Образовательная программа Абсолютная величина

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 303 с углублённым изучением немецкого языка и предметов художественно-эстетического цикла имени Фридриха Шиллера

Фрунзенского района Санкт - Петербурга
192241, Пражская улица, дом 36, литер А, тел 269-03-54

ПРИНЯТО

на заседании педагогического совета

Протокол №_______от _______________

УТВЕРЖДАЮ

Директор__________Виноградова А.А.

«______»______________________2013 г.

Образовательная программа

«Абсолютная величина»

Срок реализации программы 1 год

Для обучающихся 14 - 15 лет

Учитель математики

педагог дополнительного образования

Соколова Светлана Николаевна

Санкт - Петербург

2013

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа.

Задачи с модулем (абсолютной величиной) числа часто становятся «камнем преткновения» для детей.

Модули активно используются в математическом анализе (например, в определении предела последовательности и предела функции, при изучении непрерывности), при изучении разрывных функций и построении графиков, являющихся ломаными с прямолинейными и криволинейными элементами. Включение модулей в условие почти любого примера из алгебры сразу заметно повышает трудность его решения.

Это понятие широко применяется в различных разделах школьного курса математики, физики. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах и конкурсах.

Программой школьного курса математики не всегда предусмотрены обобщение и систематизация знаний о модулях, их свойствах, полученных учащимися за весь период обучения. Восполнить этот пробел поможет данный курс «Абсолютная величина (модуль)».

Данная программа рассчитана на 14 - 15-тилетних воспитанников общеобразовательных школ, проявляющих интерес к изучению дополнительного материала.

Программа позволит ребятам систематизировать, расширить и закрепить знания, связанные с абсолютной величиной, подготовиться для дальнейшего изучения тем, использующих это понятие, научиться решать разнообразные задачи различной сложности, способствует приобретению навыков работы с математической информацией на компьютере.

Педагогу настоящая программа поможет наиболее качественно подготовить воспитанников к математическим олимпиадам и конкурсам.

Программа предполагает знакомство с теорией и практикой рассматриваемых вопросов и рассчитана на 72 часа: 18 часов лекций и 54 часа практических занятий. Курс занятий проводится с сентября по май.

Содержание программы состоит из семи разделов, включая введение и итоговое занятие. Педагог, в зависимости от уровня подготовки воспитанников, уровня сложности изучаемого материала и восприятия его детьми, может взять для изучения не все темы, увеличив при этом количество часов на изучение других. Педагог также может изменить уровень сложности представленного материала.

Программа содержит темы творческих работ, список литературы по предложенным темам, а так же перечень компьютерных программ, являющихся дополнительным средством обучения теме «Абсолютная величина».

В процессе изучения данной программы предполагается использование различных методов активизации познавательной деятельности воспитанников, а также различных форм организации их самостоятельной работы.

Результатом освоения программы является представление детьми творческих индивидуальных и групповых работ на итоговом занятии или итоговые тестовые работы.

Цели программы

Обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по теме «Абсолютная величина»; обретение практических навыков выполнения заданий с модулем; повышение уровня математической подготовки воспитанников.

Задачи программы

Обучающие:

познакомить с идеями, направлениями развития математики для ориентации в современном мире, правильного представления о процессах, происходящих в природе и обществе, сознания собственной роли в движении общества вперед;

систематизировать материал по теме «Абсолютная величина»;

сформировать навыки применения данных знаний при решении разнообразных задач различной сложности.

Развивающие:

развивать умения и навыки исследовательской работы;

способствовать развитию ясности и точности мысли, интуиции;

формировать математический кругозор;

способствовать развитию логического, критического и алгоритмического мышления

воспитанников;

Воспитывающие:

способствовать формированию познавательного интереса к математике;

сформировать навыки самостоятельной работы, работы в малых группах;

сформировать навыки работы со справочной литературой, с компьютером;

способствовать профориентации.

Условия реализации программы

Количество обучающихся - не менее 15 человек.

Возраст обучающихся - 14 - 15 лет.

Срок реализации программы - 1 год.

Программа рассчитана на 72 часа.

