Содержание.

Введение._________________________________________________3

Глава 1. Методические особенности изучения процентов в

школьном курсе математики. _______________________6

1.1 Некоторые особенности обучения математике.__________6

1.2 Краткий анализ современного состояния процентов в

школьном курсе математики. ________________________8

1.3 История процентов.________________________________19

Глава 2. Методика изучения процентов в младших классах.

2.1 Методика изучения процентов в учебнике ______________23

«Математика - 5» ( под редакцией Н. Я. Виленкин, А. С. Чесноков, и другие. )___________________________________________________23

2.2 Методика изучения процентов в учебнике

«Математика - 5» ( под редакцией Л. Н. Шеврин, А. Г. Гейн,

И.О. Коряков, другие. )____________________________________25

2.3 Методика введения процентов._____________________________28

2.4 Методика нахождения нескольких процентов

от числа.____________________________________________30

2.5 Методика нахождения числа по его процентам _____________31

2.6 Методика нахождения процентного отношения.________32

2.7 Задачи на проценты для младших классов. ____________33

Вывод.___________________________________________________35

Литература.______________________________________________36

Введение.

Тема моей курсовой работы это проценты, точнее будет сказать методика изучения процентов в школе, для обычного курса обучения в младших классах, и углубленного изучения для старших классов. Проценты в мире появились из практической необходимости, при решении определенных задач, в основном это экономические потребности. И поэтому надо отметить важность процентов в нашей жизни. Так как проценты проникли практически, во все отросли знаний. Мы не однократно видим, что проценты применяют даже там, где проценты на первый взгляд не применимы так, например человек на вопрос как у него здоровье? Может ответить, что здоров процентов на семьдесят, отсюда видно, что проценты можно применять при измерении не только точных величин, как килограммы, рубли и.т.д. Так как проценты являются универсальной величиной измерения разных величин и объектов. Проценты уже появились в древности, когда появилось понятие долга, так как нужны были для выплаты по закладным и займам и т. д. И поэтому в математике стала, развиваться новая область, как проценты. Первая потребность процентов была экономическая, но после проценты стали, широко применяться в различных отраслях и науках (математика, химия и т д. ) и в наше время проценты приобрели широкое распространение. И именно поэтому нам захотелось рассмотреть, как ведется изучение процентов в школе.

В моей курсовой работе я хотела раскрыть методику изучения процентов в школьном курсе. Особенности изучения в пятых классах, рассмотреть особенности изложения данной темы в разных учебниках. Так же я попыталась рассмотреть собственную методику изучения процентов. Которая заключается в том, чтобы постараться взять все самое лучшее из разных источников, и объединить это для улучшения методики изучения процентов.

Также я постаралась рассмотреть несколько интересных задач на проценты, которые могут встретиться учащимся, которые после школы хотят поступить в различные вузы и где им может встретиться математика и вызвать затруднения у них. А также посмотреть, где применяются проценты, в каких областях, и стоит ли это вводить в школу как основной материал или нужно преподавать эту часть как спецкурс по математике.

Предмет - процесс обучения учащихся алгоритму решения задач на проценты.

Объектом - является учебная деятельность, при которой учащиеся учатся решать задачи на проценты.

Гипотеза - разобрать дополнительные приемы изучения процентов в школе, попытаться достигнуть золотой середины. Когда, при нехватке учебных часов, учащиеся в полной мере понимали и усваивали такую тему как проценты.

Цели моей курсовой работы являются:

1) Общий анализ изучения процентов в школе.

2) Разбор методики изучения процентов в 5 классе по учебникам.

3) Обобщение методики изучения процентов в 5 классе.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

В первой главе рассмотрим основную методику изучения процентов в школе. Так же рассмотрим некоторые особенности методики, которая сейчас есть в школе. Рассмотрим, как изучение процентов влияет на развитие учащихся, на их математическое развитие, и не только. Так как сама тема проценты появилась из практической необходимости и остается актуальной и посей день. Значит, такая тема как проценты должна развивать некоторые практические аспекты мышления учащихся. Но не должна отрываться от других изучаемых тем школьного курса математики. Так как мы являемся сторонниками того, что в учебном процессе все должно быть взаимосвязанным. В обучение не должно быть скачков и разрывов, это приводит к тому, что учащиеся теряют последовательность, а значит, хуже усваивают изучаемый материал.

Во второй главе разобрала, как ведется преподавание процентов в различных учебниках математики, обобщила материал по изучению процентов в школьном курсе математики. Также обозначила три основных действия, которые необходимы при работе с процентами. Это методика нахождения нескольких процентов от числа, методика нахождения числа по его процентам и методика нахождения процентного отношения. И рассмотрим несколько задач для младших классов.

Глава 1. Методические особенности изучения процентов в школьном курсе математики.

1.1. Некоторые особенности в обучении математики.

