- Преподавателю
- Математика
- Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»
Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Рабочие программы |
Автор | Киселева М.В. |
Дата | 09.01.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Киселева М.В.учитель математики
МОУ «Средняя школа №17»
Элективный курс
«Обратные тригонометрические функции»
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
-
Определение обратимой функции; условие обратимости функции; определение функции обратной по отношению к функции ; свойства взаимно обратных функций.
-
Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.
-
Основные соотношения между обратными тригонометрическими функциями
-
Тождественные преобразования выражений с обратными тригонометрическими функциями
-
Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции
Тематическое планирование
№
Тема занятия
Колич. часов
Вид занятия
Требования к математической подготовке
1
Понятие взаимно обратных функций. Свойства. Примеры.
1 час
Лекция
Знать определение обратной функции; условие обратимости функции; определение функции, обратной по отношению к функции ; уметь находить функцию, обратную линейной функции ; определять область определения и множество значений взаимно-обратных функций. Знать, что графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой , знать примеры взаимно-обратных функций.
2
Обратные тригонометрические функции. Их графики и свойства. Тождества:
1 час
Лекция
Знать на каком промежутке какая из тригонометрических функций обратима. Уметь строить графики взаимно-обратных тригонометрических функций, указывать их , характер монотонности. Знать тождества:
Уметь применять при выполнении упражнений.
3
Вычисление значений обратных тригонометрических функций. Тождества:
1 час
Урок-практикум
Уметь доказывать и применять тождества:
Уметь находить значения выражений типа:
А также выражений типа:
4
Нахождение области определения и множества значений функции; решение уравнений функциональным методом.
2 часа
Урок-практикум
Уметь находить область определения и множество значений функции типа
в несложных случаях. Применять эти умения при решении уравнений функциональным методом.
5
Решение уравнений и неравенств используя свойства монотонности обратных тригонометрических функций, тождества.
2 часа
Урок-практикум
Уметь применять свойство монотонности обратных тригонометрических функций и доказанные ранее тождества при решении несложных уравнений и неравенств.
6
Урок-консультация
1 час
ЛИТЕРАТУРА
-
Г,В. Дорофеев и др. Пособие по математике для поступающих в вузы, издательства «Наука» М., 1967 г.
-
Ф.П. Яремчук, П.А. Рудченко Алгебра и элементарные функции. Справочник «науковая думка» киев 1976г.
-
В.С. Крамор, К.Н. Лунгу Повторяем и систематизируем школьный курс тригонометрии. Пособие для старшеклассников и абитуриентов. АРКТИ, М., 2001 г.
-
В.К. Бернан, А.Б, Никитин «Математика» (практикум) Санкт-Петербург, издательство Политехнического университета, 2006г.
-
Б.Г. Зив «Задачи по алгебре и началам анализа от простейших до более сложных» Санкт-Петербург, 1997г, НПО «Мир и семья-95»
-
В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович Задачник-практикум по математике. Для поступающих в ВУЗы. М., «Мир и Образование», 2005г.
-
Г.И. Ковалева, Е.В. Конкина Функциональный метод решения уравнений и неравенств. Библиотека «первого сентября». Серия «Математика». М., 2008г.
-
Математика на вступительных экзаменах в СПбГПУ (под редакцией профессора В.В, Глухова) СПб: издательство политехнического университета 2005г.
-
«3000 конкурсных задач по математике» М., Айрис-пресс 1998 г.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
По данной теме с учащимися проводится беседа следующего содержания.
Сравним две функции , графики которых изображены на рисунке. Обе они определены на отрезке , множеством их значений является отрезок Функция обладает таким свойством: какое бы число из множества значений функции ни взять, оно является значением функции в одной точке
Функция таким свойством не обладает. Так, выбранного на рисунке значения имеем . Иными словами, среди значений функции имеются такие, которые функция принимает более чем в одной точке области определения. Говорят, что функция обратима, а функция необратима.
Определение: функция определенная на промежутке называется обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке промежутка .
Иными словами, любым различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции.
Теорема. Если функция монотонна на промежутке , то она обратима.
Доказательство: пусть возрастает на , тогда лбым двум значениям аргумента соответствуют значения функции . Таким образом, различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции, функция обратима.
Определение. Пусть обратимая функция определена на промежутке , а множество её значений является промежуток . Поставим в соответствии каждому то единственное значение , при котором (т.е. единственный корень уравнения ). Получим функцию которая называется обратной по отношению к функции
Из теоремы следует, что для любой монотонности на функции существует обратная функция. Чтобы найти ее нужно из уравнения выразить , а затем обозначить аргумент буквой , а функцию буквой , как принято: .
Если пара чисел удовлетворяет уравнению , то уравнению удовлетворяет пара чисел . Этот переход от функции к обратной функции связана с изменением ролей множества .
Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной, а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной.
График функции получается из графика функции с помощью преобразования плоскости, переводящего точку . Это преобразование - симметрия относительно прямой .
Итак, графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой .
Пример 1.
функция возрастает на , поэтому имеет обратную.
Выразим
Заменяем
Функция является обратной для функции .