Режим занятий: 1 раз в неделю - по 2 часа или 2 раза в неделю по 1 часу.

Форма организации занятий - групповая.

Формы проведения занятий:

• лекции,

• семинарские занятия,

• семинары-практикумы,

• мастерские,

• технологии диалоговой взаимопомощи,

• бригадно-индивидуальный метод обучения,

• парацентрическая технология обучения или ее элементы,

• исследовательская работа с использованием ПК.

Принципы организации образовательного процесса:

1) добровольность,

2) взаимоуважение,

3) индивидуальный подход,

4) возрастные особенности,

5) научность и доступность,

6) последовательность.

Для решения поставленных задач используются различные методы:

Словесные - лекционное объяснение нового материала, беседа, мастер-класс.

Наглядные - презентация, показ видео материалов, показ педагогом приемов исполнения.

Практические - семинар, занятие-игра, деловая игра.

Исследовательские - мозговой штурм, круглый стол.

А также методы проблемного обучения, проектный метод, метод информационной поддержки. Данная программа включает различные виды деятельности: поисково-исследовательской, теоретико-исследовательской работы.

Ожидаемые результаты

В результате изучения программы курса «Абсолютная величина (модуль)» воспитанники получают

знание и понимание

• определения абсолютной величины действительного числа;

• основных операций и свойств абсолютной величины;

• правил построения графиков уравнений и функций, содержащих знак абсолютной величины;

• алгоритмов решения уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

умения

• применять определение, свойства абсолютной величины действительного числа к решению конкретных задач;

• читать и строить графики функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины;

• решать уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.

Также воспитанники развивают логическое мышление в процессе нахождения различных способов решения уравнений и неравенств, содержащих одновременно параметры и модули.

Формы оценки результативности освоения программы: анализ результатов тестирования, проведения конкурсов, бесед, конференций, олимпиад, защиты исследовательских работ.

Сведения о прохождении программы, посещаемости, результатах выполнения различных заданий фиксируются в специальном журнале.

Учебно-тематический план

№

п / п

Название разделов и тем

Количество часов

Форма

проведения

Дополни-тельные средства обучения

всего

теория

прак-тика

1.

Введение

1

1

Беседа, презентация компьютерной продукции

ПК или интерактивная доска, компьютерные программы

2.

Абсолютная величина действительного числа с.

6

2

4

2.1

Абсолютная величина действительного числа с. Свойства модуля. Геометрический смысл модуля числа, модуля разности чисел.

1

1

Лекция с применением ИКТ

Виртуальная школа Кирилла и Мефодия «Репетитор»

2.2

Упрощение выражений, содержащих переменную под знаком модуля

2

2

Технология диалоговой взаимопомощи.

Интерактивная доска для контроля.

2.3

Применение свойств модуля при решении задач.

3

1

2

Бригадно-индивидуальная технология обучения

Интерактивная доска для контроля.

3.

Уравнения, содержащие абсолютные величины

22

6

16

3.1

Основные методы решения уравнений с модулем

2

1

1

Лекция

Практическое занятие

Виртуальная школа Кирилла и Мефодия «Репетитор»

Схемы решений уравнений

3.2

Решение уравнений, содержащих переменную и функцию под знаком модуля

5

2

3

Лекция Практическое занятие

Демонстрация решенных заданий.

Схемы решений уравнений

3.3

Метод замены переменных при решении уравнений, содержащих абсолютные величины.

4

4

Практическое занятие

Демонстрация оформленных решенных заданий.

3.4

Метод интервалов при решении уравнений, представляющих алгебраическую сумму конечного числа функций, содержащих абсолютные величины. Решение иррациональных уравнений, сводящихся к уравнениям с модулями.

3

1

2

Лекция Семинар-практикум

Демонстрация оформленных решенных заданий.

3.5

Решение уравнений, содержащих «сложный модуль»

4

1

3

Лекция Практическое занятие с

элементами парацентричес-кой технологии обучения

Карточки с заданиями (СО)

Методические инструкции (МИ) к средствам обучения

Демонстрация оформленных решенных заданий.

