Исследовательский урок по теме Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений

УРОК-ИССЛЕДОВАНИЕ

ТЕМА «ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ СУММЫ И РАЗНОСТИ

ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ»

Цели: Вывести формулы квадратов суммы и разности двух чисел.

Сформировать умение учащихся практически применять эти

формулы для упрощения выражений.

Воспитывать активность, внимательность, самостоятельность.

Развивать математическую речь, память, интерес к математике,

умение логически рассуждать.

Оборудование и наглядность: Слайды 1 - 6;

Карточки с заданиями - 6шт;

Тест (карточки) - 2 шт;

Кубик с заданиями.

Ход урока.

I.Организационный момент (1 мин)

Введение.

---«Ещё в глубокой древности было подмечено, что некоторые

многочлены можно умножать короче, быстрее, чем остальные.

Так появились формулы сокращённого умножения. Их несколько.

Сегодня вам предстоит сыграть роль исследователей и «открыть»

две из этих формул».

---Откройте тетради, запишите число (10.03.10г) и тему урока.

II. Устные упражнения (2 мин)

1. Найдите квадраты выражений: b ; - 3 ; 6а ; 4х²; 7ху³; 1/3аb

2. Найдите произведение 5b и 3с; 2c² и 5p; xy и 3z .

Чему равно удвоенное произведение этих выражений?

3. Прочитайте выражения: а) х + у в) (к + 1)² д) (а -b)²

б) с² + р² г) р - у е) с² - х²

4. Перемножьте данные многочлены: (4 - а)·(3 + а)

Приведите подобные слагаемые

5.Объясните, как умножить многочлен на многочлен (на слайде - схема)

III. Изучение нового материала

Исследовательская работа

Для исследовательской работы учащиеся объединяются в первую группу, а трое учителей - во вторую. Каждой группе предлагается заполнить три строки таблицы, перемножив пары двучленов, приведённых в первом столбце. После того как ребята справились с заданиями, проверяем полученные ответы. Таблица заполняется по ходу исследований, проведенных учащимися.

---Для предстоящей исследовательской работы, вы, ребята объединяетесь в группу.

Алгебра

7 класс

Слайд № 1

Слайд № 2

Слайд № 3

---Задание 1: Найти произведение данных многочленов (в первом

столбце таблицы), каждый по одному заданию

I

II

III

1. (а + b)(а + b) =

2. (с + d)(d + c) =

3. (x + y)(x + y) =

(а + b)²

(c + d)²

(x + y)²

= а² + 2аb + b²

= c² + 2cd + d²

= x² + 2xy + y²

(а + b)²

= а ² + 2аb + b²

Из Д / З. № 682

(x + 10)(x + 10) =

(3a - 1)(3a - 1) =

(5 - 6b)(5 - 6b) =

(x + 10)²

(3a - 1)²

(5 - 6b)²

= x² + 20xy +100

= 9а² - 6а + 1

= 25- 60b + 36b²

(а - b)²

= а ² - 2аb + b²

4. (а - b)(а - b) = 5. (с - 2d)(с - 2d) = 6. (х - у)(х - у) =

(а - b)²

(c - 2d)²

(x - y)²

= а² - 2аb + b²

= c² - 4cd + 4d²

= x² - 2xy + y²

---Проверим полученные ответы (ответы учеников, на слайде)

Вопросы: 1) Есть ли нечто общее в условиях и ответах?

2) Можно ли выражения в I cтолбце записать короче?

Получив ответы, учитель на слайде показывает II столбец.

- Вы уже приступили к исследованию темы урока, поскольку находили произведение двух одинаковых двухчленов в д/з № 682 (показать на слайде), т.е. возводили в квадрат сумму и разность двух выражений (2 столбец на слайде).

Обсуждение полученных результатов

Анализ III столбца:

---Давайте обсудим полученные результаты:

1. После приведения подобных членов подсчитайте, сколько получилось членов в каждом многочлене? (ответ: трёхчлен)

2. Что представляет собой 1^й, 2^й и 3^й члены по сравнению с 1-м и 2-м выражениями, стоящими в основании соответствующей степени?

1-й член - квадрат первого выражения.

2-й член - удвоенное произведение первого и второго выражений. 3-й член - квадрат второго выражения.

Итог исследования: ---Подмеченную закономерность можно записать в виде формулы.

Какой? Как вы думаете.

Учащиеся записывают общую формулу квадрата суммы двух чисел

(а + b)² = а ² + 2аb + b²- формула сокращённого умножения

Слайд № 4

(заполняется по ходу исследований, проведенных учащимися)

Слайд № 4

Слайд № 4

Слайд № 4

Слайд № 4

---Ребята, в дальнейшем для возведения в квадрат суммы двух выражений будем применять эту формулу.

