Конспект факультативного занятия «Предел последовательности»

Тема: «Предел последовательности и функции»

Количество часов: 3 часа.

Цели: создание условий для формирования понятия предела числовой последовательности, предела функции по Гейне, способов их вычисления; развитие внимания, математического мышления; воспитания самостоятельности.

Ход занятия:

- Здравствуйте! На первом занятии мы с вами повторили что такое последовательность и способы ее задания. На сегодняшнем занятии мы познакомимся с новым понятием для вас - предел числовой последовательности.

Рассмотрим знакомую уже для вас числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу A при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что последовательность имеет предел. Но так как мы имеем дело со строгими математическими понятиями, то и определение предела нам нужно рассмотреть тоже строгое: число A называется пределом числовой последовательности _{: , если для любого , существует номер N, зависящий от , такой что для всех n>N, будет следовать, что . Если число A есть предел числовой последовательности , то говорят, что ( стремиться к A). Это определение означает, что если последовательность имеет предел, то ее общий член неограниченно приближается к A при увеличении n. Если последовательность имеет предел, то последовательность называют сходящейся, в противном случае, расходящейся.}

_{Пример:}

Рассмотрим, каким образом, члены данной последовательности располагаются на числовой прямой:

К чему стремится предел этой последовательности? (к 0). Тогда предел числовой последовательности равен 0: _.

2. _{: 1, 3, 5, 7, 9, 11, …, 2n-1, …}

Рассмотрим, каким образом, члены этой последовательности располагаются на числовой прямой:

Как вы думаете чему равен предел этой последовательности? ().

Верно, предел числовой последовательности равен бесконечности: _.

_{Геометрический смысл предела числовой последовательности заключается в следующем: если числовая последовательность имеет предел равный A, то это означает, что для любого существует номер N, зависящий от , такой что для всех n>N, будет следовать, что , т.е. все члены последовательности расположены внутри интервала . Т.к. все члены последовательности принадлежат интервалу, то можно записать это в виде неравенства: .}

_{Так же нам понадобится определение бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей. Последовательность называется бесконечно малой, если для сколь угодно малого числа , найдется номер N, такой для всех n>N, будет выполнятся неравенство:. И, наоборот, последовательность будет являться бесконечно большой, если для сколь угодно малого числа , найдется номер N, такой для всех n>N, будет выполнятся неравенство: . Что это значит, если последовательность бесконечно малая, то ее предел будет стремиться к 0, если бесконечно большая, то ее предел стремится к .}

_{Пример:}

1. _{, потому как мы ранее показали, что предел этой последовательности при увеличении n будет равняться 0. - бесконечно малая последовательность.}

2. _{: 1, 3, 5, 7, 9, 11, …, 2n-1, …, потому как мы ранее показали, что предел этой последовательности при увеличении n будет равняться . .- бесконечно большая последовательность.}

_{(На компьютерах выполняют в Excel построение последовательностей, и на основе полученного изображения делают вывод, о том какая последовательность.)}

_{Какие из данных последовательностей будут являться бесконечно малыми, а какие бесконечно большими последовательностями:}

_{Сделайте вывод о том, к чему стремится предел этой последовательности? (одновременно и к 0 и к бесконечности).}

_{Если у нас есть последовательность , давайте изобразим к чему будут стремиться члены этой последовательности?(к бесконечности)}

_{Это бесконечно большая или бесконечно малая последовательность? (бесконечно большая).}

_{Чему будет равен предел этой последовательности , то какая это последовательность? (бесконечно малая).}

_{Домашнее задание: рассмотреть и построить график последовательности:}

_{Занятие второе теме:}

Рассмотрим предельные свойства последовательностей. Если _{- сходящиеся последовательности, то есть , тогда:}

1. _;

2. _;

3. _;

4. _;

5. _{, то ;}

6. _{Если , где , тогда .}

Доказательства всех свойств рассматривается через определение предела последовательности. Рассмотрим доказательство 2 для суммы.

