ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«Мордовский государственный

педагогический институт имени М.Е. евсевьева»

физико-математический факультет

Кафедра методики преподавания математики

реферат

методика изучения многоугольников

в курсе планиметрии

Саранск 2012

содержание

Введение

Концепция математического образования в средней школе ставит задачу воспитания личности в процессе освоения математики и математической деятельности, интеллектуального развития учащихся, формирования качеств мышления, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе, формирования представлений о математике как форме описания и методе познания реальной действительности.

В окружающем мире прекрасное сложно и многообразно. Восприятие красоты предполагает знакомство с её простейшими, первичными элементами. Изучение многоугольников в планиметрии позволит ликвидировать кажущийся отрыв математики от реальности, поможет учащимся понять, что законы математики взяты из природы и объясняют природу. Поэтому тема данного реферата является актуальной.

Целью данного реферата является рассмотрение методики изучения многоугольников в средней школе.

В данном реферате будут рассмотрены различные подходы к изучению многоугольников, методика изучения четырехугольников, методика изучения правильных многоугольников.

1. Различные подходы к изучению многоугольников

Как известно, уже в 1 - 3 классах учащиеся получают представления о простейших геометрических фигурах. Во втором классе дети считают элементы многоугольников: вершины, стороны, углы, измеряют их стороны. В третьем классе учащиеся разбивают прямоугольник на равные квадраты и используют его для иллюстрации переместительного закона умножения, с помощью задачи на вычисление периметра этого прямоугольника иллюстрируется распределительный закон умножения относительно сложения. В четвертом классе формируются представления о площади фигуры, основное внимание при этом уделяется вычислению площади прямоугольника и квадрата.

В 5 - 6 классах многоугольник выступает не только как средство изучения арифметики и элементов алгебры, но и как объект изучения. Большое внимание при этом уделяется развитию пространственных представлений учащихся, работе с изображением многоугольника.

В учебно-методической литературе отражены различные подходы к изложению теории многоугольников.

I подход. Дается общее понятие многоугольника, затем рассматриваются его частные виды. Введению понятия многоугольника предшествует изучение понятий ломаной, простой ломаной. Обычно реализация этой системы связана с введением понятия области и рассмотрением того факта, что простая замкнутая ломаная разбивает множество непринадлежащих ей точек плоскости на две области - внешнюю и внутреннюю. Многоугольник определяется как объединение простой замкнутой ломаной и ее внутренней области. Такой подход реализуется, в частности, в ранее действовавшем учебном пособии по геометрии
А. Н. Колмогорова и др.

Это определение многоугольника, замечает академик А.Д. Александров, сужает его объем. К многоугольникам не относится, например, фигура, изображенная на рисунке 1. Он предлагает рассматривать многоугольник как замкнутую область конечных размеров, граница которой состоит из конечного числа отрезков. Многоугольник называется простым, если его граница представляет собой одну простую замкнутую линию [1].

Рисунок 1

В рамках этого подхода существует и концепция многоугольника как фигуры, образованной замкнутой ломаной линией [].

II подход. Рассматриваются частные виды многоугольника - треугольник, четырехугольник, затем вводится понятие многоугольника. Реализация этого подхода связана с различными определениями многоугольника. В учебниках геометрии А. В. Погорелова, Л. С. Атанасяна и др. реализуется трактовка многоугольника как фигуры, образованной замкнутой ломаной линией [2, 5].

Реализация первого подхода сопряжена с большими трудностями, они обусловлены усвоением таких понятий, как область, граница и т.д. К тому же в курсе геометрии 7 класса используется только понятие треугольника. При первом подходе оказывается значительно большим по времени этап, предшествующий изучению теорем.

Изучение многоугольников обычно распределено по всему курсу планиметрии. Последовательность изучения материала в учебниках разных авторов различная (таблица 1).

Таблица 1

Автор учебника

Л.С. Атанасян и др.

А.В. Погорелов

А.Д. Александров и др.

7 класс

Треугольники, равенство треугольников, соотношения между сторонами и углами треугольника, сумма углов треугольника, прямоугольные треугольники.

Треугольники, равенство треугольников, сумма углов треугольника, прямоугольный треугольник.

Треугольники, прямоугольник, построение прямоугольника.

8 класс

Многоугольники, четырехугольники, площади многоугольников, подобные многоугольники.

