- Преподавателю
- Математика
- Элективный курс по математике Модули в конкурсных задачах (10 класс)
Элективный курс по математике Модули в конкурсных задачах (10 класс)
| Раздел | Математика |
| Класс | 10 класс |
| Тип | Другие методич. материалы |
| Автор | Костенкова О.В. |
| Дата | 20.06.2015 |
| Формат | doc |
| Изображения | Есть |
Муниципальное образовательное учреждение
"Средняя школа № 10"
г. Рославля Смоленской области
Элективный курс
"Модули в конкурсных задачах"
для 10 класса
Учитель
Костенкова
Оксана Витальевна
2015
Пояснительная записка.
Математическое образование в системе среднего (полного) общего образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловной практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, ее вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.
В условиях современной школы актуальным остается вопрос дифференциации обучения математике, позволяющей, с одной стороны, обеспечить базовую математическую подготовку, а с другой - удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к предмету.
Программа курса "Модули в конкурсных задачах" предполагает изучение таких вопросов, которые не входят в обязательный курс школьной математики, но изучение этого материала необходимо для успешной сдачи ЕГЭ и при учебе в высших учебных заведениях.
Рассматриваемый курс позволяет расширить знания учащихся по теме "Модуль действительного числа". Решение задач, рассмотренных в этом курсе, будет способствовать развитию логического мышления, приобретению опыта работы с заданием более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, формированию математической культуры учащихся.
Целями данного курса являются:
1. Создание условий для расширения и углубления знаний учащихся.
2. Создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности.
3. Развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся, обобщенных умственных умений.
Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются следующие задачи:
1. Приобщить учащихся к работе с математической литературой.
2. Выделить логические приемы мышления и способствовать их осмыслению, развитию образного и ассоциативного мышления.
3. Обеспечить диалогичность процесса обучения математике.
Курс предназначен для учащихся 10 классов, рассчитан на 18 часов аудиторного времени, призван помочь ученику успешно сдать выпускные и вступительные экзамены, оценить свой потенциал с точки зрения перспективы дальнейшего обучения в ВУЗе и повысить уровень общей математической культуры.
Требования к уровню усвоения курса.
В результате изучения курса учащиеся должны уметь:
-
Свободно решать уравнения и неравенства, содержащие абсолютную величину.
-
Проводить тождественные преобразования алгебраических выражений, содержащих модули.
-
Строить графики функций, содержащих модули.
Формы организации учебной деятельности: лекции, семинарские занятия, уроки-практикумы по решению задач. Заключительное занятие проводится в форме круглого стола, на котором обсуждаются решения задач "Олимпиады", предложенной учащимся заранее.
Для осуществления текущего и итогового контроля в процессе работы по данному курсу формируется рейтинг ученика: учащиеся получают баллы (от 1до 3) за решение задачи, дополнительный балл ученик получает за активную работу на занятии, за выступление на заключительном занятии. Баллы заносятся в ведомость, и на последнем занятии подводятся итоги и выставляются отметки.
Содержание курса.
Тема 1.
Предполагает изучение вопросов, связанных с тождественными преобразованиями алгебраических выражений с модулями.
В нее включены следующие вопросы:
1. Определение и свойства модулей.
2. Тождественные преобразования алгебраических выражений с модулями.
3. Модуль в формулах с радикалами.
Формы организации учебной деятельности: лекция (занятие1),семинар (занятие2), уроки-практикумы по решению задач (занятия3;4).
Тема 2.
Построение графиков функций, содержащих модули:
Формы организации учебной деятельности: лекция (занятие5), уроки-практикумы по решению задач(занятия6;7).
Тема 3.
Предполагает изучение и отработку алгоритмов решения уравнений с модулями.
Формы организации учебной деятельности: уроки-практикумы по решению задач (занятия8-12).
Тема 4.
Предполагает отработку алгоритмов темы 3 на примерах решения систем уравнений с модулями.
Формы организации учебной деятельности: семинар (занятия13-14).
Тема 5.
Предполагает изучение и отработку алгоритмов решения неравенств с модулями.
Формы организации учебной деятельности: лекция (занятие15),уроки-практикумы по решению задач (занятия16-17).
Завершается изучение курса выполнением учащимися "Олимпиады", в которую включены конкурсные задачи. Задания сообщаются ученикам на первом занятии. Заключительное занятие проводится в форме "круглого стола" по обсуждению решений задач "Олимпиады". На этом занятии подводятся итоги, сообщается рейтинг каждого, выставляются отметки.
Тематическое планирование.
1)Модули в алгебраических выражениях……………………4часа.
2)Графики функций, содержащих модули…………………..3часа.
