Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ·         Определение обратимой функции; условие обратимости  функции; определение функции обратной по отношению к функции ; свойства взаимно обратных функций. ·         Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики. ·         Основные соотношения между обратными тригонометрическими функциями ·         Тождественные преобразования выражений с обратными тригонометрическими функциями    Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции в курсе пр...
Раздел Математика
Класс -
Тип Рабочие программы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Киселева М.В.учитель математики

МОУ «Средняя школа №17»

















Элективный курс

«Обратные тригонометрические функции»

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

  • Определение обратимой функции; условие обратимости функции; определение функции обратной по отношению к функции Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»; свойства взаимно обратных функций.

  • Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

  • Основные соотношения между обратными тригонометрическими функциями

  • Тождественные преобразования выражений с обратными тригонометрическими функциями

  • Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции

Тематическое планирование

Тема занятия

Колич. часов

Вид занятия

Требования к математической подготовке

1

Понятие взаимно обратных функций. Свойства. Примеры.

1 час

Лекция

Знать определение обратной функции; условие обратимости функции; определение функции, обратной по отношению к функции Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»; уметь находить функцию, обратную линейной функции Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»; определять область определения и множество значений взаимно-обратных функций. Знать, что графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», знать примеры взаимно-обратных функций.

2

Обратные тригонометрические функции. Их графики и свойства. Тождества:

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

1 час

Лекция

Знать на каком промежутке какая из тригонометрических функций обратима. Уметь строить графики взаимно-обратных тригонометрических функций, указывать их Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», характер монотонности. Знать тождества:

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Уметь применять при выполнении упражнений.

3

Вычисление значений обратных тригонометрических функций. Тождества:

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

1 час

Урок-практикум

Уметь доказывать и применять тождества:

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Уметь находить значения выражений типа:

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

А также выражений типа:

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

4

Нахождение области определения и множества значений функции; решение уравнений функциональным методом.

2 часа

Урок-практикум

Уметь находить область определения и множество значений функции типа

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»в несложных случаях. Применять эти умения при решении уравнений функциональным методом.

5

Решение уравнений и неравенств используя свойства монотонности обратных тригонометрических функций, тождества.

2 часа

Урок-практикум

Уметь применять свойство монотонности обратных тригонометрических функций и доказанные ранее тождества при решении несложных уравнений и неравенств.

6

Урок-консультация

1 час


ЛИТЕРАТУРА

  1. Г,В. Дорофеев и др. Пособие по математике для поступающих в вузы, издательства «Наука» М., 1967 г.

  2. Ф.П. Яремчук, П.А. Рудченко Алгебра и элементарные функции. Справочник «науковая думка» киев 1976г.

  3. В.С. Крамор, К.Н. Лунгу Повторяем и систематизируем школьный курс тригонометрии. Пособие для старшеклассников и абитуриентов. АРКТИ, М., 2001 г.

  4. В.К. Бернан, А.Б, Никитин «Математика» (практикум) Санкт-Петербург, издательство Политехнического университета, 2006г.

  5. Б.Г. Зив «Задачи по алгебре и началам анализа от простейших до более сложных» Санкт-Петербург, 1997г, НПО «Мир и семья-95»

  6. В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович Задачник-практикум по математике. Для поступающих в ВУЗы. М., «Мир и Образование», 2005г.

  7. Г.И. Ковалева, Е.В. Конкина Функциональный метод решения уравнений и неравенств. Библиотека «первого сентября». Серия «Математика». М., 2008г.

  8. Математика на вступительных экзаменах в СПбГПУ (под редакцией профессора В.В, Глухова) СПб: издательство политехнического университета 2005г.

  9. «3000 конкурсных задач по математике» М., Айрис-пресс 1998 г.





МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

По данной теме с учащимися проводится беседа следующего содержания.

Сравним две функции Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», графики которых изображены на рисунке. Обе они определены на отрезке Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», множеством их значений является отрезок Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» Функция Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» обладает таким свойством: какое бы число Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»из множества значений функции ни взять, оно является значением функции в одной точке Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Функция Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» таким свойством не обладает. Так, выбранного на рисунке значения Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» имеем Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» Элективный курс «Обратные тригонометрические функции». Иными словами, среди значений функции Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» имеются такие, которые функция принимает более чем в одной точке области определения. Говорят, что функция Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» обратима, а функцияЭлективный курс «Обратные тригонометрические функции» необратима.

Определение: функция Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» определенная на промежутке Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» называется обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке промежутка Элективный курс «Обратные тригонометрические функции».

