Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Раздел Математика
Класс 10 класс
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:


РАССМОТРЕНО

Педагогическим советом МОУ

«Зашижемская СОШ»

Протокол № 1

от « 14 » августа 2015г.

СОГЛАСОВАНО

Заместитель директора по УВР

_______ /Сидоркина Р.Л./

« 14 » августа 2015 г.

УТВЕРЖДАЮ

Директор школы:

________ А.П.Конаков

Приказ №63

от « 01» сентября 2015 г.




Решение уравнений и неравенств с модулем

Исследовательская работа




Программу составила:

учитель математики высшей

категории МОУ «Зашижемская СОШ»

Сидоркина Р.Л.













с.Зашижемье, 2014 г.

Оглавление


  1. Введение…………………………………………………………………3

  2. Простейшие уравнения и неравенства с модулем……………………5

  3. Графическое решение уравнений и неравенств с модулем………….8

  4. Иные способы решения уравнений и неравенств с модулем……......10

  5. Заключение ……………………………………………………………..16

  6. Список литературы………………………………………………………18


  1. Введение

Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел.

Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). В математическом анализе понятие абсолютной величины числа содержится в определениях таких основных понятий, как предел, ограниченная функция и др. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ. И поэтому для нас стало важно изучить некоторые аспекты этой темы.

Главной целью в нашей работе является изучение различных методов решения уравнений и неравенств с модулями.

Данная цель должна быть достигнута при решении следующих задач:

  • Изучить определение и некоторые свойства модуля.

  • Освоить решение простейших уравнений и неравенств с модулем через равносильные переходы

  • Рассмотреть различные методы решения уравнений и неравенств с модулем.

Объектом исследования являются некоторые типы уравнений и неравенств с модулем.

Предмет исследования - различные методы решения уравнений и неравенств с модулем, а именно: графический способ, метод геометрической интерпретации, использование тождества Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем, применение теоремы о знаках, метод перехода к следствию, метод интервалов, метод домножения на положительный множитель ,метод раскрытия модулей.

В ходе исследования применялись такие методы, как изучение литературы по данному вопросу и практический метод.

В ходе работы мы исследовал такие источники, как:

1. «Большая математическая энциклопедия» для школьников и студентов;

  1. Математика. ЕГЭ - 2011-2012. Типовые экзаменационные варианты. / Под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко.

  2. М.Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике

  3. «Новейший справочник школьника»;

  4. Энциклопедия «Я познаю мир» Математика;

  5. ru.wikipedia.org/wiki/Заглавная_страница;





  1. Простейшие уравнения и неравенства с модулем

К простейшим уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных равносильных переходов: Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Примеры решения простейших уравнений.

Пример 1 Решим уравнение Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

Решение.

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Ответ. Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

Пример 2 Решим уравнение Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

Решение.

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Ответ. Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

Пример 3 Решим уравнение Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

Решение.

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Ответ. Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

Ряд уравнений решается с использованием следующей теоремы.

Теорема.4 Сумма модулей равна алгебраической сумме подмодульнх величин тогда и только тогда, когда каждая величина имеет тот знак, с которым она входит в алгебраическую сумму.

Пример 5 Решить уравнение

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Решение. Так как Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем, то мы имеем равенство вида Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем, где Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем, Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем. Поэтому исходное уравнение равносильно системе:

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Ответ. Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

Примеры решения простейших неравенств.

Пример 6 Решим неравенство Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

Решение.

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

Ответ. Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

Пример 7 Решим неравенство Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

Решение.

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Ответ. Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

Как ни странно, но Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем достаточно, чтобы избавиться от знака модуля в любых неравенствах.

Пример 8 Решить неравенство

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Решение.

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Ответ. Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.



3. Графическое решение уравнений и неравенств с модулем

Решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины часто гораздо удобнее решать не аналитически, а графически (особенно уравнения содержащие параметры).

Пример 9 (С5, ЕГЭ - 2010)

C5. Для каждого значения a укажите число решений уравнения Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Решение. Построим график функции Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем . Для этого выделим полный квадрат : Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Число точек пересечения графика функции у = Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем с горизонтальными прямыми у = а равно числу решений уравнения.

ОИсследовательская работа на тему Решение неравенств с модулемтвет: если Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем< 0, то решений нет; если а= 0, то два решения, если Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем0 < а < 4, то четыре решения; если а=4, то три решения; если а > 4, то два решения.





Иные способы решения уравнений и неравенств с модулем

  • Метод раскрытия модулей

Метод раскрытия модулей рассмотрим на примере:

Пример 10 Решить уравнение

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Решение. Это уравнение содержит более одного модуля.