Четырехугольники, теорема Пифагора, соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике, неравенство треугольника

Ломаная, простая замкнутая ломаная, многоугольник, выпуклые и невыпуклые многоугольники, многоугольная фигура, четырехугольники, параллелограмм, ромб, трапеция, решение треугольника.

9 класс

Соотношения между сторонами и углами треугольника, вписанные и описанные многоугольники, правильные многоугольники.

Решение треугольников, выпуклые многоугольники, правильные многоугольники, площади некоторых видов многоугольников.

Правильные многоугольники, вписанные и описанные многоугольники.

Рассмотрим подробно изложение этой темы в разных учебниках.

1. Учебник геометрии А.В. Погорелова.

Сначала вводится понятие ломаной.

Ломаной A₁A₂A₃…A_n называется фигура, которая состоит из точек A₁, A₂, A₃, …, A_n и соединяющих их отрезков A₁A₂, A₂A₃, …, A_n-1A_n. Точки A₁, A₂, A₃, …, A_n называются вершинами ломаной, а отрезки A₁A₂, A₂A₃, …, A_n-1A_n - звеньями ломаной.

Затем вводится понятие простой ломаной и замкнутой ломаной.

Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений. На рисунке 2 а) изображена простая ломаная, а на рисунке 2 б) - ломаная с самопересечением в точке B.

Ломаная называется замкнутой, если у нее концы совпадают. После этого вводится понятие многоугольника и его элементов.

Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой (рисунок 3).

А₂

А₅

А₃

А₁

А₄а) б)

А₅

А₂Рисунок 2

А₄

А₁

А₈

А₆

А₃

А₇

А₁₀

А₉

Рисунок 3

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной - сторонами многоугольника.

Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Многоугольник с n вершинами и n сторонами называется n-угольником.

Плоским многоугольником или многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. На рисунке 4 а) изображен выпуклый многоугольник, а на рисунке 4 б) - невыпуклый многоугольник.

Здесь же доказывается теорема: сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°(n - 2).

а) б)

Рисунок 4

Затем рассматриваются правильные многоугольники.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

Здесь же вводятся понятия вписанного в окружность многоугольника и описанного около окружности. Даются формулы для радиусов окружностей, вписанных и описанных около правильных многоугольников, рассматривается построение некоторых правильных n-угольников (n = 3, n = = 6, n = 4).

В учебнике формулируется также теорема о подобии правильных выпуклых многоугольников [5].

2. Учебник геометрии Л.С. Атанасяна и др.

Понятие многоугольника вводится в 8 классе в главе V «Четырехугольники». Рассматривается фигура, составленная из отрезков AB, BC, CD, …, EF, FA так, что смежные отрезки (т.е. AB и BC, BC и CD, …, FA и AB) не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек. Такая фигура называется многоугольником. Точки A, B, C, …, E, F называются вершинами, а отрезки AB, BC, CD, …, EF, FA - сторонами многоугольника. Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника.

E

BМногоугольник с n вершинами называется n-угольником, он имеет n сторон. На рисунке 5 приведены примеры многоугольников.

C

D

A

A

K

G

F

C

H

D

Рисунок 5

Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая - внешней областью. Фигуру, состоящую из многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.

Вводится понятие выпуклого многоугольника.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Затем рассматриваются четырехугольники и в частности, параллелограмм и трапеция, а также частные виды параллелограмма: прямоугольник, ромб, квадрат [2].

2. Методика изучения четырехугольников

В учебниках А. В. Погорелова. Л. С. Атанасяна и др. методика введения понятия четырехугольника различна, хотя в названных учебниках и одинакова трактовка четырехугольника.

В учебнике А. В. Погорелова (8 кл.) понятие четырехугольника вводится непосредственно его определением.

Определение. Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки - сторонами четырехугольника [5].

В учебнике Л. С. Атанасяна и др. (8 кл.) введению этого понятия предшествуют понятия многоугольника, его внутренней и внешней области, выпуклого многоугольника, а также теорема о сумме углов выпуклого n-угольника. (В учебнике А. В. Погорелова эти понятия и факты рассматриваются позже).

В учебнике говорится, что каждый четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали. Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными. Сообщается, что четырехугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми [2].

