Доклад на тему: ПРИМЕНЕНИЕ РАЗНОУРОВНЕВЫХ ЗАДАНИЙ КАК СРЕДСТВОРАЗВИТИЯ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ АКТИВНОСТИ УЧАЩИХСЯ 5-11 КЛАССОВ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

СОШД имени Касыма Ахмирова

Доклад на тему:

ПРИМЕНЕНИЕ РАЗНОУРОВНЕВЫХ ЗАДАНИЙ

КАК СРЕДСТВОРАЗВИТИЯ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ

АКТИВНОСТИ УЧАЩИХСЯ

5-11 КЛАССОВ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Учитель математики Искакова Б.М

2014-2015 учебный год

.

О Г Л А В Л Е Н И Е

Стр

Введение.

1

Раздел 1. Теоретическое обоснование путей развития познавательной активности учащихся

2

1.Характеристика уровней познавательной активности учащихся подросткового возраста

2

2.Характеристика уровней усвоения учебного материала при разноуровневом обучении

6

3.Соотношение уровней познавательной активности учащихся и обеспечивающих их уровней математических задач

7

Раздел 2. Описание опыта применения разноуровневых задач как средства развития познавательной активности учащихся в процессе обучения математике в 5-11классах

8

1.Организация процесса обучения, направленная на развитие познавательной активности учащихся на уроках математики

8

2.Реализация процесса применения разноуровневых задаий при обучении математике на примере темы «Делимость чисел» 5 класс

3.Логико-дидактический анализ темы «Делители и кратные»

4.Организация процесса обучения на примере темы «Простые и составные числа»

11

12

Приложения

Рабочие листы к уроку

15

Литература

23

В В Е Д Е Н И Е

Стремительное развитие общества, оснащенного современными технологиями, требует от выпускников общеобразовательных школ умения легко ориентироваться в информационном пространстве, адаптироваться к новым условиям жизни: критически оценивать ситуацию и находить творческие пути решения возникающих проблем, анализировать ситуацию, добывать информацию и умело ей пользоваться. Выпускник, обладающий такими качествами, будет востребован в обществе. Формируются эти качества в процессе различных видов деятельности и, прежде всего, в учебной деятельности ученика..

Обычно класс состоит из учащихся с разным уровнем развития, с разной успеваемостью и отношением к учению, интересами и состоянием здоровья. Учитель не может при традиционной организации обучения равняться на всех одновременно. Он вынужден вести обучение применительно к среднему уровню, ориентируясь на некоторого мифического «среднего» ученика. Это неизбежно приводит к тому, что «сильные» ученики искусственно сдерживаются в своем развитии, теряют интерес к учению, которое не требует от них умственного напряжения, а «слабые» ученики обречены на хроническое отставание, они также теряют интерес к учению, которое требует от них слишком большого умственного напряжения. Те, кто относятся к «средним», тоже очень разные, у них разные интересы и склонности, особенности восприятия, воображение, мышление. Одним необходима основательная опора на наглядные образы и представления, другие менее нуждаются в этом. Одни медлительны, других отличает относительная быстрота умственной деятельности. Одни запоминают быстро, но не прочно, другие - медленно, но продуктивно. Одни приучены организованно работать, другие работают по настроению, нервно и неровно; одни занимаются охотно, другие - по принуждению. Все перечисленные факторы не способствуют развитию познавательной активности.

Исходя из этого, мы пришли к противоречию между социальным заказом общества школе по формированию активной личности и сложившейся практикой организации школьного обучения, уделяющей недостаточно внимания активизации познавательной деятельности учащихся с учетом их индивидуальных особенностей.

Возникает проблема: каким образом организовать процесс обучения, ориентированный на развитие познавательной активности школьника и обеспечивающий усвоение учебного материала с учетом их индивидуальных и возрастных особенностей?

Решение этой проблемы я вижу в использовании разноуровневых заданий на уроках математики.

Поэтому цель моей работы - обобщение личного педагогического опыта использования на уроках математики в 5-11 классах разноуровневых заданий как средства развития познавательной активности школьников.

Для достижения цели мне необходимо решить следующие задачи:

- изучить литературу по проблеме активизации познавательной деятельности учащихся;

-охарактеризовать познавательную активность школьников подросткового возраста;

-выделить уровни усвоения учебного материала;

-соотнести уровни познавательной активности школьников и уровни обеспечивающих их математических задач;

-описать опыт применения разноуровневых заданий в процессе обучения математике

в 5-11 классах.

Раздел 1.

Теоретическое обоснование путей развития познавательной активности школьников

Почему в своей педагогической деятельности я задумалась о необходимости развития познавательной активности школьников? Начиная работать в 5-6 классах, я замечала, что с переходом на новую ступень обучения у школьников частично снижалась познавательная активность. Одна из причин этого психологические особенности детей подросткового возраста, которые необходимо учитывать, определяя сущность и пути развития познавательной активности школьников. Вторая причина в том, что в наше время много практикуются тестовые задания с вариантами ответов, учащиеся иногда не умея решить те или иные задания, просто находят выход, выбирая ответ наугад. Но проблема остается прежней- качество знаний по математике.

1. Характеристика уровней познавательной активности учащихся подросткового возраста

Активизация познавательной деятельности учащихся была и остается одной из вечных проблем педагогики. Так, например, К.Д. Ушинский писал, что « не с курьезами и диковинками науки должно в школе занимать дитя, а, напротив - приучить его находить занимательное в том, что его беспрестанно и повсюду окружает».Познавательная деятельность человека представляет собой очень сложный процесс взаимодействия внешних и внутренних условий. Внешние условия являются определяющими в развитии познавательной активности личности, но по мере развития сознания человека все большую роль в его деятельности приобретают внутренние условия: опыт, мировоззрение, интересы, потребности.

В процессе приобретения знаний, умений и навыков важное место занимает познавательная активность школьников.

В педагогике существуют различные подходы к определению познавательной активности.

