Муниципальное образовательное учреждение

Николайпольская основная общеобразовательная школа

Исилькульского района Омской области

«Гордый холм» Пушкина

и башня Гоголя

Выполнила: Волкова Кристина,

ученица 9 класса

Руководитель: Котова С.Н.,

учитель математики

2010

Обоснование темы

Говорят, что математикам присуща дерзость ума, они не любят, когда им преподносят готовые факты, а хотят дойти до всего сами.

Я согласна с утверждением Л.Эйлера, что математика, в первую очередь, защищает нас от обмана чувств и учит, что одно дело - как на самом деле устроены предметы, воспринимаемые чувствами, другое дело - какими они кажутся. Эта наука дает надежнейшие правила. Кто им следует, тому не опасен обман чувств.

Вспомним старинную легенду Востока, рассказанную А.С. Пушкиным в «Скупом рыцаре»:

«...Читал я где-то,

Что царь однажды воинам своим

Велел снести земли по горсти в кучу,

И гордый холм возвысился,

И царь мог с высоты с весельем озирать

И дол, покрытый белыми шатрами,

И море, где бежали корабли...»

Это одна из немногих легенд, в которой, по-моему, нет и зерна правды. Я попробую доказать геометрически, что, если какой-нибудь древний деспот осуществил такую затею, он был бы обескуражен мизерностью результата: перед ним возникла бы настолько жалкая кучка земли, что никакая фантазия не в силах превратить ее в легендарный «гордый холм». А насколько далеко можно обозреть линию горизонта с возвышением наблюдателя? Многие думают, что с возвышением наблюдателя линия горизонта удаляется необычайно быстро. Так думал и Гоголь, писавший в статье «Об архитектуре нашего времени» следующее:

«Башни огромные, колоссальные, необходимые в городе... У нас обыкновенно ограничиваются высотой, дающей возможность оглядеть один только город, между тем как для столицы необходимо видеть, по крайней мере, на полтораста верст во все стороны, и для этого, может быть, один только или два этажа лишних - и все изменяется. Объем кругозора по мере возвышения распространяется необыкновенной прогрессией...»

Так ли это в действительности? Докажем, что и Пушкин, и Гоголь делают похожие ошибки.

Цель работы: используя математические методы и формулы, провести оценку правдоподобности приведенных отрывков литературных произведений А.С.Пушкина и Н.В.Гоголя.

Достижению данной цели будет способствовать решение следующих задач:

1. Установить по литературным источникам необходимые исторические факты, послужившие основанием легенды.

2. Применить методы математического моделирования для восстановления факта создания насыпи.

3. Вывести формулы для вычисления дальности горизонта, если известна величина возвышения наблюдателя над земной поверхностью.

4. Провести математические подсчеты при увеличении этажности домов.

Материалы и методы: наблюдение, анализ и сопоставление, методы математического моделирования.

Оборудование: ёмкость с песком, бумага, штатив, маркер, линейка, транспортир, измерительный цилиндр, стакан, фотоаппарат.

Место и время проведения. д. Николайполь, кабинет математики, январь 2010 года.

Гипотеза. С возвышением наблюдателя дальность горизонта возрастает очень быстро.

Материалы собственных исследований

Сбор материала. Предположим, что в основе старинной легенды лежат некие реальные события. Для подтверждения факта создания легендарного холма, я предложила своим одноклассникам поучаствовать в эксперименте.

1 этап. Местом проведения эксперимента был выбран обычный школьный кабинет. Все измерения проводились в один и тот же день при одинаковых условиях. Участникам эксперимента предлагали зачерпнуть из емкости с песком полную горсть и высыпать песок на лист бумаги. Цель состояла в том, чтобы опытным путем выяснить, сколько сыпучего материала поместится в самой большой по объему горсти.

Проведение измерений. Для измерения объема песка, поместившегося в горсти, я использовала мерный цилиндр. Результаты измерений заносила в таблицу.

Имя участника

Объем песка (л)

Александр

0,08

Максим

0,15

Николай

0,09

Алексей

0,07

Илья

0,09

Дмитрий

0,18

Вывод. Если захватить самую полную горсть песка и высыпать в обычный стакан: мы не сможем его наполнить.

Сделаем примерный расчет. Армии в старину были не так многочисленны, как в наше время. Войско в 100 000 считалось уже очень внушительным. Поэтому примем, что холм был составлен из 100000 горстей. Положим, что горсть древнего воина была больше, полученного максимального результата, и равна по объему 1/5л = 0,2 (дм ³) - один полный стакан. Отсюда объем холма равен

0,2 * 100 000 = 20 000 (дм ³) = 20 м ³

Значит, холм представлял собою конус, объемом не более 20 м ³ . Такой скромный объем уже разочаровывает, но продолжим вычисления.

2 этап. Смоделируем процесс создания насыпи и определим возможную высоту холма. Для этого нужно знать, какой угол составляют образующие конуса с его основанием. Я покрыла стол белой бумагой. В штативе закрепила деревянную рейку, вокруг которой стала создавать насыпь. В качестве мерки я использовала обычный стакан, объем которого условно равен горсти древнего воина. На листе бумаги маркером описывала очертание моего холма, т.е. основание конуса. А на закрепленной деревянной рейке помечала высоту этого конуса. По окончании работы, весь песчаный холм вновь был пересыпан в емкость для хранения, а полученный рисунок позволил построить несколько образующих и определить угол откоса.

