Проект по математике на тему Математические принципы построения орнаментов

Учебно-воспитательный комплекс «Арман»

Анощенко Камилла,

Кадырова Мадина.

Ученицы 10 класса.

Математические принципы построения орнаментов (на примере казахского народного орнамента)

Направление: Математическое моделирование экономических и социальных процессов.

Секция: математика.

Руководитель: Кагирова Данекер Темиржановна.

Алматы, 2015 г

Математические принципы построения орнаментов (на примере казахского народного орнамента)

Содержание

Аннотация ...........................................................................................

Введение ..............................................................................................

Глава 1. Математические принципы построения базовых элементов орнамента на плоскости ..........................................................

1.1 Понятие орнамента и математическая классификация элементов орнамента ..................................................................................

1.2 Уравнения орнаментов .................................................................

1.3 Геометрические преобразования при построении структуры орнаментальной композиции на плоскости .............................................

1.3.1 Сетчатый орнамент ....................................................................

1.3.2. Линейный орнамент .................................................................

1.3.3 Центрический орнамент ............................................................

Глава 2. Использование «Золотого сечения» в орнаментах ..........

2.1 Понятия «Золотое сечение» и «Золотая спираль» ....................

2.2 Применение «Золотого сечения» при построении орнамента..

Глава 3. Практическая работа. Построение орнаментальной композиции для казахского ковра .............................................................

Заключение ..........................................................................................

Список литературы .............................................................................

Приложения .........................................................................................

3

4

6

6

9

13

13

15

16

18

18

20

23

25

26

27

АННОТАЦИЯ

Целью данной исследовательской работы является определение некоторых методов построения элементов орнамента и орнаментальных композиций на основе различных математических подходов с применением компьютерных программ.

Достижение этой цели включает в себя решение следующих задач: проведение анализа и обобщения литературных источников по теме; выделение типов элементов орнамента на основе математического описания; определение метода построения орнамента на основе подбора уравнений геометрических линий; разработка алгоритмов построения композиций орнаментов с применением параллельного переноса, поворота и симметрии элементов орнамента; исследование возможностей применения «Золотого сечения» в орнаментальном искусстве; применение инструментария графических программ в проектировании орнаментов; использование полученных методов в практической работе.

Объектом исследования является орнаментальное творчество человека. Предметом исследования выступают математические принципы построения орнаментов, основанные на учениях о геометрических линиях, симметрии и пропорциях.

Гипотеза: построение орнамента подчиняется математическим законам, выявление этих законов позволяет упростить и расширить возможности построения орнаментов с помощью компьютерных технологий.

Методы исследования: изучение научной и учебной литературы по теме исследования; анализ результатов, полученных разными авторами; их систематизация; структурный анализ орнамента, измерительно-проектные работы и математические расчеты, опрос и анкетирование.

Результаты работы: рассмотрены некоторые математические методы построения орнаментов: составлена математическая классификация элементов орнаментов (4 вида), основанная на различных видах алгебраических линий; приведены основные уравнения, описывающие эти линии (кривые n-го порядка); по трем видам структуры орнаментальной композиции, основанных на геометрических преобразованиях, составлены алгоритмы построения орнамента на плоскости; выявлены способы применения пропорций Золотого сечения при построении элементов орнамента; на основе полученных результатов выполнена практическая работа по построению орнаментальной композиции для казахского национального ковра.

Материалы исследования могут быть полезны дизайнерам для создания орнаментов с использованием графических редакторов, также учащимся школ для повышения интереса к математике и формирования у них представления о прикладных возможностях математики.

Введение.

Орнамент (от латинского ornamentum - украшение) - это узор, состоящий из ритмически упорядоченных элементов, для украшения каких-либо предметов или архитектурных сооружений. Как сказал известный во всем мире математик Г. Вейль, «Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнюю часть известной нам высшей математики» [1].

Орнаментальное искусство развивалось на протяжении тысячелетий в строгом соответствии с эстетическими вкусами общества и издавна является предметом творческого изучения. Орнамент - это особый вид художественного творчества, который, украшает собой ту или иную вещь и использует различные выразительные средства, среди которых «…цвет, фактура и математические основы орнаментальной композиции - ритм, симметрия; графическая экспрессия орнаментальных линий, их упругость и подвижность, гибкость или угловатость...» [2].

В настоящее время орнаментирование входит важной составной частью в создание большого числа изделий, выполняемых в разных отраслях промышленности, в разной технике и на самых разных материалах. Орнаментами покрываются панели и некоторые фрагменты зданий, монументальных сооружений и мебели, орнамент широко используется в оформлении интерьеров, предметов быта, книжной, журнальной и газетной продукции и упаковки; орнаментируются ткани, большинство ковров представляют собой сложные орнаментальные композиции, денежные купюры всех стран имеют сложнейшее орнаментальное покрытие. Орнаментальные фрагменты входят в государственную символику многих стран, а также украшает рекламу всех видов.

Восхищаясь красотой орнаментов, мы не часто задумываемся о роли математики в создании этих произведений. Между тем сочетание таланта мастера и его математических знаний занимает важное место в орнаментальном искусстве. В основе любого орнамента лежит строгость организации формы, простая или усложненная система повторов, узор, который строится, как правило, по законам математики.

По мере развития науки, техники, технологий производства формируются новые требования к дизайну: машинное орнаментирование изделий, которое подразумевает генерирование орнамента (компьютерный синтез) и автоматизированное воспроизведение. Отсюда следует необходимость систематического описания, соответствующей классификации, формирования информационной базы данных народных орнаментов, характерных для выбранного региона или этноса [3]. Математически "правильный" орнамент может быть развит из его базового элемента, может быть восстановлен по небольшому фрагменту, где прослеживается неизменный закон его строения. Компьютерные технологии при использовании типовых команд графических программ типа CorelDRAW позволяют получать широкое разнообразие графических образов вариантов при простоте сохранения образцов.

Математические основы орнаментальной композиции в явном виде присутствуют и в казахском национальном орнаменте. Орнамент в культуре Казахстана издревле составлял основу художественного восприятия мира казахского народа, в котором строго соблюдаются принципы симметрии и композиции ритма.

Таким образом, актуальность темы обусловлена постоянным расширением сфер применения орнаментального искусства в современном мире, появлением новых требований к дизайну в связи с развитием информационных технологий.

