Урок по математике «Комбинаторика. Сочетания»

Тема Сочетания

Цели урока

• Образовательная цель: дать специальное название одному из видов комбинаций - Сочетания, рассмотреть формулу для вычисления числа сочетаний, закрепить понятия факториала, числа перестановок, числа размещений.

• Развивающая цель: способствовать формированию логического мышления учащихся при решении задач и развитию монологической речи обучающихся с использованием новых терминов.

• Воспитательная цель: приучать школьников к доброжелательному общению в паре.

Оборудование: учебник (1), дидактические материалы (2), Рисунок 1, Рисунок 2. Продолжительность занятия: 2 академических часа

План занятия:

1. Организационный момент

2. Повторение

3. Новый материал

4. Решение задач на нахождение числа сочетаний

5. Проверочная работа по теме «сочетания»

Методическая разработка

1. Организационный момент

Проверка готовности класса к уроку. Постановка целей урока.

2. Повторение

Вычислить устно: 2! 3! 4! 5! 6!

На предыдущих занятиях мы рассмотрели такие комбинации как: Перестановки-комбинации в которых n элементов расположены в определенном порядке(попросить сформулировать определение)

Н-р, сколькими способами можно расставить на книжной полке собрание сочинений Диккенса, включающее 30 томов?

Каждый такой способ- это перестановка из 30 элементов

Размещения- комбинации в которых k из n элементов расположены в определенном порядке(попросить сформулировать определение)

Н-р, на книжную полку влезает только восемь любых томов из 30-томного собрания Диккенса. Сколькими способами можно заполнить томами такую полку?

Каждый такой способ- это размещения из 30 элементов по 8.

3. Новый материал

Теперь рассмотрим такую задачу:

Из класса, в котором учится 25 человек, нужно выбрать троих для участия в школьной олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: первого можно выбрать 25 способами, второго- 24 способами, 3-го 23 способами. Получаем , что всего по правилу умножения . (Возможно воспользоваться формулой размещений 3 элементов из 25). Но это еще не ответ! Дело в том, что при таком подсчете мы считали каждый искомый вариант по несколько раз: скажем, вариант, в котором на олимпиаду отправляются Иванов, Петров, Сидоров встречался в виде комбинаций:

• Иванов-Петров-Сидоров

• Иванов-Сидоров-Петров

• Петров-Иванов-Сидоров

• Петров-Сидоров- Иванов

• Сидоров- Иванов-Петров

• Сидоров-Петров-Иванов

Т.е. в виде шести различных комбинаций (перестановок). Легко понять, что любой другой такой вариант считался тоже шесть раз (именно столько перестановок можно составить из 3 выбранных учеников). Чтобы получить правильный ответ, воспользуемся правилом деления: разделим найденное количество вариантов на 6:

13800:6=2300- столько способов выбрать трех учеников из 25.

В этом примере мы столкнулись еще с одним важнейшим типом комбинаций, часто используемых в комбинаторике- сочетаниями.

Итак, сочетанием из n элементов по k, называется комбинация , в которой из этих n элементов выбраны любые k без учета их порядка в комбинации. Таким образом, для сочетания имеет значение только состав выбранных элементов, а не их порядок.

Запишем формулу для числа сочетаний

При подсчете размещений к элементов из n , мы получали число способов с учетом порядка элементов. Каждое сочетание учитывалось при этом столько раз, сколько существует способов упорядочить k предметов, т.е. k!

Найденное число сочетаний имеет специальное обозначение , формула запишется так

6. Решение задач на нахождение числа сочетаний

1. Сколькими способами можно выбрать дежурных из класса, в котором 25 учеников? Как называется такая комбинация в комбинаторике?

2. В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

3. Сколькими способами в карточке лотереи «Спортлото» можно зачеркнуть 5 номеров из 36? Как называется такая комбинация в комбинаторике?

4. Замок на подъезде имеет десять кнопок и открывается одновременным нажатием на определенные три кнопки. За сколько минут (в худшем случае) можно открыть такой замок, если перебирать все возможные комбинации со скоростью 1 комбинация в секунду?

5. Из колоды, в которой 36 карт, выбирают по 6 карт. Сколько существует способов это сделать?

А теперь рассмотрим такую задачу:

Из колоды, в которой 36 карт, выбирают по 6 карт. Сколько способов сделать это так, чтобы среди них оказалось 2 туза?

Для получения любой интересующей нас комбинации нужно сначала выбрать 2 туза из 4, после чего выбрать любые 4 карты ( не тузы) из 32

Первое действие

Второе действие

По правилу умножения общее число способов будет:

6. Группу из 20 туристов нужно распределить по трем маршрутам так, чтобы по первому маршруту шли 8 человек, по второму-7, по третьему-5. Сколькими способами это можно сделать?

7. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?

8. В школьной столовой на обед приготовили в качестве вторых блюд мясо, котлеты и рыбу. На сладкое - мороженое, фрукты и пирог. Можно выбрать одно второе блюдо и одно блюдо на десерт. Сколько существует различных вариантов обеда?

9. Сколькими способами можно расположить в один ряд 3 белых и 4 черных шара?

Чтобы было понятно о каких комбинациях идет речь, выпишем несколько из них.

БББЧЧЧЧ, ББЧБЧЧЧ,ББЧЧБЧЧ,..

Нужно сказать, что полученные комбинации не совпадают ни с одним из рассмотренных ранее типов (перестановка, размещение, сочетание), но наших знаний вполне достаточно, чтобы их найти. Каждая комбинация состоит из 7 букв и однозначно определяется выбором 3 мест, на которых будут буквы Б.

Задачу можно решать и по-другому, выбирая 4 места из 7

Обнаруживается свойство сочетаний

Перестановки

Размещения

Сочетания

n элементов

n клеток

n элементов

k клеток

n элементов

k клеток

Порядок имеет значение

Порядок имеет значение

Порядок не имеет значения

Итак, подведем итоги: Простейшие комбинации

V. Проверочная работа по теме «сочетания»

Самостоятельная работа

Уровень А

1. Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если всего 25 солдат и 4 офицера?

2. Патруль надо составить из одного офицера и двух солдат. Каким количеством способов это можно сделать, если есть выбор из 10 офицеров и 100 солдат.?

Уровень В

• На одной из скрещивающихся прямых отмечено 5 точек, на другой-6. Сколько тетраэдров можно построить с вершинами в этих точках?

Уровень С

• Из группы в 20 человек надо выбрать две команды по четыре человека. Каким количеством способов это можно сделать?