Метод решения уравнений, содержащих переменные под знаком двух и более модулей, состоит в следующем.

1. Найти значения переменной, при которых каждый из модулей обращается в нуль: Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем, Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем; Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем, Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем; Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем, Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

2. Отметить эти точки на числовой прямой.

3. Рассматриваем уравнение на каждом из промежутков и устанавливаем знак выражений, которые находятся под модулями.

1) При Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем или Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем. Чтобы определить знак каждого из выражений под модулем на этом промежутке, достаточно взять любое значение Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем из этого промежутка и подставить в выражение. Если полученное значение отрицательно, значит, при всех Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем из этого промежутка выражение будет отрицательным; если полученное числовое значение положительно, значит, при всех значениях Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем из этого промежутка выражение будет положительным.

Возьмем значение Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем из промежутка Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем и подставим его значение в выражение Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем, получаем Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем, значит на этом промежутке Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем отрицательно, а следовательно ``выйдет'' из под модуля со знаком ``минус'', получим: Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

При этом значении Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем, выражение Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем получит значение Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем, значит, оно на промежутке Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем также принимает отрицательные значения и ``выйдет'' из модуля со знаком ``минус'', получим: Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

Выражение Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем получит значение Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем и «выйдет» из под модуля со знаком ``минус'': Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

Уравнение на этом промежутке получится таким: Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем, решая его, находим: Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

Выясняем, входит ли это значение в промежуток Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем. Оказывается входит, значит Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем является корнем уравнения.

2) При Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем. Выбираем любое значение Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем из этого промежутка. Пусть Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем. Определяем знак каждого из выражений под модулем при этом значении Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем. Оказывается, что выражение Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем положительно, а два других отрицательны.

Уравнение на этом промежутке примет вид: Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем. Решая его, находим Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем. Это значение не входит в промежуток Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем, а значит, не является корнем уравнения.

3) При Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем. Выбираем произвольное значение Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем из этого промежутка, скажем, Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем и подставляем в каждое из выражений. Находим, что выражения Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем и Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем положительны, а Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем - отрицательно. Получим следующее уравнение: Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

После преобразования, получим: Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем, а значит, уравнение не имеет корней на этом промежутке.

4) При Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем. Нетрудно установить, что все выражения на этом промежутке положительны, а значит получим уравнение: Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем, Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем, Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем которое входит в промежуток и является корнем уравнения.

Ответ. Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем, Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

  • Решение уравнений содержащих модули неотрицательных выражений

Пример 11 Чему равна сумма корней уравнения (корень, если он один) уравнения

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Решение. Рассмотрим выражение

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулеми преобразуем его к виду Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Очевидно, что числитель дроби при любых значениях переменной является положительным числом. Значит дробное выражение положительно, если Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем (т.к. Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем). Преобразуем полученное выражение, при условии Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем. Получим уравнение, равносильное исходному:

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Ответ. Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

Пример 12 Решить уравнение

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Решение. Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, при всех допустимых значениях переменной, на множестве корней уравнения правая его часть тоже должна быть неотрицательной, отсюда условие Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем, на этом промежутке знаменатели обеих дробей равны, и остается решить уравнение Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем. Решая его и учитывая ограничение Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем, получаем

Ответ. Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

  • Решение уравнений с использованием геометрической интерпретации

Геометрический смысл выражения Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем - длина отрезка координатной оси, соединяющего точки с абсциссами Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем и Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких выкладок.

Пример 13 Решим уравнение Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

Решение. Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки с абсциссой Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда все точки с абсциссами из отрезка Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка, - нет.

Ответ. Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

Пример 14 Решить неравенство Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

Решение. Изобразим на координатной прямой точки, сумма расстояний от которых до точек Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем и Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем в точности равна Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем. Это все точки отрезка Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем. Для всех чисел вне данного отрезка сумма расстояний будет больше двух.

Ответ. Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

  • Решение уравнений с использованием тождества Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Пример (С3, ЕГЭ - 2010)15 Решить уравнение

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулемИсследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Решение. Дважды применяя тождество Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем, получим уравнение

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

решением которого является интервал Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

Ответ. Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

Пример (С3, ЕГЭ - 2011)16 17 Решить уравнение

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Решение. Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

Ответ. Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.


  • Применение теоремы о знаках при решении уравнений

Сформулируем теорему, удобную при решении неравенств, относительно произведений или частных разности модулей:

Теорема 18 Знак разности модулей двух выражений совпадает со знаком разности квадратов этих выражений.