Перед собой мы поставили следующую задачу: на основе математических принципов выявить основные виды орнамента и разработать алгоритмы по их построению, а также апробировать их на практике посредством графических редакторов. В исследовании применили следующие общие методы:

1. Изучение и анализ теоретических сведений по данному вопросу: работа с учебной и научно-популярной литературой, поиск информации в Интернете.

2. Наблюдение, сравнение, сопоставление, анализ, аналогия.

3. Измерительные работы и расчеты, анализ полученных результатов.

4. Опрос, анкетирование.

Основное содержание работы распределено по 3 главам. В первой главе теоретический анализ литературы позволил выделить 4 основные группы элементов орнамента, основанных на геометрических различиях линий, лежащих в основе элемента. По каждой группе определены основные виды математических уравнений, описывающих эти линии. Также математически обоснованы структурные строения трех видов орнамента по видам геометрических преобразований: линейного, сетчатого и центрического, и определены алгоритмы построения этих орнаментов.

Во второй главе структурный анализ элементов орнамента позволил выявить возможности применения пропорций Золотого сечения: использование «Золотого прямоугольника» и «Золотой спирали» в построении элементов казахского орнамента.

В третьей главе выполнена практическая работа. Мы разработали проект и построили орнаментальную композицию для казахского национального ковра с использованием результатов исследования.

Результаты исследования могут быть использованы художниками-дизайнерами для построения орнаментальных композиций: отдельные элементы и фрагменты орнаментов можно создавать путем подбора уравнений линий или построением в графическом редакторе с применением пропорций Золотого сечения, а всю композицию - по предложенным алгоритмам. При этом путем перебора различных типов композиционных решений можно создавать новые узоры, что позволяет расширить выбор орнаментальных решений.

Данный материал также можно использовать в школе для привития интереса учащихся к математике и формирования у них представления о прикладных возможностях математики.

Глава 1. Математические принципы построения базовых элементов орнамента на плоскости

1.1 Понятие орнамента и различные классификации орнаментов.

Возникновение орнаментики относится ко времени глубокой древности, так как стремление человека украшать появилось уже на начальных этапах развития культуры и встречается в примитивном виде у древнейших народов нашей планеты.

В последующие эпохи орнамент выступает в неразрывной связи с другими видами искусства: служит для украшения различных предметов (утварь, орудия и оружие, текстильные изделия, мебель, книги и так далее), архитектурных сооружений (как извне, так и в интерьере), произведений прикладных искусств, у первобытных народов также самого человеческого тела (раскраска, татуировка).

В настоящее время существуют различные классификации орнаментов. Рассмотрим классификации отдельных элементов орнамента без рассмотрения структуры орнаментальной композиции. Орнаментальные формы чаще всего объединяют в следующие группы, или виды орнаментов [4]: технический, символический, геометрический, растительный, каллиграфический, фантастический, астральный, пейзажный и предметный. Здесь за основные классификационные признаки орнамента приняты его происхождение, назначение и содержание.

Народный орнамент в культурном наследии Казахстана также занимает почетное место и вопросами научного обоснования казахских орнаментов специалисты занимаются издавна. Труды ученых, изучавших орнаменты и узоры, объединены в энциклопедии М.Ш. Омирбекова «Казахские орнаменты» [5], в которую вошли более двух тысяч орнаментов прошлых и современных видов.

В казахском орнаменте издревле преобладали мотивы животноводства, охоты и кочевья. Особенностью национального орнамента является преобладание элементов рогообразных рисунков, особенно бараньих рогов [6].

Рисунок 1На сегодняшний день наиболее распространена классификация казахского орнамента, содержащая четыре основные группы орнаментов:

- флористическая (растительный мир);

- зооморфическая (животный мир);

- геометрическая (геометрические фигуры);

- космогоническая (астрало).

Все эти классификации содержат в себе семантическую составляющую. В целях дальнейшего рассмотрения математических принципов построения орнамента, отвлечемся от конкретного предметного содержания орнамента и используем классификацию, основанную на геометрических признаках. То есть мы будем рассматривать только абстрактные формы элементов орнаментов.

Искусствовед К.Ибраева [7] выделяет три крупных группы орнаментов, каждая из которых характеризуется определенными приемами формообразования элементов и мотивов:

1-й тип состоит из прямых и ломаных линий, простейших геометрических фигур и несложных их комбинаций.

2-й тип. Преобладание криволинейных форм с загнутыми или спирально закрученными окончаниями.

3-й тип. Ряд геометрических мотивов сложной конфигурации - многоугольники, ступенчатые ромбы, звездообразные фигуры, розетки и кресты усложненной формы.

В этом делении орнаментов на типы нет ясно определенного признака классификации. В 1-ом и 3-ем типах нет четкого разграничения определений «несложной» и «усложненной» формы, поэтому могут быть формы, которые будут попадать в оба типа.

Характер очертаний любой формы точно передает линия, которая является основным формообразующим элементом. Л.В.Фокина выделяет три вида линий, которые имеют свои отличительные характеристики [4]:

• прямые - отрезки вертикальные, горизонтальные, наклонные.

• кривые - с постоянным радиусом кривизны - окружности и их дуги;

• кривые - с переменным радиусом кривизны - параболы, гиперболы и др.

Эти линии являются первичными элементами для всех орнаментальных образований. На основе применения этих видов линий, определим следующую классификацию орнаментов:

1. Орнаменты, построенные с помощью отрезков прямых.

Линия, или лента, широко используется в орнаменте. Это может быть зигзаг, или ломаная линия, меандр (ломаная под прямым углом линия), прямоугольник, ромб, правильный многоугольник, крест и др.

Рисунок 2

2. Орнаменты, построенные с помощью кривых с постоянным радиусом кривизны (окружности и их дуги).

Окружность считается одной из самых совершенных и законченных форм. Она используется и как собственно орнаментальный элемент, например на кипрской керамике, и для ограничения поверхности, включающей в себя другие мотивы, как на японских гербах. В орнаментах используются все составляющие окружности и круга: дуга, сегмент, сектор, кольцо и др.

В казахском орнаменте также используются элементы, построенные с помощью окружностей и их составляющих. Например, элемент казахского орнамента «Қайнар» - «Родничок» состоит из трёх дуг окружностей разного

Рисунок 3

радиуса, также орнамент «Қошқар мүйіз» - «Бараньи рога» имеет в составе по три различных дуги с каждой стороны (рис.3) [8].

