Методическая разработка по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (8 класс)

Министерство образования Республики Марий Эл

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 3 г. Козьмодемьянска»

Методическая разработка

элективного курса по математике

для 9-го класса

«Решение алгебраических уравнений

высших степеней»

Разработала: учитель математики

высшей квалификационной категории

МОУ «СОШ № 3 г Козьмодемьянска»

Республики Марий Эл

Авдеева Галина Николаевна

г. Козьмодемьянск

Пояснительная записка.

Элективный курс «Решение уравнений высших степеней» предназначен для предпрофильной подготовки в 9 классе, а так же может быть использован для изучения в профильных 10 - 11 классах. Актуальность этого курса состоит в том, что в последние годы в материалах выпускных экзаменов в форме ОГЭ и ЕГЭ предлагаются задания по этой теме. Курс предназначен для углубления знаний учащихся по теме «Уравнения» и рассчитан на 10 часов. Содержание курса согласовано с государственными стандартами общего среднего образования и примерными программами по математике.

Предлагаемый элективный курс соответствует возрастным особенностям учащихся, не создает у них перегрузок при изучении математики.

Курс ориентирован на развитие у школьника умений решать уравнения более сложные, чем предлагаются в учебнике, выбирать оптимальный метод решения для данного конкретного уравнения.

Данный элективный курс может быть использован учителями общеобразова- тельных классов для индивидуальных и дифференцированных занятий.

Цели курса:

• развитие математической культуры учащихся;

• развитие познавательной деятельности учащихся;

• развитие интереса школьников к предмету.

Задачи курса:

• расширить представления учащихся по важнейшей теме в курсе алгебры;

• познакомить учащихся с различными методами решения уравнений;

• развивать логическое мышление, умение аргументировать ответы.

Ожидаемые результаты:

• умение учащихся решать уравнения различными методами;

• применение полученных знаний для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ;

• определение склонностей ученика при выборе профильного обучения.

Виды деятельности на занятиях:

• лекция, практикум, беседа.

По окончании курса учащиеся должны выполнить практическую работу: подготовить подборку уравнений рассмотренных видов из дополнительной литературы (с решениями).

Методы решения уравнений высших степеней.

1. Метод разложения на множители.

1)

или

х = − 3. Пусть t ≥ 0.

− посторонний корень

Ответ: −3; .

2)

или

9 + 12 = 21

Ответ: 1; .

2. Метод введения новой переменной.

Это самый распространенный метод.

а) Простейшие случаи. Очевидная замена.

1)

Пусть . Тогда

t = 1; t = − 4

Получаем: или

х = 1 .

Ответ: ; 1.

2)

Пусть . Тогда . t = − 7, t = 4.

− 7 или 4

+ 7 = 0 − 4 = 0

D = 9 - 28 = − 19 D = 9 + 16 = 25

корней нет ; .

Ответ: − 1; 4.

3)

Пусть . Тогда t(t - 10) = 144. − 144 = 0. t = − 8; t = 18.

Имеем два уравнения:

− 8 или 18

+ 6 = 0 20 = 0

D = 1 - 24 = − 23 ; .

корней нет

Ответ: − 5; 4.

4)

Пусть . Тогда 4 = 0. t = 1; t = 4.

1 или 4

х − 1 = − 1 или х − 1 = 1 х − 1 = − 2 или х − 1 = 2

х = 0 х = 2 х = − 1 х = 3

Ответ: − 1; 0; 2; 3.

5)

Пусть . Тогда 2 = 0. t = 1; t = 2.

Имеем два уравнения:

1 или 2

= 0 − 1 = 0

х (х + 1) = 0 D = 1 + 4 = 5

х = 0; х = − 1

Ответ: − 1; 0; .

б) Использование основного свойства дроби

1)

Т. к. х = 0 не является корнем уравнения, то разделим и числитель, и знаменатель каждой дроби на х ≠ 0.

Пусть . Получаем уравнение:

. ОДЗ: t ≠ 6; t ≠ 8.

Возвращаемся к переменной х.

или

D = 49 - 60 = − 11 < 0 D = 49 - 15 = 34

корней нет

Ответ: .

2)

Т. к. х = 0 не является корнем уравнения, то разделим и числитель, и знаменатель каждой дроби на х ≠ 0.

Пусть , тогда ; .

ОДЗ: t ≠ 5; t ≠ −1.

2t + 2 + 13t - 65 - 6(t² - 4t - 5) = 0

2t² - 13t + 11 = 0

t = 1;

Возвращаемся к переменной х.

или

2х² - х + 3 = 0 4х² - 11х + 6 = 0

D = 1 - 24 = − 23 D = 121 - 96 = 25

корней нет х₁ = 0,75; х₂ = 2

Ответ: 0,75; 2.

в) Раскрытие скобок парами

1)

Пусть . Тогда

(t + 4)(t - 14) = 40

− 96 = 0

t = − 6; t = 16.

Получаем два квадратных уравнения:

или

х = 2; х = 3; D = 25 + 64 = 89

Ответ: 2; 3; .

2)

Пусть . Тогда (t + 2)(t − 18) = − 96.

60 = 0

t = 6; t = 10.

или

6 10

− 6 = 0 − 10 = 0

D = 9 + 24 = 33 х = − 5; х = 2

Ответ: − 5; 2; .

г) Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения

Т. к. х = 0 не является корнем уравнения, то обе части уравнения разделим

на .

Пусть . Тогда

+ 8 = 18

− 10 = 0

t = − 10; t = 1.

