Тема: Решение тригонометрических уравнений Лекция

Тема: Решение тригонометрических уравнений

Лекция

Уравнения вида ; ; ; ; называют квадратными уравнениями.

Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида ax²+bx+c=0, где x- переменная, a,b и c- некоторые числа, причем a0.

a,b и c- коэффиценты, a-I, b-II, c-свободный член.

Если в квадратном уравненииax²+bx+c=0, один из коэффицентов b или c равен нулю, то такие уравнения называют неполным квадратным уравнением.

; ;

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

1) , ;

2) , ;

3) .

Уравнение вида называют приведенным квадратным уравнением, то есть а=1.

Такие уравнения решаются способом выделения квадрата двучлена.

Решать квадратные корни можно по формуле:

Рассмотрим квадратное уравнение ax²+bx+c=0.

1. если Д > 0, то , где Д = ;

2. если Д = 0, то ;

3. если Д < 0, < 0 - уравнение не имеет корней.

При решении квадратного уравнения по формуле следует:

1. Вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;

2. Если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

С помощью квадратных уравнений решаются многие задачи в математике, физике, технике.

Корни квадратного уравнения можно найти по теореме Виетта.

Теорема Виетта: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

; .

Квадратное уравнение ax²+bx+c=0 имеет корни х₁ и х₂, равносильное ему приведенное квадратное уравнение . По теореме Виетта: ; .

УЭ

Учебный материал

Действия учащихся

УЭ₀

Цель: Формировать умения работать самостоятельно и в паре, умение организовать тематический диалог, задавать вопросы, понимать другое решение.

УЭ₁

Цель: Закрепить решение простейших тригонометрических уравнений

Инструкционная карта №1:

1. Вспомните основные правила решения тригонометрических уравнений.

Прочитайте текст стр. 69, 70 учебника под редакцией Шаныбекова А.Н.

2. Самостоятельная работа

1 вариант 2 вариант

cos x = ½ sin x = -

sin x = - cos x =

tg x = 1 ctg x = 1

cos = 0 sin = 0

2cos x = 1 4sin x = 0

3tg x = 0 cos 4x = 0

sin 4x =1 5 tg x = 0

Выполните письменно

УЭ₂

Цель: Закрепить навык решения однородных уравнений

Инструкционная карта №2:

1. Дать определение однородного уравнения относительно sin x и cos x

Учебник, стр 72

2. Рассмотреть пример № 4

Записать в тетрадь (стр.72)

3. Решить уравнение методом сведения их к однородным уравнениям

Учебник, стр. 78 № 252, 253.

4. Домашнее задание

П. 5.2 (1,2) стр. 71,72; № 254

УЭ₃

Цель: Продолжить формирование навыков решений тригонометрических уравнений методом дополнительных углов

Инструкционная карта №3:

1. Научить работать самостоятельно с текстом учебника, умение выбирать главное

Прочитайте пункт П 5.2 (3) стр. 72, 73.

2. Рассмотреть пример 5

Запишите в тетрадь пример стр. 73.

3. Решить уравнения методом дополнительных углов

Учебник стр. 79 № 256

4. Домашнее задание

П 5.2 (3), № 257

УЭ₄

Цель: Закрепить навыки решения тригонометрических уравнения методом замены переменной

1. Научить работать самостоятельно с текстом учебника, умение выбирать главное

П. 5.2 (4) стр. 74

2. Рассмотреть пример 6, 7, 8

Запишите в тетрадь примеры стр. 74-76

3. Решить уравнения методом замены переменной

Учебник стр. 79 № 259

4. Домашнее задание

П. 5.2 (4) стр. 74, № 260

УЭ₅

Цель: Закрепить навык решения тригонометрических уравнений методом разложения на множители

Инструкционная карта №4:

1. Метод разложения на множители

Под разложением на множители понимается представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит произседение нескольких множителей, а в другой - 0, то каждый множитель приравнивается к 0. Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде совокупности более простых уравнений. К сожалению, нельзя указать единого способа разложения на множители любого выражения. Одними из самых популярных являются способы вынесения за скобки общего множителя, группировки, применение формул сокращенного умножения.