3. Орнаменты, построенные с помощью кривых с переменным радиусом кривизны.

Это могут быть эллипсы (за исключением окружности), параболы, гиперболы и т.д.

Рисунок 5

Рисунок 4Определим понятие радиуса кривизны кривой. Кривизна является одной из важных характеристик кривой и определяет меру ее изогнутости [9]. Рассмотрим на кривой точки M и M₁ рис.(5). Проведем в этих точках касательные к кривой. При переходе по кривой из точки M в точку M₁ касательная поворачивается на угол ∆ϕ, который называется углом смежности. Отношение угла смежности дуги к ее длине называется средней кривизной дуги: =. Средняя кривизна характеризует среднюю изогнутость кривой на всей дуге, чем больше значение _ср, тем более изогнута кривая. Радиусом кривизны R в данной точке кривой называется величина, обратная кривизне K:

R = .

Если кривизна кривой изменяется при переходе от данной ее точки к другой, то и радиус кривизны является переменной величиной.

Рисунок 7

Рисунок 6

В графическом редакторе CorelDraw можно создавать в интерактивном режиме различные кривые с помощью инструментов «Свободная форма» и «Кривая Безье» [10]. Метод построения кривой Безье основан на использовании пары касательных, проведенных к линии в точках ее окончания. Например, в графическом редакторе мы построили элемент казахского орнамента «Сыңар мүйіз» - «Один рог» (рис.6), состоящий из отрезков и двух линий с переменным радиусом кривизны.

4. Орнаменты, состоящие из комбинации линий разных типов (линий 1, 2, и 3-го типов).

Орнамент может состоять из сочетания различных линий или фигурных элементов в одном мотиве: отрезков прямых линий и различных кривых, как в двух последних примерах: «Один рог» и «Бараньи рога»

1.2 Уравнения орнаментов

Составление уравнения, в точности описывающего произвольную кривую орнамента представляет собой сложную математическую задачу. Поэтому мы используем компьютерные программы для подбора подходящих уравнений для некоторых кривых, описывающих основные линии орнаментов. Для этого надо знать основные виды уравнений, описывающих различные кривые.

Рассмотрим подробнее линии, лежащие в основе математической классификации орнаментов. В аналитической геометрии линия на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y)=0. При этом на функцию F должны быть наложены ограничения так, чтобы, с одной стороны, это уравнение имело бесконечное множество решений и, с другой стороны, чтобы это множество решений не заполняло "куска плоскости".

Важный класс линий составляют те, для которых функция F(x,y) есть многочлен от двух переменных, в этом случае линия, определяемая уравнением F(x,y)=0, называется алгебраической. Прямые являются алгебраическими линиями, задаваемые уравнением первой степени. Уравнение второй степени, имеющее бесконечное множество решений, определяет эллипс, гиперболу, параболу или линию, распадающуюся на две прямые.

Примеры кривых, задаваемых уравнениями 3-ей степени: кубическая парабола, циссоида и др. Отличительная особенность кривых 3-ей степени состоит в том, что они могут иметь точку перегиба. Например, мы знакомы с графиком функции у = х³, эта кубическая парабола имеет перегиб, который происходит в начале координат. Кривые третьего порядка хорошо соответствуют тем линиям, которые мы наблюдаем в орнаменте. Все прямые и кривые второго порядка являются частными случаями кривых третьего порядка.

Кривые Безье в векторных редакторах применяют особый, упрощенный вид кривых третьего порядка (рис.8).

Рисунок 8Среди кривых, определяемых уравнениями более высоких степеней, также много интересных линий, они рассматриваются в алгебраической геометрии [11].

Рассмотрим формулы некоторых простых кривых в различных видах и в различных системах координат.

1. Нам известен вид уравнения прямой y=kx+b , который называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k. В аналитической геометрии общее уравнение прямой в декартовой системе координат имеет вид: Ax+By+C=0, где A, B и C - коэффициенты. При этом коэффициенты А, В одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл.

Например, уравнение прямой y=3x+2 в общем виде: 3x-y+2=0.

В орнаментах используются различные фигуры, в основе которых лежат отрезки прямых. Рассмотрим некоторые из них.

Рисунок 9Уравнение |x|+|y|=c описывает квадрат с центром в начале координат. Очевидно, что оно симметрично относительно осей координат и состоит из 4-ох отрезков прямых (рис.9). Но это не ромб, а квадрат, так как коэффициенты при x равны ±1, то есть все углы прямые. Пусть A, B, C, D - углы квадрата, тогда эти точки имеют координаты:

A(-с,0), B(0,c), C(c,0), D(0,-c), (c>0).

Уравнение a·|x|+b·|y|=c (где a≠b и a>0, b>0) описывает ромб. Например, график функции |x|+2·|y|=4, выглядит следующим образом (рис.10).

Рисунок 102. Линией второго порядка называется линия, которая в декартовой системе координат определяется уравнением второй степени [12]. Запишем уравнение второго порядка в общем виде:

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0,

где A,B,C,D,E,F - коэффициенты (B,D,E принято записывать с множителем 2), причем A,B,C не равны одновременно нулю.

3. В общем случае уравнение кривой третьего порядка можно записать так:

х³+ А₁у³+А₂х²у+А₃ху²+А₄х²+А₅у²+А₆ху+А₇х+ А₈у+А₉=0

Рисунок 11Кроме известной нам кубической параболы можно привести пример линии «Локон Аньези». Локон Аньези - плоская алгебраическая кривая третьего порядка (рис.11). В прямоугольной декартовой системе координат ее уравнение имеет вид:

у(а² + х²) = а³.

На практике часто используется канонический вид уравнений. Это общепринятый стандартный вид уравнения, когда наглядно видно, какой геометрический объект оно определяет и очень удобен для решения многих практических заданий.

Нам известно общее уравнение окружности: (x-х₀)²+(y-у₀)²=r², где точка (х0;у0) - координаты центра окружности, r - радиус окружности. Построим в Декартовой системе координат элемент казахского орнамента «спаренные кольца». Уравнения окружностей, составляющих элемент орнамента следующие:

1) х²+у²=4; х²+у²=1 - пара окружностей с центром в начале координат и радиусами 2 и 1ед.

