Методическая разработка «Метод вспомогательных фигур в геометрии»

Учитель МБОУ гимназия № 9

города Воронежа

Хатунцева И.В.

Методическая разработка

«Метод вспомогательных фигур в геометрии»

1. Задача на доказательство

В остроугольном ∆ ABC проведены высоты AP, BQ, CR. Доказать,

что ∠ABQ =∠APR.

1) ∠APB, ∠CRB - прямые

=> можно описать окружность

2) ∠ABQ =∠APR

Таким образом, построение вспомогательной окружности помогло установить связь

между указанными углами.

2. Задача на построение

Построить правильный треугольник так, чтобы его вершины лежали на трех данных

параллельных прямых.

1) Пусть АВС - искомый треугольник

2) ∠ADC = ∠ABC = 60

3) Проведем лучи AD, BD

4) ∆ ABB₁ = ∆ BCD => AB =BC, ∠ABC = 60⁰

Таким образом, прием построения вспомогательной окружности целесообразно применять и при решении некоторых задач на построение.

3. Задача на доказательств и вычисление

На сторонах АС и ВС ∆АВС вне его построены квадраты АСА₁А₂ и ВСВ₁В₂.

Доказать, что прямые АВ₁, А₁В, А₂В₂ пересекаются в одной точке; определить углы между этими прямыми.

1) ∠A₂C₁C, ∠CC₁B₂ - прямые => ∠A₂C₁C + ∠CC₁B₂ = 180⁰

2) AB₁A₁B, каждая из них образует с A₂B₂∠ = 45⁰

1. Плоские углы трехгранного угла равны 45, 45, 60. Через его вершину проведена прямая, перпендикулярная одной из граней, плоский угол которой равен 45. Найти угол между этой прямой и ребром трехгранного угла, не лежащим в этой грани.

1) ∠B₁AB = ∠BAC = 45⁰

∠B₁AC = 60⁰

2) AA₁ BAC

3) ∠A1AB1 = 45⁰

2 . Основание и вершина К равнобедренного ∆MNK находятся на разных гранях прямого двугранного угла с ребром L. Точки М и К удалены от L на расстояние а, а проекция точки N на ребро L равноудалена от проекции точек М и К на ребро L. Найти расстояние от точки N до L, если МК образует с L угол, равный 60⁰.

1) KP = AB, AQ = QP

2) MD = a√2

3) ∠(AB, MK) = 60⁰, ∠MKD = 60⁰

4) ∆MKD : DK = a√2/√3, MK = 2a√2/√3

5)QP=AP/2=DK/2=a/√6

6) ∆QPK : QK = 7а /√6

7) ∆NQK : NQ = a√6/2

3. Основанием пирамиды HPQR является равнобедренный прямоугольный треугольник PQR, длина гипотенузы PQ которого равна 2√ 2. Боковое ребро пирамиды HR перпендикулярно плоскости основания, и равно 1. Найти величину угла и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку H и середину ребра PR, а другая проходит через точку R и середину PQ.

1) AR = QP = 2√2

2) HS||B₁A, ∠B₁AR = 60

3) B₁AR||HS

4) Тетраэдр D₁B₁AR : D₁O - высота

5) FE||D₁O

6)FE:D₁O=FR:D₁R=1:4

7)D₁R=2√2, RO=2√6/3

8) D₁O = 4√3/3

9) FE=1/4(D₁O)=1/√3

5