Работа ученика по теме Магические квадраты

Научно-исследовательская конференция

молодых исследователей

«Шаг в будущее»

Работу выполнил:

Боровский Александр

ученик 5 класса

МОУ Большеченчерской СОШ

Научный руководитель:

Лызлова Евгения Александровна

учитель математики

Дата 29.03.2011г.

СОДЕРЖАНИЕ

Аннотация

Краткая аннотация

Научная статья

Введение

1. История появления магических квадратов…………………………………………….….…..…1

1.2 Магические квадраты 3*3…………………………………………….…………............................3

1.3 Магические квадраты 4*4…………………………………………….……………………..…..…3

1.4 Магические квадраты 5*5………………………………………………………….………………4

1.5 Магические Квадраты Бенджамина Франклина………………………………………………….4

1.6 Латинские квадраты………………………………………………………………………….…..…5

1.7 Магический квадрат Пифагора………………………………………………………………....….6

Заключение …………………………………………………………………………………..………..10

Список литературы………………………………………………………………………………...….11

Магические квадраты

Боровский Александр

Россия, Тюменская область

МОУ Большеченчерская СОШ

5 класс

Аннотация

Великие ученые древности считали количественные отношения основой сущности мира. Поэтому числа и их соотношения занимали величайшие умы человечества.

Магический квадрат- это квадрат, сумма чисел которого в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой из диагоналей одна и та же.

Некоторые выдающиеся математики посвятили свои работы магическим квадратам и полученные ими результаты оказали влияние на развитие групп, структур, латинских квадратов, определителей, разбиений, матриц, сравнений и других нетривиальных разделов математики.

Цель работы: выяснить различные способы составления магических квадратов и изучить области их применения.

Для этого были поставлены следующие задачи:

1. познакомиться с историей появления магических квадратов;

2. выяснить виды магических квадратов;

3. провести исследование и подтвердить или опровергнуть утверждение Пифагора о том, что судьба человека зависит от числа его рождения;

4. выявить области применения магических квадратов.

При работе мы использовали следующие методы

1. поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;

2. исследовательский метод при работе с магическим квадратом Пифагора.

3. анализ полученных в ходе исследования данных.

В результате проделанной работы были сделаны следующие выводы:

1. Магические квадраты нашли многочисленные применения, как в математике, так и в ее приложениях при постановке и обработке результатов экспериментов. В работе приведен пример постановки такого эксперимента.

2. Можно использовать квадрат Пифагора для составления психологического портрета личности. Один из портретов предложен в работе.

Магические квадраты

Боровский Александр

Россия, Тюменская область

МОУ Большеченчерская СОШ

5 класс

Краткая аннотация

Великие ученые древности считали количественные отношения основой сущности мира. Поэтому числа и их соотношения занимали величайшие умы человечества.

Магический квадрат - это квадрат, сумма чисел которого в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой из диагоналей одна и та же.

В своей работе мы решили рассмотреть различные способы составления магических квадратов и изучить области их применения. Были выдвинуты задачи, которые в себя включали ознакомление с историей появления магических квадратов, проведение исследования и подтверждение или опровержение утверждения Пифагора о том, что судьба человека зависит от числа его рождения, выявление области применения магических квадратов. Проанализировав полученные результаты, мы пришли к выводу, что с помощью квадрата Пифагора можно составить психологический портрет личности и, что магические квадраты нашли многочисленные применения, как в математике, так и в ее приложениях.

Магические квадраты

Боровский Александр

Россия, Тюменская область

МОУ Большеченчерская СОШ

5 класс

Научная статья

Введение

Великие ученые древности считали количественные отношения основой сущности мира. Поэтому числа и их соотношения занимали величайшие умы человечества. «В дни моей юности я в свободное время развлекался тем, что составлял… магические квадраты»- писал Бенджамин Франклин. Магический квадрат- это квадрат, сумма чисел которого в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой из диагоналей одна и та же.

Некоторые выдающиеся математики посвятили свои работы магическим квадратам и полученные ими результаты оказали влияние на развитие групп, структур, латинских квадратов, определителей, разбиений, матриц, сравнений и других нетривиальных разделов математики.

