План урока по алгебре и началам анализа

Муниципальное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №3 Карасукского района Новосибирской области

Алгебра и начала анализа

Производная показательной функции

Урок в 11 классе (базовый уровень).

Сердюков Валентин Иванович,

учитель математики

Карасук

Алгебра и начала анализа

Урок в 11 классе.

(базовый уровень)

Тема: Производная показательной функции.

Цели:

1. Обучающие: введение понятие числа е; изучение формул дифференцирования (е^х)'= е^х, (а^х)′=а^хlnа (без доказательства); показать применение этих формул при решении упражнений на дифференцирование функций; получение информации путем создания математической модели с помощью приложения Advanced Grapher.

2. Развивающие: развитие мышления, внимания, способности делать выводы из практического эксперимента.

3. Воспитывающие: воспитание наблюдательности, аккуратности, настойчивости.

Оборудование:

• учебник. Алгебра и начала анализа (под редакцией А. Н. Колмогорова), 2006 г.,

• компьютеры,

• прикладная компьютерная среда Advanced Grapher,

• мультимедийный проектор,

• презентация к уроку,

• карточки с инструкцией для проведения практической работы (на бумажных носителях, распечатать на карточки материал стр. 7 изданного плана урока).

План урока.

I.Постановка цели:

Объявляется тема урока: «Производная показательной функции»

На сегодняшнем уроке мы изучим формулы дифференцирования показателей функции. Для этого на I этапе урока мы будем выполнять практическую исследовательскую работу на компьютере с помощью приложении Advanced Grapher. В конце урока будет проведена срезовая работа по новому материалу.

II. Актуализация знаний

С помощью мультимедийного проектора демонстрируется слайд..

Вопрос1. Как связаны мы между собой угол α и значение производной функции у= f(х) в точке х0 - ?

Ответ. tg α = f ´(x₀)

Ответ сопровождается демонстрацией слайда

Демонстрируется слайд.

Вопрос 2. График какой функции изображен на рисунке?

Ответ. Это график показательной функции y=a^x с основанием a > 1

Вопрос 3. Как геометрически определить значение производной функции у=а^х в точке х=0?

Ответ. Нужно построить касательную к графику функции y=a^x в точке х=0 и найти тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси OX.

Демонстрируется слайд.

III. Изучение нового материала.

На сегодняшнем уроке вы выполните исследовательскую работу на компьютере: с помощью приложения Advanced Grapher

Среди функций у=1,5^х;1,7^х; 1,9^х; 2^х; 2,1^х; 2,3^х; 2,5^х; 2,7^х; 2,9^х; 3,1^х ( путем последовательного построения их графиков) найти ту, для графика которой прямая у=х+1 является касательной в точке х₀.=0

Демонстрируется слайд.

Под каким углом наклонена прямая к оси ОХ?.

Выясняется, что прямая наклонена к оси ОХ под углом 45⁰

Демонстрируется слайд и выясняется, что прямая у=х+1 имеет 2 общих точки с графиком показательной функции при a=1,5: А и В

Исследовательская практическая работа за компьютером.

Примечание. На каждом компьютерном столе лежит лист с инструкцией к выполнению работы.

Инструкция к выполнению работы:

1. Запустить программу Advanced Grapher.

2. Построить график функции у=х+1.

3. В той же системе координат построить график функции у=а^х; где а= 1,5. Сделать запись в таблице:

Значение a

Число точек пересечения с прямой y= x+1

1,5

2

1,7

1,9

2,1

2,3

2,5

2,7

2,9

3,1

4. Проделать пункты 1, 2. и 3. этого алгоритма для a=1,5; 1,7; 1,9;2,1; 2.3; 2.5; 2,7; 2,9; 3,1, наблюдая, как изменяется положение точек пересечения графиков.

5. Записать в рабочей тетради то значение а, при котором прямая y=x+1 имеет только одну общую точку с графиком функции y=a^x., т. е. является касательной к этому графику.

1. Ответить на вопрос: При каком а для функции у=а^х выполняется условие:

   1. у´(о)= tg45⁰=1 ?