Иными словами, любым различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции.

Теорема. Если функция Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» монотонна на промежутке Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», то она обратима.

Доказательство: пусть Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» возрастает на Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», тогда лбым двум значениям аргумента Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»соответствуют значения функции Элективный курс «Обратные тригонометрические функции». Таким образом, различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции, функция Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» обратима.

Определение. Пусть обратимая функция Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» определена на промежутке Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», а множество её значений является промежуток Элективный курс «Обратные тригонометрические функции». Поставим в соответствии каждому Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» то единственное значение Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» , при котором Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» (т.е. единственный корень уравнения Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»). Получим функцию Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» которая называется обратной по отношению к функции Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Из теоремы следует, что для любой монотонности на Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» функции Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» существует обратная функция. Чтобы найти ее нужно из уравнения Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» выразить Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», а затем обозначить аргумент буквой Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», а функцию буквой Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», как принято: Элективный курс «Обратные тригонометрические функции».

Если пара чисел Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» удовлетворяет уравнению Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», то уравнению Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» удовлетворяет пара чисел Элективный курс «Обратные тригонометрические функции». Этот переход от функции Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» к обратной функции связана с изменением ролей множества Элективный курс «Обратные тригонометрические функции».

Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной, а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной.

График функции Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» получается из графика функции Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» с помощью преобразования плоскости, переводящего точку Элективный курс «Обратные тригонометрические функции». Это преобразование - симметрия относительно прямой Элективный курс «Обратные тригонометрические функции».

Итак, графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой Элективный курс «Обратные тригонометрические функции».

Пример 1.

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»функция возрастает на Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», поэтому имеет обратную.

Выразим Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Заменяем Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Функция Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» является обратной для функции Элективный курс «Обратные тригонометрические функции».

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»



Графики функций симметричны относительно прямой Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Пример 2. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Функция Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»возрастает на промежуткеЭлективный курс «Обратные тригонометрические функции», значит, она имеет обратную.

Выразим Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»через Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»: Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» (ЗаметимЭлективный курс «Обратные тригонометрические функции» )

Заменяем Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» на Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» на Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»:Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

ФункцияЭлективный курс «Обратные тригонометрические функции» является обратной для функции Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

График функцииЭлективный курс «Обратные тригонометрические функции» строим симметрично графику функции

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» относительно прямойЭлективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»


Пример 3. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Функция Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» возрастает на промежутке Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», а значит, имеет себе обратную.

Выразим Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»через Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» : Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»(Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» не удовлетворяет условию Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» )

Заменим Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» на Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» на Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»: Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Функция Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» и Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» взаимно обратные, их графики симметричны относительно прямой Элективный курс «Обратные тригонометрические функции».

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»



Также можно доказать, что если одна из взаимно-обратных функций возрастает, то и другая возрастает.

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса и выводы, которые следуют из определений, удобно записать в виде таблицы.

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», если

  1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  2. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», если

  1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  2. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», если

  1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  2. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», если

  1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  2. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Дальнейшее объяснение можно вести таким образом.

Функция Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» убывает на отрезке Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» поэтому имеет себе обратную: Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Функция

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Характер монотонности

Функция убывает на отрезке: Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Функция убывает на отрезке: Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»


Графики симметричны относительно прямой Элективный курс «Обратные тригонометрические функции».

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»



Функция Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» возрастает на отрезке Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», поэтому имеет себе обратную: Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Функция

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Характер монотонности

Возрастает на отрезке:
Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Возрастает на отрезке:
Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»




Функция Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» возрастает на интервале Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», поэтому имеет себе обратную: Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Функция

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Характер монотонности

Возрастает на интервале
Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

возрастает

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Докажем тождество Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Перепишем его в виде Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» и обозначим Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» тогда

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции». однако Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» это означает, что Элективный курс «Обратные тригонометрические функции». Значит, Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» что и требовалось доказать.

Функция Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Докажем тождество Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», где Элективный курс «Обратные тригонометрические функции».

Пусть Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», это означает Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Тогда Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Это означает, что Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» значит,

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», что и требовалось доказать.

Функция Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Справедливы также тождества:

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Докажем тождество

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Данное тождество равносильно следующему:

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», но Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» т.к. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», то Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» из этих условий Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» следует, что Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» или Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», что и требовалось доказать.

Справедливо также тождество Элективный курс «Обратные тригонометрические функции».

Вычислим Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», где Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Пусть Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», причем Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» и Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» требуется вычислить Элективный курс «Обратные тригонометрические функции».

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», т.е. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

На этом промежутке Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» поэтому Элективный курс «Обратные тригонометрические функции». Итак, Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

справедливо также тождество: Элективный курс «Обратные тригонометрические функции».