Графики функций симметричны относительно прямой
Пример 2.
Функция возрастает на промежутке, значит, она имеет обратную.
Выразим через : (Заметим )
Заменяем на , на :
Функция является обратной для функции
График функции строим симметрично графику функции
относительно прямой
Пример 3.
Функция возрастает на промежутке , а значит, имеет себе обратную.
Выразим через :
( не удовлетворяет условию )
Заменим на , на :
Функция и взаимно обратные, их графики симметричны относительно прямой .
Также можно доказать, что если одна из взаимно-обратных функций возрастает, то и другая возрастает.
Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса и выводы, которые следуют из определений, удобно записать в виде таблицы.
, если
, если
, если
, если
Дальнейшее объяснение можно вести таким образом.
Функция убывает на отрезке поэтому имеет себе обратную:
Функция
Характер монотонности
Функция убывает на отрезке:
Функция убывает на отрезке:
Графики симметричны относительно прямой .
Функция возрастает на отрезке , поэтому имеет себе обратную:
Функция
Характер монотонности
Возрастает на отрезке:
Возрастает на отрезке:
Функция возрастает на интервале , поэтому имеет себе обратную:
Функция
Характер монотонности
Возрастает на интервале
возрастает
Докажем тождество
Перепишем его в виде и обозначим тогда
. однако это означает, что . Значит, что и требовалось доказать.
Функция
Докажем тождество , где .
Пусть , это означает
Тогда
Это означает, что значит,
, что и требовалось доказать.
Функция
Справедливы также тождества:
Докажем тождество
Данное тождество равносильно следующему:
, но т.к. , то из этих условий следует, что или , что и требовалось доказать.
Справедливо также тождество .
Вычислим , где
Пусть , причем и требуется вычислить .
, т.е.
На этом промежутке поэтому . Итак,
справедливо также тождество: .
БАНК ЗАДАЧ
Задания для устных упражнений.
-
Вычислить:
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
-
Пересекаются ли графики функций:
-
;
-
;
-
-
Решить неравенство
-
-
Найти область определения и множество значений функции:
-
Построить графики этих функций.
Задания к занятиям
-
Вычислить:
-
;
-
Решение:
т.к. ;
-
-
-
;
-
;
-
;
-
Решение:
-
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
-
-
Найти область определения функции:
-
Найти множество значений функции:
Решение:
Пусть
функция непрерывна, возрастает на отрезке , значит
-
-
;
-
Ответ: ;
-
-
;
-
Решение:
Обозначим
Рассмотрим функцию , убывающую на отрезке
Ответ:
Ответ: .
-
Решить уравнения, используя определение обратных тригонометрических функции.
Ответы: а. 4; б.1; в. 4;
-
Решить уравнения методом введения новой переменной:
Ответы: а. б. 1; в. .
-
Решить уравнение (неравенство), используя тождество
Решение:
Ответ: -1;0.
Решение:
Т.к. функция убывающая, то
Область определения неравенства
Учитывая это, имеем
Ответ:
-
Решить уравнение (неравенство) используя тождества:
Решение:
Область определения уравнения:
т.е.
, значит, равенство достигается, если
Поэтому посторонний корень.
Ответ:
Решение:
Область определения уравнения:
;
не удовлетворяет условию
Ответ:
Решение:
Область определения неравенства
Т.к. функция
Решим неравенство
Решение системы
Решением неравенства является интервал .
Учитывая область определения неравенства, имеем
Ответ:
Решение:
Область определения неравенства:
Т.к. функция нечетная, то:
Т.к. функция возрастающая то
Решим неравенство:
Решением системы является интервал
Учитывая область определения, записываем решение неравенства
Ответ:
-
Решить уравнения, взяв синус (косинус) от обеих частей уравнения.
Решая таким методом, нужно учитывать что равенство тригонометрических функций влечет за собой равенство углов, если эти углы лежат, например в 1 четверти.
Решение:
Область определения уравнения:
Т.к. , то
Т.к. , то - корень уравнения
Ответ:
Ответ:
Решение:
Область определения уравнения - отрезок
Возьмем синус от обеих частей уравнения:
Следовательно, - корень уравнения.
Ответ:
-
Докажите, что уравнение не имеет решений.
Решение:
Найдем область определения уравнения.
Система решений не имеет; область определения уравнения - пустое множество; поэтому уравнение не имеет решений.
-
Решить уравнение:
Решение:
Найдем область определения уравнения.
Решение системы
область определения уравнения состоит из одного числа
проверим является ли 1 корнем уравнения
- верное равенство т.о. корень уравнения.
Ответ:
Ответ: 3.
-
Решить неравенство:
Решение:
Найдем область допустимых значений:
Т.о. при выполняется неравенство
Ответ:
Ответ:
-
Решить уравнение (неравенство) функциональным методом
Ответы: а). 0; б). 3; в).2; г). ; д).; е). 0,5; ж).-0,5.
Задания для самостоятельной работы учащихся.
-
Найти значение выражения:
-
Упростить выражение
-
Найти область определения, множество значений функции. Построить график.
-
Решить неравенство
-
Решить уравнение
-
Решить уравнение функциональным методом: