Площадь криволинейной трапеции.

Цель: На наглядно-интуитивном уровне сформировать понятие площади криволинейной трапеции.

Задачи:

• формировать понятие криволинейной трапеции;

• дать понятие площади криволинейной трапеции;

• учить применять формулу Ньютона-Лейбница для нахождения площади криволинейной трапеции;

• познакомить с правилом нахождения площадей фигур, с помощью интегралов.

• повторить значения первообразных элементарных функций.

Ход урока

I.Повторение пройденного

1.Индивидуальная работа с программой «НК-слушатель» (5-7 минут)

5 учащихся работают за персональными компьютерами. У каждого индивидуальный план-задание по теме «Первообразная».

(«НК-слушатель» →Алгебра и начала анализа 10-11 → Первообразная)

В такую работу удобно включать детей или «сильных», предлагая им задания пропедевтического характера, или отстающих от одноклассников по каким-либо причинам.

2.Работа по вариантам. «Кто успешнее?» (7 минут)

Дети самостоятельно решают примеры своего варианта, предлагаемые на доске. Тот, кто первым решил пример, выходит к доске и записывает ответ. Перекрёстная проверка.

-Для каждой функции найдите интеграл.

1 вариант

2 вариант

II.Сообщение целей урока.

Сегодня мы с вами с помощью понятия определённого интеграла будем учиться находить площади.

Способ вычисления площади, о котором пойдет речь, уходит корнями в глубокую древность.

Еще в III в. до н. э. великий Архимед вычислил площадь параболического сегмента с помощью изобретенного им «метода исчерпывания», который через две тысячи лет был преобразован в метод интегрирования.

Простейшими фигурами, площади которых мы научимся вычислять, являются криволинейные трапеции.

III.Объяснение нового материала

(Иллюстрация материала с помощью программы «Живая математика»→демонстрационные модели» →INTEGRAT.GSP)

1.Формирование понятия «криволинейная трапеция»

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная снизу отрезом [a; b] оси Ox, сверху графиком непрерывной функции y=f(x), принимающей положительные значения, а с боков отрезками прямых x=a и x=b.

2.Формирование понятия площади криволинейной трапеции

Рассмотрим криволинейную трапецию, заданную на отрезке. Разобьем этот отрезок на несколько частей. Площадь всей криволинейной трапеции разобьется на сумму площадей более мелких криволинейных трапеций. Каждую такую трапецию можно приближенно считать прямоугольником. Сумма площадей этих прямоугольников дает приближенное представление о площади всей фигуры. Чем мельче мы разобьем отрезок, тем точнее вычислим площадь.

Площадь каждой отдельной трапеции приблизительно равна .

Сумма площадей этих трапеций будет записываться так -

(Символ ∫ был введён Лейбницем и является изменением латинской буквы S - первой буквы слова сумма). Таким образом, мы вплотную приблизились к понятию площади криволинейной трапеции, заданной на отрезке [a; b]:. . Вычислять площадь криволинейной трапеции будем по формуле: . (формула Ньютона-Лейбница)

Лишь в XVII в. Ньютону и Лейбницу удалось открыть общий способ вычисления интегралов.

IV.Закрепление изученного материала.

1.Закрепление понятия криволинейной трапеции. Практическая работа

(Работа детей по учебнику (по вариантам)

№ 999 на стр. 296: I вар. - 3 задание

II вар - 4 задание

2.Обучение применению формулы Ньютона-Лейбница для вычисления значения площади криволинейной трапеции. Знакомство с формой записи при вычислениях.

(Учащиеся под руководством учителя вычисляют площади фигур, изображённых ими)

3.Отработка умения пользоваться формулой.

(Самостоятельная работа по учебнику - №1000).

2 ребёнка решают у доски. Фронтальная поверка ответов других примеров.

V.Знакомство с приёмом вычисления площадей фигур, ограниченных графиками функций

1.Объяснение материала

Иллюстрация объясняемого материала проходит с помощью компьютерной программы "Advancer Grapher"

Построим графики функций . Изобразим криволинейные трапеции, ограниченные снизу осью Ox а с боков отрезками прямых, проходящих через точки пересечения заданных графиков.

Из рисунка видно, что площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций, можно найти как разность площадей криволинейных трапеций.

2.Отработка умения применять полученные знания

Фронтальная работа с программой «НК-слушатель» → готовимся к ЕГЭ →первообразная →задача о площади криволинейной трапеции → В01 и В02

Задача демонстрируется на экран. Дети решают в тетрадях, один ученик у компьютера. Программа помогает детям выстроить план решения и получить ответ.

VI.Рефлексия

Мы познакомились с формулой названной в честь её создателей - 2-ух великих математиков.

─ Кто они?

─ Когда применяется эта формула?

─ Закройте глаза и мысленно восстановите её. Запишите ещё раз в тетрадь.

─ Кто изобрёл знак интеграла? Почему он так выглядит?

─ В чём геометрический смысл интегрирования?