Урок-лекция Некоторые геометрические увлечения Наполеона

УРОК-ЛЕКЦИЯ

Тема занятия:

«Некоторые геометрические увлечения Наполеона»

Диамбекова Алла Лазаровна

педагог МКОУ ДОД ДДТ Дигорского района РСО-Алания.

Цель занятия - изучение некоторых геометрических увлечений Наполеона.

Задачи - а) рассмотреть три доказательства теоремы Наполеона;

б) ознакомиться с любимыми геометрическими головоломками императора;

ХОД ЗАНЯТИЯ

Математика как основа всех наук во все времена привлекала пытливые неординарные умы. Юрист Пьер Ферма (1601-1665) известен как самый загадочный математик среди слуг «царицы наук». Священник Иван Первушин (1827-1900) справился с вычислением простого числа Мерсенна с показателем 61 и нашёл делители для чисел Ферма с индексом 12 и 23, что являлось в теории чисел того времени очень большим достижением. Император Франции Наполеон Бонапарт (1769-1821) не упускал возможности позаниматься геометрией. Этот список можно продолжить, но я хочу остановиться на Наполеоне I.

Из истории всем известно, что император Франции был блестящим полководцем и великим государственным деятелем. Книг о Наполеоне - более двухсот тысяч! Историки знают, во что одевался Наполеон, что было у него на ногах, сколько стоили его носовые платки, что он любил есть и во сколько завтракал, каким был распорядок его дня. Академик Фредерик Массон на рубеже XX века выпустил 13-томное исследование «Наполеон и его семья», посвященное практически всем сторонам жизни Наполеона. Но в них мало написано о математических способностях великого императора.[2]

Бонапарт-математик - это скрытая от многих страница истории. В декабре 1778 года Наполеон был принят в колледж в Отёне, главным образом с целью обучения французскому языку. Особых успехов Наполеон добился в математике. Благодаря победе в конкурсе «Ожерелье королевы», он был принят в Королевскую кадетскую школу в Париже. Обладая аналитическим умом, он добился определенных успехов в области математики. Своими знаниями он поражал многих великих математиков того времени. За заслуги в математике он был избран академиком Французской академии наук и стал магистром математики. [6]

У императора было увлечение - составление геометрических задач. Некоторые его задачи отличаются простотой постановки и допускают изящные решения.[1]

Он находил время заниматься геометрией для собственного удовольствия, чувствовал в ней красоту и объект, достойный приложения остроумия и изобретательности. Одно из свидетельств тому - несколько составленных им задач на построение, вычисление неизвестной величины, доказательство утверждений евклидовой геометрии, а также геометрические игры-головоломки.

Теорема Наполеона.

На сторонах произвольного треугольника АВС внешним образом построены как на основаниях равносторонние треугольники (рис. 1). Доказать, что центры этих треугольников также являются вершинами равностороннего треугольника.

рис.1

Доказательство 1:

Задача имеет довольно изящное решение.

Пусть M, N, K - центры равносторонних треугольников. Выполним дополнительное построение: соединим точки M, N, K с ближайшими (к каждой из них) двумя вершинами треугольника АВС и между собой.

Т.к. M, N, K - центры равносторонних треугольников, то АМ = МВ, BN = NC, CK = KA;

< AMB = < BNC = < CKA = 120^o, а их сумма равна 360^о.

Выделим шестиугольник AMBNCK, а внешние к нему невыпуклые четырехугольники отбросим. Получим фигуру, изображенную на рис. 2.

рис 2. рис.3

Отрезая теперь от упомянутого шестиугольника треугольники МАК и NCK, перемещая их в плоскости в положение, которое указано на рис. 3, получаем четырехугольник MDNK.

Отрезок MN делит его на два равных (по трем сторонам) треугольника. Углы DNK и DMK равны 120 каждый. Поэтому углы NMK и MNK равны 60 каждый.

Следовательно, треугольник MNK - равносторонний, что и требовалось доказать. [3]

Доказательство 2:

Лемма. Окружности, описанные около треугольников ABX, BCY и CAZ, пересекаются в одной точке. (рис. 4)

Доказательство леммы. Пусть P - точка пересечения окружностей, описанных около треугольников BCY и CAZ.

а). Предположим, что точка P лежит внутри треугольника ABC. Тогда из свойства вписанного четырехугольника вытекает, что углы BPC и CPA (рис. 5) равны 120. Следовательно, угол APB=120 и точка P лежит также на окружности, описанной около ABX.

. Рис. 4

Доказательство теоремы.