3)Уравнения с модулями……………………………………...5часов.
4)Системы уравнений с модулями……………………………2часа.
5)Неравенства с модулями…………………………………….3часа.
6)Итоговое занятие…………………………………………….1час.
Материалы для проведения занятий.
Тема1. Модули в алгебраических выражениях.
Занятие1.Определение и свойства модуля.
Форма организации занятия: лекция.
Одним из основных понятий математики является понятие модуля (абсолютной величины ) действительного числа. С ним связаны многие формулы (например, формулы действий с радикалами и логарифмами ), а также многочисленные преобразования алгебраических выражений. Модуль может встретиться при решении уравнений и неравенств , при описании геометрических объектов и графиков .
Определение. Модулем (абсолютной величиной ) действительного числа а называется неотрицательное чиcло, которое обозначается 
и определяется с помощью двойного равенства
Пример:
=5, 
=-(-5)=5.
Свойства модуля:
1.=0
а=0; 6.
=
2.=
a=
b; 7. 
3. 
; 8.
;
4.
9.
5.
,b
0;
10.
Модуль действительного числа имеет простой геометрический смысл. Модуль равен расстоянию от точки А, изображающей число а на числовой оси Ох, до начала координат О на этой оси. Отсюда вытекает, что модуль разности 
равен расстоянию между точками А и В, изображающими на числовой оси числа a и b.
Задача 1. Раскрыть модуль: 
Решение. Установим знак выражения y=
входящего под знак модуля. Корнями данного квадратного трехчлена являются числа 
поэтому y
при x
или x
y<0 при 0<x<7. Теперь запишем требуемый результат:
=
Задача 2. Раcкрыть модуль:
Решение. Найдём значения переменной х, при которых обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля:
=0;
=1; x
=2. Разобьем область определения данного выражения (множество всех действительных чисел) на промежутки этими значениями x и определим знак каждого подмодульного выражения на промежутках:
Обозначим данное выражение А.
а) Если x
то А=
б) Если x
в) Если x
г) Если x
Задания для самостоятельной работы учащихся.
Снять модуль:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7) 
8) 
9) 
10) 
Занятие2.Тождественные преобразования алгебраических выражений, выражений, содержащих модули.
Форма организации занятия: семинар.
Задача1.Упростить выражение
А=
Решение. Областью определения выражения А является множество D(А)=
.
Для упрощения данного выражения освободимся от знака модуля. Заметим, что оба подмодульных выражения в А имеют один и тот же знак, так как неравенства (x+2)(x-3)<0 (>0) соответственно равносильны неравенствам 
Знак квадратного трехчлена y=(x+2)(x-3) устанавливается просто: у>0 при x
и у<0 при x
Учитывая, что точка x=-2 входит в D(А), будем иметь:
а)если x
то
А=
б)если x
то
А=-
Ответ:А=
Задача2. Упростить А=
Решение. Областью определения выражения А является множество D(А)=
Для упрощения выражения освободимся от знака модуля. Заметим, что подмодульные выражения обращаются в нуль при x=0 и x=1.
а) Если x
то
А=
б) Если x
то
А=
в) Если x
то
А=
Ответ:
Задания для самостоятельной работы учащихся.
Упростить выражения:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Решения задачи 1 и задачи 2 готовят два ученика под руководством учителя и сообщают их на семинаре. Задания 1-5 из списка заданий выполняются на занятии, задания 6-8 предназначены для домашней работы.
Занятие 3. Модуль в формулах с радикалами.
Форма организации занятия: урок-практикум по решению задач.
Задача 1.
Задача 2. Вычислить:
Решение.
Ответ:
Задания для самостоятельной работы учащихся:
1.Упростить и вычислить:
а) 
б)
в)
г)
д)
е)
ж) 
з) 
2.Упростить выражения:
а)
б)
в) 
Задача 3. Внесите множитель под знак корня: а) 
б)
Решение. а) Поскольку 
и 
то имеем
б)
Задания для самостоятельной работы учащихся.
Внесите множитель под знак корня: а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з) 
Занятие 4. Решение конкурсных задач.
Форма организации занятия: урок-практикум по решению задач.
1.Упростить выражения:
а)
б)
в)
г)
Задания а, в, г решаются на уроке, задание в - для домашней работы.
-
Упростить выражение для функций f(x) и построить их графики:
а)
б)
в) 
г)
д)
е) 
Задания а, б, в, д решаются в классе, задания г, е - для домашней работы.
Тема 2. Графики функций, содержащих модули.
Занятие 5.Построение графиков функций вида y=
y=
y=
y=
Форма организации занятия: лекция.