Рисунок 122) х²+(у-4)²=4; ) х²+(у-4)²=1 - пара окружностей с центром в точке (0;4) и радиусами 2 и 1ед (рис.12).

Окружность является частным случаем эллипса, поэтому рассмотрим эту фигуру.

Рисунок 13Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F₁ и F₂ , называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная (рис.13). Каноническое уравнение эллипса:

, где a,b>0, a>b.

Центр симметрии эллипса лежит в начале координат. Величина AB=2a называется большой осью, а DC=2b - малой осью эллипса.

Помимо известной нам декартовой системы координат, широкое распространение получила полярная система координат, которая очень удобна для решения практических задач по построению орнамента на плоскости [13].

Полярная система координат задается произвольной точкой (полюсом) О и лучом ОХ - полярной осью. Тогда положение точки М на плоскости определяется двумя величинами: 1) ее расстоянием ρ = |ОМ| от полюса О или полярным радиусом; 2) величиной угла φ, образованного отрезком ОМ с полярной осью ОХ (рис.14). Угол φ считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки.

Рисунок 14 Положение точки М заданием ρ и φ определяются однозначно: отрезок ρ - положение точки на луче ОМ, а угол φ определяет направление луча. Однако угол φ определяется не однозначно, через 2πk, где k - целое число полярный угол повторяется. При этом, расстояние до точки М может быть различным или постоянным. Для устранения неоднозначности в случае повторения значений ρ в качестве полярного угла обычно выбирают наименьший (по абсолютной величине) угол φ, составляемый ОМ с полярной осью, т. е. выбирают φ в диапазоне от π до 2π.

Построим Спираль Архимеда используя полярную систему координат

Рассмотрим линию, определяемую уравнением

ρ(φ) = а·φ,

где: а - некоторая положительная постоянная (коэффициент пропорциональности).

Построим график этой функции при а = 1, для этого найдем несколько её точек, записывая расчеты в таблице.

Таблица 1.

Откладывая полученные значения на соответствующих лучах, получим точки, принадлежащие графику функции ρ(φ) = φ. Соединяя полученные точки плавной кривой, получим спираль Архимеда (рис.15). Расстояния между витками одинаковы, так АА₁= А₁А₂ = А₂А₃.

Рисунок 15Логарифмическая спираль. Логарифмическая спираль [14] задается уравнением в полярных координатах ρ = а^φ, где a -некоторое фиксированное положительное число, - угол, измеряемый в радианах (рис.16). Из уравнения следует, что логарифм расстояния возрастает прямо пропорционально углу поворота: =φ.

Рисунок 16В отличие от спирали Архимеда, логарифмическая спираль бесконечна в обе стороны, так как угол может изменяться от -∞ до +∞. При этом, если a >1, то при увеличении угла радиус увеличивается, а если 0< a <1, то при увеличении угла радиус уменьшается.

Логарифмическая спираль обладает рядом интересных свойств:

1. В логарифмической спирали отрезки OA, OB, OC, OD, ... образуют геометрическую прогрессию, то есть = = = … = m, где m - знаменатель прогрессии.

2. Радиус-вектор и касательная к нему в любой точке логарифмической спирали образуют постоянный угол β, то есть кривая пересекает все лучи, выходящие из полюса O под одним и тем же углом.

Розы Гранди. В полярной системе координат получаются удивительно красивые круговые линии. Итальянский геометр Гвидо Гранди (1671-1742) создал розы, которые радуют глаз правильными и плавными линиями, их очертания предопределены специально подобранными математическими зависимостями. Семейство роз Гранди описывается уравнением в полярных координатах ρ =a·sin(n·φ) , где а и n - некоторые постоянные [15].

В уравнении ρ =a·sin(n·k) значение a отвечает за длину лепестков, а значения n - за количество и форму. При n нечётном роза состоит из n лепестков, при n чётном - из 2·n лепестков (рис.17).

Рисунок 17

Параметрическое задание функций. При использовании компьютерных программ для рисования различных линий очень часто применяется параметрическое задание функций. В этом случае текущие координаты x и y рассматриваются как функции третьей переменной величины [13].

Пусть даны две функции переменной t:

,

рассматриваемые для одних и тех же значений t. Тогда любому из этих значений t соответствует определенное значение x и определенное значение y, а следовательно, и определенная точка M(x;y). Такие уравнения называются параметрическими уравнениями этой линии, а переменная t - параметром.

Например, параметрическая функция, задающая окружность, выглядит следующим образом:

x=sin(t), y=cos(t), tϵ[0;2π].

Спираль Архимеда в параметрическом задании функции имеет вид:

x=tsin(t), y=tcos(t), tϵ[0;5π].

Зная графики линий простых уравнений кривых на плоскости можно подобрать более сложные уравнения в программах построения графиков в интерактивном режиме (например, [16]), и получать самые разнообразные и интересные линии, которые могут служить элементами орнаментальной композиции. Ниже приведены примеры таких линий (рис.18).

Рисунок 18

Таким образом, используя базовые знания по составлению уравнений кривых в различных системах координат и в различных представлениях, можно подбирать уравнения для линий, описывающих орнамент, используя соответствующие компьютерные программы.

1.3 Геометрические преобразования при построении структуры орнамента на плоскости.

1.3.1 Сетчатый орнамент

Рисунок 19В качестве исходного объекта для формирования орнаментального изображения используется повторяющийся фрагмент простой формы - базовый элемент. На основе базового элемента формируются более сложные фигуры посредством таких преобразований, как параллельный перенос, поворот и симметрия. В казахском орнаменте большинство элементов уже имеют в своей структуре вертикальную ось симметрии (например «бараньи рога»), поэтому базовым элементом для дальнейших преобразований плоскости будем считать только половину этого орнамента, не имеющую симметрии (рис.19).

Любой орнамент на плоскости, представляет собой точечную решетку. Основой решетки может служить простая фигура, например, квадрат, прямоугольник, треугольник, параллелограмм или ромб. Они называются элементарными ячейками или фундаментальной областью решетки. Точки называют узлами решетки. Тип плоской решетки определяет характер переносной симметрии данного орнамента.

Получается орнамент следующим образом: наносится узор в элементарной ячейке (или ее части), и эта ячейка подвергается преобразованиям, допустимым для нее (то есть, чтобы решетка переходила в себя). Таким образом, плоскость заполняется равными областями, и на ней задается узор.

