Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Тема урока

Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Цели урока: изучить понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла; рассмотреть свойство сохранения значения при изменении угла на целое число оборотов.

Задачи: ввести понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла; закрепить ЗУН нахождения значений выражений, содержащих синусы косинусы, тангенсы и котангенсы углов 0, 90, 180, 270. градусов. Учить правильно использовать терминологию.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом

Ход урока

I. Организационный момент

Приветствие, проверка готовности класса к уроку, заполнение классного журнала.

II. Сообщение темы, цели урока (слайд 1)

- Тема урока "Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса". Сегодня мы раcсмотрим понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла.

III.Подготовка к изучению нового материала

- Из курса геометрии нам уже знакомо определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. Давайте вспомним эти определения. (Слайд 2)

(Заранее подготовленные ученики читают стих О. Панишевой)

- С тригонометрией сейчас

Знакомы даже звери.

Правила все говорят

Четко и уверенно.

И попросим мы зверят

Рассказать их для ребят.

1 ученик: Как мы косинус считаем,

Ты спроси медузу:

Делим прилежащий катет

На гипотенузу.

2 ученик: Синус вычислить сумеет

Зверь любой из лесной чащи:

На гипотенузу делит

Катет противолежащий.

3 ученик: Чтобы тангенс получить,

Нужно кактеты делить.

Вы в числителе берите

Тот, что для угла напротив.

Тот, который прилежит,

В знаменателе пишите.

4 ученик: Если дробь перевернуть,

Это тоже верный путь!

Ты с конца прочти, дружок,

Как ложится снег на ток.

(Слайд 3)

IV. Ознакомление с новым материалом

- Эти определения относятся к прямоугольному треугольнику и являются частными случаями тех определений, которые мы рассмотрим сегодня.

- Отметим на оси x справа от начала координат точку А и проведем через нее окружность с центром в точке О. Радиус ОА будем называть начальным радиусом.

- Повернем начальный радиус около точки О на 70º против часовой стрелки. При этом он перейдет в радиус ОВ. Говорят, что угол поворота равен 70º. Есль повернуть начальный радиус на 70º по часовой стрелке, то угол поворота будет равен - 70º(Слайд 4).

- Существует бесконечно много углов поворота, при которых начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ.

- В зависимости от того, в какой координатной четверти окажется радиус ОВ, угол α называют углом этой четверти(Слайд 5).

- В прямоугольной системе координат построим окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Назовём её единичной окружностью. Из точки О проведём луч h, пересекающий единичную окружность в точке М(х;у). Обозначим буквой α угол между лучом h и положительной полуосью абсцисс. (Слайд 6)

Если угол α острый, то из прямоугольного ∆DOM имеем

sin α =MD/OM , cos α = OD/OM.

Но OM = 1, MD = у, OD = х, поэтому

sin α = у, cos α = х.

Таким образом, для любого угла из промежутка 0°≤ α ≤180° синусом угла α называется ордината у точки М, а косинусом угла α - абсцисса х точки М.

Тангенсом угла α (α≠90) называется отношение

tg = sin α/ cos α

Котангенсом угла α (α≠90) называется отношение

сtg = cos α / sin α

(Слайд 7)

- Рассмотрим область определения и область значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. (По ходу рассуждений дети заполняют карточку Приложение 1)

- Всегда ли определена дробь (Да, т.к.R≠0.)
- Что можно сказать о выражении cos α? (Тоже всегда определено.)

- Вывод?

(Выражение cos α определено при любом α.)

-. Всегда ли определена дробь (Да, т.к.R≠0.)

- Что можно сказать о выражении sin α?(Тоже всегда определено.)

- Вывод?

(Выражение sin α определено при любом α.)

- То есть областью определения этих выражений является промежуток?

(-∞; +∞)

- Всегда ли определена дробь ? (Нет, не определена для углов поворота, у которых координата х равна 0.)

- Какие это углы? (Углы вида α = где n - целое число.)

- При каких значениях α имеет смысл выражение tg α?

(При любом α, кроме углов поворота вида α = n - целое.)

- Всегда ли определена дробь ? (Нет, не определена для углов поворота, у которых координата у равна 0.)

- Какие это углы? (Углы вида α = , где n - целое число.)

- При каких значениях α имеет смысл выражение сtg α ?

(При любом α , кроме углов поворота вида α = , где n - целое.)

Область значений выражений sin α, cos α, tg α, ctg α

- В каких пределах изменяются координаты х и у при изменении угла поворота?(Координаты х и у изменяются в пределах от -R до R.)

- В каких пределах изменяются отношения и ? (От -1 до 1.)

- Значит, областью значений выражений sin α и cos α является промежуток

- Областью значений тангенса и котангенса является промежуток

(-∞; +∞)

(Слайд 8)

- Найдём значения синуса и косинуса для углов 0º, 90º, 180º и 270º. (По ходу рассуждений дети заполняют карточку Приложение 1)

(Слайд 9,10)

V. Первичное осмысление и закрепление

1. Слайд 11 (устно).

2. № 702

3. № 705

4. № 713

VI. Самостоятельная работа (5 минут).

Тест (Приложение 2)

VII. Подведение итогов урока.

(Слайд 12)

VIII. Домашнее задание.

П.28, № 700, 706, 714

Приложение 1.

Определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса.

sin α

cos α

tg α

ctg α

Область определения

Область значений

α

0°

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

sin α

cos α

tg α

ctg α

Приложение 2.