Устная работа на уроках математики

Материалы составлены учителем математики

КОУ ВСОШ № 3 Черемисиной О. Н.

Устная работа на уроках математики

Устную работу на уроках математики провожу с целью:

- повторения и закрепления изучаемого материала;

- актуализации знаний перед изучаемым материалом;

- восстановления знаний у учащихся прибывающих в течение года, т. е. для индивидуальной работы.

В силу специфики школы, в каждой параллели, начиная с 5 класса, может быть скомплектован класс из вновь прибывших учащихся, перерыв в учебе у которых составляет до 10 лет. Времени, особенно в заочных классах, для основательного повторения ранее изученного практически нет. Кроме того проблематично воспользоваться учебниками предыдущих классов, так как в школьной библиотеке, обслуживающей школу и УКП их ограниченное количество. Поэтому иногда задания из карточек применяю для письменной работы. По этой же причине в карточку вставляю теоретический материал.

В каждом классе любой параллели в течение сентября, а если необходимо и больше, на каждом уроке провожу работу по восстановлению вычислительных навыков, используя соответствующие карточки.

Карточки имеют вертикальную и горизонтальную нумерацию, т. е. пронумерованы строки и столбцы. Задания в строке обычно на одно и тоже свойство или правило. Если материал изучен полностью устная или письменная работа проводится по столбцам. Так как столбцов в каждой карточке не менее 5, то можно задавать для письменной работы несколько вариантов.

Таблички размещаю на обеих сторонах печатного листа, затем ламинирую их широким скотчем с одной стороны вдоль листа, с другой - поперек.

Приведу примеры использования карточек на конкретных уроках с целью актуализации знаний.

1. На уроках по теме «Решение показательных уравнений», «Решение логарифмических уравнений», «Решение тригонометрических уравнений» и др. способом сведения к квадратному уравнению сначала по лицевой стороне карточки «Квадратное уравнение» повторяем теоретический материал, затем работаем устно по обратной стороне. Если есть необходимость, решаем два три примера, используя формулы из таблицы. Такая актуализация знаний позволяет учащимся легче понять способ решения уравнений, сводящихся к квадратным.

2. На уроках по теме «Производная степенной функции» провожу актуализацию знаний по таблице «Степень» 1 - 4 строки. Во время этой работы учащиеся вспоминают, как представить выражение в виде степени, используя свойства степени.

3. На уроках «Решение квадратных уравнений» для устной работы использую таблицу «Действия с рациональными числами», т. к. основные ошибки при решении квадратных уравнений чаще всего не на применение формул, а вычислительные.