Рисунок 20Построим на плоскости орнамент путем перемещений базового элемента орнамента, помещенного в квадрат [17]. Рассмотрим на плоскости фигуру Ф - квадрат с заштрихованным треугольником (рис.20). Применим к этой фигуре различные перемещения. Например, f₁ = - поворот вокруг вершины квадрата А на 90º, f₂ = S_a - симметрию относительно вертикальной прямой а - продолжения стороны квадрата. Применив к фигуре Ф всевозможные композиции перемещений и в произвольном порядке, получим сетчатый орнамент (рис.21).

Алгоритм построения данного сетчатого орнамента может быть следующий.

1) Выполняем повороты:

f₁ = , f₁◦f₁ = , f₁◦ f₁◦ f₁ = ;

2) Выполняем симметрию f₂ = S_a;

3) При необходимости можно повторять эти действия для всех полученных квадратов.

Рисунок 21Кроме прямой а и точки А, этот орнамент имеет много других осей симметрии и центров поворота. Также здесь можно найти множество параллельных переносов. Множество всех перемещений плоскости, при которых орнамент отображается сам на себя, называют группой симметрий орнамента.

Это был пример только одной группы симметрий для построения орнамента. Если же в сетке применить другие базовые ячейки и всевозможные композиции перемещений, в которых различные сетки осей симметрий, повороты на угол 360º/n (где n=2,3,4,6), то можно получить различные группы симметрий, или различные виды сетчатого орнамента. В 1891 году русский ученый Е.С.Федоров доказал, что число различно устроенных групп симметрий плоских орнаментов равно 17 [17].

Рисунок 22Вместо треугольника в квадрат можно поместить любую другую фигуру и получить орнамент. Например, построим прямоугольный сетчатый орнамент на основе элемента казахского орнамента (рис.22). Элемент этого орнамента имеет дополнительную ось симметрии по наклонной линии.

Частными случаями сетчатого орнамента являются линейный и центрический орнаменты.

1.3.2. Линейный орнамент

Линейный орнамент, который называют еще бордюрным или ленточным орнаментом, представляет собой ленту или полосу. Мотив закономерно повторяется в одном направлении, образуя вертикальные или горизонтальные орнаментальные ряды. Например, ткани с каймовым рисунком, всевозможные декоративные обрамления, полосы, фризы, филенки и т.п. Мотив чаще всего вписывается в прямоугольник или ромб; в случае ленточных обрамлений сложных фигур может быть вписан в многоугольник, трапецию или круг. Бордюрный орнамент в казахских изделиях называется «шет ою» и определяет границы между отдельными композициями.

Математически можно дать следующее определение: если плоская фигура отображается сама на себя при параллельных переносах только одного направления (и противоположного ему), то такая фигура будет представлять собой линейный орнамент.

Параллельный перенос является простейшим преобразованием, приводящим к бесконечным фигурам. Наименьший путь , или вектор перемещения, называют периодом.

Рассмотрим все возможные типы линейных орнаментов и приведем примеры.

1. Простой параллельный перенос f = на вектор .

По этому типу можно построить линейный орнамент из элемента «Один рог». Этот вид линейного орнамента используется в казахском орнаменте не так часто, так как здесь отсутствует симметрия. Как известно, большинство элементов казахского орнамента включают в себя симметрию.

2. Симметрия f₁ = S_a и параллельный перенос f₂ = .

Например, по этому типу построен казахский орнамент «Омыртқа» - «Позвоночник».

3. Особенность третьего вида линейного орнамента в том, что здесь используется скользящая симметрия - композиция f = ◦ S_a осевой симметрии с параллельным переносом по направлению этой оси.

В данном примере ось симметрии проходит через фигуру.

4. В этом виде используются две симметрии: f₁ = S_a1 и f₂ = S_a2 .

5. Поворот вокруг центра А на180º (или центральная симметрия) и параллельный перенос на вектор 2: f₁ = , f₂ =2 .

6. Поворот вокруг центра А на180º (или центральная симметрия) и симметрия относительно прямой а: f₁ = , f₂ = S_a .

В данном примере центр симметрии находится на средней линии, проходящей через середины вертикальных отрезков базовой фигуры.

7. В этом виде используются три симметрии: f₁ = S_a1 , f₂ = S_a2 и f₃ = S_a3 .

Это наиболее многочисленная группа в казахском орнаменте.

Например, к этому типу относится орнамент, изображенный на Государственном флаге Республики Казахстан. В целях завершения композиции на крайних элементах орнамента линии замкнуты.

1.3.3 Центрический орнамент

Центрический орнамент основан на поворотно-осевой симметрии, когда элемент орнамента вращается вокруг центральной оси, при этом могут быть осевые симметрии относительно лучей, исходящих из центра симметрии. Мотивы в таком орнаменте размещаются от центральной точки по лучам, заполняя всю поверхность, ограниченную окружностью или правильным многоугольником, и при вращении полностью совмещаются. Наиболее характерный пример центрического орнамента - розетка, представляющая собой мотив распустившегося цветка. Это очень древний вид орнаментального построения, известный еще в Древнем Египте и наибольшую популярность получивший в готическом искусстве.

При поворотные движениях вокруг неподвижной точки О на углы, кратные 360º/n (n - натуральное число) весь орнамент отображается сам на себя. При этом точка О является центром симметрии порядка n.

Рисунок 24

Рисунок 23Например, на рис.23 изображен центрический орнамент порядка 5, следовательно, угол поворота АОВ φ = 360º:5 = 72º. Луч Оа является осью симметрии для сектора АОВ (данную фигуру можно рассматривать как правильный пятиугольник, вписанный в окружность). Во втором примере (рис.24) центрический орнамент порядка 4 (φ=90º) с осью симметрии Оа.

Чтобы построить центрический орнамент надо выполнить следующие действия:

1. Построить окружность с центром в точке О (радиус зависит от размеров базового элемента).

2. Разделить ее на n равных сегментов.

3. При желании можно построить вписанный правильный n-угольник.

4. Поместить в сегмент базовый элемент, можно с осевой симметрией относительно луча Оа.

5. Отобразить сегмент n раз при повороте вокруг центра О на угол 360º:n.

