Три урока по теме: «Решение треугольников»

Задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность. Большинство учащихся либо не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкое решение без всякой логической стройности. Многие же задачи можно решать различными способами.Решению задач с параметрами в школе уделяется мало внимания. Устранить этот пробел можно на внеклассных занятиях.Предлагаю занятие по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами», которое расширит и углубит базовую основу общеобразовател...
Раздел Математика
Класс 11 класс
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

МАОУ ЛИЦЕЙ №44 г. Липецка

Учитель математики: Скорикова Людмила Алексеевна.

Уроки математики в 11 классе

(социально-экономический профиль)

Задачи с параметрами

по теме: Иррациональные уравнения и неравенства.

Решение задач с параметрами с применением производной.



Цель: повысить уровень подготовленности учащихся к сдаче Единого Государственного Экзамена по математике.





Пояснительная записка.

Предлагаемая система занятий расширяет и углубляет базовую основу общеобразовательной программы по математике и ориентирована на повышение уровня подготовленности учащихся к сдаче ЕГЭ.

Задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность. Это самые трудные задания и на выпускных экзаменах и на вступительных экзаменах в ВУЗ.

Решению задач с параметрами в школе уделяется мало внимания. Устранить этот пробел можно на внеклассных занятиях.

Универсальных указаний по решению задач с параметрами дать нельзя. При решении задач с параметрами приходится рассматривать различные случаи, в зависимости от значений параметров, и методы решения задач различны. Но задание некоторых правил и алгоритмов решения необходимо.

Взяты эти задания из различных источников. Большинство из этих заданий полагалось на вступительных экзаменах в ВУЗах.

В пособии даются краткие теоретические сведения, задания с параметрами по основным разделам алгебры.

Пособие содержит 187 заданий, большая часть из которых имеет решение. Используются аналитические и графические способы решения уравнений и неравенств.

Некоторые задания предлагается решить различными способами.

Рассматриваются 10 тем, в конце каждой даются задания для самостоятельной работы.

Обращаться к решению стоит только после того, как самостоятельно эти задания будут решены или когда Вы не в силах самостоятельно справиться с ними.

Данное пособие может быть полезным учителям математики, абитуриентам, школьникам.

Иррациональные уравнения и неравенства

I Иррациональные уравнения.

При решении иррациональных уравнений с параметрами пользуются общими формулами. Пусть f и q - некоторые функции, Три урока по теме: «Решение треугольников»., тогда:

1). Три урока по теме: «Решение треугольников»., f ≥ 0; q ≥ 0.

2). Три урока по теме: «Решение треугольников»., f ≥ 0; q > 0.

3). Три урока по теме: «Решение треугольников»., q ≥ 0.

4). Три урока по теме: «Решение треугольников»., Три урока по теме: «Решение треугольников»., q ≠ 0.

5). Три урока по теме: «Решение треугольников»., fq ≥0.

Применяя эти формулы нужно иметь в виду, что ОДЗ левой и правой частей каждой из них могут быть различными. Для каждой формулы ОДЗ правой части может быть шире ОДЗ левой.

Отсюда следует, что преобразования уравнения с формальным использованием формул «слева-направо» приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. В этом случае могут появиться посторонние корни уравнения.

Преобразование уравнений с формальным использованием данных формул «справа-налево» недопустимы, т.к. возможно сужение ОДЗ исходного уравнения, а следовательно, и потеря корней.

Уравнение видаТри урока по теме: «Решение треугольников»., Три урока по теме: «Решение треугольников». равносильно системе:

Три урока по теме: «Решение треугольников».

Пример 1.

Решить уравнение Три урока по теме: «Решение треугольников»..

Решение.

Заданное уравнение равносильно системе6

Три урока по теме: «Решение треугольников».=> Три урока по теме: «Решение треугольников». =>Три урока по теме: «Решение треугольников».

Находим а, при которых Три урока по теме: «Решение треугольников».

Ответ: Три урока по теме: «Решение треугольников».

Пример 2.

Решить уравнение Три урока по теме: «Решение треугольников»..

Решение.

Заданное уравнение равносильно системе

Три урока по теме: «Решение треугольников».=> Три урока по теме: «Решение треугольников».