Ответ._____________ При а≈2,7

Примечание. Ответ в инструкции не пишется

Продолжение изучения нового материала (фронтальная беседа с классом)

Давайте сделаем вывод: из проведенного эксперимента мы выяснили, что для функции у=2,7^х касательная к ее графику в точке х₀=0 составляет угол 45⁰ с осью ОХ. А это значит, что

при х=0 значение производной (2,7^х)′ равно tg45⁰ и равно1.

Значение основания а≈2,7 показательной функции у=а^х имеет большое значение в математике.

Примем без доказательства теорему:

Существует такое число большее 2 и меньшее 3 (это число обозначают буквой е), что показательная функция у=е^х в точке 0 и имеет производную, равную 1, т.е.

В анализе доказано, что число е иррациональное и поэтому записывается в виде бесконечной десятичной непериодической дроби. С помощью ЭВМ у этого числа найдено более 2-х тысяч десятичных знаков после запятой. Первые знаки таковы: е=2,718281828459045….

Давайте еще раз посмотрим, как выглядит график показательной функции с основанием e. Демонстрируется слайд. Учитель дает пояснения к рисунку

Показательную функцию у=е^х называют экспоненциальной функцией.

График функции у=е^х называют экспонентой

log_е=lnх - натуральный логарифм.

Учащимся предлагается построить график функции y=e^x в приложении Advanced Grapher .

Продолжение объяснения учителя

На сегодняшнем уроке мы примем без доказательства формулы

:Демонстрируется слайд с формулами:

(е^х)′=е^х.

(е^u)′=e^u∙u´

(а^х)′=а^хlnа

(а^u)′=a^uu′lna

Учащиеся переписывают формулы и тетрадь.

Далее демонстрируется слайды:

(Перед учащимися по очереди появляются слайды сзаписями образцов решений)

Каждое решение разбирается с привлечением учащихся (фронтально).

Образцы решений:

1. (5е^х)' = 5(е^х)' = 5е^х;

2. (е^5х)^´=е^5х(5х)´=5е^5х;

3. (е^sinх)'= е^sinx(sinx)´=cosхе^sinx:

4. (2^5x)'=2^5x∙ln2(5x)´=5∙2^5xln2;

5. (2^sinx)'=2^sinxln2(sinx)´= 2^sinxln2 cosx.

IV. Закрепление: №538-540 (а, б) из учебника - учитель разбирает у доски.

V. Срезовая работа

(выполняется на отдельных листах в двух вариантах).

Демонстрируется слайд:

Вариант 1

Вариант 2

Найти производные функций

1. у=е^-7х

2. у=1,2^5х

3. у=7е^х+5^х

4. у=е^хcosx

Найти производные функций

1. у=е^-2х

2. у=2,3^5х

3. у=9е^х+4^х

4. у=е^хsinх

Выполняется самопроверка.

№ п/п

Правильные ответы I варианта

№ п/п

Правильные ответы II варианта

1

-7е^-7х

1

-2ex

2

5^.1,2^5хln1,2

2

3^.2,3^5хln2,3

3

7е^х + 5^хln5

3

9e^x + 4^xln4

4

е^х(cosx - sinx)

4

е^х(sinx + cosx)

№ правильного ответа

Оценка

№1

3

№№ 1,2

4

№№ 1,2,3

4

№№ 1,2,3,4

5

Выясняется (поднятием рук), какие учащиеся получили оценку «3», «4», «5».

Учитель поощряет справившихся учащихся похвалой, одобрительным кивком головы, и т.д. Важно отметить каждого - похвалить, подбодрить, или выразить порицание.

V. Итог урока:

Как вы поняли, что такое число е?

(Это иррациональное число, примерно равное 2,71… Оно является основание такой показательной функции y=a^x, для которой касательная в точке х₀ образует угол в 45⁰ с осью ОХ).

VI. Домашнее задание. А. Н, Колмогоров Алгебра и начала анализа Просв 2004 п.41. Прочитать. Выучить формулы и формулировки теорем. №538-540 (в, г)

Дополнительные индивидуальные задания для сильных учащихся. п.41. Теорема 1, теорема 2 с доказательством..

11