Пример 19 Решить неравенство

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Решение. Воспользуемся теоремой:

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Используя формулу разности квадратов, разложим числитель и знаменатель на множители и решим полученное рациональное неравенство.

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Ответ. Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем


  • Решение уравнений переходом к следствию

Все уравнения с модулями могут быть решены следующим образом: рассмотрим весь набор уравнений, который может получится при раскрытии модулей, но не будем выписывать соответствующие промежутки. Решая каждое из полученных уравнений, получим следствия исходного уравнения. Остается только проверить не приобрели ли мы посторонних корней прямой их подстановкой в исходное уравнение.

Пример 20 Решим уравнение

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Решение. Последовательно переходя к следствиям, получаем:

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Нетрудно убедиться, что найденные числа не являются корнями исходного уравнения.

Ответ. нет решения.


  • Решение неравенств методом интервалов

Применение метода интервалов основано на следующей теореме.

Теорема 21 Функция, непрерывная на промежутке и необращающаяся на нем в нуль, сохраняет на этом промежутке свой знак.

Это означает, что нули функции и границы промежутков ее непрерывности разделяют область определения функции на участки, где она сохраняет постоянный знак. Применение метода поясним на примере.

Пример 22 Решим неравенство

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Пусть Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем. Областью определения данной функции есть Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем. Решая уравнение получим, что функция Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем не обращается в нуль ни при каком значении переменной. Это означает, что на всей области определения функция является знакопостоянной. Вычисляя, например, Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем, получаем, что функция принимает только положительные значения.

Ответ. Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.

Метод интервалов позволяет решать более сложные уравнения и неравенства с модулями, но в этом случае он имеет несколько иное назначение. Суть состоит в слудующем. Находим корни всех подмодульных выражений и разбиваем числовую ось на промежутки знакопостоянства этих выражений. Это позволяет, последовательно перебирая эти промежутки, одновременно избавляться от всех модулей и решать обычное уравнение или неравенство (проверяя при этом, что найденный ответ входит в данный промежуток).


  • Решение уравнений домножением на положительный множитель

Пример 23 Решить неравенство

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Решение. ``Ловушка'' заключается в том, что в задаче имеется несколько модулей, раскрывать которые - значит получить, громоздкое решение. Умножим дробь на некоторое выражение, принимающее лишь положительные значения и такое, чтобы упростить исходное неравенство:

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем

Ответ. Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем.




Заключение.

Подводя итог нашей работы, можно сказать следующее.

Целью работы было изучение различных методов решения уравнений и неравенств с модулями.

Рассмотрены некоторые разновидности простейших уравнений и неравенств с модулем, решаемых с помощью равносильных переходов,а также теоремы о сумме модулей; графический способ решения уравнений. Нужно сказать, что в школьном курсе математики именно эти методы решения наиболее часто используются. Графический метод особо актуален при решении задач C5 из контрольно-измерительных материалов ЕГЭ.

Далее мы изучили на нескольких примерах иные способы решения уравнений и неравенств с модулями, а именно: метод раскрытия модулей; решение уравнений, содержащих модули неотрицательных выражений; решение уравнений с использованием геометрической интерпретации; с использованием тождества Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем; применение теоремы о знаках; решение уравнений переходом к следствию, домножением на положительный множитель,а также решение неравенств методом интервалов.

Таким образом, в ходе исследования мы пришли к следующим выводам.

Наиболее универсальными и применимыми к наибольшему количеству задач мы считаем метод раскрытия модулей, графический метод и метод интервалов. Это убеждение возникло в результате решения большого числа задач из контрольно-измерительных материалов ЕГЭ, предметных чемпионатов, олимпиадных задач, а также изучение литературы по данному вопросу. Также очень важным мы считаем знание и применение тождества Исследовательская работа на тему Решение неравенств с модулем, так как оно используется не только при решении уравнений и неравенств, но и для преобразования многих выражений с радикалами. Остальные методы решения, которые мы рассмотрели, безусловно, представляют большой интерес в плане расширения математического кругозора и общего математического развития. Поэтому мы планируем использовать их для подготовки к государственной итоговой аттестации в форме ЕГЭ и подготовке к обучению в высшем учебном заведении.








Список используемой литературы.

  1. «Большая математическая энциклопедия» для школьников и студентов;

  2. Математика. ЕГЭ - 2011, 2012. Типовые экзаменационные варианты. / Под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко.

  3. М.Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике

  4. «Новейший справочник школьника»;

  5. Энциклопедия «Я познаю мир. Математика»;

  6. ru.wikipedia.org/wiki/Заглавная_страница;


© 2010-2022