Три урока по теме: «Решение треугольников»., Три урока по теме: «Решение треугольников».

х1, х2 являются действительными числами при а ≤ 9/16. При а > 9/16 решений нет.

Удовлетворим неравенства х ≥ а и х ≥ ½.

а) Три урока по теме: «Решение треугольников».≥ ½

Три урока по теме: «Решение треугольников».

Три урока по теме: «Решение треугольников».≥ а

Три урока по теме: «Решение треугольников».

Если а ≤ 9/16, то 8а-5<0 и неравенство Три урока по теме: «Решение треугольников». справедливо при всех допустимых а.

б). Три урока по теме: «Решение треугольников».

Три урока по теме: «Решение треугольников».а ≥ ½ (а ≤ 9/16)

Следовательно, х2 является решением исходного уравнения при ½ ≤ а ≤ 9/16

Ответ:Три урока по теме: «Решение треугольников»., если а < ½;Три урока по теме: «Решение треугольников»., если ½ ≤ а ≤ 9/16; нет решений, если а>9/16.

Пример 3.

Решить уравнение Три урока по теме: «Решение треугольников».

Решение.

ОДЗ: х - а ≥ 0, х ≥ а

х1 = 1, х2 = а

Если а = 1, то х1 = х1 = 1.

Если а < 1, то х1 = 1 удовлетворяет условию ОДЗ х ≥ а, т.е. является корнем уравнения.

Если а > 1, то х1 = 1 не удовлетворяет условию х ≥ а, т.е. является посторонним корнем.

Ответ: 1) если а < 1; то х1 = 1; х2 = а; 2) если а ≥ 1, то х = а.

Пример 4.

При каких а уравнение Три урока по теме: «Решение треугольников».имеет один корень?

Решение.

х1 = 4, х2 = а

Корень будет единственным, если а=4; если одно из двух значений (4 и а) является посторонним корнем, а именно х = а. Это произойдет при условии, что х = а не входит в область определения уравнения х ≥ 0, т.е. при а < 0.

Ответ: а = 4 или а < 0.

Пример 5.

Найти минимальное целое положительное значение параметра а, при котором уравнение Три урока по теме: «Решение треугольников».имеет различные положительные корни.

Решение.

ОДЗ:

ах -8 ≥ 0, х ≥ 8/а, х > 0, а > 0

Три урока по теме: «Решение треугольников».Три урока по теме: «Решение треугольников».

D = Три урока по теме: «Решение треугольников».Три урока по теме: «Решение треугольников».

а >16 (а < -16 не входит в ОДЗ)

Три урока по теме: «Решение треугольников»., Три урока по теме: «Решение треугольников».. А = 17 - минимальное целое число.

Ответ: 17.

Пример 6.

Найти все значения параметра а, при которых корни уравненияТри урока по теме: «Решение треугольников».принадлежат отрезку [2;17].

Решение.

Пусть Три урока по теме: «Решение треугольников».

Три урока по теме: «Решение треугольников»., t ≥ 0, х - 1 = t2

Три урока по теме: «Решение треугольников».,

Три урока по теме: «Решение треугольников».,

|t - 2| + |t - 3| = а

1) Три урока по теме: «Решение треугольников».=> Три урока по теме: «Решение треугольников».=> Три урока по теме: «Решение треугольников».=> Три урока по теме: «Решение треугольников».

2) Три урока по теме: «Решение треугольников».=> Три урока по теме: «Решение треугольников».=> Три урока по теме: «Решение треугольников».

3) Три урока по теме: «Решение треугольников».=> Три урока по теме: «Решение треугольников».=> Три урока по теме: «Решение треугольников».=> Три урока по теме: «Решение треугольников».

Ответ: Три урока по теме: «Решение треугольников»..

Пример 7.

Решить уравнениеТри урока по теме: «Решение треугольников»..

Решение.

Три урока по теме: «Решение треугольников».х ≥ 2

(х + 1)(х - 2) = а; х2 - х - 2 = а, х2 - х - 2 - а = 0.

Три урока по теме: «Решение треугольников»., Три урока по теме: «Решение треугольников»..

Множеству х ≥ 2 принадлежит только корень х2.