В сборниках нестандартных задач по математике часто встречаются задачи на составление магических квадратов. Кроме того, такие задания нередко включают в математические олимпиады, поэтому ребятам, увлекающимся математикой полезно знать способы решения задач такого типа. Поэтому тема работы интересна и актуальна.

Цель работы: выяснить различные способы составления магических квадратов и изучить области их применения.

Для этого были поставлены следующие задачи:

1. познакомиться с историей появления магических квадратов;

2. изучить теорию о магических квадратах;

3. провести исследование и подтвердить или опровергнуть утверждение Пифагора о том, что судьба человека зависит от числа его рождения;

4. выявить области применения магических квадратов.

Гипотеза нашей работы заключается в том, что магические квадраты находят широкое применение в прикладной математике, а также, используя магический квадрат Пифагора, можно составить психологический портрет личности.

1. История появления магических квадратов

В незапамятные времена, научившись считать, люди познали меру коли­чества - число. Вглядываясь в сочетания чисел, они с изумлением увидели, что числа имеют какую-то самостоятельную жизнь, удивительную и полную тайны; тайны необъяснимой и поэтому загадочной и многозначи­тельной... Оказалось, что, располагая числа правильными рядами, один под другим, в случае удачи можно, складывая их слева направо и сверху вниз, каждый раз получать одно и то же число. Наконец, кто-то придумал раз­делить числа линиями так, что каждое из них оказалось в отдельной клетке, как птицы в доме птицелова. Так, посвященные, увидели квадрат, населен­ный числами, неизвестно что сулящий его владельцу, но, конечно, обла­дающий магической силой.

Магический, или волшебный квадрат - это квадратная таблица, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим.

Рис.1

Первый магический квадрат с тремя клетками в основании был описан в арабском манускрипте конца восьмого века, где упоминался его автор - греческий философ - неопифагореец Аполлоний Тианский. Однако не он был создателем этого древнейшего из всех магических квадратов.

При археологических раскопках в Китае и Индии были найдены квадратные амулеты. Квадрат разделен на девять квадратиков, в каждом из которых написано по одному числу от 1 до 9. Замечательно, что суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и каждой из двух диагоналей были равны одному и тому же числу 15.

Страна, в которой был впервые придуман магический квадрат, точно неизвестна, неизвестен век, даже тысячелетие нельзя установить точно. Первые упоминания о магических квадратах были у древних китайцев. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы и эти знаки известны под названием Ло-шу и равносильны магическому квадрату. (Рис.2) Подсчитав количество кружков каждой из фигур, получим магический квадрат 3*3. (рис3.)

рис.2. рис.3

В древности магические квадраты очень уважали и приписывали им различные мистические свойства. Говорят, если надо было решиться на какое-то опасное дело, их с магическими целями рисовали на бумажке и съедали. Такое же кушанье предлагали в качестве панацеи от всех болезней. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

1.2 Магические квадраты 3*3.

Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени.

Магических квадратов 2_*2 не существует. Существует единственный магический квадрат 3_*3, так как остальные магические квадраты 3_*3 получаются из него либо перестановкой строк (рис. 4а) или столбцов (рис. 4б) либо путем поворота исходного квадрата на 90⁰ (рис. 4в) или на 180⁰ таких квадратов 8.

2

7

6

9

5

1

4

3

8

2

9

4

7

5

3

6

1

8

8

1

6

3

5

7

4

9

2

6

1

8

7

5

3

2

9

4

а б в г

Рис.4

1.3 Магические квадраты 4*4

Еще более замечательным является магический квадрат 4-го порядка, найденный в индийской надписи XI в. до н.э.

Этот квадрат сохраняет свойство быть магическим и после того, как его строки одна за другой перемещаются сверху вниз или столбцы аналогично перемещаются слева направо. Иными словами, если сделать ковер из этих квадратов, то, вырезав любую его часть из 4 строк и 4 столбцов, получаем снова магический квадрат.

