Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Раздел Математика
Класс 10 класс
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ОКТЯБРЬСКАЯ ШКОЛА-ГИМНАЗИЯ» КРАСНОГВАРДЕЙСКОГО РАЙОНА РЕСПУБЛИКИ КРЫМ











ТЕМА:

«Решение линейных, квадратных уравнений с параметром.

Решение симметрических уравнений»





Материал для спецкурса

по математике 10-11 класса


подготовила учитель математики

Пашко Наталья Прокофьевна

















пгт. Октябрьское

2015год


I.Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравненияЛинейные уравнения. Схема решения линейного уравнения. Решение линейного уравнения с параметром

Линейным называется уравнение вида Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения где х - неизвестная переменная, Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения - коэффициенты.

1.Если a≠0, то уравнение имеет единственное решение Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

2.Если a = b = 0, то уравнение примет вид Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения которое имеет бесконечно много решений.

3.Если a = 0, b ≠ 0, то уравнение примет вид Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения не имеет решений.

Пример 1: Решить уравнение Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Решение: В данном уравнении Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения Найдём те значения k, при которых Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

1.Если Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения то

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

2.Если k = 1, то уравнение примет вид Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения т.е. 0∙x=0, х- любое действительное число.

3.Если k = -3, то уравнение примет вид

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравненияуравнение решений не имеет.

Ответ: при Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

при Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения любое действительное число;

при Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения уравнение решений не имеет.

II. Решение квадратных уравнений. Квадратных уравнений с параметром.

Квадратным называется уравнение вида Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Замечание: Квадратное уравнение всегда имеет решение на множестве комплексных чисел.

Пример 1: Решить уравнение Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Ответ: D=1, Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

ЕСЛИ ВТОРОЙ КОЭФФИЦИЕНТ ЧЕТНОЕ ЧИСЛО, то используется формула:

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Пример 2: Решить уравнение Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Ответ: Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Пример 3: Решить уравнение c параметром Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Решение:

Если m2 = 0, то уравнение станет линейным x+1 = 0, которое имеет решение Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Если Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения то Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Исследуем знак дискриминанта:

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Если Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения то Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения т. е. уравнение действительных корней не имеет.

Если Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения то Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения , то уравнение имеет действительные корни Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Ответ: при Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

При Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения действительных корней нет;

При Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Пример 4: Решить уравнение Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Решение: Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Если Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения т.е. Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения то Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения если

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравненият.е. Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения то действительных корней нет.

Ответ: при Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

при Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения действительных корней нет.

Пример 5: Найти все значения параметра a, для которых квадратное уравнение Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

а) имеет два различных корня;

б) не имеет корней;

в) имеет два равных корня.

Решение: Данное уравнение по условию является квадратным, поэтому Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения Рассмотрим дискриминант данного уравнения

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

При Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения данное уравнение имеет два различных корня, так как D>0

При Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения уравнение корней не имеет, так как Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения Данное уравнение не может иметь двух равных корней, так как D=0 только при a=-1, а это противоречит условию задачи.

Ответ: а) при Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

б) при Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

в) невозможно.

Пример 6: Решить уравнение Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Решение: При Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения получаем линейное уравнение Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

которое имеет единственное решение Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

При Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения уравнение является квадратным и его дискриминант D=4 - 4a

При Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения поэтому данное уравнение корней не имеет.

При Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения , Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения поэтому данное уравнение имеет два совпадающих корня: Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

При Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения следовательно, данное уравнение имеет два различных корня:

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Ответ: при Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

при Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

при Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

при Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения уравнение не имеет решений.

Пример 7: Найти сумму квадратов и сумму кубов корней квадратного уравнения Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Решение: Найдём дискриминант данного уравнения

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравненияи поэтому уравнение имеет два различных корня.

По теореме Виета имеем Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения Представим сумму квадратов и сумму кубов соответственно в виде

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Отсюда находим Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Ответ: Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Пример 8: Составить квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Решение: Пусть Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения рациональные числа, - искомое уравнение.

Поскольку число Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения является его корнем,

то Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения т.е. Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

По условию числа p, q рациональные; поэтому последнее равенство возможно только в том случае, когда одновременно справедливы равенства Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Отсюда получаем Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Итак, примером искомого уравнения служит квадратное уравнение

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Ответ: Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Пример 9: Решить уравнение Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Решение: Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Ответ: Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Пример10: Решить уравнение Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Решение: Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Ответ: Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Пример 11: Решить уравнение Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Решение: Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Ответ: Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Пример 12: Решить уравнение Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Решение: Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Ответ: Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Пример 13: Решить уравнение Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Решение: Пусть Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения тогда Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Имеем Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Ответ: Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Пример 14: Решить уравнение Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Решение: Пусть Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения тогда Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Имеем Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Ответ: Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

III. Симметрические уравнения.

Уравнения вида Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения называются симметрическими уравнениями третьей степени.

Поскольку Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения то уравнение равносильно совокупности Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Уравнения вида Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения называются симметрическими уравнениями четвёртой степени.

Разделив обе части на Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения не является его корнем), получим эквивалентное ему уравнение

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Аналогично для второго уравнения получаем эквивалентное ему уравнение Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Для решения полученных уравнений положим соответственно

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравненияПоскольку Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

то получаем Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения Таким образом, если Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения корни

уравнения первого, а Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения корни второго уравнения, то исходные уравнения эквивалентны соответственно совокупностям уравнений

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравненияМатериал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Пример 1: Решить уравнение Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Решение:

Поскольку x = 0 не является решением данного уравнения, то, разделив обе его части на x2, получим Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения ,

откуда Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Положив Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения получим уравнение Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Отсюда находим Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения Следовательно, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Второе уравнение этой совокупности решений не имеет. Корнями первого уравнения, а значит и исходного являются числа

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Ответ: Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Пример 2: Решить уравнение Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Решение: Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Отсюда Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравненияТаким образом, исходное уравнение

эквивалентно совокупности уравнений Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Второе уравнение совокупности решений не имеет. Корнями первого, а значит и исходного являются числа Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Ответ: 2 и -3.

Пример 3: Решить уравнение Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Решение: Т.к. 0 не является решением данного уравнения,

Разделим обе части на x2, получим уравнение

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Решением этого уравнения являются числа Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Таким образом Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Решив эту совокупность, получим корни

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Ответ: Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Уравнения вида

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Можно решать, используя замену переменных (симметризацию уравнения)

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Пример 4: Решить уравнение Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Решение: Перепишем данное уравнение в виде

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Так как Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения то введём новую переменную

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Подставляя Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения в исходное уравнение, получим

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Соответствующие корни исходного уравнения равны Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Ответ: Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Уравнение вида

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

сводится к решению совокупности двух квадратных уравнений при помощи замены Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Пример 5: Решить уравнение

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Решение: Заметим, что Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения Перемножив в левой части данного уравнения первую и четвёртую скобки, а также вторую и третью, получим Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Поскольку 0 не является корнем данного уравнения, поделим обе части этого уравнения на Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения Получим уравнение

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравненияравносильное исходному.

Сделаем замену переменной Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравненият. е. Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Решив эту совокупность, получаем

Ответ: Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Уравнение вида Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

можно решить также, используя метод симметризации, т. е. делая замену Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Пример 6: Решить уравнение Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Решение: Данное уравнение после замены переменной примет вид Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Решая это биквадратное уравнение, получим его корни

Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

Ответ: 8; 6.


© 2010-2022