Исторически сложились две стороны назначения математической науки: практическая, связанная с созданием и применением инструментария, необходимого человеку в его продуктивной деятельности, и духовная, связанная с мышлением человека, с овладением определенным методом познания. Исходя из этого, и определяются методы обучения математики. Математическая подготовка необходима для понимания принципов устройства и использования современной техники, восприятия научных и технических понятий. Математика является языком современной науки. Значения математического образования для формирования духовной сферы человека обусловлены тем громадным запасом общечеловеческих и общекультурных ценностей, которые накопила математическая наука в ходе своего развития.

В процессе обучения в арсенал приемов и методов человеческого мышления естественным образом включается индукция и дедукция, общение и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование, аналогия. Объекты математических умозаключений и правила их конструирования вскрывают механизм логических построений, вырабатывают умение формулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивать логическое мышление. В ходе решение задач, представляющих основной вид учебной деятельности на уроках математики, развиваются творческая и прикладная стороны мышления.

Принципиальным положением организации школьного математического образования должна стать технология уровневой дифференциации обучения математики в основной школе. Это означает, что, осваивая общий курс, одни школьники в своих результатах ограничиваются обязательным уровнем подготовки, другие в соответствии со своими склонностями и способностями достигают более высоких результатов. При этом достижения обязательного уровня должно стать непременной обязанностью учащихся в их учебной деятельности. В то же время каждый имеет право самостоятельно решить, ограничиться ли этим уровнем или продвигаться дальше. Именно на этом пути осуществляются гуманистические начала в обучение математики.

У практического интеллекта, кроме связанной с этим названием способности решать практические задачи, есть и другие атрибуты: здравый смысл, смекалка, « золотые руки », интуиция. Долгое время развитием этих сторон интеллекта ребенка школа относительно пренебрегала или сводила их главным образом к приобретению учащимися элементарных трудовых умений и навыков, относящиеся к малоквалифицированной работе. В условиях перехода к рыночным отношениям и самостоятельной экономической деятельности людей значение практического интеллекта особенно возросло, так как каждому человеку теперь необходимо вести расчетливый и продуманный образ жизни.

В структуру практического интеллекта входят следующие качества ума: предприимчивость, экономичность, расчетливость, умение быстро и оперативно решать возникающие задачи. Предприимчивость проявляется в том, что в сложной жизненной ситуации человек способен находить несколько решений возникшей проблемы, а главное - то, что какая бы проблема перед ним ни возникла, он всегда готов и в состоянии отыскать ее оптимальное решение в практическом плане. Предприимчивый человек из любой ситуации сможет найти выход.

Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.

Экономичность как качество практического ума состоит в том, что обладающий этим качеством человек в состоянии найти такой способ действия, который в сложившейся ситуации с наименьшими затратами и издержками приведет к нужному результату.

Расчетливость проявляется в умении заглядывать далеко вперед, предвидя последствия тех или иных решений и действий, точно определять их результат и оценивать, чего он может стоить.

Наконец, умение оперативно решать поставленные задачи - это динамическая характеристика практического интеллекта, проявляется в количестве времени, которое проходит с момента возникновения задачи до ее практического решения.

Развитым можно считать такое практическое мышление, которое обладает всеми указанными свойствами. Экономичность сформировать у детей проще, чем другие качества практического ума, но делать это надо систематически, пробуждая детей в школе и дома самостоятельно производить расчеты материальных затрат на интересующие их дела, а такие обязательно найдутся .

1.2. Краткий анализ современного состояния процентов в школьном курсе математики.

Тему «проценты» нельзя отнести к легко усвояемым. Ее традиционное изучение сосредоточено в строгих временных рамках курса V - VI классов, что не позволяет расширить спектр практических приложений и полноценно учитывать возрастные возможности учащихся в формировании ряда практических умений в работе с процентами. Покажем, как предлагается изучать этот материал в учебных комплектах по математике для V -VI классов под редакцией Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина. Прежде всего, отметим, что при изложении темы «проценты» реализуются многие общие методические особенности, характерные для курса в целом.

Тема разворачивается по спирали и изучается в несколько подходов с VI по IX класс, включительно. При каждом подходе учащиеся возвращаются к процентам на новом уровне, их знания пополняются, добавляются новые типы задач и приемы решения. Такое многократное обращение к понятию приводит к тому, что постепенно оно усваивается прочно и осознано. Появляется возможность включать задачи, которые сейчас в действующих учебниках не могут рассматриваться просто в силу возрастных особенностей школьников.

Вопросы, связанные с процентами, позволяют сделать курс практически-ориентированным, показать учащимся, что приобретаемые ими математические знания применяются в повседневной жизни. Интерес в значительной степени поддерживается также и содержанием задач, фабулы которых приближены к современной тематике и к жизненному опыту детей, а затем и подростков. Это служит достаточно сильным мотивом для решения предлагаемых задач.