Внимательно прочитайте пояснение

2. Рассмотреть пример 9

Запишите в тетрадь пример стр.79

3. Решить уравнения методом разложения на множители

Учебник стр. 80 № 267

4. Домашнее задание

П. 5.2 стр. 74, № 268, 269

УЭ₆

Цель: Закрепить умения решения тригонометрических уравнений методом сведения к квадратному

Инструкционная карта №5:

1. Пояснение

Метод сведения к квадратному уравнению состоит в том, что, пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнения к такому виду, чтобы какую - то функцию (например sin x или cos x) или комбинацию функций обозначить через у, получив при этом квадратное уравнение относительно у.

Внимательно прочитайте пояснение

2. Рассмотреть пример:

1. Решить уравнение 4 -

Решение. Вместо подставим тождественное ему выражение 1-. Тогда исходное уравнение примет вид:

Если положить у = , получим квадратное уравнение . Оно имеет корни 1 и 3. Значит, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

=1 или = 3.

Уравнение =1 имеет решение .

Уравнение =3 решений не имеет.

Ответ: .

Запишите в тетрадь пример

3. Самостоятельная работа

1 вариант 2 вариант

Выполните письменно

4. Домашнее задание

№275

УЭ₇

Цель: Рассмотреть решение тригонометрических уравнений методов оценки обеих частей уравнения

Инструкционная карта №6:

1. Пояснение: Иногда предварительно оценив левую и правую части уравнения, можно определить, имеет ли данное уравнение решение или не имеет

2. Рассмотреть пример 10, 11

Запишите в тетрадь

3. Решите уравнения

№269, 270, 271

4. Домашнее задание

№ 280, 281

УЭ₈

Цель: Проверить уровень сформированности навыков решения тригонометрических уравнений уравнений.

Инструкционная карта №7:

Тест

Каждый работает самостоятельно

Карточка №1(1)

1. (х-1)(х+9)=0

2. а) х² + 4х + 3 =0

б) х² - 6х + 8 = 0

в) 4х² - 3х - 1 = 0

Карточка №1(2)

1. (х+1)(х-5) = 0

2. а) х² -2х - 1 = 0

б) х² + 4х - 2 = 0

в) 5х² +4х - 12 = 0

Карточка №1(3)

1. (х - 3)(х + 7) = 0

2. а) х² +4х +3 = 0

б) х² +4х - 12 =0

в) 4х² -10х - 6 = 0

Карточка №1(4)

1. (х-2)(х+6) = 0

2. а) х² -8х-9=0

б) х²-10х-6=0

в) 3х²+8х+5=0

Карточка №1(5)

1. (х-4)(х+8)=0

2. а) х² + 12х+20 =0

б) х² +8х+5=0

в) 5х² +3х-8=0

Карточка №1(6)

1. (х-5)(х-3) =0

2. а) х² -8х+15 =0

б) х² +4х-39=0

в) 2х² -9х+10=0

Карточка №2(1)

1. 5х²-125=0

2. 3х²-48=0

3. 4х²=0

4. № 242 (а)

5. № 244

6. № 249 (а)

Карточка №2(2)

1. 9х²-81=0

2. 4х²+16=0

3. 5х²=0

4. № 242 (б)

5. № 244

6. № 249 (б)

Карточка №2(3)

1. 3х²-27=0

2. 5х²-20х=0

3. 6х²=0

4. № 242 (в)

5. № 244

6. № 249 (в)

Карточка №2(4)

1. 5х²-25=0

2. 3х²+12х=0

3. 7х²=0

4. № 242 (г)

5. № 244

6. № 249 (г)

Карточка №2(5)

1. 12х²-6=0

2. 5х²+3х=0

3. 8х²=0

4. № 243

5. № 244

6. № 249 (д)

Карточка №2(6)

1. 9х²-27=0

2. 4х²-5х=0

3. 9х²=0

4. № 243(б)

5. № 244

6. № 249 (е)

Карточка №3(1)

1. № 263 (а)

2. № 264 (а)

3. № 265 (а)

4. № 266 (а)

5. № 267 (а)

6. № 269 (а)

Карточка №3(2)

1. № 263 (б)

2. № 264 (б)

3. № 265 (б)

4. № 266 (б)

5. № 267 (б)

6. № 269 (б)

Карточка №3(3)

1. № 263 (в)

2. № 264 (в)

3. № 265 (в)

4. № 266 (в)

5. № 267 (в)

6. № 269 (в)

Карточка №3(4)

1. № 263 (г)

2. № 264 (г)

3. № 265 (г)

4. № 266 (г)

5. № 267 (г)

6. № 269 (г)

Карточка №3(5)

1. № 263 (а)

2. № 264 (д)

3. № 265 (д)

4. № 266 (д)

5. № 268 (а)

6. № 269 (д)

Карточка №3(6)

1. № 263 (б)

2. № 264 (е)

3. № 265 (е)

4. № 266 (е)

5. № 268 (б)

6. № 269 (е)

Карточка №4(1)

1. Одно число больше другого на 3, а их произведение равно 180. Найдите эти числа.