Ответ: при а ≥ 0 Три урока по теме: «Решение треугольников»..

Пример 8.

Решить уравнениеТри урока по теме: «Решение треугольников»..

Решение.

Три урока по теме: «Решение треугольников».. Так как Три урока по теме: «Решение треугольников»., то m > 0. Пусть у = Три урока по теме: «Решение треугольников»., тогда х = у2 + 3, и исходное уравнение равносильно системе уравнений:

Три урока по теме: «Решение треугольников».т.е. Три урока по теме: «Решение треугольников». <=> Три урока по теме: «Решение треугольников».<=> Три урока по теме: «Решение треугольников».,

Три урока по теме: «Решение треугольников»., Три урока по теме: «Решение треугольников»., Три урока по теме: «Решение треугольников»..

Ответ: при m < 0, m>3 решений нет, при Три урока по теме: «Решение треугольников».Три урока по теме: «Решение треугольников»..

Пример 9.

Решить уравнениеТри урока по теме: «Решение треугольников»..

Решение.

Пусть Три урока по теме: «Решение треугольников»., тогда Три урока по теме: «Решение треугольников».,

Три урока по теме: «Решение треугольников»., Три урока по теме: «Решение треугольников»., а т.к. t > 0, то Три урока по теме: «Решение треугольников».,

Три урока по теме: «Решение треугольников»., Три урока по теме: «Решение треугольников»., Три урока по теме: «Решение треугольников».. ( а > ¼)

х = Три урока по теме: «Решение треугольников»..

Ответ: х = Три урока по теме: «Решение треугольников». при а > ¼.

Пример 10.

Найти все значения параметра а, при которых уравнение Три урока по теме: «Решение треугольников». имеет решение.

Решение.

Если изобразить графики функций Три урока по теме: «Решение треугольников». и Три урока по теме: «Решение треугольников»., то очевидно, что они пересекаются (и исходное уравнение имеет решение) при Три урока по теме: «Решение треугольников»..

1

у

х

-а а 1 -а 10=-а

Три урока по теме: «Решение треугольников».

Три урока по теме: «Решение треугольников».

3

Пример 11.

При каких а решением неравенства Три урока по теме: «Решение треугольников». является промежуток [2;18)?

Решение.

ОДЗ: 3 - а > 0, а < 3.

х - 2 < (3 - а)2,

х < (3 - а)2 +2,

х < 11 - 6а +а2, т.к. Три урока по теме: «Решение треугольников»., то

Три урока по теме: «Решение треугольников».Три урока по теме: «Решение треугольников».

а = -1.

а = 7 - не подходит в ОДЗ.

Ответ: а = -1.

Пример 12.

Решить неравенство Три урока по теме: «Решение треугольников»., где а - параметр.

Решение.

При любом значении а, если правая часть х + а - 1 < 0, т.е. х < 1 - а, заданное неравенство справедливо.

При х ≥ 1 - а равносильная система имеет вид :

Три урока по теме: «Решение треугольников».=> Три урока по теме: «Решение треугольников». (*)

Рассмотрим возможные случаи:

  1. Если а > 1, то 1 - а ≤ х < Три урока по теме: «Решение треугольников».. Объединяя с множеством х < 1 - а, получим х < Три урока по теме: «Решение треугольников»..

  2. Если а = 1, то х ≥ 1 - решение системы (*). Объединяя с множеством х< а - 1 (а = 1), находим: х - любое число.

  3. Если а < 1, то решение системы (*) х ≥ 1 - а. Присовокупив х < 1 - а, имеем: х - любое число.

Ответ: Три урока по теме: «Решение треугольников»., если а > 1; Три урока по теме: «Решение треугольников»., если а ≤ 1.

Пример 13.

Решить уравнение Три урока по теме: «Решение треугольников».

Решение.

ОДЗ:

Три урока по теме: «Решение треугольников».Три урока по теме: «Решение треугольников».

Из данного уравнения следует:

1 - х2 = х2 + 2ах + а2,

2 + 2ах + а2 - 1 = 0.

D/4 = 2 - а2. D > 0 при |a| <Три урока по теме: «Решение треугольников»..