Все разнообразие орнаментальных композиций в казахском декоративном искусстве получается в результате изобретательного использования множества различных типов перемещения плоскости: симметрий, поворотов и параллельных переносов, на основе ограниченного числа базовых элементов.

В настоящее время создание векторного орнаментального изображения можно осуществлять путем непосредственного формирования графического объекта в программе векторной графики с использованием его различных инструментов. Для создания различных орнаментальных композиций мы использовали графический редактор CorelDraw, в котором кроме «Кривой Безье» для создания кривых, можно использовать возможности различных видов симметрии, поворота и параллельного переноса.

Используя в качестве основы различные по форме базовые элементы, применяя относительно небольшое количество типов симметрических преобразований графического объекта, варьируя порядок их выполнения, а также соединяя получаемые симметричные объекты в различных комбинациях, можно генерировать большое количество различных видов орнамента.

Глава 2. Использование «Золотого сечения» в орнаментах

2.1. Понятия «Золотое сечение» и «Золотая спираль»

Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе [18].

Многие народы верили, что построение гармоничного орнамента подобно обретению понимания гармонии. В грамотном орнаменте должны быть гармонично выдержаны все размеры и формы, в частности, пропорции «Золотого сечения».

Для начала выясним математический смысл понятия «Золотое сечение».

В математике пропорцией называют равенство двух отношений: a : b = c : d.

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

• на две равные части - АВ : АС = АВ : ВС;

• на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);

• таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему

a : b = b : c или с : b = b : а.

Найдём числовое значение соотношения Золотого сечения.

Возьмём за с единичный отрезок, т.е. с=1, а величину b обозначим за х. Тогда будет выполняться соотношение: 1:х = х:(1-х). Решим это уравнение.

x² - x - 1 = 0

Решение: x_1,2 = .

Положительный корень этого уравнения (√5 + 1) / 2 ≈ 1,618… . Это отношение большей части к меньшей в этой пропорции. Отношение меньшей стороны к большей равно 0,618... . Это число равно отношению золотого сечения. Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100%, то большая часть отрезка равна 62%, а меньшая - 38%.

На основе понятия Золотого сечения построим Золотой прямоугольник, стороны которого находятся в пропорции 1.618 к 1.

Построим квадрат ABCD со сторонами в 2 единицы и проведём линию ЕВ от середины стороны DC к противоположной вершине В (рис.25).

Рисунок 25Треугольник EBС - прямоугольный, тогда по теореме Пифагора ЕВ = х =.

Следующий шаг в построении Золотого прямоугольника заключается в продолжении линии DС до точки G так, чтобы EG = , т.е. EG = ЕВ можно отложить с помощью циркуля (рис.25).

После завершения построения, стороны прямоугольника будут соотноситься как Золотая пропорция: DG:DA = BC:CG = , поэтому AFGD и BFGC являются Золотыми прямоугольниками.

Существует тесная связь Золотого сечения с числами Фибоначчи. Последовательностью Фибоначчи называется последовательность, первые два члена которой равны 1, а каждый последующий - сумме двух предыдущих. Таким образом, эта последовательность (обозначим ее через {a_n}) определяется следующим образом:

a₁=1, a₂=1, a_n+2=a_n+1+a_n; (n=1,2,3, …).

Вот первые члены этой последовательности: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,..., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, отношение любого члена последовательности a_n (n>3) к предшествующему члену a_n-1 будет приближаться к значению φ=1.61803398875... при увеличении значения n. Например, 34 : 21 = 1,617, а 55 : 34 = 1,618. То есть это приближение тем лучше, чем больше номер взятого члена. Обратное соотношение a_n : a_n+1 = 0,618… .

Золотой прямоугольник можно использовать для построения Золотой спирали. Любой Золотой прямоугольник можно разделить на квадрат и меньший Золотой прямоугольник. Этот процесс теоретически можно продолжать до бесконечности (рис.26). Эти получающиеся прямоугольники скручиваются внутрь и обозначены A, B, C, D, E, F и G.

Рисунок 26Если соединим плавной кривой линией точки-границы между квадратами то получим ту самую Золотую спираль, на основе которой строятся многие живые и неживые объекты в природе.

Золотая спираль является частным случаем логарифмической спирали (описана выше), которая задается формулой ρ = а^φ, где константа а имеет значение 1,358456, если угол φ задан в радианах [19].

Рисунок 27В любой точке золотой логарифмической спирали отношение диаметров и радиусов, отстоящих друг от друга на 90° равно 1,618, отношение соответствующих длин дуги также равно 1.618 (рис.27).

= = =… = = 1,618;

= = = … = = 1,618, где d₁=r₁+r₃, d₂=r₂+r₄ и т.д.;

= = … = 1,618.

Золотая спираль лежит в основе всех процессов происходящих во вселенной, и даже спиральные галактики закручены по спиралям. Например, в расположении листьев на ветке, семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».

2.2 Применение «Золотого сечения» при построении орнамента

Пропорции золотого сечения использовались в орнаментах еще в древности.

Например, на потолочных плитах Парфенона был выгравирован орнамент с пропорциональной матрицей [20] (рис.28). Прямоугольник двойного квадрата (4 на 8 олимпийских футов) проходит по центру окаймляющего рисунок меандра.

Вот как будет выглядеть матрица Парфенона, если оставить на чертеже лишь математическую составляющую орнамента (рис.29).

Рисунок 29

Рисунок 28

M1M2M3M4 - двойной квадрат 4 на 8 олимпийских футов (34,9 см) (8 на 16 шагов меандра).

A1A2A3A4 - мерная линейка со шкалой в 2 дюйма (угловые квадратики по 1 дюйму). Длина стороны линейки без двух угловых квадратиков 7 шагов меандра или 3,5 оф. 8 светлых линий меандра - 3 дюйма, а 32 линии - 1 оф.

Диагональ двойного квадрата (M2M4) минус короткая его сторона (M2M3) равна двойному минорному золоту, то есть √5 - 1. Но такова величина диагонали квадрата мерной линейки, взятой без двух угловых квадратиков (a2a4).

Сторона более крупного квадрата становится диагональю меньшего:

a3a4 = b2b4 = 3,5 оф = 42 дюйма = 7 шагов меандра

b1b2 = c2c4 = 2,5 оф = 30 дюйма = 5 шагов меандра

c1c2 = Ob4

Отношение горизонтали к вертикали по числу линий таково, что если размер брать по габаритным точкам T,V,Y, то

267 : 165 = 3 · (89 : 55) = 1,6182...