Квадрат Дюрера имеет размер 4 х 4 и состав­лен из шестнадцати первых натуральных чисел, сумма которых в каждой строке, столбце и на диагонали равна 34. Оказывается, 34 равны и суммы других четверок чисел: расположенных в центре, в угловых клетках, по бокам центрально­го квадрата (рис.5), а также образующих четы­ре равных квадрата, на которые можно разделить исходный квадрат.

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

Рис.5

С увеличением размеров квадрата (числа клеток) быстро растет количество возможных магических квадратов такого размера. Например, существует 880 магических квадратов 4 порядка и 275 000 000 магических квадратов 5 порядка.

1.4 Магические квадраты 5*5.

Среди множества магических квадратов неко­торые выделяются особыми свойствами: числа, из которых они составлены, удовлетворяют раз­личным дополнительным условиям.

Так, у изображенного на рис. 6 магического ква­драта 5-го порядка суммы пятерок чисел в клетках, расположенных на «разломанных» диагоналях (клетки закрашены одним и тем же цветом), равны постоянной магического квадрата - числу 65. Ква­драт с таким свойством называется совершенным.

Рис.6

1.5 Магические Квадраты Бенджамина Франклина

Выдающийся американский общественный деятель, дипломат и ученый Бенджамин Франклин в молодости забавлялся составлением причудливых магических квадратов, скрашивая скучные часы на службе в законодательном собрании штата Пенсильвания. Его квадрат 8*8, изображенный на рисунке 7, обладает многими дополнительными свойствами.

52

61

4

13

20

29

36

45

14

3

62

51

46

35

30

19

53

60

5

12

21

28

37

44

11

6

59

54

43

38

27

22

55

58

7

10

23

26

39

42

9

8

57

56

41

40

25

24

50

63

2

15

18

31

34

47

16

1

64

49

48

33

32

17

Рис.7

Сумма чисел в каждой строке здесь равна 8(64+1) : 2=260. При этом сумма чисел в каждой половине строки в каждой половине столбца равна 130. Четыре числа в углах вместе с четырьмя числами в центре вновь дают 260. И еще много подобных соотношений можно отыскать в этом квадрате.

Создавались магические квадраты больших размеров. Известный немецкий математик М. Штифель приводит магический квадрат размерами 16*16. Известный магические квадраты размерами 43*43. Изготовление большого Магического квадрата не составляет труда, поскольку имеются алгоритмы, позволяющие строить магические квадраты любых размеров. Бенджамин Франклин составил квадрат 16×16 который помимо наличия постоянной суммы 2056 во всех строках, столбцах и диагоналях имел еще одно дополнительное свойство. Если вырезать из листа бумаги квадрат 4×4 и уложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 клеток большего квадрата попали в эту прорезь, то сумма чисел, появившихся в этой прорези, куда бы мы ее не положили, будет одна и та же - 2056.

Рис.8

Этот квадрат (рис. 8) является самым магически-магическим из всех магических квадратов, составленных когда-либо каким-либо магом.

1.6 Латинские квадраты.

Не смотря на то, что математиков интересовали в основном магические квадраты наибольшее применение в науке и технике нашли латинские квадраты.

1

2

3

4

2

1

4

3

3

4

1

2

4

3

2

1

1

2

3

4

3

4

1

2

4

3

2

1

2

1

4

3

Рис. 9

Латинским квадратом называется квадрат nхn клеток, в которых написаны числа 1, 2,…, n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. На рис.9 изображены два таких квадрата 4х4. Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными. Такие пары латинских квадратов называются ортогональными.

Магические и латинские квадраты - близкие родственники. Пусть мы имеем два ортогональных квадрата. Заполним клетки нового квадрата тех же размеров следующим образом. Поставим туда число n(a - 1)+b, где а - число в такой клетке первого квадрата, а b - число в такой же клетке второго квадрата. Нетрудно понять, что в полученном квадрате суммы чисел в строках и столбцах (но не обязательно на диагоналях) будут одинаковы.

