Элективный курс по математике

Пояснительная записка.

Программа курса по математике "Тригонометрия в ЕНТ" составлена на основе примерной программы по алгебре и началам анализа для 10-11-го класса в соответствии с требованиями государственного общеобязательного стандарта среднего образования .

Образовательная область и предмет изучения.

Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в традиционно далекие от нее области. Интенсивная математизация различных областей человеческой деятельности особенно усилилась со стремительным развитием ЭВМ. Компьютеризация общества, внедрение современных информационных технологий требуют математической грамотности человека на каждом рабочем месте. Это предполагает и конкретные математические знания, и определенный стиль мышления. В частности, важным аспектом является изучение тригонометрии - как автономной ветви математики. Учение о тригонометрических функциях имеет широкое применение в практике, при изучении множества физических процессов, в промышленности, и даже в медицине. Учащиеся, которые в дальнейшем в своей профессиональной деятельности будут пользоваться математикой, необходимо обеспечить высокой математической подготовкой. Разработанный прикладной курс "Тригонометрия" будет способствовать достижению этой цели, так как включает ряд вопросов, не входящих в программу по математике средней школы.

Новизна, актуальность и педагогическая целесообразность изучаемого курса.

Данная программа предназначена для повышения эффективности подготовки учащихся 10-11-х классов к итоговой аттестации по алгебре и началам анализа за курс полной средней школы и предусматривает их подготовку к дальнейшему математическому образованию. Анализ сдачи единого национального тестирования показал, что ученики допускают много ошибок при выполнении заданий именно этого раздела или вообще не берутся за такие задания.

Этот недостаток в получении тригонометрических знаний помогает устранять данный прикладной курс.

Раздел "Тригонометрия" школьного курса математики наиболее сложный для учащихся. Одной из причин этого является недостаточное количество программных часов, отводимое на изучение этого раздела, а так же поверхностное изложение некоторых важных вопросов, связанных с решением тригонометрических уравнений, отбором и исследованием корней, решением тригонометрических неравенств.

Цели и задачи образовательной программы.

Целью курса является:

1. коррекция базовых математических знаний, систематизация, расширение и углубление знаний в вопросах исследования тригонометрических функций с помощью их графиков, решения уравнений и неравенств;

2. развитие познавательных интересов и творческих способностей учащихся, психических способностей ребенка, обеспечивающих его адаптацию в дальнейшей жизни, научить школьников учиться посредствам личностно-ориентированного подхода;

3. воспитание творческой личности, которая сумеет реализовать себя и интегрироваться в системе мировой математической культуры.

Задачи курса:

1. акцентировать внимание учащихся на единых требованиях к правилам оформления различных видов заданий, включаемых в итоговую аттестацию за курс полной общеобразовательной средней школы;

2. расширить математические представления учащихся по определённым темам раздела "Тригонометрия";

3. формировать навыки применения свойств тригонометрических функций и соотношение между тригонометрическими функциями при преобразовании тригонометрических выражений, при решении тригонометрических уравнений и неравенств, при решении нестандартных задач;

4. развивать способности учащихся к математической деятельности,

5. способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных программой.

Отличительной особенностью данной образовательной программы от программы по алгебре и началам анализа, изучающей раздел "Тригонометрия", является то, что данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся, углублению и систематизации знаний по тригонометрии при подготовке к итоговой аттестации. Школьная программа по математике содержит лишь самые необходимые, максимально упрощённые знания по данному разделу. Практика показывает громадный разрыв между содержанием школьной программы по математике и теми требованиями, которые налагаются на учащихся при сдаче ЕНТ. Поэтому данная программа призвана ликвидировать этот разрыв и подготовить учащихся к успешной сдаче ЕНТ по разделу "Тригонометрия".

Курс ориентирован на расширение базового уровня знаний учащихся по математике, является предметно-ориентированным и дает учащимся возможность познакомиться с интересными, нестандартными вопросами тригонометрии, с весьма распространенными методами решения тригонометрических задач, проверить свои способности к математике. Вопросы, рассматриваемые в курсе, выходят за рамки обязательного содержания. Вместе с тем, они тесно примыкают к основному курсу. Поэтому данный курс будет способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, поможет оценить свои возможности по математике.