- Познавательную активность как «интенсивную аналитико-синтетическую мыслительную деятельность учащихся в процессе изучения окружающего мира и овладения системой научных знаний» трактовал Ф.И. Харламов

- Познавательная активность как «инициативное, действенное отношение учащихся к усвоению знаний, а также проявление интереса, самостоятельности и волевых усилий в обучении» определял Г.М. Лебедев

- Г.И. Щукина характеризовала познавательную активность как «ценное и сложное личностное образование школьника, интенсивно формирующееся в школьные годы», как «особое состояние школьника и его отношение к деятельности»

- Познавательная активность по определению Т.И. Шамовой «активность в учении…не просто деятельностное состояние школьника, а …качество этой деятельности, в которой проявляется личность ученика с его отношением к содержанию, характеру деятельности и стремлением мобилизовать свои нравственно -волевые усилия на достижение учебной - познавательной целиВсе перечисленные подходы характеризуют позицию ученика, так как речь идет о их познавательная активности, поэтому говорить о развитии познавательной активности можно с учетом индивидуальных особенностей школьников. Все авторы правы, ведь чаще всего любой процесс бывает и эмоциональным, и волевым, и интеллектуальным, поэтому на уроках, в силу своих индивидуальных особенностей, одни школьники активно включаются лишь в отдельные процессы познания, а другие сохраняют внимательность и заинтересованность на всех этапах занятий. Связано это с уровнем познавательной активности. Выделим уровни и соотнесем с ними степень включенности в процесс обучения учеников.

Уровни познавательной активности учащихся

Стадии познавательного процесса

(по Т.И.Шамовой)

Степень включенности учеников в процесс обучения

Нулевая активность

Учащийся пассивен, слабо реагирует на требования учителя, не проявляет желания к самостоятельной работе, предпочитает режим «давления» со стороны педагога

Воспроизводящая активность

Ученик должен понять, запомнить и воспроизвести знание, овладеть способами его применения по образцу

Ситуативная активность

Активность учащегося проявляется лишь в определенных учебных ситуациях (интересное содержание урока, приемы обучения ит.д.); определяется в основном эмоциональным восприятием.

Интерпретирующая активность

Выявление смысла, проникновение в сущность явления, стремление познать связи между явлениями, овладеть способом применения знаний в новых условиях.

Исполнительская активность

Позиция учащегося обусловлена не только эмоциональной готовностью, но и наработанными привычными приемами учебных действий, что обеспечивает быстрое восприятие учебной задачи и самостоятельность в ходе ее решения.

Творческая активность

Не просто проникновение в сущность явлений, их взаимосвязи, но и попытка найти для этой цели новый способ.

Творческая активность

Позиция ученика характеризуется готовностью включиться в нестандартную учебную ситуацию, поиском новых средств для ее решения

Таким образом, на основе рассмотренного выше, познавательную активность можно определить как «личностное свойство, которое приобретается, закрепляется и развивается в особым образом организованном процессе познания с учетом индивидуальных и возрастных особенностей учащихся» Познавательная активность, направленная на познание существенных свойств предметов и явлений, на понимание значимых связей между ними характеризуется следующими действиями со стороны учащихся:

- постановка вопросов, характеризующих интерес к постижению содержания, существенных свойств предметов и явлений, выходящих за пределы школьной программы;

- свободное и заинтересованное оперирование знаниями и умениями;

- стремление выполнять задания повышенной трудности;

- поиск самостоятельных путей решения поставленных задач;

- использование собственных примеров по изучаемой теме;

- стремление поделиться со взрослыми и одноклассниками имеющимися знаниями.

Проявления познавательной активности этого уровня наиболее характерны для учащихся 5-8 классов, относящихся к подростковому и раннему юношескому возрасту. Чем же отличается данный возраст от остальных?

Психологические особенности подросткового возраста

«Подростковый возраст - остро протекающий переход от детства к взрослости, в котором выпукло переплетаются противоречивые тенденции. С одной стороны, для этого сложного периода показательны негативные проявления, дисгармоничность в строении личности, свертывание прежде установившейся системы интересов ребенка, протестующий характер его поведения по отношению к взрослым. С другой стороны, подростковый возраст отличается множеством положительных факторов: возрастает самостоятельность ребенка, более разнообразными и содержательными становятся его отношения с другими детьми и взрослыми, значительно расширяется сфера его деятельности и т.д. Данный период отличается выходом ребенка на качественно новую социальную позицию, в которой формируется сознательное отношение к себе как члену общества.»

Одной из главных особенностей подростков является - личная нестабильность. Противоречивые черты, стремления, тенденции существуют и борются друг с другом, определяя противоречивость характера и поведения взрослеющего ребенка. Анна Фрейд эту особенность характеризовала следующим образом «подростки исключительно эгоистичны, считают себя центром Вселенной и единственным предметом, достойным интереса…Их настроение колеблется между сияющим оптимизмом и самым мрачным пессимизмом. Иногда они трудятся с неиссякаемым энтузиазмом, а иногда медлительны и апатичны» .

Особо в данном возрасте можно выделить формирующееся чувство взрослости - отношение подростка к себе как к взрослому и тенденцию к взрослости - стремление быть, казаться и считать себя взрослым. "Чувство взрослости", не подкрепленное еще реальной ответственностью, - вот особая форма самосознания, возникающая в переходный период и определяющая основные отношения младших подростков с миром. "Чувство взрослости" появляется в потребности равноправия, уважения и самостоятельности, в требовании серьезного, доверительного отношения со стороны взрослых. Пренебрежение этими требованиями, неудовлетворенность этой потребности обостряет негативные черты подросткового кризиса.

Примерно в 11-12 лет возникает интерес к своему внутреннему миру, сложные переживания, связанные с новыми отношениями, свои личностные черты, поступки анализируются им пристрастно. Именно в этот период у детей появляется потребность в активном, самостоятельном творческом познании. В принципе она может быть реализована и в учебной деятельности. По мнению Д.Б. Эльконина «этот возраст сензитивен к переходу учебной деятельности на более высокий уровень. Учение может приобрести для ребенка новый личностный смысл - стать деятельностью по самообразованию и совершенствованию. К сожалению это случается не очень часто». Побуждать, руководить интересами ребенка в этом направлении необходимо осторожно, чтобы не вызвать противоположную реакцию - нежелание делать то, что навязывают.

