Урок-диалог учебных предметов в 9 классе в форме защиты экспериментальных проектов.

Тема. «Длина окружности. Число ».

Цели урока: - Вывести формулу длины окружности (совместно с учащимися).

- Развитие коммуникативных способностей учащихся в совместной деятельности, воспитание целеустремленности в познавательной деятельности.

• Развитие навыков ведения исследовательской, экспериментальной работы.

• Формирование научного мировоззрения (межпредметные связи).

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, лабораторные весы.

Ход урока

1.Организационно-психологический этап. Мобилизующее начало (вводное слово учителя).

Число «пи» (π) выражает отношение длины окружности к своему диаметру. Первым ввёл обозначение этого числа современным символом π английский учёный У. Джонсон в 1706 году. В качестве символа он взял первую букву греческого слова «периферия», что в переводе означает окружность.

На протяжении многих столетий математики разных стран и народов пытались выразить отношение длины окружности к диаметру с различной степенью точности.

Историческая справка

Древний Египет- π=(16/9)2 3.160

Индия (6 век до нашей эры) √10= 3.162

Архимед (3 век до нашей эры) 3+10/71<π<3+1/7 π=3.1419...

Цзу Чунчжи (5 век нашей эры) π=3.1415927… (Китай)

Ал-Каши (первая половина 15 века) 16 десятичных знаков

16 век, Лудольф, 35 десятичных знаков.

18 век, Леонардо Эйлер, 153 десятичных знака.

1873 год, Шенкс 707 десятичных знаков.

1947 год, Фюргюсон и Ренг, 808 десятичных знаков и обнаружили ошибку Шенкса с 528 знака.

Какое бы сочетание цифр мы бы не выдумали - оно непременно встретится в знаках числа π. Если в знаках числа π вы поищете дату своего рождения или телефон, то вы обязательно найдете. Есть гипотезы, предполагающие, что в числе π скрыта любая информация, которая когда-либо была или будет доступна людям.

Цель нашего урока не вычислить число π, а познакомиться с теоретической основой методов и приёмов, которые использовались при его нахождении. Известны многие способы экспериментального определения числа π. Готовясь к сегодняшнему уроку, вы работали над различными исследовательскими проектами: «выпрямляли окружность», кидали дротики и иголки, составляли программы для работы на компьютере, проводили физические эксперименты. Все эти исследования проводились с целью: поднять занавес над таинственным числом  и вывести формулу для вычисления длины окружности. Открыли тетради и записали тему урока «Длина окружности. Число ».

2.Выдвижение гипотезы.

Ученики (по группам) знакомят класс с результатами домашней практической работы «Нахождение отношения периметра правильного многоугольника к диаметру окружности». Результаты измерений записывают в заранее подготовленную дома таблицу (дома заполняется только один «свой» столбик).

Отношение периметра правильного многоугольника к диаметру

1

2

3

4

5

треугольник

шестиугольник

двенадцатиугольник

Проверим точность измерений, используя формулы для периметров правильных треугольника, шестиугольника и двенадцатиугольника, Результаты измерений: 2,568; 3; 3, 106.

Гипотеза: Отношение периметра правильного многоугольника к диаметру есть постоянное число для всех многоугольников с данным количеством сторон.

3. Доказательство гипотезы и знакомство с первым методом вычисления числа  (вычисление периметров правильных вписанных многоугольников при удвоении числа их сторон (метод Архимеда)). Вычисление длины окружности при помощи формул удвоения дают более точные результаты: a=, n3,

Докажем предположение для общего случая, т.е. для правильного n-угольника.

Доказательство.

Поменяем местами средние члены пропорции:

Если неограниченно увеличить число сторон правильных n-угольников, то их периметры будут равны сколь угодно мало отличаться от длин окружностей С и С₁. Таким образом

Т.е. отношение окружности к её диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Это число принято обозначать число . Великий греческий учёный Архимед, выразив через диаметр окружности периметр 96-угольника, нашёл число π=22/73.14. А работавший в 15 веке в Самарканде в знаменитой обсерватории Улугбека математик Аль-Каши, рассмотрев многоугольник с 800 335 168 сторонами, дал приближённое значение для π с 16 верными знаками.

4.Защита групповых проектов учащихся.