Данная программа курса рассчитана на учащихся 10-х классов, но может быть использована и для учащихся 11 классов, которым интересна математика, кому она понадобится при учебе, подготовке кразличного рода экзаменам, в частности, к ЕНТ. Слушателями этого курса могут быть ученики различного профиля обучения. Прикладной курс "Тригонометрия в ЕНТ" рассчитан на 34 часа.

Для реализации данного курса используются различные формы организации занятий, такие как лекция и семинар, групповая, индивидуальная, работа в парах, исследовательская и проектная деятельность учащихся, практикумы и консультации. Результатом предложенного курса должно быть успешное решение заданий ЕНТ по теме "Тригонометрия".

Учебно-тематический план прикладного курса

№ п/п

Название темы

Кол-во часов

Формы занятий

Формы подведения итогов по теме

Основные понятия школьного курса тригонометрии. Формулы для тригонометрических функций одного и того же аргумента.

1 час

Консультация

Самостоятельная работа

Тригонометрические формулы сложения

2 часа

Семинар-практикум

Двойные, тройные и половинные углы

3 часа

Урок-исследование

Семинар-практикум

Преобразование тригонометрических выражений

4 часа

Консультация

Самостоятельная работа

Тригонометрические функции. Преобразование графиков тригонометрических функций

3 часа

Урок-исследование

Семинар-практикум

Лабораторная работа «Построение графиков функций»

Выставка графиков

Вычисление значений тригонометрических функций от аркфункций.

3 часа

Практикум

Консультация

Работа в парах

Методы решения тригонометрических уравнений

4 час

Лекция

Практикум

Групповая работа

Зачёт

Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями.

3 часа

Практикум

Консультация

Работа в парах

Решение систем тригонометрических уравнений

3 часа

Комбинированный урок

Зачет

Методы решения тригонометрических неравенств и систем тригонометрических неравенств

4 часа

Лекция

Практикум

Групповая работа

Зачёт

Учебный проект. "Тригонометрия вокруг нас", "Эта разноликая тригонометрия" и др.

2 часа

Урок-презентация

Защита проектов

Итоговое занятие

2 час

Контрольная работа по теме: "Решение тригонометрических уравнений и неравенств" по материалам ЕНТ

Решение заданий ЕНТ

Итого

34 часа

Тема 1. Основные понятия школьного курса тригонометрии (1 час)

Определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса. Мера измерения углов. Табличные значения тригонометрических функций. Формулы для тригонометрических функций одного и того же аргумента.

Форма проведения занятий. Консультация.

(Так как учащиеся знакомы с данным материалом из курса алгебры и начала анализа в 10 классе, то данное занятие проводится в форме консультации для повторения и систематизации знаний по данной теме).

Приёмы и методы. Разъяснение; решение заданий с опорой на правила, формулы, свойства.

Тема 2. Тригонометрические формулы сложения Начальные свойства тригонометрических функций. (2 часа)

Повторить формулы сложения. Расширить и углубить знания и умения, связанные с преобразованием тригонометрических выражений.

Форма проведения занятий. Семинар-практикум.

(Учащиеся самостоятельно повторяют формулы сложения, их применение к преобразованию тригонометрических выражений. Выполняют предложенные задания, общаясь между собой. При необходимости обращаются за консультацией к учителю).

Приёмы и методы. Самостоятельная работа на применение знаний по теме; работа с книгой; опора на правила, формулы, свойства; выполнение заданий по образцу с последующим обобщением и проверкой.

Тема 3. Двойные, тройные и половинные углы (3часа)

Повторить формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса двойного и половинного углов и их применение при преобразовании выражений. Вывести тригонометрические формулы тройного угла.

Форма проведения занятий. Семинар-практикум.

( Ученики делятся на две группы. Каждая группа вспоминает формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса своего угла. Затем формулы проверяются с помощью мультимедиа и учащиеся, работая в группах, применяют их при решении задач. )

Приёмы и методы. Работа с книгой; опора на правила, формулы, свойства; перенос общих признаков известного на новые в практических действиях учащихся при решении задач.