Введение процентов опирается на предметно- практическую деятельность школьников, на геометрическую наглядность и геометрическое моделирование. С самого начала освоения понятия учащиеся выполняют много заданий, в которых требуется заштриховать, закрасить, начертить, вырезать часть фигуры. Широко используются рисунки и чертежи, помогающие разобраться в задаче и увидеть путь решения.

Как и во всех остальных разделах курса, при изложении этой темы реализованы широкие возможности для дифференцированного обучения учащихся. Задачи предлагаются в широком диапазоне сложности - от самых простых, базовых, до достаточно трудных. Учитель может подобрать материал, соответствующий возможностям учащихся.

При обучении решению задач на проценты учащиеся знакомятся с разными способами решения задач, причем спектр примеров шире, чем это бывает обычно. Ученик овладевает разнообразными способами рассуждения, обогащая свой арсенал приемов и методов. Но при этом также важно, что он имеет возможность выбора и может пользоваться тем приемом, который ему кажется более удобным.

Впервые о процентах учащиеся узнают в V классе. Там проценты рассматриваются дважды: в начале учебного года, то есть до изучения десятичных дробей (при повторении и систематизации материала, связанного с обыкновенными дробями), а затем в середине учебного года после изучения десятичных дробей. Если в первом случае тема проценты затрагивается поверхностно, то во втором случае при изучении десятичных дробей идет уже более глубокое изучение темы проценты уже более осмысленно.

« Что такое процент » - это первая тема изучаемой линии. Основная цель данного этапа - сформировать понимание процента как специального способа выражения доли величины, выработать умение выражать процент соответствующей обыкновенной дробью. Учащиеся должны понять, что проценты не просто пустое слово, а что это универсальная величина измерения, которая появилась из практической необходимости измерения различных величин и не только денежных.

Не надо торопиться приступать к решению задач на нахождение процента от некоторой величины. Надо дать учащимся возможность привыкнуть к введенному понятию, освоить фактически другую терминологию. Через систему упражнений, как учебника, так и рабочей тетради ребята учатся употреблению нового термина, «переводу» задач с языка долей и дробей на язык процентов и обратно. В результате еще до решения основных задач на проценты, учащиеся прочно овладевают достаточно большим набором фактов, которые помогают им в дальнейшем при изучении как темы проценты, так и математики в целом. Так, они усваивают некоторые «эквиваленты»:

25 % величины - это 1/4 этой величины;

половина некоторой величины - это ее 50 %;

30 % величины втрое больше, чем ее 10 % и т.п.

Ребята учатся сравнивать доли величины, заданные разными способами:

1/3 больше, чем 25 %;

7/12 некоторой величины больше 50 % этой величины;

23 % меньше четверти; вся величина - это 100 %. И т. д.

Выработке навыков помогает специальная работа учащихся в тетради, по специальному материалу подобранному по учебнику. Предлагаемая серия практических заданий способствует усвоению учащимися понятия процента. Приведем несколько примеров из рабочей тетради.

Пример: Заштрихуйте на рисунки указную часть круга

25% 50% 75% 100%

Выберите для каждого процента в левом столбце соответствующую ему дробь:

10% 1/2;

50% 9/10;

30% 1/10;

75% 1/4;

90% 3/10;

25% 3/4.

Среди упражнений, направленных на сознательное усвоение материала, могут предлагаться такие задачи:

Примеры:

1. Для каждой фразы из левого столбца подберите соответствующую фразу в правом:

1. 100 % учащихся школы

2. 25 % учащихся школы

3. 10 % учащихся школы

4. 50 % учащихся школы

а) половина всех учащихся школы

б) все учащихся школы

в) четверть всех учащихся школы

г) десятая часть всех учащихся школы.

2. Туристы проехали 50 % пути на поезде и 40 % пути на автобусе. Весь ли путь они проехали?

3. В классе 40 % девочек. Кого в классе больше - мальчиков или девочек?

3. Что больше:

а) 60 % всего класса или половина класса?

б) 10 % зарплаты или четверть зарплаты?

в) половина или 45 % всего населения страны?

Теперь, когда учащиеся достаточно свободно и осознано, владеют понятием процента, можно перейти к задаче на нахождение процентов некоторой величины. Методически целесообразно сначала находить один процент величины, а потом - несколько процентов этой величины (желательно чтобы у педагога уже были сформированы основные алгоритмы по методике нахождению процентов ). Что касается второго приема решения (путем умножения на обыкновенную дробь), то здесь он, конечно, рассматривается, но его обязательное условие отнесено на более поздние сроки. Опыт показывает, что соответствующий навык вырабатывается в процессе многократного применения первого приема, как результат «свернутого» действия. Поэтому на данном этапе второй прием в обязательные требования не включается.