Задача1. Построить график функции y=
Решение. 1) Найдем область определения функции D(f):
D(f) =
2)Раскроем модули.
y
=
Задания для самостоятельной работы учащихся.
Построить графики функций:
1) y=
2) y=
3) y=
4) y=
5) y=
Задания 1-3 выполняются в классе, задания 4-5 дома.
Задача 2. Как построить график функции y =если известен график функции y=
y =
Решение. График в верхней полуплоскости остается без изменения, а часть графика, лежащая в нижней полуплоскости, симметрично отображется относительно оси Ох в верхнюю полуплоскость.
2
Задания для самостоятельной работы учащихся.
Построить графики функций: 1) y=
2)y=
3) y=
4) y=
5) y=
6) y=
Задания 1;4;5 выполняются в классе, задания 2;3;6 - дома.
Задача 3. Как построить график функции y=
, если известен график функции
y=
. y=
Решение. График в правой полуплоскости остается без изменения, а график в левой полуплоскости заменяется на симметричный графику в правой полуплоскости относительно оси Оу.
2
Задачи для самостоятельной работы учащихся.
Построить графики функций: 1) y=
2) y=
3) y=
4) y=
5) y=
6) y=
7) y=
8) y=
9) y=
Задания 1; 4; 5; 7 выполняются в классе, задания 2; 3; 6; 8; 9 - дома.
Форма организации занятий 6;7 - урок-практикум по решению задач.
Занятие 6. Построение графиков функций, имеющих точки разрыва.
Задача 1. Построить график функции y=
Решение.
1)D(f)=
2) Упростим выражение для функции, освободившись от знака модуля:
y=
Задача 2. Построить график функции y=
Решение.
1)D(f):x
2) Упростим выражение для функции, освободившись от знака модуля:
y=
Задания для самостоятельной работы учащихся.
Построить графики функций:
1) 
2)
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
Задания 1; 4; 5; 6 выполняются в классе, задания 2; 3; 7 -дома.
Занятие 7. Решение конкурсных задач.
Задача 1. Найдите значение выражения
А=
Решение.
-
Найдем О.Д.З. переменной:
-
Упростим выражение:
А=
Ответ:-19.
Задания для самостоятельной работы учащихся.
Упростить выражение и найти его значение:
1) А=
2) А=
Задача 2. Найдите значение выражения
А=
Решение.
-
Найдем О.Д.З. переменной:
Если 
то
-
Упростим выражение:
А=
Ответ: 0.
Задание для самостоятельной работы учщихся.
Найдите значение выражения:
А=
Ответ: -3.
Задача 3. Найдите площадь фигуры (или целую часть площади, если она не является целым числом), ограниченной линиями y=0, y=
x=-2, x=4.
Решение. В одной системе координат построим графики функций y=
,
y=0 и графики уравнений x=-2, x=4.
Упростим выражение для функции, освободившись от знака модуля:
y=
0
A
Ответ: 41.
Задания для самостоятельной работы учащихся.
Найдите площадь фигуры (или целую часть площади, если она не является целым числом), ограниченной линиями:
1) 
Ответ: 300.
2) 
Ответ: 279.
Тема 3. Уравнения с модулями.
Занятия по теме 3 проводятся в форме уроков-практикумов по решению задач.
Занятие 8. Решение уравнений вида 
Задача 1. Решить уравнение 
Решение.
1 способ(аналитический).
Ответ:1,5;2,5.
2 способ (графический).
В одной системе координат построим графики функций y=2x-4 и y=1.
Графики функций пересекаются в точках А(1,5;1) и В(2,5;1), поэтому уравнение имеет два корня: 
Поверка: если x=1,5 ,то 
если x=2,5 , то 
Ответ:1,5;2,5.
Задания для самостоятельной работы учащихся.
1. Решить аналитически и графически уравнения:
а) 
2. Решить уравнения:
(1)
Задача 2. Решить уравнение: 1) 
Решение. 1)По формуле (1):
Ответ: 2;4.
2) 
Ответ: 2
Задания для самостоятельной работы учащихся.
-
Решить уравнения: а)
б) 
Найти наименьший корень уравнения.
в) 
г) 
д) 
е) 
2. Найти корни уравнения 
удовлетворяющие неравенству 
Задания 1а; 1д; 1е; 2 выполняются в классе, задания 1б-г - дома.
Занятия 9;10. Решение уравнений вида 
Задача 1. Решите уравнение 
Решение. Подмодульные выражения обращаются в нуль при х=2 и х=1,5.
Данное уравнение равносильно совокупности трех систем:
Ответ: 0;3
Задания для самостоятельной работы учащихся.