3.6

Решение уравнений с параметрами, содержащих абсолютные величины.

4

1

3

Лекция Семинар-практикум

Демонстрация оформленных решенных заданий.

4 .

Неравенства, содержащие абсолютные величины

21

6

15

4.1

Неравенства с одним неизвестным. Основные методы решения неравенств с модулем

1

1

Лекция с элементами диалога

Виртуальная школа Кирилла и Мефодия «Репетитор»

Схемы решения основных видов неравенств.

4.2

Решение неравенств, содержащих переменную и функцию под знаком модуля

5

2

3

Лекция с элементами диалога Практическое занятие

Схемы решений неравенств

Тестовые задания.

4.3

Решение неравенств, содержащих переменную и функцию под знаком модуля более сложного вида

5

1

4

Лекция с элементами диалога Практическое занятие

Схемы решений неравенств

Тестовые задания.

4.4

Метод интервалов при решении неравенств, представляющих алгебраическую сумму конечного числа функций, содержащих абсолютные величины.

4

1

3

Лекция с элементами диалога Практическое занятие

Демонстрация оформленных решенных заданий.

4.4

Решение неравенств с параметрами, содержащих абсолютные величины

6

1

5

Лекция с элементами диалога Семинар-практикум

Демонстрация решенных заданий.

5.

Графики уравнений, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины

10

2

8

5.1

Правила и алгоритмы построения графиков уравнений, аналитическое выражение которых содержит знак модуля

Графики уравнений (функций) основных типов.

1

1

Лекция с использованием ИКТ

Интерактивная доска

УМК «Живая математика».

5.2

Построение графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля.

3

1

2

Лекция с элементами диалога Практическое занятие

Интерактивная доска

УМК «Живая математика».

Алгоритмыв построения графиков уравнений (функций)

5.3

Графический способ решения уравнений и неравенств с одной переменной.

2

2

Практическое занятие

Интерактивная доска

УМК «Живая математика».

5.4

Графики уравнений, заданных явно или неявно, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

2

2

Мастерская

Интерактивная доска

УМК «Живая математика».

5.5

Изображение областей на плоскости, задаваемых неравенствами с двумя переменными, содержащими переменную под знаком модуля.

2

2

Практическое занятие

Интерактивная доска

УМК «Живая математика».

6.

Системы уравнений и неравенств, содержащие абсолютные величины.

8

1

7

Семинар- практикум

УМК «Алгебра 7-11»

Проектор,

компьютер

6.1

Системы уравнений и неравенств, содержащие абсолютные величины.

Решение систем уравнений и неравенств, содержащих параметры и модули.

8

1

7

Лекция Семинар- практикум

УМК «Алгебра 7-11»

Проектор,

компьютер

7

Итоговое занятие.

Презентация работ или итоговое тестирование.

4

4

Семинар

Проектор,

компьютер

Итого:

72

18

54

Содержание программы

1. Введение (1 ч).

Цели и задачи программы. Вопросы, рассматриваемые в программе и её структура. Знакомство с литературой, темами творческих работ. Представление компьютерных программ для изучения данной темы. Требования, предъявляемые к участникам обучения. Инструктаж по технике безопасности.

2. Модуль действительного числа c. Свойства модуля (6 ч).

Модуль действительного числа c. Модули противоположных чисел. Геометрический смысл модуля. Свойства модуля. Модуль суммы и модуль разности конечного числа действительных чисел. Модуль разности модулей двух чисел. Модуль произведения и модуль частного. Операции над абсолютными величинами. Тождественные преобразования выражений, содержащих переменную под знаком модуля. Применение свойств модуля при решении задач.

3. Уравнения, содержащие абсолютные величины (22 ч).

Основные методы решения уравнений с модулем. Раскрытие модуля по определению, переход от исходного уравнения к равносильной системе, возведение в квадрат обеих частей уравнения, метод интервалов, использование свойств абсолютной величины. Решение уравнений вида:

, где

, где

Использование метода интервалов при решении уравнений, содержащих несколько функций под знаком модуля. Решение уравнений «со сложным модулем». Решение иррациональных уравнений, сводящихся к уравнениям, содержащим абсолютные величины. Решение уравнений с параметрами, содержащих абсолютные величины.