Формулировки некоторых задач предлагаются в развернутом виде, то есть к рассматриваемому в условии сюжету поставлены не один, а несколько последовательных вопросов. Тем самым привлекается внимание учащихся к тому, какую информацию можно извлечь из ситуации с процентами.

Пример:

1. В магазине было 800 кг картофеля. Продали 60 % картофеля.

1. Сколько килограммов картофеля продано?

2. Сколько процентов всего картофеля осталось в магазине?

3. Сколько килограммов картофеля осталось в магазине?

2. В кассе учреждения было 9000 руб. На оплату командировочных израсходовали 80 % этой суммы. Какие вопросы можно поставить к задаче? Ответьте на них.

Специальная серия задач, посвященная трудному вопросу об увеличении на 200 %, 300 % и т.д. Нужно постепенно подводить учащихся к пониманию того, что, например, увеличение на 100 % - это то же самое, что увеличение в 2 раза и т.д. Приведем примеры:

1. Фирма в первый месяц выпустила 160 игрушечных автомобилей, в следующем месяце она увеличила выпуск игрушек на 200 %. Сколько игрушечных автомобилей стала выпускать фирма? Во сколько раз увеличился выпуск игрушечных автомобилей?

2. В первом квартале 1995 года квартплата в Москве с лифтом была на 100 % выше квартплаты в домах без лифта (рис. 2). Во сколько раз квартплата в домах с лифтом была выше квартплаты в домах без лифта?

Кварт-

плата

200%

Дома без лифта

Дома с лифтом

100%

Рис. 2

3. В связи с инфляцией стоимость проезда в городском транспорте за полгода возросла на 300 %. Во сколько раз повысилась стоимость проезда?

Учащиеся также знакомятся с формой неявного использования процентов, типичной для средств массовой информации, например: «Из каждых 100 новорожденных 51 - мальчики ».

Второй подход в изучении процентов связывается с десятичными дробями, здесь предлагаются два специальных пункта. В пункте «Главная задача на проценты» учащиеся учатся находить процент величины умножением на десятичную дробь. Приведем пример задачи и ее решения разными способами.

Оптовая цена товара на складе 5500 руб. Торговая надбавка в магазине составляет 12 %. Сколько стоит товар в магазине?

I способ: 12 % - это 0,12; 0,12 от 5500 руб. составляет 5500*0,12 = 660 (руб.), поэтому товар в магазине стоит 5500 + 660 = 6160 (руб.).

II способ: оптовая цена составляет 100 %, а цена товара в магазине на 12 % больше, т. е. она составляет 112 %; 112 % - это 1,12; 1,12 от 5500 руб. составляет 5500*1,12 = 6160 (руб.).

В пункте «Выражение долей в процентах» центральной является задача об определении того, сколько процентов одна величина составляет от другой. Здесь принят подход, в соответствии с которым сначала находят, какую часть одна величина составляет от другой, выражают ее при необходимости десятичной дробью, а затем - в процентах.

Одна из особенностей вычислительной линии курса состоит в формировании умений выполнять прикидку или оценку результата вычисления. При изучении процентов эта работа, естественно, продолжается. Учащимся предлагаются задачи из повседневной практики, в которых требуется найти приближенно с помощью прикидки процент от заданной величины, для этого достаточно заменить данные другими числами, близкими к ним и удобными для расчетов. Так, если требуется прикинуть, чему равны 19 % от какой - либо величины, то находят 20 % этой величины, т.е. ее пятую часть. Вот примеры задач.

1. Перед новым годом магазин снизил цены на товары на 25 %. На сколько примерно рублей понизилась цена товара, если до снижения она составляла 799 руб.? 1980 руб.? 9880 руб.? 11890 руб.?

2. Выполните прикидку и вычислите примерно:

а) 19 % от 120 кг.

б) 52 % от 697 руб.

в) 26 % от 810 м.

г) 21 % от 1990 руб.

д) 676 % от 4012 км.

е) 9 % от 200 г

Третий подход в изучении процентов отнесен к VII классу. В силу возрастных возможностей шестиклассников и уже накопленного ими опыта работы с процентами учащимся становятся доступными многие вопросы из тех, что традиционно не рассматривались со всем классом, а предлагались лишь в качестве дополнительных в работе с сильными учащимися.

В первой главе учебника выделен пункт «Решение задач на проценты», в котором помещен материал, позволяющий вспомнить сведения из V класса, и продвинутся в решении задач. Теперь рассматриваются более сложные в техническом отношении задачи. Они требуют достаточно прочного навыка представления процентов дробью и наоборот. Умения того, какая из величин, участвующих в задаче, принимается за 100 %. Поэтому в начале теоретической части пункта рассматриваются приемы, с помощью которых десятичная дробь выражается в процентах и, наоборот; здесь специально выделяется вопрос о «маленьких» и «больших» процентах, как наиболее трудный для усвоения. На примере приведенной ниже задачи подробно разберем решения.

