Рабочий материал по основам стереометрии (10класс)

Основные понятия стереометрии.

Аксиомы стереометрии и их следствия.

Основными понятиями стереометрии, т.е. простейшими фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость.

Точка является идеализацией очень маленьких объектов, таки, размерами которых можно пренебречь. Евклид в своей знаменитой книге «Начала» определял точку как то, что не имеет частей. Точки на рисунке обозначают заглавными буквами латинского алфавита.

Прямая является идеализацией тонкой натянутой нити, которая не имеет конца. Прямые обозначаются малыми буквами латинского алфавита (a, b, c, d,…) или указанием двух точек, лежащих на данной прямой (АВ, СЕ, РК,…).

Плоскость является идеализацией ровной безграничной поверхности. Плоскости обозначают малыми буквами греческого алфавита (, , , ,…) или указанием трех точек, не лежащих на одной прямой, но лежащих в данной плоскости ( (АВС), (МРК), (СТН),…). Плоскость можно изобразить тремя способами:

• Как изображают и обозначают плоскости?

• Какой способ изображения плоскости наиболее точно отражает ее понятие?

Рассмотрим взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

1. Точки и плоскость

А

.

Вксиома: какова бы ни была плоскость существуют точки принадлежащее ей и точки, не принадлежащие ей.

.

А

А, В

2. Прямая и плоскость.

• Прямая лежит в плоскости, т.е. она имеет с плоскостью множество общих точек:

а

а



Аксиома: если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости

• П

  арямая пересекает плоскость, т.е. она имеет с плоскостью только одну общую точку:

А

.

а=

А

• П

  bрямая не имеет с плоскостью общих точек, т.е. она параллельна плоскости:

b 



3. Две плоскости в пространстве.

• С

  А

  Совпадают:

(АВС)=

В



• Пересекаются:

Аксиома: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют множество общих точек, лежащих на линии пересечения плоскостей.

И

ными словами: две плоскости пересекаясь, образуют прямую,

состоящую из общих для данных плоскостей, точек.

=а

а, а

• Не имеют общих точек, т.е. параллельны:



  



• Как может располагаться прямая относительно плоскости7

• Как выяснить: лежит ли прямая в плоскости?

• Сколько общих точек у плоскости и прямой, пересекающей ее?

• Каким может быть взаимное расположение двух плоскостей?

• Сколько общих точек у двух пересекающихся плоскостей? Где они расположены?

Задание 1. Сделайте рисунки, ответьте на вопросы, поясните ответы

1) К, С Принадлежит ли прямая КС плоскости ? Сколько общих точек имеют плоскость  и прямая КС? Почему?

2) М, Е Принадлежит ли прямая МЕ плоскости ? Сколько общих точек имеют плоскость  и прямая МЕ?

3) Е, Р Пересекает ли прямая ЕР плоскость ? В каком случае это происходит?

4) А, В, КАВ Принадлежит ли точка К плоскости ? Почему?

5) М(АВС), N(АВС), P(АВС) Сколько общих точек имеют плоскости АВС и MNP? Где располагаются точки, общие для этих двух плоскостей?

6) а, a, ba=M Принадлежит ли точка М плоскости ? Почему? Принадлежит ли точка М плоскости ? Почему?

1

3

2

_________________________ ___________________________ __________________________

_________________________ ___________________________ __________________________

_________________________ ___________________________ __________________________

_________________________ ___________________________ __________________________

_________________________ ___________________________ __________________________

4

5

____________________________ ___________________________

____________________________ ___________________________

____________________________ ___________________________

____________________________ ___________________________

Задание 2. Отметьте верные утверждения. Ответы поясните

1) Если точки А и В принадлежат плоскости , а точка С принадлежит прямой АВ, то точка С принадлежит плоскости 

2) Если прямая АВ пересекает плоскость  в точке С то точка В не принадлежит плоскости 

3) Если точка А принадлежит плоскости , точка В принадлежит плоскости , то плоскости  и  пересекаются по прямой АВ

4) Если точка Р принадлежит плоскости КСМ, то точка К принадлежит плоскости СМР

5) Если две вершины треугольника лежат в плоскости , то и третья его вершина лежит в плоскости 

№______, потому что ________________________________________________________________

№______, потому что ________________________________________________________________

№______, потому что ________________________________________________________________

№______, потому что ________________________________________________________________

№______, потому что ________________________________________________________________

Задание 3

1) Точки А, В, С и К не лежат в одной плоскости.

У

Акажите:

а) плоскости, которым принадлежит прямая АВ, точка М, точка С;

б

С

М) прямую пересечения плоскостей АВС и АСК, АВК и КСМ

В

К

АВ_______________________, М_______________________, С_______________________,

(АВС)(АСК)=____________________, (АВК)(КМС)=____________________,

2

М) Точки А, В и С принадлежат плоскости , точка М не принадлежит этой плоскости

а

Е) Принадлежит ли точка К плоскости ?

б

К) Укажите прямую пересечения плоскостей  и АВМ, АВМ и ВМС

в

С

А) Может ли точка Е принадлежать плоскости ?

г

В) Принадлежит ли прямая АС плоскости ВМС?

а)_________ потому, что _____________________________________________________________

б)__________________________________________________________________________________

в)_________ потому, что _____________________________________________________________

г) _________ потому, что ____________________________________________________________

3) Точка Р лежит вне плоскости АВС.

П

А

В

С

Е

Рересекаются ли прямые РЕ и ВС?