Для подростков характерна склонность к фантазированию, к некритическому планированию своего будущего. Результат действия становится второстепенным, на первый план выступает свой собственный авторский замысел. Стремление экспериментировать, используя свои возможности - едва ли не самая яркая характеристика младших подростков.

В подростковом возрасте продолжает развиваться теоретическое рефлексивное мышление, когда ребенок на основе общих посылок строит гипотезы и проверяет их. Подросток умеет оперировать гипотезами, решая интеллектуальную задачу, он способен на системный поиск решения. Сталкиваясь с новой задачей, он старается отыскать разные возможные подходы к ее решению. Дети в этом возрасте способны к классификации, анализу, обобщению знаний. Ребенок начинает приобретать взрослую логику мышления. Происходит интеллектуализация восприятия и памяти.

Рассмотрев особенности подросткового возраста и подходы к определению познавательной активности можно говорить, что показателями высокого уровня познавательной активности являются прилежание, стабильность, осознанность учения, самостоятельность при решении учебных задач, творческие проявления и др.

Однако высокая планка требований в основной школе к самостоятельности, ответственности и инициативности школьников порой не учитывает возрастные особенности младших школьников и угрожает эмоциональному благополучию большей части обучающихся, что может привести к снижению их познавательной активности. Поэтому важно работать с учащимся в «зоне его ближайшего развития», что означает помощь и поддержку учителя в тех случаях, когда самостоятельно школьник еще не может решить данную учебную задачу. «Открытая» помощь учителя постепенно переходит в косвенную, что дает ученику шанс самостоятельно выполнить задание.

Одним из способов, позволяющих обеспечить развитие познавательной активности подростка с учетом их возрастных особенностей, на мой взгляд, является подбор разноуровнего математического содержания.

2.Характеристика уровней усвоения учебного материала при разноуровневом обучении

Образовательные и воспитательные задачи обучения математике должны решаться комплексно с учетом возрастных особенностей учащихся, специфики математики как науки и учебного предмета, определяющей ее роль и место в общей системе школьного обучения и воспитания. «Принципиальным положением организации школьного математического образования становится уровневая дифференциация обучения. Это означает, что, осваивая общий курс, одни школьники в своих результатах ограничиваются уровнем обязательной подготовки, зафиксированной в программе, другие в соответствии со своими склонностями и способностями достигают более высоких рубежей.» При этом достижение уровня обязательной подготовки становится непременной обязанностью ученика в его учебной работе. в то же время «каждый имеет право самостоятельно решить, ограничиться этим уровнем или же продвигаться дальше.»

При организации разноуровнего обучения важно определить оптимальное количество уровней.В практике встречаются различные варианты от 2 до 9. Например, технология дифференцированного обучения Н.П. Гузика «Комбинированная система обучения» выделяет три уровня сложности:

- программа «С» - базовый стандарт;

- программа «В» - аналитико-синтетический уровень, который обеспечивает овладение учащимися общими приемами учебной и умственной деятельности, которые необходимы для решения задач на применение. Программа «В» дает дополнительные сведения, расширяющие материал первого уровня;

- программа «А» - творческий или продуктивный уровень, который поднимает учащихся на уровень осознанного, творческого применения знаний, позволяет ребенку проявить себя в дополнительной самостоятельной работе.

Уровневая дифференциация обучения на основе обязательных результатов (автор В.В.Фирсов) предполагает введение двух стандартов:

- первый -уровень возможностей - такой уровень должна обеспечить школа интересующемуся, способному, трудолюбивому ученику;

- второй - уровень обязательной общеобразовательной подготовки, которого должен достичь каждый.

Наибольшее распространение в практике получила трехуровневая система. Основой для выделения трех уровней планируемых результатов служат теории нескольких авторов.

Теория Л.С. Выготского, выделяющего три типа учебной деятельности: репродуктивную, реконструктивную, вариативную.

Теория П.Я. Гальперина - теория поэтапного формирования умственных действий, в которой важная роль отводится ориентировочной основе деятельности человека, и рассматриваются три типа ориентировки:

- на единичные случайные признаки, психологический механизм основывается на узнавание и припоминание;

- на локальные признаки, присущие группам сходных объектов. В связи с необходимостью различения, разграничения объектов в группе. Здесь включаются механизмы сопоставления, противопоставления, сравнения - в конечном счете, анализа и обратной ему мыслительной операции - синтеза, то есть основным отличительным признаком по второму типу ориентировки является аналитико-синтетическая деятельность. Происходит перенос знаний на сходные объекты и ситуации;

- на глобальные признаки и свойства, отличающие широкие классы объектов и явлений. В этом случае может происходить перенос знаний в незнакомые, новые, нестандартные ситуации. Психологической основой третьего типа ориентировки является механизм инсайта, то есть мгновенного озарения, схватывания целого.

Теория Н.Г. Гузика - теория задач, соответствующая трем выделенным им уровням сложности.

В личной практике обучения школьников математике я использую подход , согласно которому задания составляются по трем уровням сложности, что позволяет активизировать познавательную деятельность школьников в соответствии с их индивидуальными особенностями, требованиями программы, системой школьной отметки и, в конечном итоге, с заданиями ЕНТ. Дадим характеристику выделенных уровней усвоения.

Характеристика уровней при разноуровневом обучении

Название уровня

Содержание материала

Тип деятельности

Характер заданий

Базовый или первый уровень

Самое главное, фундаментальное в каждой теме, что обеспечивает неразрывную логику изложения и создает картину основных представлений (систему знаний)

Репродуктивный. Ученик должен различать и воспроизводить изученное, действовать по алгоритму

Стандартные

Повышенный или второй уровень

Расширяет материал 1 уровня, доказывает, иллюстрирует и конкретизирует основное знание, требует глубокого знания системы понятий, умения решать проблемные ситуации в рамках курса

Реконструктивный. Ученик должен различать, воспроизводить способы получения фактов, применять несколько алгоритмов

Нестандартные, сводимые несколькими преобразованиями к стандартным

Высокий или третий уровень

Существенно углубляет материал, дает его логическое обоснование, открывает перспективы творческого применения, требует решать проблемы в рамках курса и смежных курсов посредством самостоятельной постановки цели и выбора программы деятельности

Вариативный. Ученик должен различать, воспроизводить способы получения способов, т.е. мыслительных операций, получать алгоритмы

Комбинированные задания, выполняемые системой преобразований; внепрограммные задания

3.Соотношение уровней познавательной активности и уровней обеспечивающих их математических задач

Покажем соотношение уровней познавательной активности с заданиями, обеспечивающими данные уровни.

