Составление квадратного трехчлена по его корням

Класс: 8 «Б» Предмет: Алгебра Дата: _______

Урок № 64 Тема: «Составление квадратного трехчлена по его корням»

Цели урока: научить составлять квадратный трехчлена по его корням.

Задачи урока:

Обучающая: повторить понятие квадратного трехчлена и его корней; формировать умение составлять квадратный трехчлена по его корням.

Развивающая: развитие логического мышления, познавательных интересов.

Воспитательная: воспитание организованности, дисциплинированности, аккуратности, усидчивости.

Тип урока: урок изучения нового материала и первичного закрепления

Методы и приемы: словесный, наглядный, практический.

Материально-техническое обеспечение: дидактический материал.

План урока:

1. Организационный момент

2. Актуализация знаний

3. Первичное усвоение новой учебной информации

4. Осознание и осмысление

5. Закрепление

6. Информация о домашнем задании

7. Подведение итогов урока

Ход урока

І. Организационный момент

- Здравствуйте ребята, тема сегодняшнего урока: «Составление квадратного трехчлена по его корням».

Цели данного урока: научится составлять квадратный трехчлена по его корням.

Приветствие, проверка готовности учащихся к уроку, сообщение темы и цели урока и требований к уроку.

ІІ. Актуализация знаний

- Давайте вспомним пройденный материал

• Разложите на множители выражение:

• а) Х²- 9; б) Х² - 9Х;

• Найдите корень уравнения:

• а) Х²- 9 = 0; б) Х² - 9Х = 0; в) Х² - 6Х + 9 = 0

Ребята отвечают на вопросы учителя.

ІІІ. Первичное усвоение новой учебной информации

§ 54 . Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

В этом параграфе мы рассмотрим следующий вопрос: в каком случае квадратный трехчлен ax² + bx + c можно представить в виде произведения

(a₁x + b₁) (a₂x + b₂)

двух линейных относительно х множителей с действительными коэффициентами a₁, b₁, a₂, b₂ (a₁ =/=0, a₂ =/=0) ?

1. Предположим, что данный квадратный трехчлен ax² + bx + c представим в виде

ax² + bx + c = (a₁x + b₁) (a₂x + b₂). (1)

Правая часть формулы (1) обращается в нуль при х = - b₁/ a₁ и х = - b₂/ a₂ (a₁иa₂ по условию не равны нулю). Но в таком случае числа - b₁/ a₁ и - b₂/ a₂ являются корнями уравнения

ax² + bx + c = 0.

Следовательно, дискриминант квадратного трехчлена ax² + bx + c должен быть неотрицательным.

2. Обратно, предположим, что дискриминант D = b² - 4ас квадратного трехчлена ax² + bx + c неотрицателен. Тогда этот трехчлен имеет действительные корни x₁ и x₂. Используя теорему Виета, получаем:

ax² + bx + c = а (x² + ^b/_a х + ^c/_a) = а [x² - (x₁ + x₂) х + x₁x₂] =

= а [(x²- x₁x ) - (x₂x - x₁x₂)] = а [х (х - x₁) - x₂(х - x₁) =

= a(х - x₁)(х - x₂).

Итак,

ax² + bx + c = a(х - x₁)(х - x₂), (2)

где x₁ и x₂ - корни трехчлена ax² + bx + c. Коэффициент а можно отнести к любому из двух линейных множителей, например,

a(х - x₁)(х - x₂) = (aх - ax₁)(х - x₂).

Но это означает, что в рассматриваемом случае квадратный трехчлен ax² + bx + c представим в виде произведения двух линейных множителей с действительными коэффициентами.

Объединяя результаты, полученные в пунктах 1 и 2, мы приходим к следующей теореме.

Теорема. Квадратный трехчлен ax² + bx + c тогда и тoлько тогда можно представить в виде произведения двух линейных множителей с действительными коэффициентами,

ax² + bx + c = (aх - ax₁)(х - x₂),

когда дискриминант этого квадратного трехчлена неотрицателен (то есть когда этот трехчлен имеет действительные корни).

Пример 1. Разложить на линейные множители 6x² - х -1.

Корни этого квадратного трехчлена равны x₁ = ¹/₂ и x₂ = - ¹/₃.

Поэтому по формуле (2)

6x² - х -1 = 6 (х - ¹/₂)(х + ¹/₃) = (2х - 1) (3x + 1).

Пример 2. Разложить на линейные множители x² + х + 1. Дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен:

D = 1² - 4•1•1 = - 3 < 0.

Поэтому данный квадратный трехчлен на линейные множители с действительными коэффициентами не раскладывается.

Упражнения

Разложить на линейные множители следующие выражения (№ 403 - 406):

403. 6x² - 7х + 2. 405. x² - х + 1.

404. 2x² - 7ах + 6а². 406. x² - 3ах + 2а² - аb- b².

Предположим, что нам нужно составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа x₁ и x₂. Очевидно, что в качестве искомого уравнения можно выбрать уравнение

a(х - x₁)(х - x₂) = 0, (1)

где а - любое отличное от нуля действительное число. С другой стороны, как было показано в § 54, каждое квадратное уравнение с корнями x₁ и x₂ можно записать в виде (1).

Таким образом, формула (1) полностью решает поставленную выше задачу. Из всех квадратных уравнений корни x₁ и x₂ имеют уравнения вида (1) и только, они.

ІV.Осознание и осмысление

Пример. Составить квадратное уравнение, корни которого равны 1 и - 2.

Ответ. Корни 1 и -2 имеют все квадратные уравнения вида

а(х - 1)(х + 2) = 0,

или

ах² + ах - 2а = 0,

где а - любое отличное от нуля действительное число. Например, при а = 1 получается уравнение

х² + х - 2 = 0.

V. Закрепление

Упражнения

1. Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа:

а) 2 и - 3; б) - 1 и - 5; в) ¹/₄ и ¹/₆; г) - ¹/₂ и - ¹/₃ .

2. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами так, чтобы его корни были равны:

а) - ¹/₅ и ²/₃; б) ⁴/₇ и 5; в) - ³/₂ и ²/₉; г) - ³/₁₀ и - ²/₅.

3. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны ⁵/₇ и - ¹/₂, а сумма всех коэффициентов равна 36.

Решение: (х-5/7)(х-1/2)=0 х²-17/14х+5/14=0 14х²-17х+5=0 14+17+5=36

4. Могут ли корнями квадратного уравнения с натуральными коэффициентами быть числа ⁶/₅ и - ¹/₇?

Решение: (х-6/5)(х+1/7)=0 35х²-37х-6=0 (да)

5. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если известно, что один из его корней равен:

а) 2 + √3 ; б) 3 -√2

в) √3-5

Решение

Второй корень будет сопряжён первому, т. е. x₁ = √3−5; x₂ = −√3−5.
Ищем квадратное уравнение в виде x² + ax + b = 0,
тогда по теореме Виета a = −(_x1+x2) = −2•(−5) = 10, b = x1•x2 = (−5)²−(√3)² = 22.
ОТВЕТ: x²+10x+22 = 0.

Решить №3,№5 на стр.97-98 проверь себя, дополнительно №242 (1,2).

VI.Информация о домашнем задании

№228, №234+ Повторить пройденную тему§12.

VII.Подведение итогов урока

Давайте теперь подведем итоги урока :

Учитель благодарит за урок и объявляет оценки.