Обозначим через M, N и K (рис.5) центры равносторонних треугольников ABX, BCY и CAZ соответственно. Прямая, соединяющая центры пересекающихся окружностей, перпендикулярна их общей хорде. Отсюда следует, что MN перпендикулярнa BP, NK перпендикулярнa CP и MK перпендикулярнa AP. В доказательстве леммы мы установили, что углы APB, BPC и CPA равны 120. Так как сумма углов любого четырёхугольника равна 360, то каждый из углов MNK, NKM и KMN равен 60, т.е. треугольник MNK- равносторонний, что и требовалось доказать. [2]

рис. 5

б). Пусть теперь Р лежит на самом треугольнике.(рис. 6) Очевидно, тогда Р совпадает с вершиной С и в данном треугольнике угол ВСА=120, и это обеспечивает принадлежность точки Р окружности, описанной около АВХ. Т.е. лемма верна.

Для доказательства теоремы в этом случае достаточно увидеть, что угол КМС из МСО равен 60 Аналогично, угол СNВ равен 60 В итоге получаем равносторонний MNK. Теорема доказана.

в). Если в данном треугольнике один из углов больше 120, то точка Р «выскочит» за треугольник. (рис. 7) В этом случае рассмотрим угол АРВ как сумму углов АРС и ВРС. Угол АРС - вписанный и опирается на дугу АС, на которую опирается также вписанный угол АZС в 60. Поэтому угол АРС равен 60. Аналогично и угол ВРС. Значит, угол АРВ равен 120, и снова лемма доказана.

Докажем теорему для этого случая. В прямоугольном угол равен 30 и он вертикален с углом MD прямоугольного треугольника MD Следовательно, угол KMN равен 60. Аналогично и угол MNK. В итоге получаем равносторонний MNK. Теорема доказана.

Доказательство 3. Определим расстояние между центрами K и N из четырёхугольника NK, где и - середины сторон BC и AC треугольника AВC. В этом четырёхугольнике (рис. 8)

Рис. 8

N, . Величины интересующих нас углов приведены на рисунке 9.

Рис. 9

Рассмотрим векторное равенство +

Преобразуем его, возведя обе части в квадрат и применив свойства векторов:

KN² = K² + ² + ² + 2 K + 2 K + 2 = .

Поэтому .

Но .

Следовательно, .

Симметрия полученной формулы относительно a, b и c указывает на то, что KN=NM=MK,т.е. треугольник правильный. Что и требовалось доказать.

Если исходный ∆АВС - равносторонний треугольник, то все внутренние центроиды стягиваются в точку, а треугольник, вершины которого являются внешними центроидами, вместе с исходным ∆АВС образуют фигуру, известную как «Звезда Давида».

Звезда Давида - эмблема в форме шестиконечной звезды (гексаграммы), в которой два равносторонних треугольника наложены друг на друга: верхний - концом вверх, нижний - концом вниз, образуя структуру из шести равносторонних треугольников, присоединенных к сторонам шестиугольника.

Звезда Давида изображена на флаге Государства Израиль и является одним из основных его символов. Согласно легенде, этот символ был изображён на щитах воинов царя Давида. [5]

Очевидцы рассказывают, что Наполеон любил задавать своим офицерам такую головоломку: какие плоские геометрические фигуры можно построить из девяти (рис.10) предложенных в россыпь деталей? Простую с виду задачу решить удавалось не каждому. Маршал Даву, говорят, сумел собрать из предложенных деталей квадрат, а Мюрат - и квадрат, и прямоугольник, а позже нашелся полковник, построивший звезду (рис.11). Но никто до сих пор не сумел построить из этих деталей треугольник, ромб или трапецию... Да и есть ли решение вообще? [6]

Я смог дать на этот вопрос положительный ответ, построив новые фигуры, приведённые на рисунке 14 в приложениях.

рис.10

Рис.11

Обращаем внимание на одну особенность углов в деталях треугольной и четырехугольной формы: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144^о - они кратны цифре 18? Почему? Может, именно в этой кратности скрыта подсказка?

Библиографический список

1. Березин В.Н. Задача Наполеона // Квант. - 1972. -№6,с.29.

2. Михайлов И.И. Задача Наполеона. - gavrilova. 21415s02.edusite/ru.

3. Савин А.П. Задача Наполеона//Энциклопедический словарь юного математика.- М:, Педагогика, 1985.-298с.

4. Тюганова Т. Задача Наполеона. - nsportal.ru.

5. Школьный проект «Геометрия глазами Наполеона Бонапарта». - junst-klin.ucoz.ru.