Проведение измерений

№

Радиус окружности,R(см)

Высота конуса,H(см)

Угол откоса в градусах

1.

8

5

35

2.

11

5,5

33

3.

13

7,5

32

4.

15

9

31

Вывод. Угол, который составляют образующие конуса с его основанием, меньше 45 градусов, т.е. угла естественного откоса. Таким образом, насыпь в ширину «растёт» быстрее, чем холм в высоту.

В рассматриваемом случае можем принять угол, который составляют образующие конуса с его основанием, равным углу естественного откоса, т.е. 45 градусов, в случае более крутого откоса земля будет осыпаться, хотя правдоподобнее было бы взять более пологий уклон. Но попробуем предположить, что в идеале использовали не песок, а менее сыпучий материал. Заключаем, что высота такого конуса равна радиусу основания.

Следовательно, V = ⅓ π*R² *H. Так как R = H, то , V = ⅓ π*H³ ,

Откуда H = ³ √ 3V = ³ √3*20 ≈ 2,4 (м).

π 3,14

Надо обладать богатым воображением, чтобы кучу земли высотой 2,4 м (1½ человеческого роста) назвать «гордым холмом». Сделав расчет для более пологого откоса, мы получили бы еще более скромный результат.

У Аттилы - наиболее известного предводителя гуннов, проникших в Европу, - было самое многочисленное войско, которое знал древний мир. Историки оценивают его в 700 000 человек. Если бы все эти воины участвовали в насыпании холма, то образовавшаяся куча была бы выше вычисленной, но не намного. Ее объем был бы в 7 раз больше, поэтому высота превышала найденную всего в ³√7 , т.е. в 1,9 раза и была равна

2,4 * 1,9 = 4,6 (м).

Сомнительно, чтобы курган таких размеров мог удовлетворить честолюбие Аттилы.

С таких небольших возвышений, конечно, легко видеть "дол, покрытый белыми шатрами", но обозревать море возможно разве только, если дело происходит недалеко от берега.

Выведем формулу для вычисления дальности горизонта, если известна величина возвышения наблюдателя над земной поверхностью. Из геометрии известно, что квадрат касательной к окружности равен произведению секущей на ее верхнюю часть, т.е.

AB² = AC * AD, следовательно, AB² =(2R+H) * H.

Здесь АВ - дальность горизонта, R - радиус Земли (6400км), Н - высота глаза наблюдателя над Землей. Так как Н по сравнению с 2R слишком мало, то выражение 2R+Н можно заменить на 2R. Тогда формула упростится и примет вид

AB² =2RH, AB =√2RH.

Итак, дальность горизонта равна √2RH.

Теперь подсчитаем, как далеко мог видеть Аттила с высоты своего холма. По описанию одного из современников, «Аттила был низкорослый с широкой грудью, с крупной головой и маленькими глазками». Поэтому, с учётом его примерного роста, максимальная высота возвышения глаз наблюдателя над поверхностью земли Н ≈ 6 м, R = 6400 км.

Тогда дальность горизонта равна √2 * 6400 * 0,006 ≈ 8,8 км. Это всего на 4 км больше того, что можно видеть, стоя на ровной земле.

Достаточно взглянуть на формулу дальности горизонта √2RH, чтобы сразу стала ясна неправильность утверждения, что дальность горизонта растет медленнее, чем высота поднятия: она пропорциональна квадратному корню из высоты. Когда высота возвышения наблюдателя увеличивается в100 раз, горизонт отодвигается только в 10 раз дальше; когда высота становится больше в 1000 раз, горизонт отодвигается в 31 раз дальше. Поэтому Н.В.Гоголь ошибочно утверждал, что "один только или два этажа лишних - все изменится". Если к восьмиэтажному пристроить еще два этажа, дальность горизонта возрастет всего в √10/8 раза, т.е. в 1,1 раза, или на 10%. такая «прибавка» малоощутима.

Гоголь, конечно, не подозревал, что его идея постройки башни, с которой можно было бы видеть «на полтораста верст», совершенно несбыточна, так как такая башня должна иметь огромную высоту:

150 =√2RH, H = 150² = 22 500 = 1,9 (версты) ≈ 2,014 км

2R 12000

Даже самые высокие из всех сооруженных до нашего времени зданий и башен намного ниже «проектируемых» Гоголем башен. А во времена Гоголя даже Эйфелева башня (высотой 300 м) еще не существовала!

Выводы

Леонардо да Винчи сказал, что «…ни одно человеческое исследование не может назваться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства». С точки зрения математики, в указанных отрывках произведений А.С.Пушкина и Н.В.Гоголя используются архитектурные домыслы авторов, не подтвержденные математическими расчетами. Полученная мною формула, выражающая зависимость дальности горизонта от высоты поднятия наблюдателя, полностью опровергает гипотезу.

Библиография

1. Энциклопедия для детей, Т. 1. Всемирная история. 4-еизд. гл. ред. М.Д.Аксенова. М.: Аванта+, 1999.

2. Учебное пособие «Наш край. Природа. Нравы. Первобытная история. Культура» А.А.Гончаренко. Омск.изд. ОмГПУ, 2001.

3. Сайт wiki.omskedu.ru: Статья из сборника «Арабески» 1835 «Об архитектуре нашего времени»

4. Газета «Математика», № 3, 2001.