Известны многие способы экспериментального определения числа π. Вашему вниманию предлагаем несколько экспериментов, выполненных с использованием различных методов и знаний по физике, алгебре, геометрии, информатике и теории вероятности. Каждая творческая группа защищает свой проект.

Защита проекта «Вычисление числа  с помощью выпрямления окружности».

Познакомимся ещё с одним методом нахождения длины окружности и значения числа π. Это выпрямление окружности. Самый простой способ выпрямления окружности: обтянуть круг тонкой ниткой и измерить её.

Составим таблицу:

Диаметр (d)

13см

48см

16 см

8 см

13,2см

1,54см

9,8 см

12,3см

1,3см

Длина нити (С)

42см

16см

50,5см

25см

43,6см

4,9см

30,8см

41,8см

4,2см

π=C/d

3.23

3

3,15625

3.125

3,3030

3,1818

3,1428571

3,3983739

3,23077

Вы видите, что, определяя π указанным способом, мы можем получить результат, не совпадающий с 3.14. Случайно может оказаться среди них и 3.14, но в глазах вычислителя это число будет иметь больше веса, чем другие.

Таким образом, такой опыт никак не может дать сколько-нибудь приемлемого значения для π.

Приближённые геометрические способы выпрямления окружности

Способ №1

1. Проведём окружность с центром О и радиусом R.

2. Проведём диаметр АВ=2R.

3. Через точку В проведём касательную b (b АВ)

4. Из точки О под углом 30˚ к АВ проводим прямую ОС (С=ОС b.)

5. На прямой b от точки С откладываем СD=3R.

6. Соединяем точки А и D.

7. На AD откладываем AE=2AD.

8. AE - выпрямленная окружность с центром О и радиусом R.

Доказательство

Из треугольника ОСВ (ОВС=90˚): СВ=R/tg30˚=R √3/3

Из треугольника АВD (АВD=90˚): BD=3R- R √3/3

По теореме Пифагора:

Сравнив этот результат с тем, который получается, если взять π с большей степенью точности (π=3.141593), мы видим, относительная погрешность составляет 0,00006 R. Если бы мы по этому способу выпрямляли окружность радиусом в один метр, ошибка составляла бы для полуокружности всего 0,00006 м., а для полной окружности 0,00012 м. или 0,12мм.

Способ №2

Окружность заменяют периметром прямоугольного треугольника, у которого один катет составляет 3/5 диаметра, а другой 6/5диаметра. Гипотенуза при этом равна:

Способ №3

Замена длины полуокружности через сумму сторон правильного треугольника и квадрата:

Расчёты: а3=R√3, а4=R√2, π=3.1462643.

2.Защита проекта «Бросание иглы»

Самый оригинальный и неожиданный способ для приближённого вычисления числа π состоит в следующем. Запасаются короткой (сантиметра два) швейной иглой, - лучше с отломанным остриём, чтобы игла была равномерной толщины, - и проводят ряд тонких линий, отделённых одна от другой расстоянием вдвое больше длины иглы. Затем роняют с некоторой (произвольной) высоты иглу на бумагу и замечают, пересекает ли игла одну из линий или нет. Чтобы игла не подпрыгивала, подкладывают под бумажный лист пропускную бумагу или сукно. Бросание иглы повторяют много раз, например, сто или ещё лучше, тысячу, каждый раз отмечая, было ли пересечение. Если потом разделить общее число попаданий на число случаев, когда замечено было пересечение, то в результате должно получиться число π, конечно, более или менее приближённо.

Объясним, почему так получается. Пусть вероятнейшее число пересечений иглы равно К, а длина нашей иглы - 20 мм. В случае пересечения точка встречи должна, конечно, лежать на каком-либо из этих миллиметров, и ни один из них, ни одна часть иглы, не имеет в этом отношении никаких преимуществ перед другими. Поэтому вероятнейшее число пересечений каждого отдельного миллиметра равно K/20. Для участка иглы в 3 мм оно равно 3К/20, для участка 11 мм - 11К/20 и т.д. Иначе говоря, вероятнейшее число пересечений прямо пропорционально длине иглы.

Эта пропорциональность сохраняется и в том случае, если ига согнута.