Затем если изобразить графики функций Три урока по теме: «Решение треугольников». и Три урока по теме: «Решение треугольников»., то видно как меняется количество решений в зависимости от а.

у

х

-1

1

-1

Три урока по теме: «Решение треугольников».

у = а + х

Ответ: приТри урока по теме: «Решение треугольников». нет решений; приТри урока по теме: «Решение треугольников».и Три урока по теме: «Решение треугольников». одно решение; при Три урока по теме: «Решение треугольников». два решения.

Задание на дом:

1). Решить уравнение Три урока по теме: «Решение треугольников»..

Ответ: Три урока по теме: «Решение треугольников»..

2). Найти левый и правый края области значений параметра а, в которой уравнение Три урока по теме: «Решение треугольников». имеет различные положительные корни.

Решение.

ОДЗ:

Три урока по теме: «Решение треугольников».Три урока по теме: «Решение треугольников»., х > 0, а ≥ 0.

7х - а = ах2,

ах2 - 7х + а = 0,

D = 49 - 4a2 > 0

а = -3, 5 не входит в ОДЗ.

Ответ: 0 и 3,5.

3). Решить уравнение Три урока по теме: «Решение треугольников»..

Решение.

Данное уравнение равносильно системе:

Три урока по теме: «Решение треугольников».=> Три урока по теме: «Решение треугольников».

При а = 2 второе уравнение имеет вид Три урока по теме: «Решение треугольников»., т.е. Три урока по теме: «Решение треугольников»..

При а ≠ 2 Три урока по теме: «Решение треугольников»..

Выясним при каких значениях а найденное значение х удовлетворяет неравенству х ≥ -1.

Три урока по теме: «Решение треугольников».Три урока по теме: «Решение треугольников»..

Ответ: при а ≤ 1/3 и а > 2 Три урока по теме: «Решение треугольников».; при 1/3 < а ≤ 2 уравнение не имеет решений.

4). Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения Три урока по теме: «Решение треугольников».принадлежит отрезку [-4;44].

Ответ: Три урока по теме: «Решение треугольников»..

5). При всех а решить неравенство Три урока по теме: «Решение треугольников»..

Решение.

ОДЗ: Три урока по теме: «Решение треугольников».

а). Если а ≤ 0, то данное неравенство справедливо при всех Три урока по теме: «Решение треугольников»..

б). Если а > 0, то данное неравенство равносильно системе неравенств.

Три урока по теме: «Решение треугольников».Три урока по теме: «Решение треугольников».=> Три урока по теме: «Решение треугольников»..

Ответ: приТри урока по теме: «Решение треугольников».Три урока по теме: «Решение треугольников».; приТри урока по теме: «Решение треугольников».Три урока по теме: «Решение треугольников»..

Решение задач с параметрами с применением производной.

Пример1.

При каком значении параметра а касательная к графику функции Три урока по теме: «Решение треугольников». в точке х = 1 образует с осью х угол 135°?

Решение.

Три урока по теме: «Решение треугольников».;

Три урока по теме: «Решение треугольников»., т.к. tg135°=-1.

2ах + 5 = -1;

а = -3.

Ответ: а = -3.

Пример 2.

При каком наибольшем значении а функция Три урока по теме: «Решение треугольников». возрастает на всей числовой прямой?

Решение.

Три урока по теме: «Решение треугольников».

D/4 < 0.

D/4 = а2 - 14а ≤ 0,

а(а-14) ≤ 0.

--14

а

0

+

+

Ответ: 14.

Пример 3.

При каких значениях параметра а функция Три урока по теме: «Решение треугольников». возрастает на всей числовой прямой?

Решение.

Три урока по теме: «Решение треугольников».

D/4 ≤ 0.

D/4 = (3а)2 - 18а=9а2 - 18а = 9а(а - 2).

2

а

0

+

+

Ответ: Три урока по теме: «Решение треугольников»..

Пример 4.

При каких а точка х0=а является точкой минимума функции Три урока по теме: «Решение треугольников».?

Решение.

D(у)=D(у/)=R.

Три урока по теме: «Решение треугольников».,

Три урока по теме: «Решение треугольников».,

Три урока по теме: «Решение треугольников».,

D = (а - 1)2 ≥0.