Уровни познавательной активности.

Уровни задач.

Воспроизводящая активность

Стандартные.

Интерпретирующая активность

Нестандартные, сводимые несколькими преобразованиями к стандартным

Творческая активность

Комбинированные задания, выполняемые системой преобразований; внепрограммные задания

Дадим краткую характеристику уровней задач.

1. Стандартные задачи, соответствующие уровню воспроизводящей активности, предполагают воспроизведение определения, понятия, формулировки правила, теоремы, алгоритма, то есть применение знаний по образцу. Это значит: понял, запомнил, воспроизвел.

2. Нестандартные задания, соответствующие уровню интерпретирующей активности, представлены задачами, при выполнении которых учащимся приходится использовать несколько алгоритмов, формул, теорем, анализировать возможные общие пути решения, отыскивать характерные признаки и связи познавательного объекта с другими, то есть узнавать образец. Это значит: понял, запомнил, воспроизвел, применил знания по образцу и в измененной ситуации.

3. Комбинированные задания, соответствующие уровню творческой активности, требуют установить необходимые связи между компонентами знаний, найти выход из нестандартной ситуации. Это значит: овладел знаниями на вариативном уровне и научился переносить их в новые условия.

Таким образом, изучение литературы по проблеме развития познавательной активности подростков с учетом их индивидуальных особенностей и по идеям дифференцированного обучения позволили мне систематизировать личный опыт организации учебного процесса, направленного на развитие познавательной активности учащихся с применением разноуровневых заданий.

Раздел 2.

1 Организация процесса обучения, направленная на развитие познавательной активности учащихся на уроках математики

Каждая из форм обучения входит в общую систему образовательного процесса как составляющая часть, неся в себе определенную дидактическую нагрузку. Одной из главных форм обучения в школе является урок. Структура многих уроков имеет различную степень общности.«Общая дидактическая структура характеризуется следующими компонентами:

- актуализация прежних знаний и способов действий;

- формирование новых знаний и способов действий;

- их применение, то есть формирование умений.»

Рассмотрим основные этапы в организации процесса обучения на уроках математики.

Подготовка к изучению нового материала.

На этом этапе, как правило идет фронтальная работа, в ходе которой учащиеся повторяют основные правила, понятия, определения, алгоритмы, формулы, выполняя стандартные упражнения на применение этих свойств. Активность учащихся поддерживается за счет того, что они могут справиться с заданиями, поскольку применяемый материал им известен. Деятельность школьников носит в этом случае воспроизводящий характер. Внимание учащихся акцентируется на тех сведениях, которые непосредственно будут применяться на этапе изучения нового материала.

Изучение нового материала.

На данном этапе сравниваются и выявляются закономерности рассматриваемых величин, выводятся новые правила, доказываются теоремы и свойства, составляются алгоритмы. Приводятся примеры на непосредственное применение рассмотренных свойств. Показывается «образец» репродуктивного способа действия, деятельность школьников носит воспроизводящий характер. Объяснение нового материала завершается обобщением изученного и формулировкой правил.

Для поддержания познавательной активности школьников на данном этапе возможно использование различных вариантов. Например, создание проблемной ситуации. На первом этапе изучения темы «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями» учащимся предлагается задача. «Доску разрезали на две части. Длина одной части 8/9 м, а длина второй - 19/20 м. Какова длина всей доски? Какая из частей короче и на сколько?» Способ решения школьникам известен и понятен, но им не хватает знаний для выполнения вычислений. Возникает вопрос, как складывать и вычитать дроби с разными знаменателями?

Поставленный вопрос позволяет поддерживать внимание детей, развивать познавательную активность, стимулировать деятельность по выводу правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.

Другой вариант развития познавательной активности применение самостоятельной работы. «Самостоятельная работа - это такой метод обучения, при котором учащиеся по заданию учителя и под его руководством решают учебную задачу, проявляя усилия и активность». При выполнении самостоятельной работы ученик поставлен в такую ситуацию, когда он вынужден решать учебную задачу собственными силами, анализируя текст, сопоставляя различные примеры, объединяя алгоритмы и т.д. Например, при изучении темы «Простые и составные числа» учащимся предлагается самостоятельно поработать с учебником, затем ответить на следующие вопросы, которые могут быть записаны на доске, либо в виде раздаточного материала находиться на столах школьников.

- Среди чисел 5, 1, 9, 6, 24, 17, 18, 7 выбрать те, которые имеют: а) много делителей; б) только два делителя; в) только один делитель?

- Как называется группа чисел, имеющая: а) много делителей; б) только два делителя; в) только один делитель?

- Сколько натуральных чисел можно отнести ни к простым, ни к составным? Почему?

- Почему среди простых чисел только одно четное число?

- Можно ли указать наибольшее и наименьшее простое число?

- Как называется запись 78=2*3*13?

- Любое ли число можно разложить на простые множители?

- Каким образом можно быстро установить является ли число простым?

Обсуждение вопросов первоначально проходит в парах, затем фронтально. Следующий этап - сообщение из истории развития математики, подготовленное одним из учеников, о «Решете Эратосфена». Подготовка индивидуальных сообщений еще один из способов развития познавательной активности.

Первичное закрепление.

На данном этапе учащимся предлагаются стандартные задания, соответствующие первому уровню сложности, выполнение которых требует от учащихся прямого узнавания, понимания и воспроизведения правил, свойств, формул и алгоритмов, полученных при рассмотрении нового материала. Часто данный этап начинается с устных вычислений, но при этом от учащихся требуется обоснование решения со ссылкой на нужное свойство. Часть школьников уже на этапе первичного закрепления достигает базового уровня, хотя это совсем небольшая часть. Для поддержания познавательной активности на данном этапе можно предложить элементы дидактических игр, наглядные пособия, использование технических средств обучения.

Формирование знаний, умений, навыков.

На данном этапе происходит формирование основных знаний, умений, навыков. При этом можно выделить несколько основных моментов.