а) Методика введения понятия четырехугольника

Учащиеся уже знакомы с некоторыми видами четырехугольников, поэтому перед тем, как ввести понятие четырехугольника, можно предложить учащимся построить любой четырехугольник. Рассматривая построенные фигуры, учащиеся делают вывод: четырехугольник - фигура, образованная четырьмя точками и четырьмя отрезками, последовательно соединяющими эти точки.

Затем можно предложить упражнения на распознавание четырехугольников. Какие из фигур, изображенных на рисунке 6, являются четырехугольниками?

Фигура, изображенная на рисунке 6 в), образована четырьмя точками и четырьмя отрезками, последовательно соединяющими их, но три точки A, B, C лежат на одной прямой. Фигуру (рис. 6 б) образуют четыре точки А, В, С, D, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четыре отрезка, но отрезки AD и ВС пересекаются. Такие фигуры, хотя и образованы четырьмя точками и четырьмя отрезками, последовательно их соединяющими, не относят к четырехугольникам.

C

C

D

A

C

A

A

A

D

D

C

D

а) б) в) г)

Рисунок 6

Так постепенно уточняется содержание понятия четырехугольника. Затем вводятся понятия соседних и противолежащих вершин, диагоналей четырехугольника, соседних и противолежащих сторон.

Возможен и иной подход к введению понятия четырехугольника: учитель показывает учащимся заранее приготовленный им плакат с рисунками различных фигур, на котором изображены треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т. д., и просит выделить фигуры, образованные по одному и тому же признаку. В процессе анализа группы фигур, образованных четырьмя точками и четырьмя отрезками, последовательно соединяющими их, выделяется содержание понятия четырехугольника.

Конкретные подходы могут быть разными, однако для каждого из них характерным является такая организация учебной деятельности школьника, которая позволяет ему принимать активное участие в анализе содержания изучаемого понятия. Указанная методика введения понятия четырехугольника может быть использована и в рамках учебника А. Д. Александрова и др., однако надо иметь в виду, что четырехугольник в данном пособии трактуется как часть плоскости.

В учебнике Л. С. Атанасяна и др. четырехугольник вводится как частный случай многоугольника. Такой подход по сравнению с введением четырехугольника в учебниках А. В. Погорелова, А. Д. Александрова и др. представляется менее удачным. Дело в том, что общее понятие многоугольника используется только в конце 9 класса, использовать же это понятие для введения четырехугольника вряд ли целесообразно, поскольку понятие четырехугольника проще понятия многоугольника [2, 3].

б) Методика изучения параллелограмма

В различных учебниках геометрии можно увидеть разные определения параллелограмма. С точки зрения психологии наиболее удачным является определение параллелограмма как четырехугольника, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Такое определение позволяет воображению легко конструировать образ определяемого объекта. Распознавание же на уровне свернутого выполнения действия осуществляется по внешне выраженным, наглядным признакам распознаваемых объектов, к каким в данном случае относится параллельность противоположных сторон.

Введению понятия можно предпослать упражнение на построение четырехугольника, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Усвоение содержания этого понятия осуществляется в процессе выполнения упражнений на распознавание объектов, принадлежащих понятию «параллелограмм». Среди предлагаемых объектов должны быть четырехугольники, у которых одна пара, ни одной пары, две пары противоположных параллельных сторон, в том числе - прямоугольник, ромб, квадрат.

Целесообразны упражнения на построение четырехугольников и доказательство принадлежности их к параллелограмму.

Пример: Начертите четырехугольник ABCD, в котором А = 60°, В = = 120°, C = 60°, и выясните, является ли он параллелограммом.

Подобные упражнения содержатся в учебнике Л.С. Атанасяна и др.

В учебной литературе используются различные варианты изложения свойств и признаков параллелограмма. В учебнике Л.С. Атанасяна и др. излагаются свойства параллелограмма, затем его признаки.

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Признаки параллелограмма:

1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.

В других учебниках признаки параллелограмма предшествуют изложению его свойствам. Предлагается и вариант, в котором признаки чередуются со свойствами (учебник А. В. Погорелова). Свойства параллелограмма могут быть сформулированы самими учащимися в процессе выполнения упражнений. Например, свойство сторон параллелограмма может быть выделено в результате выполнения следующего упражнения: «ABCD - параллелограмм. Докажите, что треугольники ABC и CDA равны». Указанное упражнение способствует усвоению определения параллелограмма (часто подобные упражнения в учебниках отсутствуют, в них обычно приводятся более сложные упражнения, выполнение которых у многих учащихся вызывает трудности). После выполнения приведенного упражнения учащиеся без труда формулируют свойство сторон параллелограмма [8].