Пример:

Весной цена товара была повышена на 10 %, а осенью - еще на 5 %. Сколько стал стоить товар, если его стоимость была 3000 руб.?

Решение:

Для начала найдем стоимость после первого повышения

3000 / 100 % или 1% = 30 отсюда 10 % = 300 рублей.

3000 + 300 = 3300 рублей.

Найдем стоимость после второго повышения.

3300 / 100 % = 33 или 1 % = 33 рубля отсюда 5 % = 165 рублей

3300 + 165 = 3465 рублей.

Ответ: 3465 рублей.

Предлагаемые в системе упражнения задачи, как правило, допускают разные способы рассуждений, и учащиеся самостоятельно выбирают более удобный и понятный для себя.

Кроме задач на нахождение процента от величины, рассматриваются задачи на нахождение величины по известному проценту.

Отметим еще один методический подход, используемый в изучении процентов. Первую главу заключает раздел «Для тех, кому интересно», в котором учащиеся еще раз встречаются с задачами на проценты. Здесь рассматриваются восемь, если можно так сказать, «классических олимпиадных» задач. Обычно они не включаются в учебники, так как являются трудными, но будет жаль, если учащиеся уйдут из школы, не увидев эти красивые и изящные задачи. Приведем пример одной из задач.

Пример:

Книга дороже альбома на 25 %. На сколько процентов альбом дешевле книги?

Решение:

Цена альбома - 100%. Изобразим ее каким либо отрезком ( рис. 3 ). Увеличим этот отрезок на 25 %, т.е. на 1/4 его часть; получим отрезок соответствующий цене книги.

Теперь цена книги составляет 100%. Она изображена большим отрезком. Цена альбома меньше цены книги на 1/5 этого отрезка. Так как 1/5 составляет 20 %, то альбом дешевле книги на 20 %.

Цена альбома - 100% Цена книги - 100 %

Цена книги на 25 % больше Цена альбома на 20 % меньше

Ответ: на 20 %

Вся методика обучения решению задач, принятая в учебнике, позволяет показать учащимся наглядный способ их решения с помощью рисунков (хотя, конечно, эти задачи можно решить арифметически).

1.3 История процентов.

5 класс

В этом разделе школьной программы 5-го класса хорошо было бы рассказать учащимся об истории возникновения процентов, а также об истории появления на свет знака процента.

Также при изучении этого материала необходимо учащимся объяснить, что такое - сотая часть числа (например, сотая часть рубля это копейка ) надо отметить, что к этому времени учащиеся уже прошли деление, и дроби, так что у них не возникнет проблем. Так же надо отметить, что люди давно заметили, что сотые доли величин более удобны на практике (например, при записи десятичных дробей).

Итак, слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент - это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента (см. схему, которую можно использовать на уроке).

В учебнике Н.Я. Виленкина, В.И. Жохова, А.С. Чеснокова и С.И. Шварцбурда «Математика, 5», вышедшем в издательстве «Мнемозина» в 1996 г. в рубрике «История математики» (с. 337) дана еще одна достаточно любопытная версия возникновения знака %. Там, в частности, говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована книга-руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

В названном учебнике содержатся достаточно полезные с точки зрения общего развития дополнительные сведения, касающиеся промилле (от латинского «с тысячи») - десятой части процента. Сказать учащимся об этом нужно, указав при этом его обозначение ‰.

Вообще, изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало дальнейшему ее развитию. (Презентация в приложении).

В качестве опорного сигнала к этому уроку может быть использован следующий плакат:

Он может сопровождаться, в частности, таким комментарием: «Римляне брали с должника лихву (т. е. деньги сверх того, что дали в долг). При этом говорили: «На каждые 100 сестерциев долга заплатить 16 сестерциев лихвы».

У учителя может возникнуть вопрос, а какие старинные задачи можно решать в этой теме с учащимися? Что ж, если таких задач учитель не найдет, то ему придется самому сочинить их.

Задачи с историческими сюжетами учитель с легкостью может составить сам, например, путем переформулировки некоторых задач, изложенных в учебнике 5-го класса. Ему просто следует ввести в такие задачи старинный сюжет. Разумеется, главное в составлении таких задач - фантазия, эрудиция и понимание цели образовательных задач.

Приведу примеры двух задач исторического содержания, которые были составлены для работы в 5-м классе по теме «Проценты».

Задача 1. Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестерциев. Заимодавец поставил условие: «Ты вернешь мне в установленный срок 50 сестерциев и еще 20% от этой суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг?

Ответ: 60 сестерциев.