Следовательно, TV:VY - целочисленное приближение к золотому сечению через два смежных числа ряда Фибоначчи.

Исследуя различные элементы орнамента, можно найти соотношения Золотого сечения. Правило золотого сечения не всегда дает решение проблемы композиции, но оно незаменимо при нахождении нужных пропорций, гарантированно проверенных практикой.

Как известно, в растительном, и в животном мире золотое сечение проявляется в пропорциях различных частей. Это находит отражение и в орнаментах растительных и животных мотивов.

Рисунок 30Например, в орнаментах растительных мотивов наиболее популярные элементы - изображения листьев. Все листья, как правило, выполняются в пропорциях золотого сечения 1,62. Для примера на рис.30, представлено строение листа клена. При соотношении ширины к длине в 1,12 лист имеет несколько пропорций с числом 1,62. Это так называемая десятка гармоничных пропорций кленового листа: AD/BC = EF/BC = EF/OD = OD/OM = OD/AO = OM/MD = BC/NP = NP/RS = RS/TU = 1,62.

За основу построения такого листа взяты две трапеции, у которых отношение высоты и длины основания выражается золотым числом.

В основных элементах казахского орнамента также можно найти пропорции Золотого сечения. На рис.31 приведен пример элемента орнамента, в котором мы нашли эти пропорции.

Рисунок 31Изображения одних и тех же элементов орнамента в различных источниках обычно немного отличаются своими пропорциями, поэтому мы решили построить эти элементы и орнаментальные композиции в графическом редакторе с использованием пропорций Золотого сечения. В приложении 2 приведены образцы полученного орнамента.

Одной из самых важных стилевых особенностей казахского орнамента является использование в элементах спирали. Спираль это символ, который в различных сочетаниях встречается в казахском орнаменте довольно часто.

Рисунок 33

Рисунок 32Например, К.Ибраева [5] выделяет рогообразный завиток как формообразующий элемент структуры второго орнаментального типа (рис.32). По смысловому значению спираль всегда ассоциировалась с движением, развитием, нарастающей силой. Среди них можно найти те, которые в своей основе в разной степени приближения содержат Золотую спираль.

Используя компьютерную графику можно строить подобные элементы, в точности соответствующие логарифмической спирали (рис 33).

В целях проверки верности постулата о том, что форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию, мы провели опрос среди учащихся нашей школы. Учащимся было предложено несколько видов элементов казахского орнамента, часть из которых выбраны нами из различных источников, а часть - построены нами с учетом пропорций Золотого сечения. Из этих элементов орнамента надо было выбрать и отметить те, которые на их взгляд выглядят более привлекательными и гармоничными (см.Приложение 2).

В опросе участвовало 24 учащихся, которым было предложено выбрать один вариант из двух элементов по каждому из шести видов орнамента. Первый вариант построен с применением пропорций «Золотого сечения», второй взят из различных источников (Приложение 3). Результаты оформлены в виде диаграммы:

По результатам опроса было выбрано 94 элемента, построенных с «Золотым сечением» (65%) , и 50 элементов, взятых из различных источников (35%). Эти результаты подтверждают верность мнения, что форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.

Глава 3. Практическая работа. Построение казахского орнамента.

В данной работе мы поставили перед собой задачу: применить результаты нашего исследования по выявлению математических принципов при построении орнамента для выполнения практической части по проектированию и построению орнаментальной композиции для казахского ковра.

Разработка проекта создания коврового орнамента проводилась по следующим основным этапам:

1. Сбор и анализ информации о требованиях к составлению орнаментальной композиции казахского ковра, знакомство с аналогами.

2. Разработка концепции будущей орнаментальной композиции.

3. Определение формы и размеров ковра.

4. Выбор базовых элементов по каждому из четырёх видов казахского орнамента (из п.1.1).

5. На основе выбранных элементов построение в графическом редакторе подобных элементов с использованием пропорций Золотого сечения.

6. Подборка уравнений к линиям, описывающим некоторые элементы.

7. Построение трёх видов орнамента (п.1.3) с использованием этих элементов.

8. Разработка чертежа (в графическом редакторе) итоговой композиции орнамента казахского ковра.

Казахские ковры, как войлочные, так и тканые, многообразны. Казахские ковры делятся на несколько групп с характерными для каждой из них особенностями техники изготовления, орнаментизации, цветового решения (рис.35). Из всего многообразия мы выбрали тип ворсового ковра, так как в композициях этого вида ковров используются самые различные орнаментальные мотивы и изображения [21].

Рисунок 35Для композиции казахских ковров характерны наличие бордюра и центрального поля, где могут располагаться восьмиугольники, шестиугольники, вытянутые ромбы с крестовиной из четырех пар бараньих рогов. Использование одного и того же орнаментального узора искусно варьируется не нарушая в то же время ни гармонии красок, ни сущности композиции. В казахских коврах ритмически повторяются орнаментальные мотивы в виде розеток, которые располагаются по двум осям симметрии. Ряд часто состоит их четырех розеток, размещенных по всей средней полосе ковра, квадратной или ромбической, близкой к квадратной форме [22].

Основная концепция нашей практической работы: целостность орнаментальной композиции. Также все элементы этой композиции должны удовлетворять следующим требованиям:

а) распределение по классификационным признакам;

б) соответствие пропорциям Золотого сечения;

в) для некоторых элементов соответствие графику подобранного алгебраического уравнения;

г) распределение отдельных структур орнамента трем видам: сетчатый, линейный и центрический.

Для нашей орнаментальной композиции выберем традиционный вид: форма ковра - прямоугольник; выделенный центр; обрамляющий бордюр; две оси симметрии полотна s₁ и s₂ - вертикальная и горизонтальная.

Построим схему расположения орнаментальных композиций с применением пропорций Золотого сечения (см.Приложение 3).

В графическом редакторе построим элементы орнамента по каждому из четырех видов, используя кривые I, II и III порядков.

1. Элементы орнамента первого типа, состоящие из отрезков прямых линий.

Рисунок 37

Рисунок 38

Рисунок 36а) «Сынық муйіз» (сломанный рог) (рис36). При построении мы использовали Золотую спираль.

