- Преподавателю
- Математика
- Сборник задач по математике Практическое применение процентов в повседневной жизни
Сборник задач по математике Практическое применение процентов в повседневной жизни
Раздел | Математика |
Класс | 6 класс |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Лачимова Г.А. |
Дата | 07.01.2016 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Верстка и дизайн:
Лачимова Г.А., учитель математики
МКОУ Ханты-Мансийского района
«Средняя общеобразовательная школа п. Выкатной»,
Ильиных А., ученица 6класс МКОУ Ханты-Мансийского района
«Средняя общеобразовательная школа п. Выкатной».
Отпечатано в студии дизайна
МКОУ ХМР "СОШ п. Выкатной"
86schhmr-wikatnoy.edusite.ru/
Адрес: 628513, п. Выкатной, ул. Школьная, 1
Телефон: 8 (3467) 376-1-94,
Факс: 8 (3467) 376-2-00.
Содержание
1.Предисловие______________________________________ 2
2. Теоретические сведения________________________ 3-4
2.1.Виды задач на проценты
а) нахождение процента от числа;
б) нахождение числа по процентам;
в) нахождение процентного отношения чисел.
2.2.Проценты в повседневной жизни________________ 5-7
2.3. Роль процентов в организации питания школьника _ 7-8
2.4. Проценты в ГИА и ЕГЭ _______________________ 8-9
2.5.Задачи с процентами на исторический сюжет ______ 10
2.6. Задачи с процентами с литературными сюжетами_____10-11
3.Заключение ____________________________________12
4.Список литературы _____________________________12
1. Предисловие
В мире науки и техники, где человечество стремительно несётся вперёд, просто необходимо уметь считать и высчитывать. Строительство, обучение, кредиты, скидки в магазинах, да и просто стоя у плиты дома - всюду приходится столкнуться с процентами.
Прежде всего, отметим, что «процент» не является математическим понятием, в математике и ее приложениях не играет никакой роли. Изучение процентов в школе объясняется лишь традицией. Просто люди привыкли их использовать, как удобное средство кратко сообщать информацию о сравнении данных, для описания изменения величин.
В газетах, по радио и телевидению, в транспорте и на работе обсуждаются повышение цен, зарплат, рост стоимости акций, снижение покупательной способности населения. Добавим сюда объявления коммерческих банков, привлекающих деньги населения на различных условиях, сведения о доходах по акциям различных предприятий и фондов, об изменении процента банковского кредита и прочее. Все это требует умения производить хотя бы несложные процентные расчеты для сравнения и выбора более выгодных условий.
Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется
.
3. Заключение
Ведь почти во всех областях человеческой деятельности встречаются проценты. Без понятия «процент» нельзя обойтись ни в бухгалтерии, ни в финансовом деле, ни в статистике. Чтобы начислить зарплату работнику, нужно знать процент налоговых отчислений; чтобы открыть счёт в сбербанке, наши родители интересуются размером процентных начислений на сумму вклада; чтобы знать приблизительный рост цен в будущем году, мы интересуемся процентом инфляции. В торговле понятие «процент» используется наиболее часто. Мы очень часто можем слышать о скидках, наценках, уценках, прибыли, кредитах, и т.д. - всё это проценты. Современному человеку необходимо хорошо ориентироваться в большом потоке информации, принимать правильные решения в разных жизненных ситуациях. Для этого необходимо хорошо производить процентные расчёты.
Литература.
-
Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. Выпуск 1/ авт.-сост. В. Н. Студенецкая, Л. С. Сагателова. - Волгоград: Учитель, 2007.
-
Математика : учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений/ С.М.Никольский, М.К. Потапов, Н.Н Решетников, А.В.Шевкин. - М. : Просвещение, 2008.
-
Шевкин А.В. Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах: Методическое пособие для учителя. - М.: ООО «ТИД « Русское слово - РС», 2001.
-
Энциклопедический словарь юного математика. М: Педагогика, 1989.
-
Газета «Первое сентября». «Математика» №1, 2012
-
Сборники заданий к ГИА и ЕГЭ 2007- 2013г.
Ответ: к концу второго столетия эта сумма будет равна 4142422,7 фунтов. Б. Франклин действительно мог распоряжаться миллионами.
2.6. Задачи с процентами на литературный сюжет
1. В романе М.Е. Салтыкова-Щедрина «Господа Головлевы» есть такой эпизод: «Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: «Сколько было бы теперь у него денег, если бы маменька Арина Петровна подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 рублей ассигнациями не присвоила бы себе, а положила бы в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего 800 рублей ассигнациями».