Действия с десятичными дробями

№

I

II

III

IV

V

VI

VII

1

2 + 1,12

0,24 + 4

2,32 + 7

5 + 4,29

7,34 +12

14 + 0,346

5,76 + 11

2

1,2 + 2,51

6,03 + 1,44

0,55 + 3,24

6,21 + 2,3

3,444 + 0,21

2,15 + 3,81

6,1 + 2,357

3

2,7 + 6,3

5,27 + 2,73

0,9 + 5,1

1,42 +12,58

3,63 +2,37

7,6 + 2,4

0,54 + 5,46

4

3,256+1,444

2,38 + 3,42

4,267+1,433

7,81 + 3,09

0,512+3,388

5,63 + 2,17

2,215+9,385

5

3 - 2,7

4 - 0,24

5 - 4,51

7 - 0,6

6 - 5,33

10 - 0,9

2 - 0,11

6

5,63 - 3

5,281 - 5

2,38 - 1

7,546 - 2

3,28 - 3

9,547 - 6

7,29 - 7

7

2,4 - 1,08

3,5 - 2,03

7,6 - 7,06

3,8 - 1,01

5,4 - 4,03

10,2 - 8,04

6,6 - 6,06

8

3,44 - 1,23

5,89 - 2,56

8,54 - 8,22

7,28 - 5,21

8,64 - 5,22

6,49 - 6,32

4,68 - 2,57

9

10,46 - 8,26

4,35 - 2,35

5,94 - 3,54

7,61 - 3,61

1,258-0,158

6,88 - 6,48

3,521-2,321

10

3,4 · 10

5,46 · 10

7,2 · 10

10 · 0,25

10 · 8,46

4,05 · 10

10 · 3,36

11

2,25 · 100

100 · 5,482

3,7 · 100

100 · 4,31

6,245 · 100

0,628 · 100

100 · 0,042

12

62 · 0,1

5,49 · 0,1

0,1 · 3,5

0,1 · 8

2,6 · 0,1

0,1 · 24,6

0,1 · 8,73

13

248. · 0,01

0,01 · 34

2,5 · 0,01

0,3 · 0,01

0,01 · 743

0,01 · 49

58 · 0,01

14

10 · 0,001

0,01 · 100

0,01 · 10

0,001 · 100

10 · 0,1

0,01 · 1000

1000 · 0,1

15

1,2 · 0,4

0,03 · 0,5

0,32 · 0,02

0,5 · 0,04

0,05 · 0,07

1,1 · 0,7

0,003 · 0,2

16

142 : 10

3,15 : 100

5,2 : 10

82 : 100

349 : 1000

71,3 : 10

648 : 100

17

2,21 : 0,1

34 : 0,01

0,73 : 0,001

3,62 : 0,1

0,025 :0,001

48 : 0,1

0,7 : 0,01

18

3,5 : 7

0,28 : 4

3,15 : 3

25,5 : 5

0,63 : 21

16,4 : 4

0,088 : 8

19

5,5 : 0,5

72 : 0,36

0,39 : 0,13

5 : 0,25

0,18 : 0,9

2,18 : 0,02

15 : 0,03

Действия с рациональными числами

№

I

II

III

IV

V

VI

VII

1

| 3 | + | -2 |

| 3 - 2 |

| -12 | - | 5 |

| 4 | · | -6 |

| -8 | : | 8 |

| -5 | + | -7 |

| -5 | + | 5 |

2

>,<

0 и -2,7

4,12 и 0

0 и 5,18

и 0

1,001 и 0

0 и -0,14

0 и

3

>,<

5,2 и -11

-7,11 и 2,3

- 3 и 1,5

4 и -4

-6 и 1

3,01 и -3,1

- 15 и 5

4

>,<

-2,7 и -5

-7,5 и -3

-0,88 и -8

-2,11и -2,1

и

-99 и -101

-6,03 и -6,3

5

(-2) +( - 6)

(-7,5)+( - 3)

(-11)+( - 8)

(-9)+(- 0,6)

(-7)+(- 14)

(-5,4)+(- 5,4)

(-8,4)+(- 1)

6

5 +(- 9)

11+(- 17)

-10 + 8

-6 + 12

-16 + 6

15+(- 13)

-7 + 13

7

-5 - 3

-2,5 - 3,5

-14 - 12

-3,7 - 0,3

-6 - 18

-4 - 9

-8,4 - 1,6

8

5 - 7

12 - 18

-11 + 6

-4 + 14

-14 + 4

15 - 19

-2 + 11

9

-9 - (-6)

-23 - (-8)

-14 - (-24)

-30 - (-5)

-12 - (-28)

-45 - (-25)

-37 - (-50)

10

8 - (-10)

15- (-12)

20 - (-25)

11 - (-11)

14 - (-17)

40 - (-15)

28 - (-12)

11

-2 · (-5)

-4 · (-6)

-11 · (-3)

-7 · (-8)

-9 · (-2)

-10 · (-10)

-5 · (-1,2)

12

4 · (-0,5)

7 · (-7)

8 · (-2)

9 · (-6)

10 · (-4)

11 · (-5)

3 · (-33)

13

-6 · 5

-8 · 5

-7 · 11

-2 · 22

-4 · 25

-10 · 10

-5 · 20

14

0 · (-11)

-6 · 0

0 · (-2,18)

-5,4 · 0

0 ·

-4,77 · 0

0 · (-100)

15

1 · (-9)

-5,3 · 1

1 · (-3,5)

-1,3 · 1

1 ·

-5,5 · 1

1 · (-33)

16

-1 · (-9)

5,3 · (-1)

-1 · 3,5

-2,7 · (-1)

-1 ·

-2,11 · (-1)

-1 · 15

17

-12 : (-3)

-24 : (-6)

-33 : (-3)

-42 : (-7)

-100 : (-25)

-10 : (-10)

-50 : (-2)

18

4 : (-2)

18 : (-6)

22 : (-11)

48 : (-16)

17 : (-17)

12 : (-3)

55 : (-5)

19

-30 : 5

-42 : 6

-16 : 4

-40 : 8

-66 : 11

-35 : 7

-100 : 20

20

12 : (-1)

-4,3 : 1

122 : (-1)

-10 : (-1)

5,6 : (-1)

-4,5 : 1

-0,18 : (-1)

Формулы сокращенного умножения

Название формулы

Вид формулы

Применение формулы

Разность

квадратов

х² - у² = (х - у)(х +у)