Задача 2 (более сложная). Некий человек взял в долг у ростовщика 100 р. Между ними было заключено соглашение о том, что должник обязан вернуть деньги ровно через год, доплатив еще 80% от суммы долга. Но через 6 месяцев должник решил вернуть свой долг. Сколько рублей он вернет ростовщику?

Ответ: 140 руб.

Глава 2. Методика изучения процентов в младших классах.

2.1 Методика введения процентов в учебнике

" математика 5 "

(под редакцией Н. Я. Виленкин, А. С. Чесноков, и другие.)

Сотую часть рубля называют копейкой, сотую часть метра -сантиметром, сотую часть гектара - аром или соткой. Принято называть сотую часть величины или числа процентом. Значит одна копейка - один процент от одного рубля, а один сантиметр - один процент от одного метра, один ар - один процент гектара, две сотых - один процент от числа два.

Процентом называют одну сотую часть числа.

Для краткости слов « процент » после числа заменяют знаком %.

Предложение «На слет направили 1,5% пионеров нашей школы » читают так: «На слет направили полтора процента пионеров нашей школы », а предложение « В этом месяце завод перевыполнил план на 8% » читают так: « В этом месяце завод перевыполнил план на восемь процентов ».

Так как 1% равен сотой части величины, то вся величина равна 100%.

Задача №1: Швейная фабрика выпустила 1200 костюмов. Из них 32% костюмы нового фасона. Сколько костюмов нового фасона выпустила фабрика?

Решение: Так как 1200 костюмов - это 100% выпуска, то, чтобы найти 1% выпуска, надо 1200 разделить на 100. Получим, что 1200:100=12, значит, 1% выпуска равен 12 костюмов. Чтобы найти, чему равны 32% выпуска, надо умножить 12 на 32. Так как 12*32=384, то фабрика выпустила 384 костюма нового фасона.

Задача №2: За контрольную работу по математике 12 учеников получили отметку «5», что составляет 30% всех учеников. Сколько учеников в классе?

Решение: Сначала узнаем, чему равен 1% всех учеников. Для этого разделим 12 на 30. Так как 12:30=0,4, то 1% равен 0,4. Чтобы узнать, чему равны 100% надо умножить 0,4 на 100. Так как 0,4*100=40, 40 учеников.

Задача №3: Из 1800 га колхозного поля 558 га засажено картофелем. Какой процент поля засажен картофелем?

Решение: Картофелем засажено 558 /1800 всего поля. Обратим дробь 558/1800 в десятичную. Для этого разделим 558 на 1800. Получим 0,31. Значит, картофелем засажена 31 сотая всего поля. Каждая сотая равна 1% поля, поэтому картофелем засажен 31% всего поля.

2.2 Методика введения процентов в учебнике

" математика 5 "

(под редакцией Л. Н. Шеврин, А. Г. Гейн, И.О. Коряков, другие.)

Сотая часть метра - это сантиметр, сотая часть рубля - копейка, сотая часть центнера - килограмм. Люди давно замети, что сотые доли величин удобны в тактической деятельности. Потому для них было придумано специальное название - процент ( от латинского "по-центум" - на сто ). Значит одна копейка - один процент от одного рубля, а один сантиметр - один процент от одного метра.

ОДИН ПРОЦЕНТ - ЭТО ОДНА СОТАЯ ДОЛЯ ЧИСЛА.

Математическими знаками один процент записывается так: 1%. Записи 2%, 4% читают: ( Два процента ), ( Четыре процента ).

Прочитайте предложение « К 15 апреля вспахано 93% пахотных земель »,

« Производительность труда повысилась на 4% »,

« Цены снижены на 30% ».

Определение одного процента можно записать равенством:

1% = 0,01 * а

Каждый быстро сообразит, что 5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3 и т. д.

Как найти 1% от числа? Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Мы уже сделали вывод, что деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.

Вот какое правило получилось:

Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь

.

Пример решения задачи на проценты.

Задача1. Токарь вытачивал за 1 час 40 деталей. Применив резец из сверх прочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?

Решение: И так чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько, процентов составляют 10 деталей от 40. Для этого найдем сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40.

Мы знаем, что нужно разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь запишем в процентах - 25%. Получаем ответ: производительность труда токаря повысилась на 25%.

Итак, чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов.

Задача2. Тракторист вспахал 1,32 кв. км пашни. Это составило 60% всей площади, которую должен вспахать. Какова вся площадь, которую ему нужно вспахать?

Решение: Давайте рассуждать. Вся площадь нам не известна. Обозначим ее буквой X . Мы знаем, что 60% от числа X составляет 1,32.

Значит сначала нужно заменить десятичной дробью, а затем записать уравнение X * 0,60 =1,32. Решая его, получаем, что Х = 1,32/0,60 = 2,2 (кв. км)

Что же мы сделали, чтобы найти X? Во-первых, заменили проценты десятичной дробью, во-вторых, разделили данное нам число на получившуюся десятичную дробь.