(Предположить, что Порфирию Владимировичу в момент счета было 53 года). Сколько процентов в год платил ломбард?
Ответ: 4 %.
2. В романе М. Е. Салтыкова - Щедрина « Господа Головлевы» сын Порфирия Владимировича Петя проиграл в карты казенные 3000 рублей и попросил у бабушки эти деньги взаймы. Он говорил: « Я бы хороший процент дал. Пять процентов в месяц». Подсчитайте, сколько денег готов вернуть Петя через год, согласилась бабушка на его условия.
Ответ: 4800 рублей.
3. В новелле О. Бальзака «Гобсек» один из героев, господин Дервиль, взял у ростовщика Гобсека сумму в 150000 франков сроком на 10 лет под 15 % годовых. Вычислите, какую сумму вернул Дервиль Гобсеку по происшествие этого срока.
Ответ: 606833,6 франка.
Можно и нужно для задач
брать примеры из
окружающей жизни.
Н.К. Крупская
2. Теоретические сведения
Что такое процент?
Процент - сотая доля числа.
1 % = 1/100 = 0,01
Проценты - удобная относительная мера, позволяющая оперировать с числами в привычном для человека формате, не зависимо от размера самих чисел. Это своего рода масштаб, к которому можно привести любое число.
Соотношение десятичных дробей и процентов:
0 = 0 %;
0,0007 = 0,07 %;
0,451 = 45,1 %;
1 = 100 %;
2 = 200 %.
Соотношение обыкновенных дробей и процентов:
1 = 100 %;½ = 50% ¼=25% ¾= 75 %.
2.1 Виды задач на проценты:
а) Нахождение процента от данного числа.
Чтобы найти, а % от в, нужно в .
Пример.
Найти 30% от 60.
60
б) Нахождение числа по процентам.
Чтобы найти число, а % которого равны в, нужно в.
Пример.
Найти число, 3% которого равны 150.
150:
в) Нахождение процентного отношения чисел.
Чтобы найти процентное отношение чисел а и в, надо отношение этих чисел умножить на 100%, т.е. .
Пример.
Сколько процентов составляет 150 от 600?
25%.
Рассмотрим некоторые задачи, решение которых содержит перечисленные выше приемы.
Задача 1.
Папа вложил 5000 р. В акции своего предприятия и получил 20% дохода. Сколько рублей дохода получил папа?
Решение.
5000
Ответ: 1000 р.
Задача 2.
Несколько лет назад сберегательный банк выплачивал доход по срочному вкладу из расчета 3% годовых от вложенной суммы. Сколько рублей оказывалось на счете через 2 года, если на него положили 10000 р.?
Решение.
(10000
Ответ: 10609 р.
Задача 3.
Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 200000 рублей. Какая сумма будет на его счете через 5 лет?
Решение.
Для решения использовали формулу простого процента.
Ответ: 280000 р.
5.Из 80 учащихся девятых классов на экзамене по математике 10% всех учащихся получили оценку «5», 5% всех учащихся получили оценку «2», оценку «4» получило учащихся в три раза больше, чем оценку «3». Составьте отчетную ведомость экзамена по математике.
Решение:
-
10%=0,1; 80*0,1=8 (уч.) - получили «5».
-
5%=0,05; 80*0,05=4 (уч.) - получили «2».
-
80-8-4=68 (уч.) - получили «3» и «4».
-
68:4=17 (уч.) - получили «3».
-
17*3=51 (уч) - получили «4».
Ответ:
-
Оценка
«5»
«4»
«3»
«2»
Количество учащихся
8
51
17
4
2.5. Задачи с процентами на исторический сюжет
1. Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестерциев. Заимодавец поставил условие: « Ты вернешь мне в установленный срок 50 сестерциев и еще 20% от этой суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг?
Ответ: 60 сестерциев.
2. Некий человек взял в долг у ростовщика 100 рублей. Между ними было заключено соглашение о том, что должник обязан вернуть деньги ровно через год, доплатив еще 80% суммы долга, но через 6 месяцев должник решил вернуть долг. Сколько рублей он вернет ростовщику?
Ответ: 140 рублей.