разложение двучлена на множители

(х - у)(х +у) = х² - у²

сокращенное умножение

Квадрат

суммы

(х + у)² = х² + 2ху + у²

сокращенное умножение

х² + 2ху + у² = (х + у)²

разложение трехчлена на множители

Квадрат

разности

(х - у)² = х² - 2ху + у²

сокращенное умножение

х² - 2ху + у² = (х - у)²

разложение трехчлена на множители

Задания для устной работы

№

I

II

III

IV

V

1

25а² - 9b²

4c² - 81

16x² - 81y²

а² - 49b²

100 - 9m²

2

(2a - 3)(2a + 3)

(5x - 3y)(5x +3y)

(a - 7)(a + 7)

(4 - 3b)(4+ 3b)

(8p - 5n)(8p+5n)

3

(3a +4c)(3a - 4c)

(b +6c)(b - 6c)

(7x +5c)(7x - 5c)

(m +10)(m - 10)

(2ac +5)(2ac - 5)

4

(5a +c)(c - 5a)

(2b -3x)(3x + 2b)

(x +4y)(4y - x)

(m - 6)(6 + m)

(ac +7)(7 - ac)

5

(2x + 5)²

(x + 5a)²

(4a + 1)²

(3b + 7c)²

(x + 9)²

6

(4 - 5a)²

(3x - 2y)²

(a - 10)²

(6m - 5n)²

(7x - y)²

7

(-a - 4)²

(-3c - 1)²

(-5x - 2)²

(-a - 2b)²

(-7y - z)²

8

x² + 4x + 4

25x² + 10x + 1

16x² + 56x + 49

9a² + 12ab + 4b²

9x² + 30xy + 25y²

9

100x² -20x + 1

64x² -80xy+25y²

36b² - 84b + 49

81 - 18ab + a²b²

16x² -40xy+ 25y²

10

9x² + 1 + 6x

-10ax +25x² + a²

n² + 49- 14n

24ab+9b² +16a²

36x² + 4y²-24xy

11

49а² - 9b²

25c² - 16

36x² - y²

81k² - 16c²

64 - m²

12

(5a - 1(5a + 1)

(x + 3y)(x -3y)

(a - 6)(a + 6)

(7 + 2b)(7 - 2b)

(3z - 2n)(3z+2n)

13

( x + 7)²

(3x + a)²

(5a + 1)²

(6b + 2c)²

(2x + 9)²

14

(5 - 3a)²

(2x - 7y)²

(z - 4)²

(7m - 3a)²

(9x - y)²

15

x² + 6x + 9

25x² + 20x + 4

81x² + 18x + 1

9a² + 6ab + b²

49x² + 42xy + 9y²

16

x² -16x + 64

36x² -12xy+ y²

16b² - 56b + 49

25 - 10ab + a²b²

4x² -20xy+ 25y²

Квадратное уравнение

aх² + bх + с = 0 - общий вид квадратного уравнения

а - первый (старший) коэффициент

b - второй коэффициент

с - свободный член

Например: 3х² - х + 2 = 0, а = 3, b = - 1, с = 2

Формула корней квадратного уравнения

Пример

aх² + bх + с = 0

х_1,2 =

3x² - 5x + 2 = 0

a = 3, b = -5, c = 2

x_1,2 =

x₁ = = 1, x₂ = .

Ответ: х₁ = 1, х₂ = .

Неполные квадратные уравнения

Общий вид

Способ решения

Пример

ах² = 0

(а≠0, b = 0, с = 0)

ах² = 0,

х² = 0,

х = 0.

3х² = 0,

х² = 0,

х = 0.

Ответ: х = 0.

ах² + с = 0

(а≠0, b=0, с≠0)

ах² + с = 0,

ах² = -с, |: с

х² = → х² = d,

если d > 0, то х_1,2 = ± ,

если d < 0, то уравнение корней не имеет

2х² - 18 = 0,

2х² = 18, |: 2

х² = 9,

х_1,2 = ± = ± 3.

Ответ: х_1,2 = ± 3

3х² + 12 = 0,

3х² = -12, |: 3

х² = -4.

Ответ: корней нет

aх² + bх = 0

(а≠0, b≠0, с=0)

aх² + bх = 0,

х(ах + b) = 0,

x = 0 или ax + b = 0,

ax = - b, |: а

х = - .

4х² + 8х = 0,

х(4х + 8) = 0,

x = 0 или 4x + 8 = 0,

4x = - 8, |: 4

х = -2.