Вообразите теперь, что мы бросаем иглу, изогнутую в форме окружности с диаметром, равным расстоянию между чертами (оно вдвое больше, чем наша игла). Такое кольцо каждый раз должно каждый раз дважды пересечь какую-нибудь черту (или по одному разу коснуться двух линий, - во всяком случае, получается две встречи). Если общее число бросаний N, то число встреч - 2N. Наша прямая игла меньше этого кольца по длине во столько раз, во сколько полудиаметр меньше длины окружности, т.е. в 2π раз. Но мы уже установили, что вероятнейшее число пересечений пропорционально длине иглы. Поэтому вероятнейшее число (К) пересечений нашей иглы должно быть меньше 2N в 2π раз, т.е. равно N/π. Отсюда π=число бросаний/число попаданий.

Число бросаний

Число попаданий

π

100

27

3,703704

200

66

3,(03)

200

64

3,125

200

65

3,07692

300

99

3,(03)

1000

325

3,07692

3. Защита проекта « Метод Монте-Карло»

В 2009 году исполнилось 60 лет методу Монте-Карло. В 1949 году в американском журнале "Journal of American Association" появилась статья под названием « Метод Монте-Карло». Возникновение в развитие метода связано с именами известных учёных Дж. Фон Неймана, С. Улама, Н. Метрополиса, а также Г. Канна и Э. Ферми.

Это фактически метод статистических испытаний. Своё экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, можно получить случайные числа и при помощи … дождя.

Для опыта приготовим кусок картона, нарисуем на нём квадрат и впишем в квадрат четверть круга. Если такой чертёж некоторое время подержать под дождём, то на его поверхности останется следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри круга. Очевидно, что их отношение будет приближённо равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть N_кр - число капель в кругу, N_кв - число капель в квадрате, тогда.

Дождь можно заменить таблицей случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе. Каждому следу капли поставим в соответствие два случайных числа, характеризующих его положение вдоль осей Ox и Oy. Случайные числа можно выбрать из таблицы в любом порядке, например, подряд. Пусть первое четырёхзначное число в таблице 3265. Из него можно «приготовить» пару чисел, каждое из которых больше нуля и меньше единицы: x=0.32, y=0.65. Эти числа будем считать координатами капли, т.е. капля как будто попала в точку (0.32;0.65). Аналогично поступаем и со всеми выбранными случайно числами. Если окажется, что для точки (X_i;Y_i) выполняется неравенство X_i² + Y_i² >1, то значит, она лежит вне круга. Если X_i²+Y_i²≤1, то точка лежит внутри круга.

Для подсчёта значения π снова воспользуемся формулой π=4N_кр/N_кв. Ошибка вычислений по этому методу, как правило, пропорциональна (корню из D/N), где D некоторая постоянная, а N - число испытаний. В нашем случае N=N_кв. Из этой формулы видно: для того чтобы уменьшить ошибку в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе ещё один верный десятичный знак), нужно увеличить N, т.е. объём работы, в 100 раз. Ясно, что применение метода Монте-Карло стало возможным только благодаря компьютерам.

Поместим данную фигуру в квадрат. Будем наугад (как говорят математики, случайным образом) бросать точки в этот квадрат. Естественно предполагать, что, чем больше площадь фигуры, тем чаще в неё будут попадать точки. Представьте себе квадратный дворик и в нём детскую площадку. Каждому ясно, что во время снегопада количество снежинок, попавших на детскую площадку, пропорционально её площади. Таким образом, можно сделать вывод допущение: при большом числе точек, наугад выбранных внутри квадрата, доля точек, содержащихся в данной фигуре, приближённо равна отношению площади этой фигуры к площади квадрата.

Опыт .

Для опыта приготовим кусок картона квадратной формы (со стороной а=2) и впишем в него окружность (R=1).

Будем кидать дротик, не целясь.

