Методика изучения показательной функции в школьном курсе математики

Методика изучения показательной функции в школьном курсе математики

Изучение показательной функции в школе начинается с того, что рассматриваются процессы из жизни, приводящие к понятию показательной функции. Рассмотрим некоторые из них:

1. Рост числа бактерий в идеальных условиях происходит по такой зависимости:

, где - время размножения, - число колоний бактерий

2. радиоактивный распад веществ : если при радиоактивном распаде количество вещества за сутки уменьшается в двое, то тогда мо истечению x суток масса будет .

3. Рост древесины происходит по закону
   A- изменение количества древесины во времени;
   A0- начальное количество древесины;
   t-время, к, а- некоторые постоянные.

4. Давление воздуха убывает с высотой по закону:
   P- давление на высоте h,
   P0 - давление на уровне моря,
   а- некоторая постоянная.

После рассмотрения примеров мы должны выйти на определение показательной функции. Задаем вопрос учащимся: «Что общего определяет эти процессы?» Таким образом, выходим на определение.

Определение: Функция вида при a>0, a1 называется показательной функцией.

Следующим этапом в схеме изучения любой функции является исследование ее свойств. Изучение свойств будет проходить на фокус - примерах: .

Сначала будем рассматривать функции

План исследования функции.

1. Область определения функции;

2. Нули функции;

3. Четность (нечетность);

4. Промежутки возрастания и убывания функции;

5. Построение графика.

Часть свойств изучается аналитически, часть считывается с графика, принимая без доказательств.

1. Область определения функции (аналитически)

Неизвестная величина, или аргумент стоит в показателе степени, следовательно, при любом значении х мы можем всегда найти у, следовательно, D(у)= множество R чисел.

2. Нули функции (аналитически)

если x=0, то у=1; случая, когда у=0 быть не может, так как не существует такого значения х, чтобы при возведении в степень было равным 0. Переведем полученный результат на графический язык: график функции пересекает ось ординат в точке (0;1), но не пересекает ось абсцисс. Делаем вывод о том, что график функции располагается выше оси ОХ и эта ось является горизонтальной асимптотой.

3. Четность (аналитически)

Проверяем, выполняются ли условия четности и нечетности для функции .

F(-x)=y(-x)=, то есть данная функция ни четная ни нечетная.

Проиллюстрируем это свойство на примере : x=-1 и x=1, соответственно у=2 и у = .

Делаем вывод о том, что график функции не симметричен относительно оси ОУ.

4. Построение графика функции (по точкам).

Строить график будем по выбранным значения х будем находить значения у.

В качестве х возьмем точки: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Построим в системе координат точечный график, опираясь на выше исследованные свойства.

Необходимо доступно объяснить, что построенные точки мы имеем право соединить плавной линией. Это устанавливается при помощи приближенного вычисления.

Если аргументу х придать рациональное значение, то в принципе вычислить можно. А если аргументу х придать иррациональное значение? Как, например, вычислить ?

Математики нашли выход из положения; вот как они рассуждали.

Известно, что = 1,7320508... Рассмотрим последовательность

рациональных чисел - десятичных приближений числа по не-

недостатку:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;...

Ясно, что 1,732 = 1,7320, а 1,732050 = 1,73205. Во избежание

подобных повторов отбросим те члены последовательности, которые заканчиваются цифрой 0. Тогда получим возрастающую последовательность:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

Соответственно возрастает и последовательность

Все члены этой последовательности - положительные числа, меньшие, чем , т.е. эта последовательность - ограниченная. А по теореме Вейерштрасса, если последовательность возрастает и ограничена, то она сходится. Кроме того, нам известно, что если последовательность сходится, то только к одному пределу. Этот единственный предел договорились считать значением числового выражения . И неважно, что найти даже приближенное значение числового выражения очень трудно; важно, что это - конкретное число.

Итак, мы выяснили, какой смысл вкладывают математики в символ . Аналогично можно определить, что такое и т.д.

Теперь мы можем говорить не только о степенях с произвольными рациональными показателями, но и о степенях с произвольными действительными показателями. Но самое главное, что теперь мы можем говорить о функции

у=, определенной на множестве всех действительных чисел.

Вернемся к функции у = , теперь мы уверенно можем соединить построенные точки плавной линией.

5. Осталось исследовать еще одно свойство, возрастания и убывания функции. Это свойство считаем с графика и докажем его аналитически:

Функция возрастает на всей числовой прямой, т.е. большему значению аргумента из ее области определения соответствует большее значение функции, или если

и

Рассмотрим разность двух выражений:

,

, следовательно разность в скобках больше 1.

Функция у =2^х возрастает на промежутке , так как на всем промежутке большему значению аргумента соответствует большее значение функции (значения функции растут при движении слева на право).

Данный результат можно записать так: , то

Путем вычислений значений функции у =2^х , докажем, что она возрастает неограниченно.

На графике увидим, что равным значениям аргумента соответствуют неравные приращения функции

,…

Итак, запишем все основные свойства показательной функции :

1. Д(у)=R; Е(у)=(0;+)

2. Нули функции: х=0,у=1;

3. Функция является ни четной ни нечетной;

4. Возрастающая на всей области определения;

5. Если x<0, у <1,

х>0, y>1.

Аналогичная работа строится для исследования функции у =_,

Итак, запишем все основные свойства показательной функции :

1. Д(у)=R; Е(у)=(0;+);

2. Нули функции: х=0,у=1;

3. Функция является ни четной ни нечетной;

4. Убывающая на всей области определения;

5. Если x<0, у >1,

х>0, y<1.

После полученных исследований замечаем, что все свойства одинаковы, кроме возрастания и промежутков знакопостоянства. Это основной вывод, который должны усвоить дети.

Дальше обобщаем полученные выводы:

• Если основание , то показательная функция монотонно убывает на всей области определения;

• Если , то показательная функция монотонно возрастает на всей области определения.

Дальнейшее изучение показательных функций сводится к решению показательных уравнений и неравенств.