3. Завещание Бенджамина Франклина: «Препоручаю 1000 фунтов стерлингов бостонским жителям. Если они примут эту тысячу фунтов, то должны поручить ее отборнейшим гражданам, а они будут давать их с процентами по 5 на 100 в год в заем молодым ремесленникам. Сумма эта через 100 лет возвысится до 131000 фунтов. Я желаю, чтобы тогда 100000 фунтов употреблены были на постройку общественных зданий, а остальные 31000 фунтов отданы были в проценты на 100 лет. По истечении второго столетия сумма возрастет до 4061000 фунтов, из коих 1061000 фунтов оставляю в распоряжении бостонских жителей, а 3000000- правлению Массачусетской общины. Далее не осмеливаюсь простирать своих видов». Мы видим, что завещав всего 1000 фунтов, Б. Франклин распоряжается миллионами. Проверьте, не ошибся ли он в своих расчетах.
стоит 32 рубля, ежемесячно на карманные расходы школьник получает 400 рублей (в месяце 4 недели).
Решение: (32*2)/400 * 100 = 16 %. Ответ: 16 %.
2.4.Проценты в ГИА и ЕГЭ
1.Для нормальной работы пансионата требуется 600 лампочек. Каждый месяц требуется замены 10% лампочек. Сколько необходимо лампочек для нормальной работы пансионата?
Используем формулу простого процентного роста.
Решение: S= (1+4*10:100)*600=840 (л)
Ответ: 840 ламп.
2. К 120 г раствора, содержащего 80% соли, добавили 480 г раствора, содержащего 20 % той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе?
Решение:
1) 0,8*120=96(г) - соли в первоначальном растворе;
2) 480*0,2=96(г) - соли во втором растворе;
3) ((96+96)/(120+480))*100%=32% - процентное содержание соли в получившемся растворе.
Ответ: 32%.
3. При покупке ребенку новых лыж с ботинками родителям пришлось заплатить на 35 % больше, чем два года назад, причем лыжи подорожали с тех пор на 20 %, а ботинки - на 70 %. Сколько процентов от стоимости лыж с ботинками составляла два года назад стоимость лыж?
Решение:
1/2x+1,7y=1,35(x+y),
Где х руб - стоили лыжи два года назад.
y руб - стоили ботинки два года назад.
y=3/7x;
x/(x+y)=x/(x+3/7x)=7/10
Ответ: 70%.
4. Численность населения в городе Саранске в течение двух лет возрастала на 2 процента ежегодно. В результате число жителей возросло на 11312 человек. Сколько жителей было в Саранске первоначально?
Решение:
А - первоначальное количество жителей Саранска. Используя формулу коэффициента увеличения, получаем
А(1+0,02)2= А+11312, откуда А=280000
Ответ: 280000 человек.
2.2. Проценты в повседневной жизни
1. Для засолки огурцов был нужен 9% раствор уксусной кислоты, в наличии был 70% раствор. Мама попросила меня посчитать, сколько надо добавить воды в 20гр. 70% раствора, что бы получить 9% раствор.
Решение: х - количество воды необходимое добавить;
(х + 20)- новое количество раствора;
(х + 20)*0,09=20*0,7- количество уксуса в растворе;
Решим уравнение:
(х + 20)*0,09=20*0,7
(х + 20)*0,09=14
х + 20=155,5
х =135,5 гр.
Ответ:135,5 гр. воды.
2. Джинсы стоили 3000 рублей. Сейчас в магазине «sale»(распродажа) З0 % на всю коллекцию. Какова новая цена джинсов?
Решение.
1) 3000
2) 3000 900
Ответ: 2300 р.
3. Стоимость проезда в метро в течение года выросла с 17 до 25 рублей за одну поездку. На сколько процентов изменился тариф за год?
Решение.
1) 17 - х%
25
2) 100% -изменение.
Ответ: на 32%.
4. Сколько граммов воды надо добавить к 50 г 10%-го раствора соли, чтобы получить 8%-й раствор?
Решение.
1) х г. - количество соли, которое было в 10% растворе.
х=5 г.
2) у г. - количество воды, которое надо добавить для получения 8% раствора.
400+8у=500 у г. Ответ: 12,5 г.
5. Купили конфеты и печенье. 1кг конфет дороже 1кг печенья на 50%, но их купили на 50% меньше, чем печенья. За что заплатили больше?
Решение.
Пусть x кг печенья по y р. За 1 кг - всего на xy р. Тогда конфет купили 0,5x кг по 1,5y р. За 1 кг - всего на 0,5x · 1,5y = 0,75 xy р. Так как xy > 0,75xy, то за печенье заплатили больше чем за конфеты.