_________ потому, что __________________________________

Аксиома: через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и притом единственную

Следствия

Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом единственную

Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость и притом единственную

Через две параллельные прямые можно провести плоскость и притом единственную

• Через что в пространстве можно провести плоскость?

• Почему через две точку можно провести множество плоскостей? Как рас положены эти плоскости по отношению друг к другу?

Задание 4.

D₁

С₁Дан куб. Укажите плоскости, проходящие через:

А₁

В₁прямые АВ и ВС _________________________________________

точки D, C, C_{1 _}_________________________________________

прямые АА₁ и СС₁ _________________________________________

прямые BD и B₁D₁ _________________________________________

С

Dпрямые АС₁ и А₁С _________________________________________

А

В

Задание 5. Проведите плоскость через:

А

В

С

D

D₁

А₁

В₁

С₁

А

В

С

D

D₁

А₁

В₁

С₁

А

В

С

D

D₁

А₁

В₁

С₁

АС и А₁С₁ AD₁ и BC₁ точки А, С, D₁

Задание 6. С

Еоедините совпадающие плоскости.

К

А

В

С

D

D₁

А₁

В₁

С₁

Плоскость, проведенная через: Совпадающая плоскость:

прямую АВ и точку С₁ (D D₁B₁)

точки D, B, B₁ (ВВ₁С)

прямую АА₁ и точку К (А₁В₁С₁)

прямую КС и точку С₁ (D₁C₁B₁)

прямую А₁Е и В₁D₁ (АD₁C₁)

прямую ЕВ₁ и точку А₁ (В₁ВА)

Задание 7. Укажите прямую, которая является линией пересечения плоскостей:

(АВС) и (DD₁C₁), (ВС₁К) и (ADC) (АКD₁) и (АВС)

__________________________________________

К__________________________________________

__________________________________________

А

В

С

D

D₁

А₁

В₁

С₁

З

Мадание 8.

Лучи МА, МВ и МС лежат в одной плоскости и

пересекают плоскость  в точках А, В и С.

объясните, почему точки А, В и С будут

лежать на одной прямой.

________________________________________

А

В

С



________________________________________

________________________________________

Задание 9.

Сколько плоскостей изображено на рисунке?

Запишите пересекающиеся плоскости, указав

линию их пересечения:

______________________________________

_

А_____________________________________

______________________________________

_

М

В

С



_____________________________________

______________________________________

Задание 10. Исправьте ошибки на рисунке:



А



А

В

М

В

С



К



Задание 11. П

Состройте линию пересечения плоскостей (АВС) и :

А

В



Взаимное расположение прямых в пространстве

На плоскости две различные прямые либо совпадают - имеют множество общих точек, либо пересекаются - имеют одну общую точку, либо параллельны - не имеют общих точек.

В

А

а

а

b

М

а

b

прямая а совпадает с прямой АВ аb=М а  b

Р

Кассмотрим каким может быть взаимное расположение двух прямых в пространстве. По рисунку укажите пары пересекающихся прямых и точку их пересечения:

________________________________________________

________________________________________________

А

С________________________________________________

В________________________________________________

Укажите пары непересекающихся прямых: ______________________________________________

Являются ли эти прямые параллельными? _______________________________________________

Можно ли через указанные пары провести плоскость? _____________________________________

Таким образом, в пространстве две прямые могут не пересекаться, но и не быть при этом параллельными. Такие прямые называются скрещивающимися. Знак для скрещивающихся прямых

Определение:

• Две непересекающиеся прямые называются скрещивающимися, если через них нельзя провести плоскость

• Две непересекающиеся прямые называются параллельными, если через них можно провести плоскость

Задание 1. Дано: а, А, Аа. Проведите через точку А прямую b



апересекающую прямую а.

С

Аколько таких прямых существует? __________________

Где они расположены?______________________________

а

А



параллельную прямой а

Сколько таких прямых существует? __________________

Где они расположены?______________________________



с

а

Акрещивающуюся с прямой а

Сколько таких прямых существует? __________________

Где они расположены?______________________________

Задание 2. Отметьте верные утверждения исходя из рисунка, где АВСDA₁B₁C₁D₁- куб

D₁

С₁

А₁

В₁AB CD AA₁DC

ADDD₁ A₁DBC

B₁D₁AC BC₁ DC

С

D

А

В

Задание 3. Даны две параллельные прямые а и b. Как может быть расположена по отношению к ним третья прямая? Сделайте соответствующие рисунки.

Задание 4. Даны две скрещивающиеся прямые а и b. Как может быть расположена по отношению к ним третья прямая? Изобразите соответствующие геометрические ситуации:

Задание 5. Плоскости  и  пересекаются по прямой АВ. Прямая МР лежит в плоскости , точка К лежит в плоскости 

Проведите через точку К прямую

а) пересекающую МР б) скрещивающуюся с МР в) параллельную МР

1) если МР   АВ

А

А

В

М

Р

К





А

В

М

Р

К





М

Р

К

В





Как расположена проведенная вами прямая по отношению к плоскости , по отношению к ?

_____________________ _____________________ ___________________

2) если МР  АВ

А

В

Р

К





А

В

Р

К





А

В

Р

К





М

М

М

Как расположена проведенная вами прямая по отношению к плоскости , по отношению к ?

_____________________ _____________________ ___________________

• Какие прямые в пространстве называются параллельными?

• Какие прямые называются скрещивающимися?

• В чем разница между параллельными и скрещивающимися прямыми?

Проверочная работа