Конечно, площадь и число процентов в этой задаче могли быть другими. Но путь решения останется прежним. Значит можно сформулировать правило:

Если дано, сколько процентов от искомого числа составляет данное число, то чтобы найти искомое число, нужно заменить проценты десятичной дробью и разделить на эту дробь данное число.

2.3 Методика введения процентов.

При изучении этого материала нужно сначала учащимся объяснить, что такое сотая часть числа (например, сотая часть метра - это сантиметр, сотая часть рубля - копейка, сотая часть центнера - килограмм) надо отметить, что к этому времени учащиеся уже прошли деление и дроби и у них не возникнет проблем. Люди давно заметили, что сотые доли величин удобны в практической деятельности (например, при записи десятичных дробей). Потому для них было придумано специальное название - процент (от латинского ' по-центум ' - на сто). Значит одна копейка - один процент от одного рубля, а один сантиметр - один процент от одного метра. Итак, один процент - это одна сотая доля. Здесь важно обратить внимание на математическую запись процентов " % ", и главное объяснить, что целая часть равна "100%" что, "100%" и есть целостность числа.

Также надо обязательно обратить внимание на свойства.

Свойства.

1)1% = А/100.

2)1%* 100 = А

Найти В процентов.

1% = А/100

В% = В*А/100

В*1% = В%

Пример найти 7% от числа 17.

7% от 17 будет 7*17/100 = 1.19 или одна целая девятнадцать

сотых это семь процентов от семнадцати.

Также нужно отметить, что проценты это аналог Обыкновенным дробям (1/100) из этого следует, что процентами выполняются все четыре действия присущи обыкновенным дробям это сложение, вычитание, умножение, деление. Так что, при изучении темы проценты можно опираться на уже изученную тему по обыкновенным дробям.

Я уже выше рассмотрела задачи на нахождение процентов от числа, так же нахождения числа по его процентам. Теперь я хотела бы рассмотреть задачу на процентное отношение чисел.

Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить (а/в)*100%.

Пример:

Задача1: При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план?

Решение: Воспользуемся правилам.

(66/60)* 100=1,1 * 100=110%

Ответ. 110%.

Задача2. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди? Решение:

1) 6+ 34 =40 (кг) масса всего сплава.

2) (34 * 100%)/40 = 85% сплава составляет медь.

Ответ. 85%.

2.4 Методика нахождения нескольких процентов от числа.

В данном разделе я хотела бы показать методику нахождения нескольких процентов от числа, так как эта тема является одной из трех важнейших тем, которые должны понять учащиеся при изучении такой темы как проценты. А главное они должны понять алгоритм нахождения одного или нескольких процентов от числа, и применять эти способности на практике, при решении различных задач на проценты.

Главное чтобы учащиеся поняли, что для того чтобы находить проценты от числа нужно понять, что один процент является одной сотой от данного числа. Из этого следует, для определение одного процента, а это главное, так как чтобы найти несколько процентов от числа нужно найти сначала один процент, можно записать равенством:

1 % = 0,01 * а

от сюда любой учащийся быстро поймет, что 5% = 0,05, 23% = 0,23, 130%=1,3 и т. д.

Как найти 1% от числа? Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Мы уже сделали вывод, что деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.

Так что отсюда можно вывести алгоритм нахождения одного или нескольких процентов от числа:

Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь

2.5 Методика нахождения числа по его процентам.

Дальше я хотела бы показать общую методику нахождения числа от одного или нескольких процентов. Так как это также является важной частью в изучение процентов, так как встречаются не только задачи на нахождение процентов от числа, но числа по процентам, это особенно хорошо видно в задачах связочных с экономикой (например когда в банк ложится сумма под проценты, а через какое-то время забирается с набежавшими процентами и нужно найти данную сумму ). Так что учащимся нужно так же раскрыть алгоритм нахождения числа от нескольких процентов.

Учащиеся уже знают, что один процент можно записать как десятичной дробью.

1 % = 0,01 * а

Так вот возникает вопрос, как найти искомое число, если известно лишь, сколько процентов составляет другое число от искомого? Для этого нужно сначала проценты записать десятичной дробью, после чего нужно данное нам число разделить на эту десятичную дробь в результате мы получим число от нескольких процентов.

Если дано, сколько процентов от искомого числа составляет данное число, то, чтобы найти искомое число, нужно заменить проценты десятичной дробью и разделить на эту дробь данное число.

2.6 Методика нахождения процентного отношения.

Так же я рассмотрела последнее, но не менее важное для нахождения процентов при решение задач - это нахождение процентного отношения. В этом разделе рассмотрим алгоритм нахождения процентного отношения.

Так вот встречаются задачи, в которых даны два числа и нужно найти их процентное отношение, для этого нужно взять первое число назовем его а и разделим его на второе число назовем его число в , а затем результат умножим на сто процентов. То мы получим процентное отношение первого числа на второе.