2. Решите уравнение:

А) 3х²-27=0; Б) 5х²-20х=0.

Карточка №4(2)

1. Одно число меньше другого на 4, а их произведение равно 192. Найдите эти числа.

2. Решите уравнение:

А) 5х²-125=0; Б) 3х²-48х=0.

Карточка №4(3)

1. Одно число меньше другого на 5. Разность между квадратом первого числа и вторым числом равна 85. Найдите эти числа.

2. Решите уравнение:

А) 4х²+16х=0; Б) 9х²-81=0.

Карточка №4(4)

1. Первое число больше второго на 4. Разность между квадратом первого числа и вторым числом равна 46. Найдите эти числа.

2. Решите уравнение:

А) 5х²+20х=0; Б) 4х²-26=0.

Карточка №4(5)

1. Одно число больше другого на 2, а разность их кубов равна 488. Найдите эти числа.

2. Решите уравнение:

А) 4х⁴-4х=0; Б) х⁴-16=0.

Карточка №4(6)

1. Одно число больше другого на 3, а разность их кубов равна 189. Найдите эти числа.

2. Решите уравнение:

А) х⁴-81=0; Б) 3х⁴-3х=0.

Карточка №5(1)

1. х²-2х-15=0

2. х²+3х-28=0

3. у²-14у+48=0

Карточка №5(2)

1. х²+15х+36=0

2. х²+6х+8=0

3. х²-3х+2=0

Карточка №5(3)

1. х²+3х-2=0

2. х²-3х-18=0

3. х²-5х-14=0

Карточка №5(4)

1. х²-3х+2=0

2. х²+3х-18=0

3. х²-3х-12=0

Карточка №5(5)

1. х²-5х-14=0

2. х²+3х-12=0

3. х²-5х+3=0

Карточка №5(6)

1. х²+5х-14=0

2. х²+3х-10=0

3. х²+4х-21=0

Карточка №6(1)

1. Не решая уравнения, найдите сумму и произведение его корней:

А) х²-3х-10=0 В) 5х²-125=0

Б) х²-5х+3=0 Г) 3х²-12х=0

2. В уравнении х²-nх+5=0 один из корней равен 1. Найдите коэффициент n и другой корень уравнения.

Карточка №6(2)

1. Не решая уравнения, найдите сумму и произведение его корней:

А) х²+3х-10=0 В) 5х²-25=0

Б) х²+5х+3=0 Г) 3х²+12х=0

2. В уравнении х²+nх+5=0 один из корней равен 1. Найдите коэффициент n и другой корень уравнения.

Карточка №6(3)

1. Не решая уравнения, найдите сумму и произведение его корней:

А) х²-5х-14=0 В) 13х²-10=0

Б) 20х²-7х-6=0 Г) 5х²-3х=0

2. В уравнении х²-nх-12=0 один из корней равен 4. Найдите коэффициент n и другой корень уравнения.

Карточка №6(4)

1. Не решая уравнения, найдите сумму и произведение его корней:

А) х²+5х-14=0 В) 12х²-6=0

Б) 20х²+7х-6=0 Г) 5х²+3х=0

2. В уравнении х²+nх-12=0 один из корней равен 4. Найдите коэффициент n и другой корень уравнения.

Карточка №6(5)

1. Не решая уравнения, найдите сумму и произведение его корней:

А) х²-3х-12=0 В) 7х²-10=0

Б) 15х²+7х-20=0 Г) 13х²-15х=0

2. В уравнении (k-7)х²-13х-k =0 один из корней равен 5. Найдите коэффициент k и другой корень уравнения.

Карточка №6(6)

1. Не решая уравнения, найдите сумму и произведение его корней:

А) х²+3х-12=0 В) 3х²-5=0

Б) 15х²-7х-20=0 Г) 13х²+15х=0

2. В уравнении (а-7)х²+13х-а=0 один из корней равен 5. Найдите коэффициент а и другой корень уравнения.

Контрольная работа