х1=1; х2=а.

-1). а < 1.

1

у

а

+

+

у/

Max

Min

х0=2 - max

2). а = 1.

у

а=1

+

+

у/

6(х-1)2=0

3). а > 1.

у

1

+

+

у/

Max

Min

6(х-1)(х-а)=0

х0=а - min

Ответ: при а > 1.

Пример 5.

При каком натуральном значении параметра а уравнение Три урока по теме: «Решение треугольников». имеет ровно два корня?

Решение.

Три урока по теме: «Решение треугольников»..

С помощью производной строим график Три урока по теме: «Решение треугольников»..

1

у

у = а

-3

-5

х

27

Ответ: а = 27.

Пример 6.

Найти все возможные значения а, при которых наименьшее значение функции Три урока по теме: «Решение треугольников». на отрезке [0;а] достигается в правом конце отрезка.

Решение.

Три урока по теме: «Решение треугольников».при х = ± 2. Это критические точки.

2

у

-2

+

+

у/

0

f(0)=0, f(2)=16,

f(a)=a3-12f

-

Если о < а < 2, то f(a) < 0 и принимает наименьшее значение в правом конце, что и требуется. Критических точек на отрезке нет.

Если а = 2, то критическая точка (min) совпадает с правым концом отрезка.

а

0

2

Это удовлетворяет условию.

Если а > 0, то f(a) = a3 - 12a = a(a2 - 12) > 2(4 - 12) > -16 = f(2),т.е. наименьшее значение принимает во внутренних точках отрезка, а не в его конце.

Ответ: Три урока по теме: «Решение треугольников».

Пример 7.

Найти все значения параметра а, при которых функция Три урока по теме: «Решение треугольников». возрастает при любом Три урока по теме: «Решение треугольников»..

Решение.

Три урока по теме: «Решение треугольников»..

Чтобы Три урока по теме: «Решение треугольников». была ≥ 0, требуется выполнение двух условий в системе:

Три урока по теме: «Решение треугольников».=> Три урока по теме: «Решение треугольников».

Ответ: Три урока по теме: «Решение треугольников».

Пример 8.

При каких в и с прямые у = х и у = -2х являются касательными к графику функции у = х2 + вх + с?

Решение.

Пусть t - абсцисса точки касания прямой у = х с параболой у = х2 + вх + с; р - абсцисса точки касания прямой у = -2х с параболой у = х2 + вх + с.

Тогда уравнение касательной у = х примет вид у = (2t + в)х +с - t2, а уравнение касательной у = -2х примет вид у = (2р + в)х +с +р2.

Составим и решим систему уравнений:

Три урока по теме: «Решение треугольников».=> Три урока по теме: «Решение треугольников».

Ответ: Три урока по теме: «Решение треугольников».

Пример 9.

Найти все а, при котором уравнение Три урока по теме: «Решение треугольников». имеет три корня.

Решение.

Три урока по теме: «Решение треугольников».

Три урока по теме: «Решение треугольников».

а ≠ 0, D1 = 36, х1 = ½, х2 = ½ + 3/а.

Чтобы уравнение имело три корня, достаточно, чтобы значения функции в точках экстремума имели различные знаки, т.е. f(х1)·f(х2) < 0.

Три урока по теме: «Решение треугольников».

Три урока по теме: «Решение треугольников».Три урока по теме: «Решение треугольников».

Три урока по теме: «Решение треугольников».

Три урока по теме: «Решение треугольников».

Три урока по теме: «Решение треугольников».

-3

0

+

+

а

Три урока по теме: «Решение треугольников»..

Ответ: Три урока по теме: «Решение треугольников»..

Пример 10.

Найти все значения параметра а, при которых выражение (х1-5х2)(х2-5х1), где х1 и х2 - действительные корни квадратного трехчлена х2 + ах + а - 0,5, принимает наибольшее значение. В ответе записать найденное значение параметра, а если таких значений несколько, то их сумму.

Решение.

Три урока по теме: «Решение треугольников».Три урока по теме: «Решение треугольников»..

Пусть Три урока по теме: «Решение треугольников».

Три урока по теме: «Решение треугольников».f(x) = 0 при а = 3,6.