Изучению теоремы, выражающей свойство углов параллелограмма, можно предпослать упражнение: «В параллелограмме ABCD
А = 60°. Вычислите все его углы». Выполнение этого упражнения основывается на определении параллелограмма и свойстве параллельных
прямых. Решив задачу, учащиеся замечают, что противоположные углы
параллелограмма равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне
параллелограмма, равна 180°. Приведенное упражнение дает способ доказательства теоремы, отличный от способа, используемого в учебнике.
В учебнике Л.С. Атанасяна и др., а также и в учебнике А.В. Погорелова,
доказательство этой теоремы основывается на признаках равенства треугольников. Между тем ее доказательство может быть таким:
А + B = 180°, B + C = 180° (по свойству внутренних односторонних углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей), отсюда A = C. Если изложение теории начинается со
свойств параллелограмма, то признаки будут выступать как утверждения, обратные изученным теоремам. При изучении признаков следует
обратить внимание на формирование умения видеть ситуации, в которых применима теорема. Обычно в учебниках сразу предлагают упражнения, выполнение которых уже предполагает владение этим умением.
Естественно, это вызывает трудности у многих учащихся. Данное умение вначале должно формироваться в простых ситуациях.

Следует подчеркнуть практическую значимость изучения признаков параллелограмма. Их знание позволяет активнее решать различные задачи, владеть критериями распознавания параллелограмма.

Ознакомление учащихся с частными видами параллелограмма возможно через упражнения на их построение. Например, можно выполнить упражнение на построение параллелограмма, у которого углы прямые. Далее формулируется определение прямоугольника и выявляется его специфическое свойство: диагонали прямоугольника равны. Верно и обратное утверждение: если диагонали параллелограмма равны, то он - прямоугольник. Поэтому прямоугольник можно определить и как параллелограмм, у которого диагонали равны. За таким определением было бы очень трудно видеть объекты, относящиеся к прямоугольнику, но познакомить учащихся с этим признаком полезно. Аналогично, при изучении ромба следует рассмотреть его признаки: 1) если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то он является ромбом; 2) если у параллелограмма диагонали являются биссектрисами его углов, то он - ромб. Если в учебнике отсутствуют теоремы, выражающие признаки прямоугольника и ромба, то знакомство учащихся с ними может быть осуществлено через задачи [7].

Определения прямоугольника, ромба, квадрата, содержащиеся в учебнике, являются обычно избыточными, т. е. содержат лишние свойства. Например, прямоугольник определяется как параллелограмм, у которого все углы прямые. Такое определение избыточное: можно было бы ограничиться указанием одного прямого угла. Тогда, используя свойства параллелограмма, легко доказать, что и другие три угла также будут прямыми. Однако в целях простоты создания наглядного адекватного образа параллелограмма используется указанное избыточное определение. Итогом изучения может быть классификация параллелограммов (таблица 2).

Таблица 2

по сторонам

по углам

Параллелограмм, не являющийся ромбом

Ромб

Параллелограмм, не являющийся прямоугольником

Прямоугольник

3. Методика изучения правильных многоугольников

Учащиеся знакомы с некоторыми правильными многоугольниками, поэтому введение понятия должно основываться на их опыте Внимание учащихся акцентируется на равностороннем треугольнике, квадрате, подчеркивается, что указанные фигуры отличает то, что они выпуклые, имеют равные стороны и равные углы. Равенство сторон треугольника обусловливает равенство его углов, однако для четырехугольника такая связь не имеет места. Фигурами, иллюстрирующими это утверждение, являются ромб и прямоугольник. Затем сообщается, что выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны, называется правильным. Определение правильного многоугольника построено по способу «через ближайший род и видовое отличие». Родовым понятием является понятие выпуклого многоугольника, видовые отличия - равенство сторон и равенство углов. Формирование понятия правильного многоугольника предполагает усвоение его существенных свойств, а для этого используются упражнения на распознавание правильных многоугольников. Можно использовать задачи, в которых распознавание правильных многоугольников осуществляется с использованием непосредственных измерений их углов и сторон, а также упражнения типа:

Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным?

