2=5(кор) выделили на 3 недели

2)2*3=6(кор) потребуется на 3 недели спичек

Ответ: пачки спичек не хватит на 3 недели.

Задача 2.

Рост журавля 114 см, страус в 2 раза выше, а рост аиста составляет роста страуса. Определите рост аиста.

Рост (Число) Доля Дробь от числа=

Число*Долю

Журавль 114см 1 114см

Страус в 2 раза >, чем 2 ?

Аист ? ?

1)114*2=228 (см) рост страуса

2)228*1:3= 76 (см)

Ответ: рост аиста 76 см.

Задача 3.

В корзине лежат 72 яблока. Из них зеленые, желтые, а остальные - красные. Сколько красных яблок в корзине?

Число Доля Доля от числа

Зеленые ? ?

Желтые ? 72 ябл. ?

Красные ?

1)72*1:4= 18(ябл) зеленых яблок

2)72*2:3=48 (ябл) желтых яблок

3)72-18-48=6 (ябл)

Ответ: в корзине 6 красных яблок.

Задачи на нахождение числа по его дроби

Задача 1.

Сколько книг в книжном шкафу, если 19 книг - это всего количества?

Часть числа Доля Число

Книги 19 ?

1. 19:1*11= 209 (кн.)

Ответ: 209 книг в книжном шкафу.

Задача 2.

В корзине лежали яблоки: 36 желтых, остальные зеленые. На блюдо выложили 12 яблок, что составило всех яблок. Сколько зеленых яблок было в корзине?

Яблоки Часть числа Доля Число

Желтые 36

Зеленые ?

Ж + З 12 ?

1. 12:1*8 = 96 (ябл.) было всего яблок в корзине

2. 96-36= 60 (ябл.)

Ответ: в корзине было 60 зеленых яблок.

Задача 3.

Известно, что всех квартир дома - двухкомнатные, а остальные 160 квартир - однокомнатные. Сколько двухкомнатных в доме?

Квартиры Часть числа Доля Число

1. комн. 160

2. комн. ?

1. - = доля однокомнатных квартир в доме

2. :8*15 = 300 (кв.) всего квартир в доме

3. −160 = 140 (кв.)

Ответ: в доме 140 двухкомнатных квартир.

Задачи на проценты

Задача 1.

В книге 600 страниц. Мальчик прочитал 23% книги. Сколько страниц прочитал мальчик?

Количество страниц

100 % 600 стр.

23% х стр.

1)600 : 100 = 6 (стр.) - 1% книги

2)6 * 23 = 138 (стр.) - прочитал мальчик

Ответ: 138 страниц прочитал мальчик.

Задача 2.

Мальчик прочитал 138 страниц - это 23% всей книги. Сколько страниц в книге?

Количество страниц

138 стр. 23 %

Х стр. 100 %

1) 138 : 23 = 6 (стр.) - 1% книги.

2) 6 * 100 = 600 (стр.) - в книге.

Ответ: 600 страниц в книге.

Задача 3.

В книге 600 страниц. Мальчик прочитал 138 страниц. Сколько процентов всей книги он прочитал?

Количество страниц

600 стр. 100 %

138 стр. х %

1) 600 : 100 = 6 (стр.) - 1% книги

2) 138 : 6 = 23 (%)

Ответ: 23% книги прочитал мальчик.

Геометрические задачи

Задача 1.

В квартире 7 дверей. Ширина каждой двери 1 м, высота- 2 м. сколько потребуется белил, чтобы покрасить двери с двух сторон, если на 1 м² поверхности требуется 110 г белил? Ответ дайте в килограммах и граммах.

Двери а=1м в=2м S₁-? n=7

S₁= а*в S= S₁ *n

Белила Норма на 1м² Расход

110г ?

1)S₁ =1*2 = 2 (м²) площадь одной двери

2)S = 2*7 = 14 (м²) площадь 7 дверей

3)110*14 = 1540 (г)

Ответ: потребуется 1кг 540г белил.

Задача 2.

Площадь прямоугольника 192 см² , длина одной из сторон - 16 см. Найдите периметр прямоугольника.

Прямоугольник S=192 см², а=16 см, в=? Р=?

S= а*в ; Р= 2* (а+в)

1)в= 192:16 = 12 (см) другая сторона

2) Р= 2* (16+12) = 56 (см)

Ответ: периметр равен 56 см.

Задача 3.

Ребро куба 7 см. Найдите объем куба, площадь боковой поверхности.

Куб а=7 см.

V=a³ -? S_бок =6* а²-?

1. V=7*7*7= 343 (см³ ) объем куба

2. S_бок =6*7*7= 294 (см²) площадь боковой поверхности куба.

Ответ: V=343 см³ , S_бок = 294 см² .

Комбинаторные задачи

Задача 1.

Сколько различных нечётных трёхзначных чисел можно составить с числами 4 8 6 и 3, но чтобы числа в записи числа не повторялись.

4

6 8

3 3

6

4 8

3 3

8

4 6

3 3

2*3=6

Ответ: можно составить 6 различных трехзначных чисел.

Задача 2.

Сколько различных четных четырехзначных чисел с неповторяющимися цифрами можно записать, используя цифры 1. 2, 3, 5?

1

3 5

5 3

2 2

3

1 5

5 1

2 2

5

1 3

3 1

2 2

2*3=6

Ответ: можно составить 6 четных четырехзначных чисел.