Теория латинских квадратов нашла многочисленные применения, как в самой математике, так и в ее приложениях. Приведем такой пример. Пусть мы хотим испытать 4 сорта пшеницы на урожайность в данной местности, причем хотим учесть влияние степени разреженности посевов и влияние двух видов удобрений. Для того разобьем квадратный участок земли на 16 делянок (рис.10). Первый сорт пшеницы посадим на делянках, соответствующих нижней горизонтальной полосе, следующий сорт - на четырех делянках, соответствующих следующей полосе, и т. д. (на рисунке сорт обозначен цветом). При этом максимальная густота посевов пусть будет на тех делянках, которые соответствуют левому вертикальному столбцу рисунка, и уменьшается при переходе вправо (на рисунке этому соответствует уменьшение интенсивности цвета). Цифры же, стоящие в клетках рисунка, пусть означают:

первая - количество килограммов удобрения первого вида, вносимого на этот участок, а вторая - количество вносимого удобрения второго вида. Нетрудно понять, что при этом реализованы все возможные пары сочетаний как сорта и густоты посева, так и других компонентов: сорта и удобрений первого вида, удобрений первого и второго видов, густоты и удобрений второго вида.

Использование ортогональных латинских квадратов помогает учесть все возможные варианты в экспериментах в сельском хозяйстве, физике, химии, технике.

11

22

33

44

23

14

41

32

34

43

23

32

42

31

24

13

Рис.10

1.7 Магический квадрат Пифагора

В процессе подготовки к этой работе я узнал много нового о магических квадратах, составление магических квадратов развивают логическое мышление, острый ум, усердие. Оказывается, магические квадраты применяют и для того чтобы определить характер, способности и скрытые возможности человека раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования. Это можно определить с помощью Магического квадрата Пифагора.

Великий ученый Пифагор, считал, что всем на свете управляют числа. Поэтому сущность человека заключается тоже в числе - дате рождения. Во времена Пифагора магические квадраты на каждого человека создавались индивидуально с помощью сложения и вычитания некоторых чисел в дате его рождения. Сейчас есть специальная программа, где вводится дата рождения человека, а на экран выводится готовый магический квадрат, с индивидуальными числами.

Магический квадрат Пифагора имеет размер 3×3. Его клетки заполняются с помощью определённых операций проделанных с датой рождения.

Ячейки квадрата означают следующее:

Ячейка 1 - целеустремленность, воля, упорство, эгоизм.

1 - законченные эгоисты, стремятся из любого положения извлечь максимальную выгоду.

11 - характер, близкий к эгоистическому.

111 - «золотая середина». Характер спокойный, покладистый, коммуникабельный.

1111 - люди сильного характера, волевые. Мужчины с таким характером подходят на роль военных - профессионалов, а женщины держат свою семью в кулаке.

11111 - диктатор, самодур.

111111 - человек жестокий, способный совершить невозможное; нередко попадает под влияние какой - то идеи.

Ячейка 2 - биоэнергетика, эмоциональность, душевность, чувственность. Количество двоек определяет уровень биоэнергетики.

Двоек нет - открыт канал для интенсивного набора биоэнергетики. Эти люди воспитаны и благородны от природы.

2 - обычные в биоэнергетическом отношении люди. Такие люди очень чувствительны к изменениям в атмосфере.

22 - относительно большой запас биоэнергетики. Из таких людей получаются хорошие врачи, медсестры, санитары. В семье таких людей редко у кого бывают нервные стрессы.

222 - знак экстрасенса.

Ячейка 3 - точность, конкретность, организованность, аккуратность, пунктуальность, чистоплотность, скупость, наклонность к постоянному «восстановлению справедливости».

Нарастание троек усиливает все эти качества. С ними человеку есть смысл искать себя в науках, особенно точных. Перевес троек порождает педантов, людей в футляре.

Ячейка 4 - здоровье. Это связано с энергетическим пространством, наработанным предками и защищающим человека. Отсутствие четверок свидетельствует о болезненности человека.

4 - здоровье среднее, необходимо закалять организм. Из видов спорта рекомендуются плавание и бег.

44 - здоровье крепкое.