Форма проведения занятий. Урок-исследование.

(Учитель проверяет какие формулы тройного угла знают ученики. Учащиеся доказывают эти формулы самостоятельно, затем учатся применять их на практике )

Приёмы и методы. Объяснение с опорой на упражнения; доказательства путем сравнения свойств, фактов с опорой на наглядность и упражнения.

Тема 4. Преобразование тригонометрических выражений (4часа)

Преобразование тригонометрических выражений. Применение изученных формул.

Форма проведения занятий. Консультация.

( Учащиеся работают в парах, консультируя друг друга.Учитель помогает им, по мере необходимости даёт групповые или индивидуальные консультации)

Приёмы и методы. Доказательства путем сравнения свойств, фактов с опорой на наглядность и упражнения. Самостоятельная работа в парах на применение знаний по теме.

Тема 5. Тригонометрические функции. (3часа)

Преобразование графиков тригонометрических функций

Определение тригонометрических функций. Знаки тригонометрических функций. Простейшие формулы. Периоды тригонометрических функций. Формулы приведения. Графики синуса и косинуса. Графики тангенса и котангенса. Рассмотреть преобразование графиков параллельным переносом и растяжением или сжатием вдоль координатных осей.

Форма проведения занятий. Урок-исследование.

(С помощью исследования тригонометрических функций учащиеся выводят простейшие тригонометрические формулы, формулы приведения, определяют знаки тригонометрических функций, периоды тригонометрических функций).

Приёмы и методы. Исследование. Самоанализ схем, формул по поиску общего вывода; доказательство закономерности, алгоритма; разрешение противоречий с опорой на сравнение в практической деятельности учащихся при решении задач.

Форма проведения занятий. Семинар-практикум.

(Учащиеся на миллиметровой бумаге строят графики, по графикам повторяют свойства тригонометрических функций, в конце занятия проводится выставка на самый красивый и правильный график).

Приёмы и методы. Упражнения в построении графиков; лабораторная работа; самостоятельная работа на применение знаний по теме.

Тема 6. Вычисление значений тригонометрических функций от аркфункций. (3часа)

Повторить определение и свойства обратных тригонометрических функций. Рассмотреть примеры на вычисление значений тригонометрических функций от аркфункций

Форма проведения занятий. Консультация. Семинар-практикум.

Приёмы и методы. Объяснение с опорой на упражнения; доказательства путем сравнения свойств, фактов с опорой на наглядность и упражнения. Работа в парах.

Тема 7. Методы решения тригонометрических уравнений (4часа)

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений основать на изученных свойствах соответствующих функций и их графиках. Особое внимание уделить решению уравнений вида sin x = 0, cos x = 1 и др., чтобы учащиеся не сводили их решение к применению общих формул. Рассматривая решение сложных уравнений выделять общую идею решения: приведение уравнения к виду, содержащему лишь одну тригонометрическую функцию одного аргумента.

Форма проведения занятий. Лекция.

(Создать содержательные организационные условия для восприятия, осмысления и закрепления учащимися новых фактов и сведений).

Приёмы и методы. Лекция, рассказ; описание схем алгоритма; упражнения.

Формирование навыков решения тригонометрических уравнений различных видов (квадратные относительно одной из тригонометрических функций; однородные уравнения первой и второй степени; уравнения, решаемые разложением на множители, методом универсальной тригонометрической подстановки и др.).

Форма проведения занятий. Практикум. Зачёт.

(В течение занятия учащиеся отрабатывают навык решения тригонометрических уравнений и систем уравнений.На 2 часе занятия сдают зачёт)

Приёмы и методы. Комментированное решение с выводом; поиск примеров на основании нового правила; выбор примеров, подтверждений с опорой на наглядность; перенос общих признаков известного на новые в практических действиях учащихся при решении задач. Зачёт.

Тема 8 . Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями. (3часа)

При решении уравнений такого типа необходимо знать и применять свойства обратных тригонометрических функций, а именно область определения, множество значений, равенство суммы арксинуса и арккосинуса одного и того же аргумента, равенство суммы арктангенса и арккотангенса одного и того же аргумента 90 градусам.

Форма проведения занятий. Консультация. Семинар-практикум.