Получаем два уравнения с переменной х:

или

D = 25 + 20 =45 х = −4; х = 5

Ответ: −4; 5; .

д) Выделение квадрата двучлена.

Пусть . Тогда

t = 1; t = − 5

Имеем два уравнения:

= 1 или = − 5

х = − 1; х = 2; D = 25 - 40 = − 15

корней нет

Ответ: −1; 2.

е) Возвратные уравнения

Определение. Возвратным уравнением называют уравнение, в котором

равноудаленные от концов уравнения коэффициенты равны.

1)

Т. к. х = 0 не является корнем уравнения, то обе части уравнения разделим

на .

Пусть = t. Тогда ; значит,

D = 25 + 1200 = 1225

Имеем два уравнения с переменной х:

= или =

х = − 3; ; х = 2; .

Ответ: − 3; ; ; 2.

2)

Т. к. х = 0 не является корнем уравнения, то обе части уравнения разделим

на .

Пусть = t. Тогда ; значит,

t = 0; t = 4

Имеем два уравнения с переменной х:

= 0 или = 4

х = 1

Ответ: 1; .

ж) Уравнения, сводящиеся к однородному уравнению

1)

Первый способ

Разделим обе части уравнения на .

Пусть . Получаем квадратное уравнение:

D = 25 - 24 = 1

; .

Возвращаемся к переменной х:

или

ОДЗ: х ≠ 3; х ≠ 4.

х = 1; ; х = 0; .

Ответ: 0; 1; ; .

Второй способ.

Пусть , . Тогда имеем квадратное уравнение

с двумя переменными:

2u + v = 0 или 3u + v = 0

Подставим в эти равенства выражения с переменной х:

или

х = 1; ; х = 0; .

Ответ: 0; 1; ; .

2)

Пусть , . Тогда имеем квадратное уравнение

с двумя переменными:

2а² - 13аb - 7b² = 0

2а² - 14аb + аb - 7b² = 0

2а(а - 7b) + b(a - 7b) = 0

(a - 7b) (2а + b) = 0

a - 7b = 0 или 2а + b = 0

х² + х + 1 - 7х + 7 = 0 или 2х² + 2х + 2 + х − 1 = 0

х² − 6 х + 8 = 0 2х² + 3х + 1 = 0

х = 2; х = 4; х = − 1; х = − 0,5.

Ответ: − 1; − 0,5; 2; 4.

з) Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения.

1)

Пусть , тогда .

Получаем уравнение: ; t = − 2; t = .

или ОДЗ: х ≠ 0.

х² + 2х + 1 = 0 2 х² + х + 2 = 0

(х + 1)² = 0 D = 1 - 16 = − 15

х = − 1 корней нет

Ответ: − 1.

2)

Пусть , тогда .

Получаем уравнение: ; t = 16; t = .

или

или или

ОДЗ: х ≠ − 2,5.

3х - 1 = 8х + 20; 3х - 1 = − 8х − 20; 12х - 4 = 2х + 5; 12х - 4 = − 2х − 5;

5х = − 21 11х = − 19 10х = 9 14х = − 1

х = − 4,2 х = х = 0,9 х = .

Ответ: − 4,2; ; ; 0,9.

3. Применение следствия из теоремы Безу.

Если число α является корнем многочлена Р(х), то этот многочлен делится на

двучлен х - α.

1)

Подбором находим, что число 2 является корнем уравнения. Значит, левая

часть уравнения делится на х - 2. Получаем:

х + 5 = 0 или х² - 3 = 0

х = − 5 х² = 3

Ответ: −5; 2; .

2)

Подбором находим, что число 1 является корнем уравнения. Значит, левая

часть уравнения делится на х - 1. Получаем:

Подбором находим, что число −1 является корнем уравнения. Значит, левая

часть уравнения делится на х + 1. Получаем:

Подбором находим, что число −2 является корнем уравнения. Значит, левая

часть уравнения делится на х + 2. Получаем:

D₁ = 4 + 4 = 8

Ответ: −2; −1; 1; .

Для самостоятельного решения:

1.

Ответ: 1; ; 2.

2.

Ответ: 1; 0.

3.

Ответ: − 4; .

4.

Ответ: 0,5; 3,5.

5.

Ответ: ; .

6.

Ответ: −3; 2; 3; 4; 5.

7.

Ответ: −1; 23; ; .

8.

Ответ: − ; 2; .

9.

Ответ: −2; 3;

10.

Ответ: 3; 4.

Список литературы

1. А.Г. Мордкович. Алгебра - 8 . Часть 1. Учебник. Мнемозина, 2013 год.

2. А.Г. Мордкович и др. Алгебра - 8. Часть 2. Задачник. Мнемозина, 2013 год

3. А.Г. Мордкович, Н.П. Николаев. Алгебра - 8. Учебник для классов с

углублённым изучением математики. Мнемозина, 2010 год.

4. Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский. Алгебра - 8. Задачник для классов с

углублённым изучением математики. Мнемозина, 2010 год.

5. А.Г. Мордкович. Алгебра - 9 . Часть 1. Учебник. Мнемозина, 2013 год.

6. А.Г. Мордкович и др. Алгебра - 9. Часть 2. Задачник. Мнемозина, 2013 год

7. А.Г. Мордкович, Н.П. Николаев. Алгебра - 9. Учебник для классов с

углублённым изучением математики. Мнемозина, 2009 год.

8. Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский, П.В. Семёнов. Алгебра - 9. Задачник для

классов с углублённым изучением математики. Мнемозина, 2009 год.

9. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре. 8 - 9

классы. М.: Просвещение, 2010 год.