444 и более - люди с очень крепким здоровьем.

Ячейка 5 - интуиция, ясновидение, начинающееся проявляться у таких людей уже на уровне трех пятерок.

Пятерок нет - Эти люди часто

ошибаются.

5 - Эти люди могут правильно рассчитать ситуацию извлечь из нее максимальную пользу.

55 - сильно развита интуиция. Когда видят «вещие сны», могут предугадывать ход событий. Подходящие для них профессии - юрист, следователь.

555 - почти ясновидящие.

5555 - ясновидящие.

Ячейка 6 - заземленность, материальность, расчет, склонность к количественному освоению мира и недоверие к качественным скачкам и тем более к чудесам духовного порядка.

Шестерок нет - этим людям необходим физический труд, хотя они его, как правило, не любят. Они наделены неординарным воображением, фантазией, художественным вкусом. Тонкие натуры, они тем не менее способны на поступок.

6 - могут заниматься творчеством или точными науками, но физический труд является обязательным условием существования.

66 - люди очень заземлены, тянутся к физическому труду, хотя как раз для них он не обязателен; желательна умственная деятельность либо занятия искусством.

666 - знак Сатаны, особый и зловещий знак. Эти люди обладают повышенным темпераментом, обаятельны, неизменно становятся в обществе центром внимания.

6666 - эти люди в своих предыдущих воплощениях набрали слишком много заземленности, они очень много трудились и не представляют свою жизнь без труда. Если в их квадрате есть девятки, им обязательно нужно заниматься умственной деятельностью, развивать интеллект, хотя бы получить высшее образование.

Ячейка 7 - количество семерок определяет меру таланта.

7 - чем больше они работают, тем больше получают впоследствии.

77 - очень одаренные, музыкальные люди, обладают тонким художественным вкусом, могут иметь склонность к изобразительному искусству.

777 - эти люди, как правило, приходят на Землю ненадолго. Они добры, безмятежны, болезненно воспринимают любую несправедливость. Они чувствительны, любят мечтать, не всегда чувствуют реальность.

7777 - знак Ангела. Люди с таким знаком умирают в младенчестве, а если и живут, то их жизни постоянно угрожает опасность.

Ячейка 8 - карма, долг, обязанность, ответственность. Количество восьмерок определяет степень чувства долга.

Восьмерок нет - у этих людей почти полностью отсутствует чувство долга.

8 - натуры ответственные, добросовестные, точные.

88 - у этих людей развитое чувство долга, их всегда отличает желание помочь другим, особенно слабым, больным, одиноким.

888 - знак великого долга, знак служения народу. Правитель с тремя восьмерками добивается выдающихся результатов.

8888 - эти люди обладают парапсихологическими способностями и исключительной восприимчивостью к точным наукам. Им открыты сверхъестественные пути.

Ячейка 9 - ум, мудрость. Отсутствие девяток - свидетельство того, что умственные способности крайне ограничены.

9 - эти люди должны всю жизнь упорно трудиться, чтобы восполнить недостаток ума.

99 - эти люди умны от рождения. Учатся всегда неохотно, потому что знания даются им легко. Они наделены чувством юмора с ироничным оттенком, независимые.

999 - очень умны. К учению вообще не прикладывают никаких усилий. Прекрасные собеседники.

9999 - этим людям открывается истина. Если у них к тому же развита интуиция, то они гарантированы от провала в любом из своих начинаний. При всем этом они, как правило, довольно приятны, так как острый ум делает их грубыми, немилосердными и жестокими.

Итак, составив магический квадрат Пифагора и зная значение всех комбинаций цифр, входящих в его ячейки, вы сможете в достаточной мере оценить те качества вашей натуры, которыми наделила матушка - природа.