---Продолжим наше исследование

Исследование начинается с вопросов.

1) Изменяется ли результат, если возвести в квадрат не (а + b)²,

а (а - b)?

2) Как можно проверить наше предположение?

(Выясняется, что можно проверить воспользовавшись таблицей,

если во всех скобках первого столбца знаки «+» поменять на «-»)

---Проверьте предположение: поменяйте знаки и выполните

умножение.

Учащиеся (проверка происходит в группах) проверяют результат и выясняют, что «-» стоит только перед удвоенным произведением.

---Что изменилось?

---В результате нашего исследования можно записать вторую

формулу. Какую?

(а - b)² = а ² - 2аb + b²

- формула сокращённого умножения

(записывают в тетрадь)

---Для чего нужны формулы? ( Для упрощения выражений)

Задание: ---Сформулируйте эти две формулы. ---А теперь найдите их и прочитайте по учебнику на стр. 153 - 154

Приступаем к работе компактным методом.

Первый шаг. Ученики выполняют упражнение: «Разделить правило чёрточками на отдельные указания».

Квадрат суммы двух выражений ║ равен квадрату первого выражения ║ плюс удвоенное произведение первого и второго выражений ║ плюс квадрат второго выражения.

---Сверим расстановку черточек.

Квадрат разности двух выражений ║ равен квадрату первого выражения ║ минус удвоенное произведение первого и второго выражений ║ плюс квадрат второго выражения.

---Расстановку чёрточек сверяют

Второй шаг. Учитель даёт образец выполнения упражнения с помощью подготовленного к работе правила.

Третий шаг. В соответствии с образцом, указанным учителем, вызванный ученик читает правила по учебнику и, останавливаясь после каждой чёрточки, выполняет соответствующую часть упражнения:

Слайд № 4

Слайд № 4

Слайд № 5

Слайд № 5

---«Квадрат суммы двух выражений (убеждаемся, что дан именно квадрат суммы (х² + 2хy)², а не что-либо другое) ---равен квадрату первого выражения (записывает: (х²)²) ---плюс удвоенное произведение первого и второго выражений

(выполняет это указание: 2 (х²)(2хy)) ---плюс квадрат второго выражения (записывает: (2хy)² ---и упрощает полученное выражение х⁴ + 4х³y + 4х²y²)

Остальные следят за работой отвечающего на доске, затем вызвать каждого к доске:

а) (х² + 2хy)² (решает учитель)

б) (8х + 3)² = (8х)² + 2 (8х) 3 + 3² = 64х² + 48х + 9

в) (10х - 4y)² = (10х)² - 2(10х)(4у) + (4у)² = 100х² -80ху + 16у²

г) (5а³ - 6с)² = (5а³)² - 2(5а³)(6с) + (6с)² = 25а⁶ - 60а³с + 36с²

IV. Закрепление нового материала

Групповая работа.

Каждая группа работает самостоятельно, получив тестовое

задание.

---Работаем в группе, выберите правильный ответ и запишите его в

бланке ответов

1. Выбрать правильный ответ.

Результаты работы с тестами учащиеся записывают на доске

1

2

3

4

В

Б

А

А

---Запишите результат на доске.

---Проверьте свои результаты:

2. Игра «Кубик - экзаменатор».

На каждой грани, записан квадрат суммы или разности двух выражений. Вызванный по желанию ученик, подбрасывает кубик и комментирует выпавшую ему на верхней грани часть формулы,

Задания

заранее записаны на доске

Карточки с тестовыми заданиями

и бланком ответов

Слайд № 6

«Кубик-экзаменатор»

называет многочлен, в который можно преобразовать данный

квадрат двучлена.

(4y - р)²

(b - 3)²

(m + 5c)²

(c²- 5t)²

(2z + 1)²

(7c + p)²

V. Итог урока

(Формулы выводятся с помощью проектора на экран)

Повторить формулы квадрата суммы и разности двух

выражений.

Выяснить с учащимися, почему эти формулы называются

формулами сокращённого умножения.

---Сегодня на уроке мы вывели первые две формулы.

Почему эти формулы называются формулами сокращенного

умножения?

---Для чего нужно знать формулы сокращенного умножения?

---Как называется 1^я формула, 2^я формула?

---Сформулируйте 1^ю формулу, 2^ю формулу.

VI. Домашнее задание: п.32, выучить первые две формулы и

формулировки;

решить № 803, № 852.

Слайд № 7

Слайд № 7