1. Воспроизводится изученный материал и применяется в стандартных условиях.

2. Происходит коррекция необходимых знаний и умений.

Деятельность учащихся носит в этом случае воспроизводящий характер, при решении задач по образцу на «понял, запомнил, воспроизвел». Например: проверьте, верна ли пропорция 42/3 : 2/3 = 21: 3, используя: а) определение пропорции; б) основное свойство пропорции.

3. Переносятся приобретенные знания в новые или измененные условия, с целью формирования навыка. При этом происходит анализ заданий и способов их выполнения.

4. Выявляются рациональные способы выполнения заданий.

5. Происходит самостоятельное выполнение заданий.

6. Расширяются основные знания за счет дополнительного материала.

7. Происходит внешний контроль и самоконтроль выполнения заданий.

Для отработки данных навыков учащимся предлагаются нестандартные задачи, на «понял, запомнил, воспроизвел, применил знания по образцу и в измененной ситуации». Например: а) Составьте три верных пропорции из чисел 8, 25, 10, 20; б) На координатной прямой отмечены точки Х(-21) и У(12). Точки М и Р лежат на отрезке ХУ. Найдите координаты точек М и Р, если М - середина отрезка ХУ, Р - середина отрезка МУ. При выполнении подобных заданий деятельность учащихся становится реконструктивной и вариативной.

Формирование знаний, умений, навыков происходит у каждого ребенка в его индивидуальном темпе. Поэтому на данном этапе широко применяются разноуровневые задания, подобранные по степени усложнения уровней. Каждый ребенок начинает продвижение по уровням от простого к сложному в «своем» темпе и достигает «своего» уровня.

Например, при формировании знаний, умений, навыков «Нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного натуральных чисел» может быть предложен следующий вид деятельности.

* Первый шаг. Фронтальная работа по воспроизведению основных определений и алгоритмов.

* Второй шаг. «Сильные и средние» школьники (назовем их первая группа) выполняют самостоятельную работу. С остальной частью класса (второй группой) выполняются задания с подробным разбором, что позволяет им корректировать свои знания и формировать навык работы по алгоритму.

* Следующий шаг. Вторая группа выходит на самостоятельную работу. Учитель начинает работать с первой группой. Проверяется правильность выполнения заданий самостоятельной работы. Варианты проверки могут быть такими: проверка по готовому решению или ответам, записанным на доске; индивидуальная проверка, с оказанием посильной помощи; проверка в парах. Те учащиеся, которые полностью и верно справились с заданием, объединяются в группу и им предлагается ознакомиться с дополнительным материалом по нахождению НОД и НОК натуральных чисел - «Алгоритмом Евклида»

Групповая работа по определению Х.Й.Лейметса «такое построение работы, где класс делится для выполнения того или иного задания на группы по 3-8 человек - чаще всего по 4 человека». [7;40] Групповая работа регулирует сотрудничество учащихся, выполняя дидактические и воспитательные цели, дает много возможностей для индивидуализации, особенно в том случае, когда группы составлены из схожих по какому-либо признаку учащихся.

Школьники, получившие индивидуальную помощь, продолжают работу, а учитель возвращается ко второй группе. Идет проверка выполнения заданий, предложенных данной группе учащихся. Тем, кто справляется успешно с работой, предлагается перейти к выполнению заданий следующего уровня сложности, с остальными продолжается работа по формированию первичных умений и навыков.

Применение разноуровневых заданий, работа в парах, контроль в парах и самоконтроль, оказание посильной помощи со стороны учителя или одноклассников, привлечение дополнительного материала и наглядности позволяет поддерживать познавательную активность школьников на должной высоте и позволяет дает им возможность продвижения по уровням в индивидуальном темпе.

Повторение, обобщение, систематизация знаний.

Без этапа повторения и систематизации знаний нельзя считать завершенным процесс усвоения учащимися учебного материала. На данном этапе выделяются наиболее общие и существенные понятия, законы и закономерности, основные теории и ведущие идеи, устанавливаются причинно-следственные связи и другие связи между важнейшими явлениями, процессами.

На данном этапе деятельность происходит от восприятия, осмысления и обобщения фактов к формированию понятий, от них к усвоению более сложных систем знаний. Например, при обобщении темы «Делители и кратные. Признаки делимости на 2,5,10,3,9» учащимся предлагается в ходе фронтальной работы заполнить таблицу. Поставленная перед ними задача позволяет поддерживать познавательную активность на протяжении всей работы.

Основные понятия

Основные закономерности, свойства

Дополнительный материал

Применение

Делители, кратные

Делители ≤ кратным, делителей конечное число, а кратных бесконечно много

Нахождение НОД и НОК

Делимость на 2,5,10

По последней цифре; делится на 2, значит число четное; делится на 10 => делится на2 и5,и т.д.

Разложение на множители, нахождение общих знаменателей и дополнительных множителей

По двум последним цифрам

Делимость на 4 и25

Например, решение олимпиадных задач

Делимость на 3 и 9

По сумме цифр и т.д.

Разложение на множители, нахождение общих знаменателей и дополнительных множителей

Число справа налево делится на группы по три цифры. Четные группы складываются и из них вычитаются нечетные. Если результат делится на 7,11,13, то делится и данное число

Делимость на 7,11,13

Задания повышенной сложности

Контрольная работа по уровням.

Контрольные работы по уровням составляются таким образом, чтобы задания этих работ отражали все уровни и позволяли проверить степень усвоения учащимися учебного материала. Первое и второе задания предполагают прямое воспроизведение изученного материала, что позволяет говорить о сформированности у учащихся системы качеств знаний на воспроизводящем (репродуктивном) уровне. Реконструктивному уровню соответствует третье и четвертое задания, при выполнении которых школьники должны осуществить перенос имеющихся знаний в измененную ситуацию. При выполнении пятого задания (творческого, вариативного уровня) дети должны самостоятельно найти выход из нестандартной ситуации. «Главное при составлении таких заданий - это правильный подбор вопросов, заданий из разных тем курса так, чтобы они подходили к одному и тому же содержанию.»