( а / в ) * 100 % (*)

Чтобы найти процентное отношение двух чисел а и в, надо отношение этих чисел умножить на сто процентов, то есть получить формулу (*)

.

2. 7 Задачи на проценты для младших классов.

(надо сразу отметить, что такие задачи очень важны в курсе изучения не только процентов, но и всей математики, так как здесь, как и числа, так и процентное содержание, а это, как правило, пугает детей, так как их приучили работать с чем-то одним при решении задач.)

Задача 1: Вини Пух очень любил мед и стал разводить пчел. В первый год пчелы дали 10 кг меда, но Вини Пуху этого было мало. Во второй год пчелы увеличили производства меда на 10 % , но и этого было мало Вини Пуху. Он подсчитал, что ему надо примерно 13 кг меда. Вопрос сколько лет должен ждать Вини Пух, чтобы удовлетворить свои потребности при условии, что пчелы каждый год будут увеличивать производство меда на 10 %.

Решение:

Для того чтобы узнать, сколько надо ждать Вини Пуху надо узнать, сколько у него будет через год, а будет 11 кг, через два года 12,1 кг, и только на третий год он удовлетворит свои потребности.

Ответ: 3 года.

Задача 2: Когда Том Сойер нашел клад он решил часть денег отдать тетушке, а часть оставить себе, так чтобы, положив их в банк при 5 % годовых каждый год получать эти проценты на личные расходы, он даже подсчитал , что ему примерно надо в год 300 долларов. Сколько он должен положить в банк?

Решение:

Если 5 % это 300 долларов, то 100 % будет равно 6000 долларов.

Ответ: 6000 долларов.

Вывод.

Все поставленные первоначально цели в моей курсовой работе на тему «Методика изучения процентов» считаю, мною достигнуты. В данной работе я рассмотрела различные учебники, потому что именно с пятого класса проценты вводятся в школьный курс. В этих учебниках мы увидели, как идет процесс изложения особенности изучения процентов. А так же составить свою методику изучения процентов в школьном курсе, опираясь на школьные учебнике и пособия для учителей.

Мною так же были рассмотрены несколько интересных задач на разные темы, которые могут встретиться учащимся, вызвать затруднения у них, так как некоторые задачи вызвали затруднения даже у нас.

Хочется отметить, что тема моей работы полезна и очень актуальна, тем более в наше время, когда на первое место в отношениях становится экономика, а проценты приобрели широкое распространение в нашей жизни и, по-моему, в школах уделяется мало время на изучение процентов, а сам материал рассматривается скупо не полномасштабно.

Также при проведении апробации учащимся очень нравится данная тема. Они с удовольствием решают задачи. Так же можно отметить, что особое место у них занимали задачи связанные с экономикой, это задачи на банковские вклады, так как многие очень близко сталкиваются с этим в жизни и хотят об этом знать больше. Надо отметить что, интерес учащихся к этой теме и выбранная методика изучения процентов в школе дала хорошие результаты. Можно сделать вывод, что эту тему не только можно, но и нужно вводить на спец. курсах по математике. А так же расширить курс изучения процентов в школьном курсе математике.

При написание данной курсовой работы я узнала много нового и интересного, и данный материал, я постараюсь использовать в дальнейшей работе в школе.

Литература.

1. Н.Я. Виленкин, А.С. Чесносков, и другие. « математика 5 » Москва «просвещение» 1992 г.

2. Л.Н. Шеврин, А.Г. Гейн, И.О. Коряков, и другие. « математика 5 » Москва «просвещение» 1989 г.

3. М.В. Лурье, Б.И. Александров. « Задачи на составление уравнений».

4. Г.В. Королькова. « Методическое пособие по математике » Волгоград 1996 г.

5. И.Я. Депмана и Н.Я. Виленкина « За страницами учебника математики »М., Просвещение, 1989 г.

6. Максимова В.Н. Проблемный подход к обучению в школе Методическое пособие по спецкурсу Л.1973.

7. Махмутов М.И. Организация проблемного обучения М. Педагогика 1977.

8. Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении М. Педагогика 1972.

9. Скаткин М.Н. Проблемы современной дидактики М. Педагогика 1980.

10. Ю.Н. Владимиров «Вступительные испытания по математике в 1998 - 2000 годах » Новосибирск 2000 г.

11. Журнал « Математика » № 3 Москва 1998 г.

12. Журнал « Завуч » № 4 Москва 1999 г.

13. Р.С. Немов « ПСИХОЛОГИЯ » книга 2 Москва 1998 г.

14. «ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ ШКОЛЬНИКА КАК СУБЪЕКТА УЧЕНИЯ» под редакцией Е.Д. Божович Москва - Воронеж 2000 г.

15