_{, доказать что . Доказательство:}

Запишем определение предела для последовательности _:

Существует _{, зависящий от , такой что .}

_{Запишем определение предела для последовательности :}

Существует _{, зависящий от , такой что .}

_{Надо доказать, что . Запишем снова определение предела:} Существует _{, зависящий от , такой что . Неравенство выполняется, следовательно, свойство доказано.}

_{Предлагаю доказательство о том, что константу можно выносить за предел, и предел разности равен разности пределов, разобрать сейчас вам самостоятельно.}

_{(Доказательства рассматриваются учащимися самостоятельно на занятии в течении 5-7 минут, кто вперед выполнит, представляет свои рассуждения на доске, где учитель и другие ребята следят за правильностью его рассуждений).}

_{Выполните следующие задания, в решение их вам помогут свойства сходящихся последовательностей.}

_{Если , найдите предел последовательности}

1. _;

2. _;

3. _;

4. _.

_{Если , найдите предел последовательности:}

1. _;

2. _;

3. _;

4. _.

А каким же образом мы будем вычислять пределы?

_{Найдем предел последовательности: . . При подстановки, вместо n бесконечности получим . В этом случае поступим следующим образом: т.е. мы будем делить на n в наибольшей степени, в которой она присутствует в данном выражении. Алгоритм раскрытия неопределенности :}

1. Выявить старшую степень переменной;

2. Деление на переменную в старшей степени.

Вычислите следующие пределы самостоятельно:

1. Вычислите , если: _{. Решение:}

2. Вычислите , если: _{. Решение:}

3. Вычислите , если: _{. Решение:}

4. Вычислите , если: _{. Решение:}

5. Вычислите , если: _{. Решение:}

6. Вычислите , если: _{. Решение:}

7. Вычислите , если: _{. Решение:}

8. Вычислите , если: _{. Решение: - не существует.}

Занятие третье по этой же теме

-Последовательность является функцией? (да, только она определена на множестве натуральных чисел).

Предлагаю найти предел функции _{. (учащиеся самостоятельно вычисляют предел функции, подобно тому как они вычисляли предел последовательности).}

_{Если вы обратили внимание, что вычисление данного предела функции ничем не отличается от того как мы вычисляли ранее предел последовательности, отличие только в том, что вместо n у нас в данном примере стоит x.}

Вычисление предела функции на бесконечности осуществляется по тем же правилам, что и вычисление предела последовательности. Приведем их (с соответствующими изменениями).

1. Для любого натурального показателя n и любого коэффициента k справедливо соотношение: _.

2. Если , то

1. предел суммы равен сумме пределов: _;

2. предел произведения равен произведению пределов: _;

3. предел частного равен частному от деления пределов _;

4. постоянный множитель можно вынести за знак предела: .

Домашнее задание: докажите самостоятельно предел суммы, и то, что постоянный множитель можно выносить за знак предела.

_{Вычислите пределы функции на бесконечности (учащиеся по одному выходят к доске):}

Предел функции мы можем вычислять как на бесконечности, так и в какой-то одной определенной точке. Определение предела функции по Гейне, это определение через последовательности. Число A называется пределом функции f(x) в точке_{: , если для любой последовательности , стремящейся к , при n стремящимся к бесконечности, где , будет следовать, что.}

_{Рассмотрим пример 1: вычислить предел функции.}

_{Воспользуемся определением предела функции по Гейне: для любой последовательности ,} , должно следовать, что _{. Данный предел вы уже умеете вычислять, пользуясь предельными свойствами (учащиеся самостоятельно вычисляют и сообщают результат учителю).}

Исходя из определения предела функции в точке, вычислите следующие пределы:

1. _;

2. _;

3. _;

4. _;

5. _.

Теория пределов - достаточно сложный раздел математического анализа, который изучается в вузах. Наше знакомство с понятием предела, как вы, наверное, заметили, поверхностное, основанное на интуиции и наглядных представлениях, и знакомимся мы с этим разделом, потому как вычисление пределов нам понадобится при изучении темы: «Числовые ряды».