Задачи, решаемые векторным способом

Задачи, решаемые векторным способом.

1.Основные задачи о прямых и плоскостях.

1.Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве задана общая декартова система координат и две точки М₁ и М₂ с координатами (x₁,y₁,z₁) и (x₂,y₂,z₂). Чтобы написать уравнение прямой М₁М₂, примем М₁ за начальную точку, а за направляющий вектор. Этот вектор не нулевой, если точки не совпадают.

Получаем . Если в этих равенствах какой-либо из знаменателей равен нулю, то следует приравнять нулю соответствующий числитель.

В планиметрии задача решается также. Отличие только в том, что координаты точек теперь (x₁,y₁) и (x₂,y₂), и мы получаем =0.

2.Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Пусть М₁, М₂,М₃ - не лежащие на одной прямой точки с координатами (x₁,y₁,z₁), (x₂,y₂,z₂) и (x₃,y₃,z₃) в общей декартовой системе координат. Выберем М1 в качестве начальной точки, а и в качестве направляющих векторов. Тогда получим уравнение плоскости =0.

3. Параллельность прямой и плоскости.

Пусть известен направляющий вектор прямой a(), а плоскость задана одним из уравнений ()=0 или (-)=0. Прямая параллельна плоскости (а возможно, и лежит в ней) тогда и только тогда, когда соответственно (,)=0 или (,,)=0. Если плоскость задана линейным уравнением Ax+By+Cz+D=0, то условию параллельности - A+B+C =0. Пусть прямая задана системой уравнений .

Тогда получаем A + B + C=0, или =0.

Все приведенные здесь условия являются не только необходимыми, но и достаточными.

4. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть дана плоскость с уравнением ()=0 и точка М с радиус вектором . Рассмотрим вектор =-, соединяющий начальную точку плоскости с М(рис 1).Расстояние от точки до плоскости равно модулю его скалярной проекции на вектор , то есть h=. Если в декартовой прямоугольной системе координат точка М имеет координаты (X,Y,Z), то равенство запишется следующим образом h=

М

h

М₀

O

рис.1

5. Расстояние от точки до прямой.

Если прямая задана уравнением =0, то можем найти расстояние h от точки М с радиус - вектором до этой прямой, разделив площадь параллелограмма, построенного на векторах , на длину его основания (рис 2). Результат можно записать формулой h= .

Для прямой в пространстве мы не будем получать координатной записи этого выражения.

Рассмотрим прямую на плоскости, заданную уравнением Ax+By+C=0 в декартовой прямоугольной системе координат. Пусть M₀(x₀,y₀) - начальная точка прямой, а M(X,Y)- некоторая точка плоскости. В качестве направляющего вектора возьмём вектор . Площадь параллелограмма равна S=. Тогда S= и h = .

М

h

М₀

e₃e₂

О e₁

2.Доказательства и решения задач.

Задача 1: Доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Доказательство: Пусть ABCD - данный ромб (рис.3). Введем обозначения =, =. Из определения ромба следует ==, ==.

По определению суммы и разности векторов =+;=-.

Рассмотрим *=+)(-)=-. Так как стороны ромба равны, то =. Следовательно, *=0. Из последнего условия следует что, , что и требовалось доказать.

A

D B

C

рис.3

Задача 2: Даны два вектора и , причем А(-1;2;4), В (-4;5;4), С(-1;-2;2) и D(2;1;5). Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.

Решение: Найдем сначала координаты векторов.=(-3;3;0) и =(3;3;3).

Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов:

* =(-3)*3 +3*3+0*3 = 0.

Последнее и означает, что

Задача 3: Дан произвольный треугольник АВС. Доказать, что можно построить треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам треугольника АВС.

B B₁

F D A₁

A E C C₁

рис.4 рис.5

Решение: Обозначим медианы треугольника АВС через ВЕ, СF и обозначим векторы, идущие вдоль сторон треугольника АВС, через ,, :

=, =,=. Тогда =+=+=+. Аналогично определяются и другие медианы: = , =.

Так как, в силу замкнутости ++=++=0б то мы имеем ++=()+()+()==*0=0. Следовательно, отложив от точки В, вектор = и от точки С₁ - вектор = , мы получим.

++=++=0.

А это значит (в силу условия замкнутости), что ломаная А₁В₁С₁D₁ является замкнутой, т.е. точка D₁ совпадает с А₁.

Таким образом, мы получаем треугольник А₁В₁С₁ (рис.5), стороны которого равны и параллельны медианам АD, ВЕ, СF исходного треугольника.

Задача 4: Доказать, что для любого треугольника имеет место формула

c² = a²+b²-2ab*соsС (теорема косинусов)

Решение. Положим: = , = , = (рис.6).

Тогда = -, и мы имеем (учитывая, что угол между векторами и равен С): с² =(а-b)² = а² -2аb + b² = а²-2аb*соsС+ b².

A

B C

рис.6

Задача 5: Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Решение: Пусть четырехугольник АВСD - параллелограмм (рис.7). Имеем векторные равенства +=, -=. Возведем эти равенства в квадрат. Получим:+2=, -2=

Сложим эти равенства почленно. Получим: так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то это равенство и означает, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, что и требовалось доказать.

B C

A D

рис.7

Задача 6: Даны три точки: А(1;1), В(-1;0), С(0;1). Найдите такую точку D(х;y), чтобы векторы и были равны.

Решение: Вектор имеет координаты (-2, -1). Вектор имеет координаты (х-0, y-1). Так как = , то х-0 = -2, y-1 = -1. Отсюда находим координаты точки D: х =-2, y = 0.

Задача 7: Даны два вектора и , причем А(-1;2;4), В(-4;5;4), С(-1;-2;2), D (2;1;5).Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.

Решение: Найдем сначала координаты векторов. (-3;3;0) и (3;3;3).

Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов:

* = (-3)*3 + 3*3 + 0*3 = 0.

Последнее означает, что

Задача 8: Доказать, что прямая проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.

Доказательство: Пусть ABCD - данная трапеция, М и N - середины оснований BC и AD, а O-точка пересечения прямых AB и CD (рис.8). Докажем, что точка О лежит на прямой MN.

Треугольник OAD и OBC подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому k. Так как и , то , . Точка М - середина отрезка ВС, поэтому . Аналогично .

Подставив в это выражение равенство для и , получим:

.

Отсюда следует, что векторы и коллинеарны, и , значит, точка О лежит на прямой MN.

О

B M C

A N D

рис.8

Задача 9: Доказать что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство: Пусть MN - средняя линия трапеции ABCD (рис.9). Докажем, что MNAD и MN=.

По правилу многоугольника и Сложив эти равенства получим:

2

Но M и N- середины сторон AB и CD, поэтому = и =. Следовательно, 2, откуда ).

Так как векторы и сонаправлены, то векторы и также сонаправлены, а длина вектора ) равна AD+BC. Отсюда следует MNAD и MN=, что и требовалось доказать.

B C

M N

A D

рис.9