Ответ: за печенье.
6. Мальчики составляют 45% всех учащихся школы. Известно, что 30% всех мальчиков и 40% всех девочек учатся без троек. Сколько учащихся школы учатся без троек?
Решение.
Пусть x учащихся в школе. Тогда мальчиков 0,45 x, а девочек 0,55x. На тройки учится 0,3·0,45x мальчиков и 0,4·0,55x девочек. Всего 0,3·0,45x + 0,4·0,55x = 0,135x +0,22x = 0,355x.
Значит, на тройки учится 35,5% всех учеников школы.
Ответ: 35,5%.
7. Рядовой Сидоров почистил бак картошки за 4 ч, и у него 20% всей картошки ушло на очистки. За сколько часов он начистит такой же (по массе) бак картошки?
Решение:
Пусть x неочищенной картошки было в баке. Тогда очищенной за 4 ч- 80% ,т. е 0,8x. Значит, за 1 ч он начистит 0,2x. Тогда, x: 0,2x = 5 ч понадобится рядовому для поставленной задачи.
Ответ: за 5 ч.
8. Сколько надо заплатить, если платеж 5000 рублей просрочен, пеня равна 1 % за каждый день просрочки, а оплата производится с задержкой на 15 дней?
Решение:
(руб.)
Ответ: 5750 рублей.
2.3. Роль процентов в организации питания школьника
Формула расчета доли в процентном отношении.
Путь задано два числа А1 и А2. Надо определить, какую долю в процентном отношении составляет число А1 от А2.
Р = А1 / А2 * 100
Пример 1. Калорийность рациона школьника: 7-11 лет - 2350 ккал; 11 лет и старше - 2713 ккал. Какую долю в процентном отношении составляет калорийность этих возрастов?
Р = 2350 / 2713 * 100 86, 62 %. Ответ: 86, 62 %.
Пример 2. Йогурт «Эрмик» содержит 2,5 г - жира, 2,8 г - белка и 15,9 г - углеводов. Каково процентное содержание этих питательных веществ в йогурте?
Решение: 2,5 + 2,8 +15,9 = 20,2 (г)
2,5/20,2 * 100 = 12,5%
2,8/20,2 * 100 = 13,86%
15,9/20,2 * 100 = 78,7%. Ответ: 78,7%.
Формула расчета процента от числа.
Пусть задано число А2. Надо вычислить число А1, составляющее заданный процент Р от А2.
А1 = А2 * Р / 100
Пример 1. Массовая доля жира в 450 г кефира «Снежок», составляет 2,5%. Сколько грамм жира содержится в кефире?
Решение: 450 * 2,5/100 = 11,25 (г). Ответ: 11,25 г.
Пример 2. Известно, что энергетическая ценность йогурта - 97 ккал, что составляет 4% от рекомендуемой суточной нормы потребления питательных веществ для школьника. Каков суточный объем питательных веществ школьника?
Решение: 97 * 4/100 ≈ 2500 (ккал). Ответ: ≈ 2500 ккал.
Формула уменьшения числа на заданный процент.
Пусть задано число А1. Надо вычислить число А2, которое меньше числа А1 на заданный процент Р. А2 = А1 - А1 или А2 = А1
Пример3. Норма суточной потребности учащегося в различных витаминах составляет в среднем 125 мг. Одна выкуренная сигарета нейтрализует (уничтожает) 20% витаминов. Сколько витаминов получит ученик, который курит? Сколько витаминов ворует у себя тот, кто курит?
Решение: 125 * (1 - 20/100)= 125 * 0,8 = 100 (мг) - получит,
125 - 100 = 25 (мг) - ворует.
Пример 4. Определить сколько % своих карманных денег тратит на фаст - фуды школьник, съедающий 2 фаст - фуда в неделю, если один такой продукт в среднем.
Верстка и дизайн:
Лачимова Г.А., учитель математики
МКОУ Ханты-Мансийского района
«Средняя общеобразовательная школа п. Выкатной»,
Ильиных А., ученица 6класс МКОУ Ханты-Мансийского района
«Средняя общеобразовательная школа п. Выкатной».
Ханты - Мансийский район
Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение:
Средняя общеобразовательная школа
п. Выкатной
Сборник задач по математике
"Практическое применение процентов
в повседневной жизни"
6 - 11класс
2015