б) «Шынжары» (цепи), обычно используется в бордюрном орнаменте (рис.37). Представляет собой две скрещённые ломаные линии.

в) «Балдақ» (костыль), используется в основном для обрамления центрального поля (рис.38).

2. Элементы орнамента второго типа, состоящие из окружностей и их составляющих.

а). Элемент «Қайнар» (Родничок) состоит из трёх дуг (рис.39).

б) «Қос дөнгелек» (спаренные кольца). Потеряв свой первоначальный магический смысл, эти традиционные изобразительные формы до сих пор имеют широкое распространение (рис.40).

Рисунок 42

Рисунок 41

Рисунок 40

Рисунок 393. Элементы орнамента третьего типа, состоящие из кривых с переменным радиусом кривизны, т.е кривые второго и третьего порядков, за исключением окружностей и их составляющих. Например, «Түйе табан» - верблюжий след (рис.41), широко известен, также, как и бараньи рога.

4. Элементы орнамента четвертого типа, состоящие из комбинации линий разных типов (линий 1, 2, и 3-го типов). Например, «Қошқар муйіз» - бараньи рога (рис. 42), один из самых древних элементов казахского орнамента. В этом элементе использована Золотая спираль и отрезок.

Заключение

Изучая орнамент, ученые отмечали особую "правильность" его структуры, повторяемость элементов, математическую строгость построения многих орнаментальных форм. Эту особенность орнаментального творчества нельзя считать случайной или внешней, она имеет прямое отношение к самой природе этого вида искусства.

Тема исследования весьма обширна, однако, опираясь на поставленные задачи, нам удалось рассмотреть некоторые аспекты этой проблемы.

Обзор литературы по теме показал, что пока не существует общепринятой, исчерпывающей классификации элементов орнамента, и прежде всего, нет общепринятого основания классификации. Существующие классификации не в полной мере отражают все многообразие орнаментов с математической точки зрения. Поэтому мы предложили выделить 4 вида элементов орнамента, основанных на особенностях геометрических линий, описывающих эти элементы.

Общепринятые математические классификации существуют по видам композиционной структуры орнамента: линейные, сетчатые и центрические. По этим видам нами предложены алгоритмы построения соответствующих композиций.

В грамотном орнаменте должны быть гармонично выдержаны все размеры и формы, в частности, пропорции «Золотого сечения». Структурный анализ элементов орнамента позволил выявить возможности применения пропорций Золотого сечения при построении орнамента: мы использовали пропорции «Золотого прямоугольника» и «Золотой спирали» при построении элементов казахского орнамента и путем анкетирования выяснили, что более гармоничными и привлекательными выглядят элементы казахского орнамента, в которых присутствует золотая пропорция.

В целях применения полученных результатов на практике, мы решили построить орнаментальную композицию для казахского национального ковра. Выбрали по несколько элементов казахского орнамента из каждого вида нашей классификации, в графическом редакторе построили их аналоги с учетом пропорций Золотого сечения, затем композиционно объединили их по трем видам структур. Разработали общую схему рисунка традиционного казахского ковра также с применением пропорций Золотого сечения.

В настоящее время в мире наблюдается особый интерес к учениям о числовой гармонии окружающего нас мира. Роль математики в процессе познания гармонии и красоты мироздания выражена словами И. Кеплера: «Математика есть прообраз красоты мира».

Литература

1. Вейль Г. Симметрия - М.: Наука, 1968.

2. Лавринова Н.Н. Сущность и структура орнамента в художественной культуре. Журнал «Аналитика культурологи», № 19, 2011г

3. Б.С.Никифоров, Е.Р.Урмакшинова, С.О.Никифоров, С.С.Николаева. Машинное орнаментирование изделий в современных технологиях дизайна. Журнал "Успехи современного естествознания", № 5, 2002 г, с.14-19

4. Фокина, Л. В. Орнамент: учебное пособие / Л. В. Фокина. - 5-е изд., перераб. и доп. - Ростов на Дону : «Феникс», 2007. - 172 с.

5. Омирбекова М.Ш. Энциклопедия. Казахские орнаменты. - Алматы кiтап, 2005. - 284 с.

6. Толенбаев С., Омирбекова М. Орнаменты - Алматы: «Казахстан», 1996г

7. К.Ибраева. Казахский орнамент. Алматы, - «Өнер», 1994г. - 128с.

8. Баримбеков Ж.Ш. Казахский орнамент. Алма-Ата, «Өнер», 1986 г.

9. Кривизна кривой. Источник: gsu.by

10. Практика. Кривые. Бесшовный геометрический орнамент. Источник: limonmalina.com/CorelDRAW/praktika-krivye-besshovnyj-geometricheskij-ornament/

11. Емелин А. Высшая математика - просто и доступно! Источник: mathprofi.ru

12. Уравнения прямых и кривых на плоскости. Источник: mathelp.spb.ru/book1/lines.htm

13. Шнейдер В. Е. и др. Краткий курс высшей математики. Учеб. пособие для втузов. М., «Высш. школа», 1972. 640 с.

14. И.М.Смирнова, В.А.Смирнов. Аналитическое задание кривых на плоскости. Источник: geometry2006.narod.ru/Art/Lecture5.htm

15. Математика и искусство. Розы Гранди. Источник: matematikaiskusstvo. ru/rosesgrandy.html

16. Построение графиков функций онлайн. yotx.ru/

17. Земляков А. Орнаменты. Квант, 1977 год, №3, с.20-27

18. Ковалёв Ф.В. Золотое сечение в живописи. Изд. Ваша школа. - 1989 г.

19. Золотая спираль. Википедия. ru.wikipedia.org/wiki/Золотая_ спираль

20. Андрей Чернов. Матрица Золотого сечения. Глава из книги: Золото Парфенона. chernov-trezin.narod.ru/Parfenon-3.htm

21. Казахские ковры. Обычаи и традиции казахского народа. Источник: bilu.kz/kover.php

22. Традиционное ткачество Казахстана. Казахские ковры. Декомастер. Авторский сайт Марины Набиулиной: decormaster.kz/st/ kazaxskie_kovry.php

Приложение 1. Образцы орнаментов с «Золотым сечением».

Приложение 2. Материалы для опроса.

Приложение 3. Схема ковровой композиции.