БАНК ЗАДАЧ

Задания для устных упражнений.

  1. Вычислить:

    • Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»;

    • Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»;

    • Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»;

    • Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»;

    • Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»;

    • Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»;

    • Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»;

  2. Пересекаются ли графики функций:

    • Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»;

    • Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»;

  3. Решить неравенство

    • Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

    • Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

    • Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  4. Найти область определения и множество значений функции:

    • Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

    • Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

    • Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Построить графики этих функций.

Задания к занятиям

  1. Вычислить:

    1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»;

Решение:

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»т.к. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»;

    1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

    2. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»;

    3. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»;

    4. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»;

Решение:

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

    1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»;

    2. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»;

    3. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»;

    4. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»;

    5. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»;

    6. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»;

    7. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  1. Найти область определения функции:

    1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

    2. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

    3. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

    4. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

    5. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

    6. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  1. Найти множество значений функции:

    1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Решение:

Пусть Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

функция Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» непрерывна, возрастает на отрезке Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», значит Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

    1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»;

Ответ: Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»;

    1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»;

Решение:

Обозначим Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Рассмотрим функцию Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», убывающую на отрезке Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Ответ: Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

    1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Ответ: Элективный курс «Обратные тригонометрические функции».

  1. Решить уравнения, используя определение обратных тригонометрических функции.

    1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

    2. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

    3. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Ответы: а. 4; б.1; в. 4;

  1. Решить уравнения методом введения новой переменной:

  1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  2. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  3. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Ответы: а. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» б. 1; в. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции».

  1. Решить уравнение (неравенство), используя тождество Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Решение:

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Ответ: -1;0.

  1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  2. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  3. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Решение:

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Т.к. функция Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» убывающая, то Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Область определения неравенства Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Учитывая это, имеем Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Ответ: Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  1. Решить уравнение (неравенство) используя тождества:

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Решение:

Область определения уравнения:

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»т.е. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», значит, равенство достигается, если Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Поэтому Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» посторонний корень.

Ответ: Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Решение:

Область определения уравнения: Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»; Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»не удовлетворяет условию Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Ответ: Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Решение:

Область определения неравенства

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Т.к. функция Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Решим неравенство Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Решение системы Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Решением неравенства является интервал Элективный курс «Обратные тригонометрические функции».

Учитывая область определения неравенства, имеем Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Ответ: Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  2. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Решение:

Область определения неравенства:

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Т.к. функция Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» нечетная, то:

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Т.к. функция Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» возрастающая то Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Решим неравенство:

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Решением системы является интервал Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Учитывая область определения, записываем решение неравенства Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Ответ: Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»


  1. Решить уравнения, взяв синус (косинус) от обеих частей уравнения.

Решая таким методом, нужно учитывать что равенство тригонометрических функций влечет за собой равенство углов, если эти углы лежат, например в 1 четверти.

  1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Решение:

Область определения уравнения:

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Т.к. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции», то

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Т.к. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» , то Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» - корень уравнения

Ответ: Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Ответ: Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Решение:

Область определения уравнения - отрезок Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Возьмем синус от обеих частей уравнения:

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Следовательно, Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» - корень уравнения.

Ответ: Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  1. Докажите, что уравнение не имеет решений.

  1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Решение:

Найдем область определения уравнения.

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Система решений не имеет; область определения уравнения - пустое множество; поэтому уравнение не имеет решений.

  1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  1. Решить уравнение:

  1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Решение:

Найдем область определения уравнения.

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Решение системы Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

область определения уравнения состоит из одного числа Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

проверим является ли 1 корнем уравнения

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»- верное равенство т.о. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»корень уравнения.

Ответ: Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Ответ: 3.

  1. Решить неравенство:

  1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Решение:

Найдем область допустимых значений:

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Т.о. при Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» выполняется неравенство Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Ответ: Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Ответ: Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»


  1. Решить уравнение (неравенство) функциональным методом

  1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  2. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  3. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  4. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  5. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  6. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  7. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

Ответы: а). 0; б). 3; в).2; г). Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»; д).Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»; е). 0,5; ж).-0,5.

Задания для самостоятельной работы учащихся.

  1. Найти значение выражения:


    1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

    2. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

    3. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

    4. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

    5. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

    6. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»


  1. Упростить выражение

  1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  2. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  3. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  4. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»


  1. Найти область определения, множество значений функции. Построить график.


  1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  2. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»


  1. Решить неравенство


  1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  2. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  3. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  4. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»


  1. Решить уравнение


  1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  2. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»


  1. Решить уравнение функциональным методом:


  1. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  2. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  3. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  4. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  5. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

  6. Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»


© 2010-2022