Число бросаний в круг - 1176

Число попаданий 1500

π=4· 1176/1500=3.136

Реализация метода на компьютере (язык программирования Бейсик)

Реализация метода на компьютере (язык программирования Бейсик)

SCREEN 12

CLS

LINE (210, 150)-(410, 350), , B

CIRCLE (310, 250), 100, 15

LINE (310, 100)-(310, 400)

LOCATE 17, 25: PRINT "-1": LOCATE 17, 40: PRINT "0": LOCATE 17, 53: PRINT "1"

LINE (160, 250)-(460, 250)

LOCATE 9, 40: PRINT "1": LOCATE 23, 40: PRINT "-1"

RANDOMIZE (TIMER)

LOCATE 3, 3

INPUT "N= ", n

m = 0

FOR i = 1 TO n

x = 2 * RND(TIMER)

y = 2 * RND(TIMER)

IF (x - 1) ^ 2 + (y - 1) ^ 2 <= 1 THEN

m = m + 1

END IF

s = 4 * m / n

PSET (210 + x * 100, 150 + y * 100), 14

NEXT

PRINT " M= "; m

PRINT " г= "; s

END

Подсчёт значений π.

4.Защита проекта «Измерение  с помощью взвешивания».

На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг. Вырежем квадрат. Определим массу картонного квадрата с помощью школьных весов. Вырежем из квадрата круг. Взвесим его. Зная массы квадрата и вписанного в него круга, воспользуемся формулами m=ρV, V=Sh, где ρ и h соответственно плотность и толщина картона, S - площадь фигуры. Рассмотрим равенства

Отсюда т.е.

Естественно, что в данном случае приближённое число π зависит от точности взвешивания (результаты опытов).

№ опыта

m_круга

m_{квадрата}

π

1.

2,3

2,9г

3.1724137

2.

1,4г

2г

2,8

3.

3,7г

4.5г

3,2888888

4

3,71г

4,83г

3,0724637

5

2,37г

3,05г

3, 1081967

5. Простые числа и число π.

Число π может быть выражено через различные «комбинации» первых 7-ми простых чисел (или их квадратов).

Вычислить число π (отношение длины окружности к ее диаметру), с точностью до четвертого десятичного знака, можно по следующим формулам: π=, где - сумма квадратов чисел с нечетными порядковыми номерами (2,5,11,17), равная 439; - с нечетными (3,7,13), она равна 227.

А если воспользоваться суммой первых 7-ми простых чисел ? Соответствующая формула не менее изящна:

π= , π=

Для определения числа π пригодны следующие формулы:

π =π = 3,1415864

π =π = 3,1415896

5.Итог урока.

Старинные математики затратили огромный труд для получения возможно более «длинных» выражений для π, что никакого практического смысла не имеет. Если бы мы пожелали, например, вычислить длину земного экватора с точностью до 1 см, предполагая, что знаем длину его диаметра точно, то для этого нам вполне достаточно взять всего 9 цифр после запятой в числе π. А взяв вдвое больше цифр (18), мы могли бы вычислить длину окружности, имеющий радиусом расстояние от Земли до Солнца, с погрешностью не свыше 0.0001 мм (в 100 раз меньше толщины волоса!). Цель нашего урока не вычислить число π, а познакомиться с теоретической основой методов и приёмов, которые использовались при его нахождении. В наше время труд вычислителей заменили ЭВМ. С их помощью число «пи» вычислено с точностью более пятисот тысяч знаков, причём эти вычисления продолжались только несколько часов. Но как сказал Г.В.Лейбниц: «Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймёт». В 10 и 11 классах исследование будет продолжено методами дифференциального и интегрального исчисления.

6.Домашнее задание

.№ 1101(таблица в учебнике), № 1102 (устно), №1104,№ 1105 (разноуровневые задачи по четырем вариантам)

Задание для пытливых умов. Кого называют победителем числа  и почему?

Библиографический список

1. Глейзер История математики в школе: 9-10 кл. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1983.

2. Я.И.Перельман Занимательная геометрия. Триада-литера М. 1994.

3. Лютикас В.С. Школьнику о теории вероятности. М.: Просвещение. 1976.

4. Н.Рыбкин. Сборник задач по геометрии для 6-9 классов семилетней средней школы. УЧПЕДГИЗ. 1948.

5. «Информатика» №15(208) апрель 1999г., приложение к газете «Первое сентября».

6. Новожилов Б.В. Метод Монте-Карло. М.: Знание, 1966.

7. Соболь Н.М. Метод Монте-Карло. Популярные лекции по математике. Вып. 46. М.:Наука, 1968.

8. «Математика» №1 январь 1999г., приложение к газете «Первое сентября».

10