Решить уравнения:
1) 
2) 
3) 
Задача 2. Решить уравнение 
Решение. Подмодульные выражения обращаются в нуль при х=0 и х=-2.
Данное уравнение равносильно совокупности трех систем:
Ответ: 
Задания для самостоятельной работы учащихся.
Решите уравнения: 1)
2) 
3) 
18
4) 
Задача 3. 
Решите уравнение: 
Решение.
Ответ: 
Задания для самостоятельной работы учащихся.
Решите уравнения: 1) 
В ответе укажите наименьший корень уравнения.
2) 
3) 
4) 
Занятия 11; 12. Решение конкурсных задач.
Задача 1. Решите уравнение 
Решение.
Ответ: 
Задача 2. Решите уравнение:
Решение.
О.Д.З. : 
Ответ: 0;
Задача 3. Решить уравнение 
Решение. Снимем модули:
а) Если 
уравнение примет вид:
Уравнение корней не имеет.
б) Если 
то уравнение примет вид:
1,25-корень уравнения.
в) Если 
то уравнение примет вид:
Уравнение корней не имеет.
г) Если 
то уравнение примет вид:
Ответ:
Задача 4. Найдите все действительные корни уравнения 
Решение. О.Д.З.:
Введем новую переменную: 
тогда уравнение примет вид:
так как дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, поэтому
имеем уравнение:
Так как 
то -1- посторонний корень. Вернемся к прежней переменной:
Ответ: 9.
Задача 5.Решите уравнение
Решение. Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, значит, уравнение
имеет решения при 
Преобразуем левую часть уравнения с учетом условия
Снимем модуль:
0 0,5 x
а) Если 
то имеем уравнение: 
Условию 
удовлетворяет только х=0- корень уравнения.
б) Если 
то имеем уравнение:
Ответ: 
Задача 6. Найдите наименьший из целых положительных корней уравнения
Решение.
Наименьший целый положительный корень уравнения 3.
Ответ: 3.
Задача 7. Решить уравнение 
Решение. В левой части уравнения сумма неотрицательных слагаемых, следовательно,
уравнение равносильно системе уравнений:
введем новые переменные:
получим систему уравнений:
вернемся к переменным x и y:
Ответ:
Задача 8. Решите уравнение 
Решение. Обозначим 
Имеем 
т.е. 
Отсюда следует,что 
или 
Вернемся к переменной х:
1) 
2) 
Корней нет.
Ответ: 
Задача 9. Решить уравнение 
Решение. Так как 
, а равенство 
равносильно неравенству 
, то
или 
Равенство возможно тогда и только
тогда, когда все выражения, стоящие под модулем, неотрицательны, то есть когда имеет
место следующая система неравенств:
Ответ:
Задания для самостоятельной работы учащихся.
-
Найти наименьшее значение функции
Ответ: 
-
Решить уравнение
Ответ:
Тема 4. Системы уравнений с модулями.
Занятия 13;14. Решение систем уравнений, содержащих модули.
Форма организации занятий: семинар.
Задача 1. Пусть 
-решение системы 
Найдите разность 
Решение.
Итак, 
Ответ;-4.
Задания для самостоятельной работы учащихся.
-
Пусть
решение системы 
Найдите произведение 
Ответ: 9.
-
Пусть
решение системы 
Найдите сумму 
Ответ: 3.
-
Пусть
решение системы 
Найдите значение выражения 
Ответ: -22.
Задача 2. Решите систему уравнений 
Решение. 1) Если х<0, то имеем систему уравнений
Вернемся к системе уравнений:
C учетом условия х <0, 
постороннее решение.
2) Если 
, то имеем систему уравнений 
Вернемся к системе уравнений:
Условие выполнено.
Ответ:
Задания для самостоятельной работы учащихся.
Решите системы уравнений: a)
Ответ:
б)
Ответ:
Задача 3. Решите систему уравнений 
Решение.
Ответ:
Задание для самостоятельной работы учащихся.
Решите систему уравнений 
Ответ:
Задача 4. Решите систему уравнений
Решение.
Решим уравнение (1):
Решим уравнение (2):
Вернемся к системе уравнений:
Ответ: 
Задания для самостоятельной работы учащихся.
Решите систему уравнений: 
Ответ: 
Задача 5. Решите уравнение 
Решение. Преобразуем данное уравнение:
Левая часть уравнения представляет собой сумму неотрицательных слагаемых, поэтому
уравнение равносильно системе уравнений:
Ответ: 
Задания для самостоятельной работы учащихся.
Решите уравнения:
1)
Ответ:
2) 
Ответ: 
3) 
Ответ:
Тема 5. Неравенства с модулями.