Ответ: х₁ = 0, х₂ = -2

Приведенное квадратное уравнение

Общий вид и формула корней

Пример

Теорема, обратная теореме Виета

Пример

х²+ pх + q = 0

x_1,2 =

х² - 4х + 3 = 0,

р = - 4, q = 3

х_1,2 = ,

х₁ = 2 + 1 = 3, х₂ = 2 - 1 = 1.

Ответ: х₁ = 3, х₂ = 1

Если числа р, q, х₁ и х₂ таковы, что

х₁ + х₂ = - р,

х₁ · х₂ = q,

то х₁ и х₂ - корни уравнения

х² + pх + q = 0

х² + 8х + 15 = 0,

по т. обр. т. Виета имеем

х₁ = - 5, х₂ = - 3.

Ответ: х ₁ = - 5, х₂ = - 3

Устная работа по теме: «Квадратное уравнение»

№

Задание

I

II

III

IV

V

1

Какое из уравнений квадратное?

3х² - 2х = 0

5 - 2х = х²

3х³ + 4 = 0

х² + 5х - 6 = 0

+ 4 = 0

2

Назовите коэффициенты

5х²-3х+4 =0

2х² - х + 3 = 0

х² - 6 = 0

-5х² = 0

3х² - 6х = 0

3

Составьте квадратное уравнение, если

a = 2, b = 3,

c = - 6

a = - 3, b = 0,

c = 5

a = 1, b = - 1,

c = 0

a = 4, b = 0,

c = 3

a = - 2, b = 0,

c = 0

4

Решите уравнение

х² = 1

х² = 49

х² =

х² = 17

х² = -6

5

Решите уравнение

х² - 3х = 0

х² + 2х = 0

х² - 5х = 0

х² + 12х = 0

х² - 9х = 0

6

Вычислите

7

Вычислите

8

Какое из уравнений квадратное?

3х - 17 = 0

2х⁴ + 6х - 1 = 0

х² - 6х = 0

2х - 4х² - 6 = 0

х² - 7х = 0

9

Назовите коэффициенты

3х²-х+2 =0

- х² = 0

4х² - 2 = 0

-5х² = 0

3х² - 6х = 0

10

Составьте квадратное уравнение, если

a = -1, b = 2,

c = - 5

a = - 4, b = 2,

c = 0

a = 1, b = - 3,

c = 0

a = 1, b = 0,

c = - 2

a = - 4, b = 0,

c = 0

11

Решите уравнение

х² = 16

х² = - 49

х² =

х² = 100

х² = 6

12

Решите уравнение

х² - 7х = 0

х² + 3х = 0

х² - х = 0

х² + 9х = 0

х² - 11х = 0

13

Вычислите

14

Вычислите

15

Какое из уравнений квадратное?

-5х² - 2х = 0

7х + 42 = 0

х³ + 3х - 6 = 0

- 2 + 3х² + 5х = 0

+ 1 = 0

16

Назовите коэффициенты

х² + 1 =0

х² - 5х + 3 = 0

5х² - х = 0

2х² - х - 5 = 0

-3х +2 -х² = 0

17

Составьте квадратное уравнение, если

a = 1, b = -3,

c = - 6

a = - 2, b = 5,

c = - 1

a = 6, b = 0,

c = - 2

a = -1, b = - 8,

c = 0

a = - 3, b = 0,

c = 0

18

Решите уравнение

х² = 64

х² =

х² = 15

х² = - 16

х² = 81

19

Решите уравнение

х² - 2х = 0

х² + 6х = 0

х² - 12х = 0

х² + х = 0

х² - 17х = 0

20

Вычислите

21

Вычислите

Степень

О п р е д е л е н и е. Степенью числа а с натуральным показателем с натуральным показателем п, п >1 называется произведение п множителей, каждый из которых равен а, то есть а^п = а·аа.

п раз

В записи а^п число а - основание степени п - показатель степени

Степень с рациональным показателем

а⁰ = 1, где а ≠ 0

а^-r , где а ≠ 0, r > 0

a^r = , где m -целое число, п - натуральное число

Свойства степени с рациональным показателем

Если а > 0, b > 0, р и q - рациональные числа, то

1. a^p · a^q = a^p+q, 4) (a · b)^p = a^p · b^p,

2. , 5) = .