Приёмы и методы. Объяснение с опорой на упражнения; доказательства путем сравнения свойств, фактов с опорой на наглядность и упражнения.

Тема 9. Решение систем тригонометрических уравнений (3часа)

При решении систем тригонометрических уравнений, учащихся, кроме известных методов решения тригонометрических уравнений, должны научиться активно применять изученные в курсе алгебры способы решения систем уравнений.

Приёмы и методы. Лекция, рассказ; описание схем алгоритма; упражнения.

(В течение занятия учащиеся отрабатывают навык решения систем уравнений.На 2 часе занятия сдают зачёт)

Приёмы и методы. Комментированное решение с выводом; поиск примеров на основании нового правила; выбор примеров, подтверждений с опорой на наглядность; перенос общих признаков известного на новые в практических действиях учащихся при решении задач. Зачёт.

Тема 10. Методы решения тригонометрических неравенств и систем тригонометрических неравенств (4часа)

Решение простейших тригонометрических неравенств показать на изученных свойствах соответствующих тригонометрических функций и их графиках. Изучить общие формулы для решения тригонометрических неравенств.

Форма проведения занятий. Лекция с использованием презентации.

(Учащиеся с помощью презентации с использованием тригонометрического круга под руководством учителя вспоминают методы, приёмы и способы решения тригонометрических неравенств).

Приёмы и методы. Описание схем алгоритма, объяснение причин различных фактов с опорой на наглядность, таблицы, схемы; доказательство закономерности, алгоритма.

При решении систем тригонометрических неравенств обратить внимание на дуги окружностей, которые могут не пересекаться, объяснить, как находится общий период у функций с разным наименьшим периодом. Рассмотреть как можно больше разных случаев

Форма проведения занятий. Практикум. Зачёт.

(Учащиеся по одному тестируются на компьютере по данной теме, а остальные самостоятельно решают данные задания).

Приёмы и методы. Самостоятельная работа на применение знаний по теме. Работа с компьютером.

Тема 11. Учебный проект. "Тригонометрия вокруг нас", "Эта разноликая тригонометрия" и другие по желанию учащихся. (2 часа)

Представление и защита своих работ. Развитие познавательных интересов и творческих способностей учащихся, их адаптация в дальнейшей жизни, умение работать с компьютером и программами.

Форма проведения занятий. Защита творческих проектов. Групповая форма работы.

Приёмы и методы. Метод проектов. Учебное занятие проверки, оценки и коррекции знаний и способов деятельности.

Подготовительный этап.

С первых дней занятий прикладного курса были сформированы творческие группы учащихся. Каждой группе определена цель и тема проекта, источники и способы сбора информации, распределены обязанности. Определена форма отчета - выступление и презентация.

Оценка результатов проекта.

Рефлексия. Нарисуй два портрета: 1) Мои эмоции в начале урока. 2) Мои эмоции в конце урока.

Тема 12. Итоговое занятие. Решение тригонометрических уравнений
и неравенств с помощью применения свойств функций (2 часа)

Контрольная работа по теме: "Решение тригонометрических уравнений и неравенств" по материалам ЕНТ.

Форма проведения занятий. Контрольная работа в форме теста по материалам ЕНТ.

Приёмы и методы. Самостоятельная работа на применение знаний по теме.

Литература

1. Абылкасымов А. «Алгебра и начала анализа», учебник для 10 класса естественно-математического направления, Алматы, Мектеп,2010г.

2. Бородуля И.Т. «Тригонометрические уравнения и неравенства», Москва- Просвещение, 1989г.

3. Рустюмова С, Рустюмова И. «Пособие для подготовки к единому национальному тестированию (ЕНТ) по математике», Алматы, 2009г.

4. Учебно-методическое пособие по математике- Астана, «Национальный центр тестирования» РГКП, 2011.

5. Учебно- методическое пособие по математике-Кокшетау, «Тесты ЕНТ по математике»

6. Учебно-методическое пособие и сборник тестов для поступающих в ВУЗ по математике, ШЫН, Алматы 2007г.

7. Шахмейстер А., «Тригонометрия», С-Петербург -Москва, 2009г.