2 Реализация процесса применения разноуровневых заданий при обучении математике на примере темы «Делимость чисел» 5 класс

3. Логико-дидактический анализ темы «Делимость чисел»

Применение разноуровневых заданий на уроках математики хочу показать на примере темы «Делимость натуральных чисел » 6 класса. Сначала проанализирую содержание и роль данной темы в курсе математики 6 класса с тем, чтобы выделить основной и второстепенный материал и, исходя из этого, выполнить подборку заданий разных уровней, обеспечивающих учащимся достижения базового уровня и позволяющих выйти им за пределы программного уровня. На данную тему отводится 17 часов учебного времени. Немного, но тема имеет важное дидактическое значение, поскольку является основой для успешного изучения и овладения вычислительными навыками при работе с обыкновенными дробями. Операции с обыкновенными дробями пронизывают все темы школьного курса математики и смежных дисциплин, прежде всего физики и химии. Поэтому важно сформировать у учащихся прочные знания, умения и навыки работы с обыкновенными дробями в рамках программы. В то же время дать возможность интересующимся математикой школьникам расширить знания, выходя за пределы школьной программы.

Делимость чисел

№ урока

Тема

Основной материал

Дополнительный материал

Навыки, умения

1-2

Делители и кратные

Понятие делителя и кратного; способы нахождения; сравнение; аналогия кратного с делителем; свойства конечности и бесконечности количеств делителей и кратных

Уметь находить все делители, указывать наибольший и наименьший; находить кратные, указывать наименьшее

3-5

Признаки делимости на 2,5,10

Вывод правила деления на 2,6,10; понятия четности- нечетности натуральных чисел

Четность и делимость суммы и произведения; делимость на 2^п и 25^п

Уметь определять делимость и четность по последней цифре; применять при решении задач

6-8

Признаки делимости на 3 и 9

Вывод правила деления на 3и9

Признаки делимости на 7,11,13

Уметь определять делимость по сумме цифр

9-10

Простые и составные числа

Определение простых и составных чисел; единственность четного простого числа; особенность единицы

Свойства совершенных чисел; решето Эратосфена

Уметь определять простые числа с помощью признаков делимости и таблицы простых чисел

11-12

Разложение на простые множители

Понятие разложения на множители; способы разложения на простые множители

Уметь раскладывать число на простые множители пользуясь признаками делимости и таблицей простых чисел

13-16

НОД и НОК натуральных чисел

Определение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного; вывод алгоритмов

Алгоритм Евклида на вычитание и деление

Уметь пользоваться общим алгоритмом

17

Контрольная работа

Проверка знаний, умений, навыков

4. Организация процесса обучения на примере темы «Простые и составные числа»

Организацию процесса обучения в соответствии с выделенными этапами покажу на примере темы «Простые и составные числа».

Этапы обучения

Содержание

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Уровни задач

Формы

Методы

1.Подготовка к изучению нового материала.

Повторение понятий делители и кратные, признаков делимости.

Организует повторение материала.

Воспроизводящая: дают определения, формулируют признаки делимости, решают задачи.

Стандартные, аналогичные

Фронтальная работа.

Беседа, устный счет.

Задача: найдите все делители чисел 6 и 28 и сумму делителей каждого числа.

Предлагает найти закономерность.

Задает вопрос. Знают ли дети как называются такие числа?

Предлагает послушать сообщение одноклассника, затем дать ответ на поставленный вопрос.

Анализируют, находят закономерность: сумма делителей равна самому числу.

Слушают, отвечают на вопрос.

Сообщение одного из учеников

2. Изучение нового материала.

Определение простых и составных чисел; единственность четного простого числа; особенность единицы

Организует учащихся на самостоятельную с учебником, работу в парах.

Предлагает вопросы, на которые дети должны дать ответ после изучения темы.

Работают самостоятельно, изучая п4.

Отвечают на поставленные вопросы сначала индивидуально, затем в парах. Более сильный в паре помогает однокласснику.

Затем идет фронтальное обсуждениематериала

Деятельность ученика конструктивная

Вопросы

Индивидуальная, групповая

Беседа

Исторический материал «Решето Эратосфена»

Организует на прослушивание сообщения.

Предлагает продолжить «Решето Эратосфена» от 60 до 80

Слушают,

просевают числа от 60 до 80

Нестандартные.

Индивидуальная.

Сообщение одного из учеников

Обобщает изученное.

Формулируют определения, называют свойства простых и составных чисел

Фронтальная

3. Первичное закрепление

Задачи на прямое применение определения простых и составных чисел и таблицы простых чисел.

Организует на выполнение устной работы

Воспроизводят определения, применяют таблицу простых чисел, признаки делимости.

Стандартные, №№ 93, 94, 95, 99 учебного пособия

Фронтальная

Устный счет

4. Формирование знаний, умений, навыков.

Задачи, направленные на формирование знаний, умений, отработку навыков применения свойств простых чисел в стандартных и измененных условиях.

Организует: 1. фронтальную работу по решению задач на прямое применение правил; 2.более успешных выводит на самостоятельную работу; 3. организует проверку выполнения заданий; 4.дает индивидуальную помощь

Выполняют устные задания, делая ссылки на необходимые правила.

Выполняют самостоятельную работу, при необходимости обращаются за консультацией.

Отрабатываю первичные навыки, корректируют знания.

Выполняют самоконтроль.

Задания всех уровней, аналогичные, тем что в

Фронтальная, индивидуальная, групповая

Обсуждение, беседа, устный счет, самостоятельная работа

5. Повторение , обобщение, систематизация

Обобщение свойств простых и составных чисел, способы нахождения и проверки, применение при решении нестандартных задач

Организует детей на работу по заполнению таблицы свойств простых и составных чисел

Заполняют таблицу аналогичную описанной в п. 2.2.1.

Индивидуальная и

фронтальная

6. Самостоятельная работа по уровням

Задачи, составленные по трем уровням сложности.

Организует учащихся на выполнение работы.

Выполняют работу, выбирая уровень индивидуально.

Стандартные, нестандартные, комбинированные

Индивидуальная

Письменная самостоятельная работа

7.Анализ самостоятельной работы

1.Учащимся, верно выполнившим работу, предлагает задачи повышенной сложности.

2.Остальных организует на выполнение работы над ошибками.

