Конспект урока: «Геометрический смысл производной»

Конспект урока по алгебре для учащихся 11 класса средних общеобразовательных учреждений.

Выполнила: Тельгаева Т. А.

Тема урока: «Геометрический смысл производной».

Цель:

- образовательная: закрепить знания по теме «Геометрический смысл производной»;

- развивающая: развитие умения правильно излагать свои мысли, умения анализировать, выделять главное, обобщать и делать выводы;

- воспитательная: воспитание внимания, аккуратности, дисциплинированности, добросовестного отношения к работе, интереса к предмету.

Тип урока: закрепления изученного материала.

Методы обучения: дедуктивно-репродуктивный, индуктивно-репродуктивный.

Требования к знаниям, умениям, навыкам:

- учащиеся должны знать геометрический смысл производной, алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции;

- учащиеся должны уметь находить угол между осью Ох и касательной к графику функции, уравнение касательной графику функции.

Литература:

«Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» под ред. А. Б. Жижченко, М.: Просвещение, 2009 г., 341 с.;

«Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов», Б. Г. Зив, В. А. Гольдич, М: 2008 г., 216 с.;

Рабочая программа по алгебре. Учебник: Ю. М. Колягин.

План урока:

1. Организационный момент (2 мин.)

2. Актуализация знаний (7 мин.)

3. Решение задач (33 мин.)

4. Подведение итогов и домашнее задание (3мин.)

Ход урока

1. Организационный момент включает в себя приветствие учителем класса, проверку отсутствующих, готовность помещения к уроку.

2. Учитель: На прошлом уроке мы начали изучать новую тему «Геометрический смысл производной». Сегодня на уроке мы закрепим полученные знания решением задач.

Сначала давайте вспомним, в чем заключается геометрический смысл производной?

Ученик: Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции f(x) в точке x₀ равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке (x₀; f(x₀)).

Учитель: Чему равен угловой коэффициент касательной?

Ученик: Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла между касательной и осью Ох, а также производной функции f(x).

Учитель: Каков алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции?

Ученик: 1) находим производную функции, 2) находим значение функции в данной точке, 3) находим значение производной в данной точке, 4) подставляем полученные значения в формулу y = f(x₀) + f΄(x₀)(x - x₀).

Учитель: Записать на доске формулу производной суммы двух функций.

Ученик: (u + v)΄ = u΄ + v΄

Учитель: Записать на доске производную произведения двух функций.

Ученик: (uv)΄ = u΄v + uv΄

Учитель: Записать на доске производную частного двух функций.

Ученик:

Учитель: Чему равно значение тангенса угла ?

Ученик: tg = 1.

Учитель: Чему равно значение тангенса угла ?

Ученик: tg = .

Учитель: Чему равно значение тангенса угла ?

Ученик: tg = .

3. Учитель: Переходим к решению задач. Выполним на доске и в тетрадях номер 92 (четн).

Ученик: №92. Найти угол между осью Ох и касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x₀, если:

2) f(x) = x³, x₀ = 1.

(Запись на доске и в тетрадях)

Решение:

f΄(x) = x²

f΄(x₀) = 1

tg α = 1

α = arctg 1 =

Ответ: α =

Система вопросов к задаче:

1) Как найти угол между осью Ох и касательной к графику функции?

2) Чему равен тангенс угла между касательной к графику функции и осью Ох?

4) f(x) = 2, x₀ = 3

(Запись на доске и в тетрадях)

Решение:

f΄(x) =

f΄(x₀) =

tg α =

α = arctg =

Ответ: α =

Система вопросов к задаче:

1) Как найти угол между осью Ох и касательной к графику функции?

2) Чему равен тангенс угла между касательной к графику функции и осью Ох?

6) f(x) = , x₀ = 1

(Запись на доске и в тетрадях)

Решение:

f΄(x) =

f΄(x₀) = 1

tg α = 1

α = arctg 1 =

Ответ: α =

Система вопросов к задаче:

1) Как найти угол между осью Ох и касательной к графику функции?

2) Чему равен тангенс угла между касательной к графику функции и осью Ох?

Учитель: Следующий номер №94 (четн).

Ученик: №94. Написать уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x₀, если:

2) f(x) = 6x - 3x², x₀ = 2

(Запись на доске и в тетрадях)

Решение:

1. f΄(x) = 6 - 6x

2. f(x₀) = 0

3. f΄(x₀) = -6

4. y = 0 + (-6)(x - 2) = -6x + 12

Ответ: y = -6x + 12

Система вопросов к задаче:

1) Каков алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции?

4. f(x) = , x₀ = -2

(Запись на доске и в тетрадях)

Решение:

1. f΄(x) = -

2. f(x₀) =

3. f΄(x₀) =

4. y = + (x + 2) = x +

Ответ: y = x +

Система вопросов к задаче:

1) Каков алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции?

6)f(x) =

(Запись на доске и в тетрадях)

Решение:

1. f΄(x) =

2. f(x₀) = 1

3. f΄(x₀) = 1

4. y = 1 + 1 (x - 0) = x + 1

Ответ: y = x + 1

Система вопросов к задаче:

1) Каков алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции?

8) f(x) = , x₀ = 1

(Запись на доске и в тетрадях)

Решение:

1. f΄(x) =

2. f(x₀) = 1

3. f΄(x₀) =

4. y = 1 + (x - 1) = +

Ответ: y = +

Система вопросов к задаче:

1) Каков алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции?

Учитель: Следующий номер №95 (четн).

Ученик: №95. Написать уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой х = 0, если:

2) f(x) =

(Запись на доске и в тетрадях)

Решение:

1. f΄(x) =

2. f(x₀) = 1

3. f΄(x₀) =

4. y = 1 + (x - 0) = + 1

Ответ: y = + 1

Система вопросов к задаче:

1) Каков алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции?

4)f(x) = x +

(Запись на доске и в тетрадях)

Решение:

1. f΄(x) = 1 -

2. f(x₀) = 1

3. f΄(x₀) = 0

4. y = 1 + 0(x - 0) = 1

Ответ: y = 1

Система вопросов к задаче:

1) Каков алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции?

6)f(x) = sin2x - ln(x+1)

(Запись на доске и в тетрадях)

Решение:

1. f΄(x) = 2cos2x -

2. f(x₀) = 0

3. f΄(x₀) = 1

4. y = 0 + 1 (x - 0) = x

Ответ: y = x

Система вопросов к задаче:

1) Каков алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции?

4. Учитель: Итак, сегодня на уроке научились находить угол между осью Ох и касательной к графику функции, а также находить уравнение касательной к графику функции.

Давайте обобщим, как составить уравнение касательной к графику функции?

Ученик: составить уравнение касательной можно по алгоритму:

1. найти производную функции;

2. найти значение функции в данной точке;

3. найти значение производной в точке;

4. Подставить найденные значения в формулу:

y = f(x₀) + f΄(x₀)(x-x₀).

Учитель: Как найти угол между осью Ох и касательной к графику функции?

Ученик: Чтобы найти угол между осью Ох и касательной, нужно найти угловой коэффициент, равный тангенсу угла между касательной и осью Ох, а затем найти сам угол.

Учитель: Домашнее задание: §8, №92 (неч), 94 (неч), 95 (неч).

Урок окончен!