а

f(x)

3,6

-

+

f/(x)

Max

Ответ: 3,6.

Пример 11.

Найти все значения а, при которых касательная к графику функции Три урока по теме: «Решение треугольников». в точке графика с абсциссой а не пересекает график ни одной их двух функций: у = 0,5х + 2 и у = -2/х.

Решение.

Пусть Три урока по теме: «Решение треугольников». Т.к. касательная к графику функции Три урока по теме: «Решение треугольников». не пересекается с прямой Три урока по теме: «Решение треугольников»., то она ей параллельна, т.е. ее угловой коэффициент равен 0,5.

Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику Три урока по теме: «Решение треугольников». через его точку с абсциссой х0, равен значению производной функции f(x) в точке х0, т.е. f/(x)=0,5.

Функция f(x)дифференцируема на R и ее производная равна Три урока по теме: «Решение треугольников». Или Три урока по теме: «Решение треугольников».

Но если Три урока по теме: «Решение треугольников»., то Три урока по теме: «Решение треугольников». и значение функции f(x) в точке х0 равно 1,5а - а2.

Уравнение касательной проведенной к графику Три урока по теме: «Решение треугольников». через его точку с абсциссой х0, имеет вид: Три урока по теме: «Решение треугольников».

По условию х0 = а, значит уравнение касательной можно переписать в виде Три урока по теме: «Решение треугольников».

Из равенства Три урока по теме: «Решение треугольников». (формально подставляем а вместо х0), находим, что а может иметь вид Три урока по теме: «Решение треугольников».

Воспользуемся теперь тем, что касательная Три урока по теме: «Решение треугольников». не пересекает график у = -2/х.

Это означает, что уравнение Три урока по теме: «Решение треугольников». не имеет решений. Приведем последнее уравнение к квадратному Три урока по теме: «Решение треугольников»..

Три урока по теме: «Решение треугольников».

Квадратное уравнение не имеет решений, если D<0, т.е. Три урока по теме: «Решение треугольников»., т.е. -1< а < 2.

Поскольку Три урока по теме: «Решение треугольников».имеем неравенство Три урока по теме: «Решение треугольников»., откуда Три урока по теме: «Решение треугольников»..

Т.к. Три урока по теме: «Решение треугольников».

Итак, единственным значением а, удовлетворяющим условиям задачи, является Три урока по теме: «Решение треугольников».

Ответ: а =Три урока по теме: «Решение треугольников».

Домашнее задание.

  1. При каком наибольшем значении m функция Три урока по теме: «Решение треугольников». убывает на всей числовой прямой?

Ответ: 6.

  1. При каком наименьшем целом значении параметра р уравнение Три урока по теме: «Решение треугольников». имеет три корня?

Ответ: -7.

  1. Найти все значения параметров в и с, при которых прямая у = 2х + 2в касается параболы f(х)=х2 + вх + с в точке (2;0).

Решение.

Т.к. точка (2;0) лежит на графике f(x)=х2 + вх + с, то 0 = 4 + 2в + с;

f/(x) = 2х + в; f/(2) = 4 + в=2.

Три урока по теме: «Решение треугольников».=> в = -2, с = 0.

Ответ: в = -2, с = 2.

  1. При каких значениях а функция Три урока по теме: «Решение треугольников».имеет минимум в точке х=3?

Решение.

у/ = 6х2 - 6а2 = 6(х - а)(х + а)

Рассмотрим 2 случая:

1). а = 0 у/ = 6х2 ≥ 0 для любого х, функция возрастает на Три урока по теме: «Решение треугольников»..

2). а ≠ 0. Знаки производной:

-

+

+

х

а

+

+

х

а = 3. -а = 3, а = -3.

Ответ: а = ± 3.

  1. При каких значениях р касательная, проведенная к графику функции у=х3-рх в точке с абсциссой х0=1, проходит через точку М (2;3)?

Решение.

у/ = 3х2 - р

укас=(3х02 - р)(х - х0) + х03-рх0,

3 = (3 - р)(2 - 1) +1 - р,

3 = 3 - р + 1 - р, 2р = 1, р = ½.

Ответ: р = ½.



© 2010-2022