4. Неравенства, содержащие абсолютные величины (11 ч).

Основные методы решения неравенств с модулем. Решение неравенств вида:

; ; ;

Решение неравенств «со сложным модулем». Использование метода интервалов при решении неравенств, содержащих несколько функций под знаком модуля. Решение неравенств с параметрами и модулями.

5. Графики уравнений и функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины (10 ч).

Правила и алгоритмы построения графиков уравнений, аналитическое выражение которых содержит знак модуля. Построение графиков уравнений и функций вида:

…

Использование компьютерной программы «Живая математика» при проверке построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля.

6. Системы уравнений и неравенств, содержащие абсолютные величины (7 ч).

Решение систем рациональных и иррациональных уравнений с двумя неизвестными, решение систем рациональных неравенств с одним неизвестным. При решении систем уравнений и неравенств используются методы, приведенные в пунктах 3 - 5 содержания курса.

7. Итоговое занятие (4 ч).

Презентация творческих работ или итоговое тестирование по темам программы с последующей проверкой при помощи ИКТ.

Содержание программы способствует развитию логического мышления, формированию умения пользоваться алгоритмами, а также приобретению практических навыков, необходимых в повседневной жизни.

Учебно-методическое обеспечение курса

1. Перечень обучающих и контролирующих программ.

1.1 Применение компьютерной программ УМК «Живая математика» при построении графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля.

1.2 Использование компьютерной программы «Репетитор» виртуальной школы Кирилла и Мефодия при выполнении тестовых заданий по теме курса, в качестве справочного материала к уроку.

1.3 Использование компьютерной программы «Алгебра 7-11» для пошагового интерактивного решения задач.

2. Материальное обеспечение дисциплины, технические средства обучения и контроля.

Компьютерный класс, стандартный класс, проектор, компьютер, интерактивная доска.

3. Перечень справочных, иллюстративных и др. материалов, получаемых воспитанниками на занятиях.

• Схемы решений уравнений и неравенств с модулями

• Схемы сдвигов графиков функций

• Алгоритмы построения графиков уравнений

Литература

Е.В. Герасимова. Математика. Интенсивный курс. Санкт-Петербург, 2004, 432 с

В.В. Вавилов. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Москва. Наука, 1986, 240 с.

М.Л.Галицкий и др. Сборник задач по алгебре 8 - 9 кл. - Москва. Просвещение, 1996, 271 с.

В.М. Говоров и др. Сборник конкурсных задач по математике.- Москва. Просвещение, 1983.

Т.В. Белоненко. Сборник конкурсных задач по математике. Санкт-Петербург. "Специальная литература" 1997, 539 с.

Я.С.Фельдман, А.Я. Жаржевский. Математика. Решение задач с модулями. Санкт-Петербург. Оракул.1997, 304 с.

Я.С.Фельдман, А.Я. Жаржевский. Решение задач с параметрами. Санкт-Петербург. "Агенство ИГРЕК", 1995, 212 с.

П.И. Горнштейн и др. Задачи с параметрами. Москва. Илекса, 2005, 326 с.

И.Ф. Шарыгин Факультативный курс по математике 9 кл. Москва. Просвещение, 1989.

А.Х. Шахмейстер. Уравнения и неравенства с параметрами. Санкт-Петербург. 2004, 300 с.

Темы творческих работ

1. Применение модуля в механике и векторной алгебре.

2. Погрешности.

3. Создание алгоритмов построения графиков уравнений и функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля.

4. Создание компьютерной презентации по теме «Графики уравнений, аналитическое выражение которых содержит знак модуля».

5. Создание компьютерной презентации «Схемы решения уравнений и неравенств с модулем»

6. Простейшие функции, заданные явно и неявно, аналитическое выражение которых содержит знак модуля, их графики.

7. Система упражнений на изображение областей на плоскости, задаваемых неравенствами или ограниченных графиками функций, содержащих модули. Компьютерная презентация.

8. Создание тестовых заданий по материалам данной программы.