Занятие 15. Решение неравенств с модулями.
Форма организации занятия: лекция.
1. 
Задача 1. Решите неравенство 
Решение.
Ответ: 
Задача 2. Решите неравенство 
Решение.
Ответ: 
Задания для самостоятельной работы учащихся.
Решите неравенство: 1) 
Ответ:
2) 
Ответ: 
2. 
Задача 3. Решите неравенство 
Решение.
Ответ: 
Задания для самостоятельной работы учащихся.
Решите неравенство: 1) 
Ответ:
2) 
Ответ: 
3) 
Ответ: 
4) 
Ответ: 
Задача 4. Решите неравенство 
Решение. О.Д.З.: 
Снимем модуль. Данное неравенство равносильно совокупности трех систем неравенств:
Ответ: 
Задания для самостоятельной работы учащихся.
Решите неравенство: 1) 
Ответ: 
2) 
Ответ: 
3) 
Ответ: 
4) 
Ответ: 
3. 
Задача 5. Решите неравенство 
Решение.
Ответ: 
Задания для самостоятельной работы учащихся.
Решите неравенство: 1) 
Ответ: 
2) 
Ответ: 
Занятия 16;17. Решение конкурсных задач.
Форма организации занятий: уроки-практикумы по решению задач ( игра " Математический марафон").
1. 1) Найдите наибольшее целое число, не входящее в область определения функции
Ответ: 2.
2) Найдите наибольшее целое число, не входящее в область определения функции
Ответ: 2.
3) Найдите сумму всех целых чисел из области определения функции
Ответ: 63.
2. 1) Решите неравенство: а) 
Ответ:
б) 
Ответ: 
2) Найти количество целых решений неравенства 
Ответ: 5.
3) Найдите область определения функции 
Ответ: 
4) Решите неравенство 
Ответ: 
3. Решите системы неравенств: 1)
Ответ: 
2) 
Ответ: 
3) 
Ответ:
Занятие 18. Олимпиада.
Форма организации занятия: " круглый стол" по обсуждению решений конкурсных задач.
Задача 1. Разность 
является целым числом. Найдите это целое число.
Ответ:-10.
Задача 2. Постройте графики функций: а) 
б) 
Задача 3.
Дана функция 
а) Найдите наименьшее значение функции у(х).
б) Решите неравенство у(х)>8.
Ответ: а) 2; б)
Задача 4. Решите уравнения: а) 
б) 
Ответ: а) 0; 3,75; 4.б) 0;2.
Задача 5.
Решите неравенства: а) 
Ответ: 
б) 
Ответ: 
в) 
Ответ: 
Задача 6. Решите систему уравнений: 
Ответ: 
Задача 7.
Функция f(x) определена на всей числовой прямой, является нечетной,
периодической с периодом 4 и на промежутке 
ее значения вычисляются по фор-
муле 
Решите уравнение 
Ответ: 
Задача 8.
Найти все значения y, при которых любое действительное число является
решением неравенства
Ответ: 
Задача 9.
Решите уравнение: 
Ответ: 
Олимпиадные задания сообщаются ученикам на первом занятии. Перед началом последнего занятия учащиеся сдают учителю выполненные задания, которые проверяются позже. На уроке проводится обсуждение решений. Во время " круглого стола" должен выступить каждый ученик. Задачи, решения которых будет представлять учащийся, распределяются заранее. Верно решенные задачи 1-6 оцениваются 1-3 баллами, за правильное решение задач 7-9 ученик может получить 5 баллов, плюс дополнительный балл за выступление. Подведение итогов изучения курса проводится позже: ученикам сообщается их рейтинг и выставляется отметка за работу.
Литература
-
Козко А.И. Математика. Письменный экзамен. Решение задач. Методы и идеи:Учебное пособие/ А.И. Козко, Ю.Н. Макаров, В.Г. Чирский.- М.:Издательство "Экзамен",2006.-511с.
-
Куланин Е.Д. 3000 конкурсных задач по математике.3-е издание, исправленное и дополненное.- М.: Рольф, 1999.-624с.,илл..
-
Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф. Сборник задач по математике (с основами теории и методическими указаниями): Учебное пособие для довузовской подготовки.- М.:Издательство МЭИ, 2000.- 624 с.: ил.
-
Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы( с решениями). В 2-х кн.
Кн. 1. Алгебра: учебное пособие/ В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др.; под ред. М.И.Сканави.-7-е изд., переработанное и дополненное. М.Высшая школа,2013.-528с.
-
Ткачук В.В. Математика-абитуриенту.-9-е изд., исправленное и дополненное.
М.:МЦНМО,2002.-904с.