Урок по теме Решение тригонометрических уравнений

УРОК

«РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

Цель урока:

Образовательная: 1. Закрепить навык решения простейших тригонометрических

уравнений;

2. Рассмотреть различные виды тригонометрических

уравнений;

3. Способствовать развитию навыков самостоятельного

применения знаний при решении тригонометрических

уравнений.

Развивающая: 1. Работать над развитием понятийного аппарата;

2. Развивать навыки самоконтроля.

Воспитательная: 1. Воспитывать ответственное отношение к труду;

2. Воспитывать волю и настойчивость для достижения

конечных результатов.

Тип урока: применение знаний.

ПЛАН УРОКА:

1. Организационный момент.

2. Объяснение цели урока.

3. Устная работа.

4. Работа по технологическим картам (с проверкой ответов и решений)

5. Объяснение других способов решения тригонометрических уравнений.

6. Дифференцированная самостоятельная работа (с самопроверкой).

7. Подведение итогов урока, выставление оценок.

8. Получение домашнего задания.

9. Рефлексия.

ХОД УРОКА:

1. Организационный момент.

2. Объяснение цели урока.

3. Устный счет.

В следующих формулах найти ошибки -

1. sin²x + cos²x = 1

2. tg x = [ ]

3. sin 2x = sin x cos x [ 2sin x cos x]

4. cos 2x = cos² x + sin² x [cos² x - sin² x ]

5. sin x = a , a = (-1)ⁿ arcsin a + n [x = (-1)ⁿ arcsin a + n ]

6. cos x = a, x = arccos a + n, [x = arccos a + 2n ]

7. tg x = a, a = arctg a + 2n, [ x = arctg a + n ]

4. Работа по технологическим картам.

Прочитать текст, разобрать приведенный пример, записать в тетрадь. Выполнить первое задание своего варианта. Второе задание варианта выполняют только после того, как будет выполнено первое задание из каждого пункта.

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА

1. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ПРИВОДИМЫХ К КВАДРАТНОМУ.

1) Заметим, что если тригонометрическое уравнение целого вида содержит только синусы или косинусы (синусы и косинусы), то область допустимых значений переменной - множество действительных чисел, так как эти функции определены для любого действительного значения. Область допустимых значений для уравнений вида

a sin²f(x) + b sin f(x) + c = 0 или a cos²f(x) + b sin f(x) + c = 0 не устанавливается.

2) Справедливы соотношения:

а) sin ² = 1 - cos² (1)

б) cos² = 1 - sin² (2)

3) Формулы корней уравнений:

а) sin x = a, x = (-1)ⁿ arcsin a + n, n (3)

б) cos x = a, x = arcos a + 2n, n (4)

в) ax² + bx + c = 0, x = (5)

ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ:

8 sin²x - 6 sin x - 5 = 0

Обозначим sin x = у, тогда данное уравнение можно записать в виде

8 у² - 6у - 5 = 0

D = b² - 4ac= (-6)² - 4 8(-5)= 36 + 160 = 196

у₁ =

у₂ = .

Значит sin x = - или sin x = - уравнение не

имеет корней, так как sin х

x= (-1)^{n+1 +} n, n не может быть больше единицы.

Ответ: x= (-1)^{n+1 +} n, n

РЕШИТЬ УРАВНЕНИЯ:

1 вариант: 1) sin²x - 2 sin x - 3 = 0

2) 2 cos²x + 3 sin² x + 2 cosx = 0

2 вариант: 1) cos²x - 2 cos x - 3 = 0

2) 2 sin² x + 3 cos²x + 2sin x = 0

П. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ:

1) Справедливы соотношения:

a) tg ctg =1; б) tg = ; в) ctg = ;

г) 1 + tg² = ; д) 1 + ctg² =

2) Уравнение вида a tg x + b ctg x + c = 0 приводится к квадратному уравнению одной

тригонометрической функции путем замены ctg x = .

3. Уравнение вида a sin x + b cos x = 0 (a 0, b 0) называется однородным первой степени

относительно sin x и cos x. Оно решается делением обеих частей на cos x 0. В результате

получается уравнение вида a tg x + b = 0.

4) Уравнение вида a sin²f(x) + b sin f(x) cos f(x) + k cos²f(x) = 0 называется однородным

Уравнением второй степени относительно sin f(x) и cos f(x), если все три

коэффициента а, b, k или какие-либо два из них 0.

Разделим обе части уравнения на cos²f(x) 0. Получим

а tg²f(x) + b tg f(x) + k = 0, которое решается заменой переменной.

ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ:

sin x + cos x = 0.

Разделим каждое слагаемое на cos x.

tg x + = 0

tg x = -

x = - + n, n .

Ответ: x = - + n, n .

РЕШИТЬ УРАВНЕНИЯ:

1 ВАРИАНТ 1) 2sin x - 3 cos x = 0

2) sin x - cos x = 0

2 ВАРИАНТ 1) sin x + cos x = 0

2) 2 cos² x + 2 sin x = 2.5

Ш. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ НА

МНОЖИТЕЛИ.

ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ:

cos x = sinx cos x

cos x - sinx cos x = 0

Вынесем за скобки cos x

cos x ( - sinx) = 0

cos x = 0 или - sin x = 0

х = + n, n sinx = , 1,7

решений нет

Ответ: х = + n, n .

РЕШИТЬ УРАВНЕНИЯ:

1 ВАРИАНТ 1) sin x = cos x sin x

2) sin 2x = cos x

2 ВАРИАНТ 1) sin 2x = sin x

2) sin 2x - cos x = 0

Результаты работы по технологическим картам учащиеся записывают на листочках, которые сдают учителю. Проверку производят по тетрадям, выполняя некоторые, где было сделано много ошибок на доске. Оценки ставят себе сами (выполнено 6 заданий - «5», выполнено 4 -5 заданий - «4», выполнено 3 задания «3»).

1. Рассмотрим однородные тригонометрические уравнения:

3 sin²x - 4 sin x cos x + cos²x = 0

Разделим обе части уравнения на cos²x.

3 tg²x - 4 tg x + 1 = 0

Мы получили тригонометрическое уравнения, приводимое к квадратному.

Заменим tg x = y

3y² - 4 y + 1 = 0 tg x = 1, x =

D = 4, y₁ = 1, y₂ = tg x = , x = arctg +

ответ: x = , x = arctg +

2.Решим уравнение, применяя универсальную подстановку:

Sin 2x + 2 cos 2x = 1

Делаем замену: sin 2x = , cos 2x =

+ 2 = 1. Pазделим обе части на 1 + tg²x

2 tg x + 2 - 2 tg²x = 1 + tg²x

3 tg² x - 2 tg x - 1 = 0, tg x = y tg x = 1, x =

3y² - 2y - 1 = 0 tg x = - , x = - arctg +

D = 16, y₁ = 1, y₂ = - Ответ: x = , x = - arctg +

3.Решение тригонометрических уравнений с помощью формул сложения, формул суммы и разности синусов (косинусов):

2 sin 11x + sin 5x + cos 5x = 0.

Разделим левую и правую части этого уравнения на 2, получим

sin 11x + sin 5x + cos 5x = 0

так как = cos , a = sin , то это уравнение имеет вид:

sin 11x + cos sin 5x + sin cos 5x = 0

sin 11x + sin (5x + ) = 0; 2 sin = 0

sin = 0, = n, 16x + = 2n, x = - +

cos = 0, = + n, 6x - = + 2n, x =

Ответ: x = - + , x =

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

ВАРИАНТ 1

Решить уравнения:

1. 2cos²x + 3 sin x = 0

2. sin x + cos x = 0

3. 2 sin x cos x + sin x = 0

ВАРИАНТ 1

Решить уравнения:

1. 2cos² x + 3 sin x = 0

2. sin x + cos x = 0

3. 2 sin x cos x + sin x = 0

ВАРИАНТ 2

Решить уравнения:

1. 2 cos² x = 3 sin x

2. 3 sin x + 4 sin ( + x ) = 0

3. cos x + sin 2x = 0

ВАРИАНТ 2

Решить уравнения:

1. 2 cos² x = 3 sin x

2. 3 sin x + 4 sin ( + x ) = 0

3. cos x + sin 2x = 0

ВАРИАНТ 3

Решить уравнения:

1. 2 sin² x - 5 = - 5 cos x

2. 7 sin² x = 8 sin x cos x - cos² x

3. 2 sin x cos x = cos x

ВАРИАНТ 3

Решить уравнения:

1. 2 sin² x - 5 = - 5 cos x

2. 7 sin² x = 8 sin x cos x - cos² x

3. 2 sin x cos x = cos x

Самостоятельную работу выполняют на листочках, в листах ответов записывают результат.

Проверка самостоятельной работы (по плакату).

РЕФЛЕКСИЯ:

Среди уравнений, данных на плакате выбрать те, которые решаются

а) приведением к квадратному (ответ: № 3, 4, 8)

б) как однородные (ответ: № 1, 5, 9)

в) с помощью формул суммы и разности (ответ: № 6, 7)

г) вынесением множителя за скобки (2, 10)

д) с помощью универсальной подстановки (ответ: № 11)

1. 2 sin² x + cos² x = 5 sin x cos x

2. Sin 2x - cos x = 0

3. Sin² x - sin 2x = cos² x

4. Sin² x - 2 sin x - 3 = 0

5. cos x - sin x = 0

6. Sin x + sin 3x = sin 5x - sin x

7. Sin x - sin 2x + sin 3x - sin 4x = 0

8. 2 cos² x + 3 sin² x + 2 cos x = 0

9. Cos² x + 3 sin² x + 2 sin x cos x = 3

10) sin x = cos x sin x

11) sin x + cos x = 1

Ф.И.

вариант

1.

1)

2)

П.

1)

2)

Ш.

1)

2)

ЛИСТ ОТВЕТОВ

Ф.И.

Вариант

1.

2.

3.

Разработала учитель математики средней школы № 6 г.Павлодара

Смагулова Шолпан Жазкеновна