3. )^q =a^p·q,

Устная работа

№

Задание

I

II

III

IV

V

VI

1

Представьте в виде степени произведение

а² · а⁷

а ^-4 · а³

· х^-1

c^0.5 ·

m ^-2 · m⁶

2

Представьте в виде степени частное

x⁷ : x⁵

x^1,3 : x²

x³ : x ^{- 6}

a ^{- 3} : a ^{- 1,6}

c ^1,5 :

3

Представьте выражение в виде степени

(x²)⁷

4

Представьте выражение в виде степени

5

Представьте в виде степени с основанием 2

32

0,25

6

Представьте в виде степени с основанием 3

243

1

7

Решите уравнение

3^x = 9

2^x =

5^x = 0,04

3^{- x} =

6^x =

2^x =

8

= 9

=

= 0,75

=

=

= 1

9

Решите неравенство

5^x > 25

3^x < 1

2^x > 0,5

3^x <

5^x >

> 1

10

>

< 1

< 27

>

<

>1

11

Вычислите

Логарифмы

О п р е д е л е н и е. Логарифмом положительного числа b по основанию а, где а > 0, а ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b.

Обозначение: log_ab. Краткая запись определения: a^log_a^b = b.

С в о й с т в а. Если а > 0, а ≠ 1, b > 0, с > 0, r - любое действительное число, то

1. log_a(bc) = log_ab + log_ac, 3) log_a b^r = r log_ab,

2. log_a = log_ab - log_a c, 4) log_a^r b = log_ab.

Формула перехода от одного основания логарифма к другому: log_a b =

Десятичный логарифм: log₁₀b = lgb.

Натуральный логарифм: log_eb = lnb, где е - иррациональное число, е ≈ 2,718.

Устная работа

№

Задание

I

II

III

IV

V

VI

1

Вычислите

log₃9

log₃

log₃

log₃

log₃1

log₃729

2

Вычислите

3

Вычислите

4

Вычислите

log₆3+log₆12

lg5 + lg20

log₈4+log₈16

log₁₂2+log₁₂72

log₉3+log₉27

log_0,63+log_0,60,2

5

Вычислите

log₅50-log₅2

log₇14 - log₇2

log₃6-log₃54

lg3 - lg100

log_0,40,8-log_0,45

6

Упростите по 3 свойству

log₅36

lg49

log₂27

log₄125

7

Перейдите к lgа

log₅3

log₆7

log_0,411

log₅100

log₆10

8

Найдите х

log₅x = 2

log₂x = 5

log₉x =

log₅x = 0

log₆x = 1

9

Сравните логарифмы

log₅36 и log₅3

log_0,412 и log_0,421

log₆7,1 и log₆7,01

log₇14 и log₇29

10

Решите неравенство

log₅x > 3

log_0,5x > 2

Найдите производную

№

I

II

III

IV

V

VI

VII

1

4,7

π

-11

-0,(18)

3687,22

2

3x - 2

1 - 0,5x

5x + 4

0,2 + 12x

-6,6 + x

- x

0,4 - 5,5x

3

x⁵

x⁹

x³²

x¹⁷

x¹⁰

x²⁵

x⁵⁴

4

x ^-3

x ^-7

x ^-20

x ^-11

x ^-34

x ^-12

x ^-1

5

6

7

(4x - 5)²

(7 - 2x)³

(1 - 3x)⁴

(x + 7)⁴

(4 - x)⁵

(6x)⁸

( - 8x)³

8

(2x + 1)^-4

(3 - 7x)^-3

(2 + 5x)^-2

(-4x)^-6

(5 - x)^-7

(4x - 4)^-4

( 5x)^-2

9

x² + 2x + 1

-x³ + x² -7

2x⁵ - 4x²

3x² + 7x⁴

2x - 3x³

1 + x + 6x³

3x⁷ - 2

10

2e^x

e^2x+4

3e^x + 3

e^-x - 2x

5x - e^{4x - 3}

3e^10x

10e^3x

11

2^x

4 · 3^x

-2 · 5^x

1,2 · 10^x

-0,4 · 4^x

2.4 · 7^x

- 8^x

12

e^2x + 2^x

x² - 4e^x

5x³ + 5^x

7x² - e^5x

e^-4x - 2x⁵

10^x + e^10x

e^-x + 6^x

13

lnx

ln(2x - 7)

ln(x - 1)

ln(6 -x)

ln(4x)

ln(3 - 2x)

ln(3 + 7x)

14

cosx

sinx

e^x - sinx

2x² + cosx

sin3x

3cos3x

sin(-7x)

15

2cos(3x - 1)

sin(1 - x)

cos(2x + 4)

sin(4 - 3x)

sin(5 + x)

cos(-5x+6)

sin(x + 9)