1.Решают задачи, при желании могут объединиться в группы.

2.Выполняют работу над ошибками с разбором.

3. Решают самостоятельно аналогичные задачи.

Нестандартные

Стандартные, аналогичные разобранным.

Индивидуальная, групповая.

Фронтальная

Письменно.

Устные упражнения

Приложения

Приложение 1.

НОД и НОК натуральных чисел.

1. Найдите наибольший общий делитель чисел

а) 144 и 300; б) 161 и 350

а) 241 и 723; б) 48, 108 и 144

2. Найдите наименьшее общее кратное чисел

а) 32 и 48; б) 100 и 189

а) 35 и 132; б) трех наименьших двузначных чисел, кратных 5.

3. Из чисел 33, 105 и 128 выберите все пары взаимно простых чисел

3. Придумайте составное число, которое было бы взаимно простым с каждым из чисел 34, 77 и 195

Приложение 2.

Алгоритм Евклида.

Алгоритм Евклида - это очень простой и эффективный способ нахождения НОД.

Алгоритм Евклида с вычитанием. Пусть даны два числа. Большее из них заменим разностью этих чисел. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не останется одно ненулевое число. Это и будет НОД исходных чисел. Пример: НОД(420;150) = НОД(270;150) = НОД(120;150) = НОД(120;30) = НОД(90;30) = НОД(60;30) = НОД(30;30) = 30

Алгоритм Евклида с делением. Пусть даны два числа. Большее из них заменим остатком от деления на меньшее. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не останется одно ненулевое число. Это и будет НОД исходных чисел. Пример: даны числа 420 и150;

420: 150 = 2(ост.120);

150: 120 = 1(ост.30);

120: 30 = 4(ост. 0);

НОД(420;150) - 30 (14; 11)

Задачи. Найдите НОД, используя алгоритм Евклида: а) НОД(451;287); б) НОД(469459;519203); в) НОД(42628;33124)

Приложение 3.

Пример контрольной работы по теме «Делимость чисел»

№1. Разложите на простые множители числа: а) 870; б) 792.

№2. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел: а) 27 и 36; б) 26 и 33.

№3. Составьте из цифр 0, 1, 3, 6 пару трехзначных простых чисел (цифры в одном числе не должны повторяться). Ответ обоснуйте.

№4. Найдите значение выражения и выпишите все делители этого числа:

№5.Замените звездочки цифрами так, чтобы число *32* делилось на 30. Укажите все возможные решения.(3;15)

Приложение 4.

Примеры разноуровневых задач по теме «Делимость чисел»

4. Делители и кратные.

1уровень.

1. Проверьте, что: а) число 14 является делителем числа 518; б) число 1024 кратно числу 32.

2. Среди данных чисел 4, 6, 24, 30, 40, 120 выберите:

а) те, которые делятся на 4;

б) те, на которые делится число 72;

в) делители 90;

г) кратные 24.

3. Найдите все значения х, которые кратны 15 и удовлетворяют неравенству х < 75.

2 уровень.

1. Назовите :

а) все делители числа 16;

б) три числа, кратных 16

2. Среди данных чисел 5, 7, 35, 105, 150, 175 выберите:

а) делители 300;

б) кратные 7;

в) числа, не являющиеся делителями 175;

г) числа, не кратные 5.

3. Найдите все числа, кратные 20 и составляющие менее 345% этого числа.

3 уровень.

1. даны числа 13 и 3965.

а) Какое из двух чисел является делителем другого? Найдите еще три делителя этого числа.

б) Какое из двух чисел кратно другому? Назовите еще три числа, кратных этому числу.

2. Среди данных чисел 7, 21, 28, 63, 147, 189 выберите:

а) числа, имеющие меньше шести делителей;

б) числа, кратные 21;

в) число, имеющее наибольшее количество делителей среди данных чисел;

г) число, имеющее наибольшее количество кратных среди данных чисел.

3. Найдите наибольшее трехзначное число, кратное 94.(3;4)

4. Простые и составные числа.

1 уровень.

1. Докажите, что числа 695 и 2907 являются составными.

2. Запишите все делители числа 66. подчеркните те из них, которые являются простыми числами.

3. Может ли разность двух простых чисел являться простым числом? Ответ подтвердите примером.(3;10)

2 уровень.

1.Замените звездочку цифрой так, чтобы полученное число было:

а) простым: 5*;

б) составным: 1*7.

2. Может ли разность двух составных чисел быть простым числом? Ответ подтвердите примером.

3. Выпишите все числа от 1 до 50, представляющие собой произведение двух различных простых чисел. (15;14)

3 уровень.

1. Представьте число 72 в виде:

а) суммы двух простых чисел;

б) в виде суммы трех различных составных чисел.

2. В семье шестеро детей, причем возраст каждого ребенка в годах выражается простым числом. Пятеро из них на 2, 6, 8, 12 и 14 лет старше самого младшего. Сколько лет старшему ребенку?

3. Число 17 - сумма четырех простых чисел. Найдите произведение этих чисел. (15;15)

Приложение 5

Сообщение о совершенных числах.

Пифагор(6 в. до н.э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они назвали совершенным. Например, число 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7+ 14) совершенные. Следующие совершенные числа 496, 8 128, 33 550 336. пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвертое - 8 128 - стало известно в 1в.н.э. пятое- 33 550 336 - было найдено в 15 в. К 1983г. Было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор ученые не знают, есть ли нечетные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.

Приложение 6

Сообщение «Решето Эратосфена».

Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т.е. простые числа - это как бы кирпичики, из которых строятся остальные числа. В ряду натуральных чисел простые встречаются неравномерно, в одних частях ряда их больше, в других меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: существует ли последнее простое число.

Древнегреческий математик Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много.

Эратосфен, тоже греческий математик, для отыскания простых чисел придумал такой способ. Он записывал все числа от 1 до какого-то числа, а потом вычеркивал 1, которая не являлась ни простым, ни составным числом, затем вычеркивал через одно все числа , идущие после 2 (числа, кратные 2, т.е.4, 6, 8, 10 и тд.). первым оставшимся числом после 2 было 3. далее вычеркивались через два все числа, идущие после 3 (кратные 3, т.е. 6, 9, 12 и тд.). В конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа.

Так как греки делали записи на покрытых воском табличках, а числа выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминала решето. Поэтому способ, предложенный Эратосфеном называют решетом Эратосфена, в этом решете «отсеиваются» простые числа от составных.

Приложение 7.

Вопросы для самостоятельной работы по теме «Простые и составные числа».

- Среди чисел 5, 1, 9, 6, 24, 17, 18, 7 выбрать те, которые имеют: а) много делителей; б) только два делителя; в) только один делитель?

- Как называется группа чисел, имеющая: а) много делителей; б) только два делителя; в) только один делитель?

- Сколько натуральных чисел можно отнести ни к простым, ни к составным? Почему?

- Почему среди простых чисел только одно четное число?

- Можно ли указать наибольшее и наименьшее простое число?

- Как называется запись 78=2*3*13?

- Любое ли число можно разложить на простые множители?

- Каким образом можно быстро установить является ли число простым?

Применение разноуровневых задач в процессе обучения математики является эффективным способом обучения учащихся математической грамотности. При составлении рабочих листов учитель учитывает уровень успеваемости класса, индивидуальные способности каждого учащегося, подбирает задания разного уровня, включая нестандартные задания, проверяется качество знаний каждого учащегося класса.

Рабочий лист по математике «____»______________

Тема урока « Логарифм и его свойства»

Ф.И учащегося_________________________________________ Класс____________

Уровень 1 № 1.

Записать свойства логарифмов.

1)__________________________________________________________________________

2)__________________________________________________________________________

3)__________________________________________________________________________

4)__________________________________________________________________________

5)___________________________________________________________________________

6)___________________________________________________________________________

№ 2. Вычислите:

1)log₂16=_____2) log_1/39=______3) log₂₃1=________4) log_0,20,04=________

5) log₃1/81=_______6) log₅1/125=_______7) log₄64=_________8) log₉1=_____

№ 3.Запишите показательные равенства в виде логарифмических:

1)3⁶=729___________________________2) 4⁵=1024__________________________

3) 10⁴=10000________________________4)(1/2)⁵=1/32________________________

5) (2/3)³=8/27________________________6) 10^-3=0,001_______________________

Уровень 2. № 4.Напишите логарифмические равенства в виде показательных:

1. log₂64=6_____________________2) log₃81=4_____________________

3. log₅125=3____________________4) log₁₀ 100000=5________________

5. log₁₀0,01=-2__________________5) log _3/427/64=3_________________

№ 5.Вычислите:

1)log₅22- log₅11- log₅10=_____________________________________________

__________________________________________________________________

2)log₂7-log₂63+log₂36=_______________________________________________

__________________________________________________________________

3)log₃8- log₃4+ log₃9/2=______________________________________________

__________________________________________________________________

4)log₇64- log₇256+ log₇28=___________________________________________

_________________________________________________________________

5) (3log72 - log724) : (log73 - log79)=__________________________________

__________________________________________________________________

6) log ₃9+ log₃3+ log ₃81=_______________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Уровень 3. № 6. Самостоятельная работа

1. Найдите логарифм числа 8 по основанию 2. ___________________________________

2.Найдите логарифм числа 1/ 27 по основанию 3. _________________________________

3. Найдите логарифм числа 81 по основанию 3.___________________________________

4. Найдите значение выражения: log₂16 + log₂2____________________________________

5. Найдите значение выражения: log₂36 + log₂4____________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Разноуровневые задания для учащихся 5 класса.

Тема: « Правильные и неправильные дроби»

Уровень 1.Выписать в таблицу все дроби вида , если

7<x<11 и 20<y<24

Ответ:

Уровень 2.

Заполнить таблицу, заменив звездочки таким образом, чтобы дроби были правильными?

Ответ :

Уровень 3.

Заполнить таблицу, заменив звездочки таким образом, чтобы дроби были неправильными?

Литература

1. Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений /(Н.Я. Виленкип и др.).- 20-е изд., стар. - М. : Мнемозина, 2007.

2. Гузеев В.В. Образовательная технология: от приема до философии - М. 1996.

3. Ершова А.И. и др. Самостоятельные и контрольные работы по математике для 6 класса.- 4-е изд., испр. - М.: Илекса, - 2006.

4. Инт И. Индивидуализация и дифференциация обучения. - М.: Педагогика, 1990.

5. Кулагина И.Ю. Возрастная психология. Развитие ребенка от рождения до 17 лет. - М.: УРИО, 1999.

6. Лебедев Г.М. формирование потребности в знаниях у учащихся. -Л.: Знание,1973.

7. Лейтес Н.С. Умственные способности и возраст. - М.: Педагогика, 1971.

8. Лушников И.Д. идр. Уроки развития индивидуальных творческих способностей учащихся / Под редакцией И.Д.Лушникова, д.п.н., прф. кафедры педагогики ВИРО.- Вологда: Изд. центр ВИРО, 2004.

9. Манвелов С.Г. Конструирование современного урока математики. Кн.для учителя / С.Г.Манвелов, - М.: Просвещение, 2002.

10. Немов Р.С. Психология. Кн.2 - М.: Владос, 1998.

11. Нечаев М.П. Разноуровневый контроль знаний по математике. Практические материалы: 5-11 кл. - 2-е изд.- М. «5за знания», 2007

12. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика 5-11 кл. / сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г.Миндюк. - 4-е изд, стереотип. - М.: Дрофа, 2004.

13. Селевко Г.Н. Современные образовательные технологии. - М.: Народное образование, 1998.

14. Смыкалова Е.В. Дополнительные главы по математике для учащихся 6 класса. СПб: СМИО. Пресс, 2008.

15. Смыкалова Е.В. сборник задач для учащихся 6 класса. СПб: СМИО. Пресс, 2007.

16.УшиескийК.Д. Избранные сочинения. Педагогика.-М.:Просвещение,1968

17. Харламов Ф.И. Активизация учения школьников. -Минск :Нар. Асвета,1990

18. Шамова Т.И. Управление образовательным процессом в адаптивной школе.- М.: Центр Педагогический поиск.

19. Щукина Г.И. Активизация познавательной деятельности учащихся в учебном процессе. - М.: Педагогика, 1979.