Для того, чтобы понять, что такое магический квадрат Пифагора и как подсчитываются его показатели, сделаю его расчет на своем примере. А чтобы убедиться, что результаты подсчета действительно соответствуют реальному характеру той или иной личности, вначале я проверю его на себе. Для этого я буду делать расчет по своей дате рождения. Итак, моя дата рождения 17. 07. 1999. Сложим цифры дня, месяца и года рождения (без учета нулей): 1+7+7+1+9+9+9=43. Далее складываем цифры результата: 4+3=7 Затем из первой суммы вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения: 43-1=42. И вновь складываем цифры последнего числа: 4+2=6. Осталось сделать последние сложения - 1-й и 3-й и 2-й и 4-й сумм: 43+42=85, 7+6=13. Получили числа 17, 07, 1999, 43, 7, 42, 85, 13.

Составляем магический квадрат так, чтобы все единицы этих чисел вошли в ячейку 1, все двойки - в ячейку 2 и т. д. Нули при этом во внимание не принимаются. В результате мой квадрат будет выглядеть следующим образом:

111

2

33

44

5

-

777

8

999

Ячейки квадрата означают следующее:

Ячейка 1 - целеустремленность, воля, упорство, эгоизм.

111 - «золотая середина». Характер спокойный, покладистый, коммуникабельный.

Ячейка 2 - биоэнергетика, эмоциональность, душевность, чувственность.

2 - обычные в биоэнергетическом отношении люди. Такие люди очень чувствительны к изменениям в атмосфере.

Ячейка 3 - точность, конкретность, организованность, аккуратность, пунктуальность, чистоплотность, скупость, наклонность к постоянному «восстановлению справедливости».

Нарастание троек усиливает все эти качества. С ними человеку есть смысл искать себя в науках, особенно точных. Перевес троек порождает педантов, людей в футляре.

Ячейка 4 - здоровье. Это связано с энергетическим пространством, наработанным предками и защищающим человека. Отсутствие четверок свидетельствует о болезненности человека.

44 - здоровье крепкое.

Ячейка 5 - интуиция, ясновидение, начинающееся проявляться у таких людей уже на уровне трех пятерок.

5 - Эти люди могут правильно рассчитать ситуацию извлечь из нее максимальную пользу.

Ячейка 6 - заземленность, материальность, расчет, склонность к количественному освоению мира и недоверие к качественным скачкам и тем более к чудесам духовного порядка.

Шестерок нет - этим людям необходим физический труд, хотя они его, как правило, не любят. Они наделены неординарным воображением, фантазией, художественным вкусом. Тонкие натуры, они тем не менее способны на поступок.

Ячейка 7 - количество семерок определяет меру таланта.

777 - эти люди, как правило, приходят на Землю ненадолго. Они добры, безмятежны, болезненно воспринимают любую несправедливость. Они чувствительны, любят мечтать, не всегда чувствуют реальность.

Ячейка 8 - карма, долг, обязанность, ответственность. Количество восьмерок определяет степень чувства долга.

8 - натуры ответственные, добросовестные, точные.

Ячейка 9 - ум, мудрость. Отсутствие девяток - свидетельство того, что умственные способности крайне ограничены.

999 - очень умны. К учению вообще не прикладывают никаких усилий. Прекрасные собеседники.

Данный квадрат дает достаточно точную характеристику моего характера.

Заключение

В работе рассмотрены вопросы, связанные с историей развития одного из вопросов математики, занимавшего умы очень многих великих людей, - магических квадратов. Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики (теории групп, определителей, матриц и т.д., данные разделы изучают в институтах).

Выводы:

1. Латинские квадраты нашли многочисленные применения, как в математике, так и в ее приложениях при постановке и обработке результатов экспериментов. В работе приведен пример постановки такого эксперимента.

2. Можно использовать квадрат Пифагора для составления психологического портрета личности. Один из портретов предложен в работе.

Список литературы

1. Гарднер М. Математические досуги. - М.: Мир, 1972.

2. Гарднер М. Глава 17. Магические квадраты и кубы // Путешествие во времени. - М.: Мир, 1990.

3. Кордемский Б. А. Математическая смекалка. - М.: ГИФМЛ, 1958. - 576 с.

4. Постников М. М. Магические квадраты. - М.: Наука, 1964.

5. Успенский Я. В. Избранные математические развлечения. - Сеятель, 1924.

6. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика, 1989.