Какие из следующих утверждений верны: а) многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны; б) существует правильный четырехугольник, являющийся параллелограммом; в) треугольник является правильным, если все его углы равны?

Чему равны градусные меры углов: а) правильного пятиугольника; б) правильного двенадцатиугольника; в) правильного тридцатишестиугольника?

Возникает вопрос: нельзя ли указать способ построения с помощью циркуля и линейки некоторых правильных многоугольников? Ответить на этот вопрос помогут свойства правильных многоугольников: около любого правильного многоугольника можно описать окружность, в любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Учащимся известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. Поэтому все вершины квадрата будут лежать на окружности с центром в точке пересечения его диагоналей и радиуса, равного половине длины диагонали. Поскольку точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его сторон, то середины всех его сторон лежат на окружности с центром в точке пересечения его диагоналей радиуса, равного половине длины стороны этого квадрата. Указанные свойства квадрата обусловливают вопросы: 1) можно ли описать окружность около любого правильного многоугольника; 2) можно ли вписать окружность в любой правильный многоугольник? Для ответа на эти вопросы необходимо выяснить существование точки, равноудаленной от всех вершин правильного многоугольника, и точки, равноудаленной от всех сторон правильного многоугольника [8].

Выясним, существует ли точка, равноудаленная от всех вершин правильного многоугольника. Предположив, что некоторая точка обладает этим свойством, получаем, что она является точкой пересечения биссектрис его углов. Чтобы окончательно решить поставленную проблему, надо доказать, что биссектрисы углов правильного многоугольника пересекаются в одной точке. Таким образом, может быть открыта учащимися не только теорема, но и способ ее доказательства. Следует обратить внимание учащихся на связь между радиусом описанной (вписанной) окружности, стороной правильного многоугольника и числом его сторон. Полученные формулы обычно конкретизируются для правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника. Связь между стороной правильного шестиугольника и радиусом описанной около него окружности (а_б = R) прямо указывает на способ построения правильного шестиугольника. Построив правильный шестиугольник, легко построить правильный двенадцатиугольник. Указанный способ позволяет с помощью циркуля и линейки построить целый ряд правильных многоугольников, если построен один из них. Например, построив правильный четырехугольник можно построить правильный восьмиугольник, затем правильный шестнадцатиугольник и, вообще, правильный 2к -угольник, где к - любое число, большее двух.

Следует иметь в виду, что не все правильные многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки. Например, нельзя построить правильный семиугольник. однако можно построить правильный семнадцатиугольник. Теория построения правильных многоугольников может быть предметом кружковых занятий [7].

заключение

В данном реферате рассмотрены:

1. Различные подходы к изучению многоугольников (I подход - сначала общее понятие многоугольника, затем рассматриваются частные виды, II подход - сначала рассматриваются частные виды многоугольника, затем вводится понятие многоугольника).

2. Методика изучения четырехугольников (методика изучения параллелограмма, методика изучения трапеции и ее свойств).

3. Методика изучения правильных многоугольников.

Материал данного реферата может быть использован при подготовке к урокам, на факультативных и элективных занятиях по математике в курсе основной школы.

список использованных источников

1. Александров, А.Д. Что такое многогранник? // Математика в школе. -1981. -№1,2).

2. Геометрия, 7 - 9 : Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян и др. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с.

3. Капкаева, Л.С. Лекции по теории и методике обучения математике : частная методика : учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов : в 2 ч. Ч. 1 / Л.С. Капкаева ; Мордов. гос. пед. ин-т. - Саранск, 2009. - 262 с.

4. Киселев, А.П. Элементарная геометрия : книга для учителя / А.П. Киселев. - М. : Просвещение, 1980. - 287 с.

5. Погорелов, А.В. Геометрия: Учебник для 7 - 9 кл. сред. шк. / А.В. Погорелов. - М.: Просвещение, 2008.

6. Саранцев, Г.И. Методика обучения геометрии : учеб. пособие для студентов вузов по направлению «Педагогическое образование» / Г.И. Саранцев. - Казань: Центр инновационных технологий, 2011. - 228 с.

7. Саранцев, Г.И. Общая методика преподавания математики : учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-ов / Г.И. Саранцев. - М. : Просвещение, 1999. - 208 с.

8. Саранцев, Г.И. Упражнения в обучении математике / Г.И. Саранцев. - М. : Просвещение, 2005. - 255 с.